第24講解三角形

鏈教材夯基固本

▲

激活思維

1.（人A必二P44練習(xí)T2改）在△48C中，己知。=7,b=5,c=3,則角

A的大小為（）

A.120°B.90°

C.60°D.45°

2.（人A必二P44練習(xí)Tl（2）改）在△48C中，設(shè)6=5,c=53,力=30。，

則a=（）

A.5B.4

C.3D.10

3.（人A必二P48練習(xí)T2（2））在△48C中，已知6=2,4=45。，C=，5。,

則c=.

4.（人A必二P48練習(xí)T3）在△43C中，已知cos4=：,B=\b=3,則

a=，c=.

5.（人A必二P54習(xí)題T22改）在△ABC中，角4,B,C的對邊分別為

b,c,ja〃cosC+3asinC—b—c=0,則4=-；若〃=2,△Z8C的面積為3,

—3-

則3+。=.

聚焦知識

1.正弦定理和余弦定理

定理正弦定理余弦定理

a2=____；b2=____；

內(nèi)容三三=2R

c2=____

?a=____,h=____,c=____；

cosA=____；

變形②sinJ=___,sin^=____,sinC

cosB=____；

形式=_（其中R是△RBC外接圓的

cosC=____

半徑）；

③Q:b:c=___；

④4sin4=bsirt4,加inC=csinB,

〃sinC=csirL4

①已知兩角和任一邊，求另一角

①已知三邊，求各角；

解斜三角和其他兩條邊；

②已知兩邊和它們的夾角，求第

形的問題②已知兩邊和其中一邊的對角，

三邊和其他兩個角

求另一邊和其他兩角

2.三角形常用面積公式

(1)SdABC=；aha(ha為邊。上的高)；

(2)S^ABC-=；/?csin/=；〃csinB；

(3)SM8C=I?Q+〃+C)&為△/3C內(nèi)切圓的半徑)；

2

(4)S?ABc=abc=2R2sinAs\n8sinC(R為AABC外接圓的半徑);

4R

(5)SMBC=p(p-a)(p—b)(p-c)r2伍+"十"

3.在△力BC中，已知〃，人和4時，解的情況

力為銳角A為鈍角或直角

c

4A.

圖形

ABi'......'B：力?...__???'B

AZLRAzfi

bs\nA<a<

關(guān)系式a=bs\x\Aa^ba>baWb

h

解的個數(shù)

—————

4.解三角形的實際應(yīng)用

(1)仰角和俯角：在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視

線在水平視線—叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線—叫俯角(如圖(1)).

視線

視線

圖⑴

(2)方位角：從正北方向起按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方

位角.如8點的方位角為a(如圖(2)).

圖⑵

(3)方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90。的角，如南偏

東30。，北偏西45。等.

(4)視角：觀察物體時，從物體兩端引出的光線在人眼球內(nèi)交叉而成的角.

第1課時正弦定理與余弦定理

研題型能力養(yǎng)成

舉題說法

目幀N正、余弦定理的直接應(yīng)用

例1(2022?全國乙卷)記△45。的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為。，b,c,

已知sinCsin(4—4)=sinBsin(C—N).

(1)求證：2a2=62+c2；

(2)若Q=5,cos月=：；,求△45C的周長.

，總結(jié)提煉A

在解三角形中，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定

理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理.以上特征都

不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.

變式1(2025?南京、鹽城期末)在△45C中，AB=6,BC=5.

(1)若C=24求sinZ的值；

(2)若為銳角三角形，cosA=\求△49C的面積.

16

目標(biāo)日利用正、余弦定理判斷三角形的形狀

例2(多選)已知△46C的內(nèi)角力，B,C的對邊分別為〃，b,c,則下列說

法正確的是()

A.若那+按一MAO,則△IBC一定是銳角三角形

B?若=b=1則△/BC一定是等邊三角形

cosAcosBcosC

C.若acos<=bcosB,則△/BC一定是等腰三角形

D.若4cos8+6ccs4=。，則△NBC一定是等腰三角形

?總結(jié)提煉a

在判斷三角形的形狀時，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件.另

外，在變形過程中要注意角4,R,C的取信范圍對三角函數(shù)值的影響，在等式

變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項提取公因式，以免漏解.

變式2在△/8C中，a,b,c分別是內(nèi)角4B,C所對的邊，且滿足‘口‘。

a

=cos4,2hcosA=cf則的形狀是()

c

A.等腰直角三角形B.等腰鈍角三角形

C.等邊三角形D.以上結(jié)論均不正確

目標(biāo)總和三角形面積有關(guān)的問題

例3(2024?新高考I卷)已知△48C的內(nèi)角4B,。的對邊分別為小b,

c,sinC=2cos&a2+Z>2—c2=2ab.

(1)求角4的大??；

(2)若△48。的面積為3+3,求c.

<總結(jié)提煉A

(1)三角形面積公式S=)bsinC=Icsii歷=JbsiM,一般是已知哪一個角

222

就使用哪一個公式.

(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化.

變式3(2023?全國甲卷文)記△48C的內(nèi)角4B,C的對動分別為mb,

A2-Lx>2—“2

已知"十°a=2

cos/

(1)求be；

(2)若ac°sB：bcos4—b=],求的面積.

acos8+反os/c

隨堂內(nèi)化

1.（2024?汕頭一模）己知△42C的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,C,

若4=60。，6=10,則結(jié)合。的值，下列三角形有兩解的為（）

A.。=8B.。=9

C.67—10D.4=11

2.(2023?北京卷)在△48C中，(a+c)?(sin/1—sinC)=6(sinJ-siM),則C

=()

3.(2024?全國甲卷)在△ABC中，內(nèi)角從B,C的對邊分別為a,b,c,

2

若3=；,b=^acf貝ijsin/l+sinC=()

A.3B.2

2

4.（2024?麗水、湖州、衢州二模）在△/BC中，角力，B,。的對邊分別為

〃，b,c,B=[,c=2,8C邊上的高等于則△力BC的面積是，siiU=

43

配套熱練

A組夯基精練

一、單項選擇題

1.（2025?八省聯(lián)考）在中，3c=8,4c=10,cos/B4C=；,則^

ABC的面積為（）

A.6B.8

C.24D.48

2.（2024?青島一模）在△SBC中，角4B,C的對邊分別為。，b,c,若

b=2asmB,灰?=4,則△力/；C，的面積為（）

A.1B.3

C.2D.23

3.（2024?贛州二模）記△48C的內(nèi)角4B,。的對邊分別為a,b,c,若

b=l,a2—l=c（c—l）,則4=（）

A.nB.2k

33

C.兀D.5n

66

4.（2024?合肥一檢）在中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,

若26cosc=a（2—c）,且B=允，貝!J〃=（）

3

A.1B.2

C.3D.2

二、多項選擇題

5.在△NBC中，角4B,。所對的邊分別為mb,c,下列結(jié)論正確的是

（）

A.若cos/>cosB,WJsinJ<sinB

B.若（。+力+。）（。+〃-。）=3。從貝ijC=：

C.已知。=7,6=43,c=13,則最小內(nèi)角的大小為7

6

D.若siM=cosZ則8=兀

ah3

6.在△48。中，〃，b,c分別為角4,B,C的對邊，下列敘述正確的是

）

A.若acos8=6cos/,則△/8C為等腰三角形

B.若mand="an8,則△/BC為等腰三角形

C.若sin2%+sin2B+cos2CVl,則△力3c為銳角三角形

D.若cos24+cos23+cos2C>—l,則△4BC為鈍角三角形

7.（2024?益陽4月檢測）在中，角4B,。所對的邊分別為。，b,

c,已知sin/:sinB:sinC=2：3：4,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.（a+b）：S+c）：（c+a）=5：6：7

B.△/BC為鈍角三角形

C.若o+b+c=18,則△48C的面積是615

D.若△NBC的外接圓半徑是R內(nèi)切圓半徑為r,則5火=16〃

三、填空題

8.（2022?北京卷）在△46。中，若sin2C=3sinC,則C=—；若6=6,

且△45。的面積為63,則△AbC的周長為.

9.（2024?武漢2月調(diào)研）在△ABC中，內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為。，b,

c,若8=3兀，6=6,〃+/=22",則△/8C的面積為

4

10.（2024?益陽5月模擬）在△48C中，角4B,。所對的邊分別為a,b,

c,已知〃=6,力+c=4,cosC=—6,則siM=.

6

四、解答題

11.（2025?杭州一模）在中，角4B,C的對邊分別為。，b,c,且

sin2/l-sin25=sin2C_3sin8sinC,2cos3=sinC.

（1）判斷△45C的形狀，并說明理由；

（2）己知點。在邊4A上，且7?。=2Ao.若以）=2,求的面積.

12.（2025?泉州期初）記△48C的內(nèi)角兒B,。的對邊分別為。，b,c,且

C,A3,

6/COS2+ccos2-=b.

222

（1）求證：sinJ+sinC=2sinB；

（2）若b=2,范?k=3,求△48。的面積.

B組滾動小練

13.（2024?南昌期初）（多選）已知./（'）是定義在R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)

函數(shù)為/（x）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若/*）=/（一工），則。）=一，（-V）

B.若/a）=f（x+Q（90）,則｛0=加+7）

C.若/（x）的圖象關(guān)于點伍，6）中心對稱，則/（x）的圖象關(guān)于直線軸對

D.若一一1+6+人一1一力=2,，（x+2）的圖象關(guān)于原點對稱,則火一1）

+/（2）=1

14.（2025?福州一檢）（多選）若函數(shù)於）=sin（s+9）的部分圖象如圖所示,

則（）

A.兀是/（X）的一個周期

c.原月D./）在[0,3句上恰有6個零點

第24講解三角形

激活思維

1.A【解析】由余弦定理知cos/==一，所以力=120。.

2bc2

2.A【解析】由余弦定理。2=從+U2—2%ccos/,得—=52+（53/一2x5*53xcos

30°=25,解得。=5.

3.2+：【解析】在△45。中，因為/）=2,力=45。，C=75°,所以4=180。一

2x6+2

45°-75°=60°,則由正弦定理.人=0,=2sm7[=4=2

3

2

4.6"43t解析】由cos力」，可知力為銳角，所以sinj=1—cos2J='.

,333

3X

由正弦定理得〃=‘I”=5=5=6sinC=sin[兀一(4+8)]=sin(4+8)=sin/cos

sin4.n35

sin

32

63+43

X

.,?n3I.433+43+-r力士何4日asinC510

5n+cosJsinB=x+x=，由正弦定理得。===

525210sinA3

5

3+43

5

5.714【解析】由acosC+3。sinC—b—c=0及正弦定理得sin/cosC+3sin

3

AsinC-sin8—sinC=0.因為sin5=sin(兀一力一C)=sin(4+C)=sinAcosC+cosAsinC>

所以3sin/sinC—cos/sinC—sinC=0.由于sinC#),所以3sinA—cosA—I=0>所

以sin6)=1.又0</<兀，故.由題得8c的面積S=1besinA=3,故bc=

232

4①.而/=〃+/-26ccos/,且a=2,故加+/=8②，由①②得8=c=2,所以b+c=4.

聚焦知識

1.a=b=cZ)2+c2-2Z)ccosJ

sinAsinBsinC

cr+c2—laccosBa--\~b2—2abcosC?2RsinA2Rsin8

2RsinC②"bc(3)sin力：sin8：sinC

2R2R2R

hr-1~c2-6r2a-^c2—b2a~J-b2-c2

2bclac2ab

2.(2)；absinC

3.一解兩解一解一解無解

4.(1)上方下方

第1課時正弦定理與余弦定理

舉題說法

例1【解答】(1)由題知sinCsin(/—B)=sinBsin(C一例可化簡為sinCsinAcosB

—sinCcosAsin8=sinBsinCcosJ—sinBcosCsinA,由正弦定理可得accosB-bccosZ

—A2

=bccosA-abcosC,BPaccosB=2bccosA—abcosC,由余弦定理可得ac

lac

2』+i—…

整理得2a2=加+4得證.

2bclab

⑵由⑴可知〃+/=2/=5。，cos/藍｝=5晨5啜V,所以以=

31.因為〃+/+2從=(8+0)2=81,所以8+c=9,所以〃+b+c=14,所以△48C的周長為

14.

變式1【解答】⑴因為。=24,所以sinC=sin24=2sin4cos月，所以cos4=si"0.

2sinA

在△/IBC中，由正弦定理得s|n，,而48=6,BC=5,所以cos/l=sinC=3因

sinABC2sinA5

Pl24

為力￡(0,兀)，所以sin4=1—cos2J=1—UJ=.

5

(2)在△/灰?中，因為cosd=9,所以sin/l=1—cos?/]=[—[M='',由正

1616

弦定理得sin。=福,所以sinC="sin/=?x57=37.因為△力BC為銳角三角形，

sinJBCBC5168

f37}]

所以cosC=1-sin2C=1—I8J=,所以sinB=sin[兀一(4+C)]=sin(彳+C)=sin

8

Sr]oa77i

AcosC+cosJsinC='x|+"x‘'='.所以的面枳叉科=xj5xBCxsin

16816842

一

Bn=1x6x5x7=157.

244

z?2+A2—「2

例2BD【解析】對于A,若/+〃一o2>0,則8sC="十”>0,則。為銳角，

2ab

但是48兩角無法判斷其是否為銳角，如當(dāng)a=4,b=2,c=3時，/+〃_。2>(),招+。2

一加=一3<0,△44C為鈍角三角形，故A錯誤；對于B,因為“=b=C，所

cosAcosBcosC

以sin/=sin'=sinC,所以tan4=tan8=tanC,且力，B,C￡（0,兀），所以/=8=C,

cosAcosBcosC

所以△力3。為等邊三角形，故B正確；對于C,因為acos4=bcos8,所以sin力cos4=sin

8cos8,所以sin24=sin28,所以24=28或24+28=兀，所以4=8或4+,所以

△48。是等腰三角形或直角三角形，故C錯誤；對于D,因為acoscos/=a,所以sin

Acos^+sinBcos>l=sinA,即sin（/l+8）=sin力，WJsinC=sinA,乂因為力，C￡（0,兀），

所以4=C或4+。=兀（舍去），所以△/BC為等腰三角形，故D正確.

變式2C【解析】因為2bcos4=00,所以力為銳角.由余弦定理得2旅。十°°

2bc

=c,得/>2=〃，a=b,明4為銳角.

a2+b2~c2b2-Vc2—a2

方法_：由cosC=cos力以及余弦定理得2ah=2bc,H=

accr

出+/一〃，即b2-C2Z>2-q2

,由于護—2=0,所以62-2=0,即力=的所以〃=Qc,

C2

所以△48C是等邊三角形.

方法二：由c°s,=c°s”及正弦定理得sinCeosC=sin4cos力，從而力=C或,4+C

_7l

（由4為銳角，舍去）.綜上，A=B=C,即。為等邊三角形.

~2

7

例3【解答】（1）由題知COS。一"十"L2ah；,因為CG（0,兀），所以C

lab2Gb

n.因為sinC=2cosB,所以cos8=l,

又4￡（0,兀），所以.

42

JI57c，所以sin4=sin5n

（2）由（1）可得,貝|J力=冗一；

41212iIM

2A216+7Gbc

.由正弦定理有,從而4

5兀7Un

2224smsinsin

1234

6+23+18=3?2c=6,S^ABC=1absinC=13+162

-2c=cc-c

42222222一

3+3/=3+3

,所以c=22.

8

產(chǎn)+浮一〃

22bccosZ

變式3【解答】（1）因為〃2=〃+/—2兒COS4所以“十L°=2bc

COS/1cosJ

=2,解得加=1.

?-r-x...—r?cosB-bcosAhsinAcoscosAsinB

(2)由止弦定理可得一=.—.

acosB~\~bcosAcsinAcos5+sin5cosAsinC

sin(A—B)sinBsin(A—B)—sinB,加皿向伯......

—==1,變形可得sin(z4—8n)—sm(z/I+

sin(4+4)sinCA-B)sin(，+A)

S)=sin3,即一2cos4sinB=sinB,又=W(0,n),故sin瓊0,所以cos/=—2.因為力6(。，

11

it),所以sin4=,故besinA=x1x=

22224

隨堂內(nèi)化

1.B【解析】因為三角形有兩解，所以力sin/va。，即?！辏?3,10）,因此由選項

知，只有。=9符合.

2.B【解析】因為(a+c)(sin4—sinC)=b(sin4一sin8),所以由正弦定理得(a—c)(a

—c)=b(a—b),即/—c2=ab—〃，則/+〃—故cosC="+'c2_ab_1

lab2ab2

又OvC，，所以。=".

3

3.C【解析】因為3=兀,〃=9ac＞所以由正弦定理得sin/sinC=fsin2^=1.

3493

由余弦定理可得於=。2+/一知=9訛，即/+。2=13時，根據(jù)正弦定理得sin24+sii?C=

44

13siMsinC=,所以(sin/+sinC)2=sin24+$巾2c+2sinJsinC=，.因為力，C為三角

4124

形內(nèi)角，則sin力+sin。0,所以sin/+sinC=7.

2

4.3310【解析】如圖，在△力8。中，作/。_L8C,垂足為。，則力。=1a,

2103

又8=兀，。=2,在Rt448。中，AB-=AD-^-BD2,HP1a2Va2=2,解得。=3,所以

499

1X74

SMBc=ABBCsinZABD=2x3x/=°.在RtZXXC。中，^C2=JD2+CD2=l+4

2222

=5,所以45，由正弦定嗎;「二屋即:，可得si"=3；。

(第4題)

配套精煉

第24講解三角形

第1課時正弦定理與余弦定理

1.C【解析】在AXBC中，設(shè)角力，B,C的對邊分別為a,b,c,則由余弦定理得

標(biāo)=62+02—2慶854得/-12。+36=0,解得。=6.又如/助。=1-cos?/歷1C=“，

5

1I4

所以S.M8C=z?csin/l=XI0X6X’=24.

225

2.A【解析】由題及正弦定理得sin〃=2sin/sin8,因為〃￡(0,兀)，則sinBW0,

所以l=2sin/,解得sin4=l,所以S》8c=1besinJ=1X4X1=1.

2222

3.A【解析】由蘇一1=c(c—l)=c2—c,得c2—7=c—]因為b=],所以上式可化

為〃+°2—〃2=慶.由余弦定理得cos/l='+ca=1.又力￡(0,71),所以4='.

2bc23

4.A【解析】因為2bcosC=a(2—c),兩邊同時乘以〃得2abeosC=6?(2—c),由余

弦定理可得a2+h2—c2=lahcosC,則a2-{-b2—c2=a2(2—c),所以/十〃一/)2=晨°.又a2-\-c2

—b2=2accosB,所以島=2訛cos4.又,所以a=l.

5.ABC【解析】■于A,cos4>cos8=4<8=sin力〈sin8,故A正確.對于B,由(a

42-r2i

+Z>+c)(a+b—c)=3ah,得/十〃一.由余弦定理得cosC==.因為

lab2

0<C<n,所以。=乳，故B正確.對于C,因為a=7,b=43,c=13,所以

—「272+(J3)2_(13)2q

所以。<83,所以cosC=°十"c=/十="因為0VC5,所以

2ab2X7X432

C=n,故C正確.對于D,由正弦定理得8sB=],即tan8=l,所以4=五，故D錯誤.

6sinB4

6.ABD【解析】因為acos8=/?cos力，所以sin力cos4=sin〃cos力，BPsin{A—B]

=0,又A,8￡(0,7t),所以4=8,故A正確.因為atan力=〃tanB,所以=sin',

cosJCQSB

即1-cosA=1-cos8.因為cos/,cos8同號，所以cos力，cos8只能同時為正，

cosAcosB

cosA,cosB￡(0,1),因為y」一，在(0,1)上單調(diào)遞減，可得cosG=cos8.又4,5G(0,

71),所以A=B,故B正確.因為sin2J+sin25+cos2C<1?所以sin2J+sin25<1—cos2C=sin2C,

由正弦定理可得又由余弦定理得cosC="+'—〃<0,。￡(0,兀)，所以。為鈍

lab

角，所以△44。為鈍角三角形，故C錯誤.由cos2/1+cos2Z?+cos2>—1,所以cos2/l+

cos[(8+O+(8—0]+ccs[(8+C)—(8—C)]>一1,所以2cos24+2cos(8+Qcos(B一Q>0.

因為cusA=—cos(5+C).所以cus力[—cus(5十C)—cus(6—C)]>0,則cusJ(—cusBuusC

+sinBsinC—cosBcosC—sinBsinC)>0,所以cos力cos6cosc<0,故4,B,。中必有一

個是鈍角，所以△4BC為鈍角三角形，故D正確.

7.BD【解析】因為sin/l：sin4：sinC=2：3：4,由正弦定理"="="

sin71sinBsinC

=2H,可得a',b'.c=2：3：4,設(shè)a=2x(.r>0),h=3xfc=4x,則(a+〃)：(〃+c):(。+。)

=5x：lx：6^=5：7：6,故A錯誤：由題意可知，。為最大角，因為cosC="十。仁=

2ab

4燈+9x16'=」<0,所以。為鈍角，故B正確：若°+b+e=18,則。=4,b=6,c

12X24

=8,又cosC=-1,所以sinC=1—cos2c=",所以absinC=

442

1X4X6X15=315,故C錯誤：由正弦定理得2/?=C=1=16",即R=8X.

24sinC15]515

4

由面積公式可得1(a+〃+c)/*=l即IX9xXr=lX2xX3xX”,所以「=Xt

222246

所以R=16,即5R=16r,故D正確.

r5

8.716+63【解析】因為?！辏?,兀），所以sin。0.由已知可得3sinC=2sin。

6

cosC,可得cosC=3,因此c='.由三角形的面積公式可得5布“=IabsinC=3a=

2622

63,解得〃=43.由余弦定理可得〃=〃2+力2-2"cosC=48+36—2X43X6X3=

9

12,所以。=23,所以的周長為〃+方+。=63+6.

9.3【解析】在。中，8=3兀，b=6,a2-\-c2=22ac,由余弦定理得方=/

4

7c

-hc2-2accos4=22ac—2accos3=32ac=36,解得ac=62,所以S少sc=；"csin

4

12

B=X62義=3.

22

10.；【解析】在△48c中，由余弦定理可得/="2+〃-2"cosC,所以c2一〃

(-6]

=6-266X16J,所以9—39+6)=6+28.因為c+6=4,所以4匕一方)=6+26,所

以4c—66=6,解得b=l,。=3.由cosC=-6,可得sinC=.在△48C中，由正弦

66

6X30

定理可得,,所以sin4="sinC=6=5.

sinCsinAc33

11.【解答】(1)△/1萬C為直角二角形，理由如下；iisin7/!-sin7Z?=sin?C_3sinZ?sin

C,得標(biāo)-乂=。2—3卜,即3bc=c2-\-b2—a2,由余弦定理得cos4="十°"=：歷

2bc2bc

3.因為力￡(0,兀)，所以4=%.又2cosZ?=sinC,故2cos4=sin(Z?+/l)=sin

26

3sin8+?cos4,化簡可得sin8=3cosB,故tan4=3.因為8￡((),兀)，所以,

223

C=ir-R-A=n.故八力口。為直角二角形.

2

(2)由(1)知力=7c,B=n，且△力8C為直角三角形.如圖，設(shè)力8=2x,則4C=3x,

63

BC=x,AD={.在△/CO中，由余弦定理可得?！?gt;2=4。2+/02一2力。.力Ceos力，

33

即4=(3)"+(3X)2-2X2XX3xX3,解得/=36,故S=1ADACsinA=

32132

(第11題)

12?【解答】(1)因為acos2；4-ccos2^=；b,所以“(1+