第八章平面解析幾何

第3節(jié)圓的方程直線與圓的位置關(guān)系

■學(xué)習(xí)導(dǎo)航站

匚核心知識(shí)庫(kù)：重難考點(diǎn)總結(jié)，梳理必背知識(shí)、歸納重點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)1圓的定義及方

知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系★★★☆☆

知識(shí)點(diǎn)3直線與圓的位置關(guān)系★★★☆☆

(星級(jí)越高，重要程度越高)

青限時(shí)訓(xùn)練挑戰(zhàn)場(chǎng)：感知真題，檢驗(yàn)成果，考點(diǎn)追溯

【知識(shí)梳理】

知識(shí)點(diǎn)1圓的定義及方程

定義平面內(nèi)到____的距離等于—的點(diǎn)的集合(軌跡)叫做圓

標(biāo)準(zhǔn)圓心C：______

（X-4）2+。-Z?）2=/（7>0）

方程半徑：r

圓心：(一9，—f)

一般『+72+。犬+3+b=0（。2+/

方程—4Q0）半徑一=但產(chǎn)

知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x—。)2+()一8)2=/，點(diǎn)M(xo,和)，

(1)(xo—-h)2___/臺(tái)點(diǎn)在圓H：

(2)(xo—a)2+3)-Z?)2_r<^點(diǎn)在圓外；

(3)(xo—a)?+(yo—〃)點(diǎn)在圓內(nèi).

2.圓的一般方程x2+y2+Dr+E_y+尸=0,點(diǎn)M(xo,yo).

(1)焉+好+?？?互加+產(chǎn)=00點(diǎn)在圓上；

(2)A6+)3+Dxo+Eyi)+F_0C點(diǎn)在圓外；

(3),而+Dxo+Eyo+F_0<=>點(diǎn)在圓內(nèi).

知識(shí)點(diǎn)3直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)直線/：By+C=()(A2+BVO),

圓：(x-6r)2+(y-h)2=?(r>0),

\Aa±Bb±Q

d=為圓心3,。)到直線l的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得

yjA2-\~B2

到的一元二次方程的判別式為A.

方法

幾何法代數(shù)法

相交d____r_O

相切d___rA____()

相離d____r_O

歸納拓展

1.圓心在過切點(diǎn)且垂直于切線的直線上.

2.圓心在任一弦的垂直平分線上.

3.以A(xi,yi),3(x2,>2)為直徑的兩端點(diǎn)的圓的方程是(戈一xi)(x—工2)+。-yi)(y

-.Y2)=O.

注：兒類特殊位置的圓的方程

標(biāo)準(zhǔn)方程的設(shè)法一般方程的設(shè)法

圓心在原點(diǎn)x24-y2=rx2-\-y2—r=O

過原點(diǎn)(x—a)2+(y-b)2=a2+b1/+9+6+玲=0

圓心在x軸上(X—4)2+)2=/f+V+.+QO

圓心在)，軸上/+&-。)2=戶/+V+Ey+/=O

x2+y2+Z)x+Ey+抄=0

與X軸相切(x—a)2+(y—h)2=b2

與y軸相切(x-a)2-\~^-h)2=a1f+尸+Dx+Ey+料=0

4.二兀二次方程AA2+Bxy+Cy1+Dx+Ey+"=0表示圓的條件：

(A=C#O,

{B=O,

ID2+E2-4E>0.

5.(1)過圓/I)2=戶上一點(diǎn)P(刈，川)的圓的切線方程為xuvI)夢(mèng)=戶.

過圓(X—〃)2+(y一份2=/上一點(diǎn)P(xo,yo)的圓的切線方程為(工o—〃)(x—〃)+(yo—

b)(y-b)=i2.

(2)過圓f+)2=/2外一點(diǎn)M(xo,yo)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在的直線方程

為xox-\-yoy=i2.

⑶過圓外一點(diǎn)P(xo,卯)引圓(“一。)2+()一與2=/(/+產(chǎn)+瓜+曰+/7=0)的切線，

則點(diǎn)P到切點(diǎn)的切線長(zhǎng)為(l=yj(xo—a)2+(j'o—b)2—r(d=-\lxQ-iyi+Dxo+Eyo~\~F).

【隨堂訓(xùn)練】

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“或“X”)

(1)確定圓的兒何要素是圓心與半徑.()

(2)圓心為(1,一1)且過原點(diǎn)的圓的方程為。+1)2+()，-1)2=2.()

(3)若A(2,0),B(0,一4),則以42為直徑的圓的方程為(工一1)2+()，+2)2=5.()

(4)方程。+。)2+()，+〃)2=[”￡對(duì)表示圓心為(4,匕)，半徑為，的圓.()

(5)已知方程f+)，2-2〃tr+4y+5=0表示圓，則m的取值范圍是(1,+8).()

題組二走進(jìn)教材

2.(選擇性必修IP88T4)圓。的圓心在x軸上，并且過點(diǎn)A(—1,1)和8(1,3),則

圓C的方程為.

3.(選擇性必修IP98T2(1))以點(diǎn)(2,—1)為圓心且與直線3%—4)，+5=0相切為圓

的方程為()

A.。-2)2+。+1尸=3

B.。+2)2+任一1尸=3

C.(x-2)2+U+1y=9

D.(x+2>+(廠1尸=9

題組三走向高考

4.(2022?全國(guó)甲卷)設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y—1=()上，點(diǎn)(3,0)和(()/)均在。M上，

則0M的方程為.

5.(2023?高考全國(guó)乙卷)已知實(shí)數(shù)x,y滿足f+yJ4人-2y—4=(),則x—y的最

大值是()

A.1+乎B.4

C.14-3^2D.7

【必練核心題型】

考向一圓的方程——自主練透

1.圓C的半徑為2,圓心在x軸的正半軸上，直線3x+4.y+4=（）與圓。相切,

則圓C的方程為（）

A.x2+/-Zr-3=0B.爐+），2一?=0

C.x2+9+4X=0D.f+），2+2_r-3=0

2.（2022.高考全國(guó)乙卷）過四點(diǎn)（0,0）,（4,0）,（-1,1）,（4,2）中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方

程為.

3.（2024.湖北武漢部分學(xué)校調(diào)研）圓心在直線x+y-l=0上且與直線2r-y-1

=0相切于點(diǎn)（1,1）的圓的方程是.

【變式訓(xùn)練】

1.已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)歷（0,#）在圓。上，且圓心到直線

2x-y=0的距離為羋，則圓C的方程為.

2.（2025河南安陽調(diào)研）過點(diǎn)（0,2）且與直線），=》一2相切，圓心在x軸上的圓的

方程為（）

A.（x十1）2+），2—3B.（%十1）2+尸一5

C.（尤+2）2+），2=4D.（x+2）2+y2=8

考向二直線與圓的位置關(guān)系——自主練透

1.（2024?河北滄州二模）若點(diǎn)人（2,1）在圓f+）2—2〃吠-2），+5=0（機(jī)為常數(shù)）外，

則實(shí)數(shù)〃2的取值范圍為（）

A.（一8,2）B.（2,一8）

C.（一8,—2）D.（—2,+8）

2.（多選題）（2025?河南濮陽質(zhì)檢）已知直線y=x與圓￡＞：/+產(chǎn)―？/町，=4一陽?有

兩個(gè)交點(diǎn)，則整數(shù)機(jī)的可能取值有（）

A.0B.-3

C.1D.3

3.（2025?遼寧三校質(zhì)檢）若直線/：），=入+3T與曲線C：1一f恰有兩個(gè)交

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)Z的取值范圍是（）

A.修+8惇2

B.

C.(0,§~4

D.2

4.（2025?湖北部分學(xué)校質(zhì)檢）若圓Cf+V—2x—6y+l=0上恰有三點(diǎn)到直線/：

y=丘的距離為2,則攵的值為（）

A1B3

A.264

4

C.]D.2

【變式訓(xùn)練】本例4中，若圓C上到直線加：x-2），+c=0的距離為2的點(diǎn)至少

有三個(gè)，則c的取值范圍為.

【變式訓(xùn)練】

1.（多選題）（2021?新高考II卷）已知直線/：or+Ay—/=0與圓C：久2+）2=產(chǎn)，

點(diǎn)4。，與，則下列說法正確的是（）

A.若點(diǎn)A在圓。上，則直線/與圓C相切

B.若點(diǎn)A在圓。內(nèi)，則直線/與圓。相離

C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線/與圓C相離

D.若點(diǎn)八在直線/上，則直線/與圓。相切

2.（2024.江蘇南京模擬）圓C：f+。，-2）2=/?2（氏＞（））上恰好存在2個(gè)點(diǎn)，它到直

線y=y[3x-2的距離為1,則R的一個(gè)取值可能為（）

A.1B.2

C.3D.4

考向三圓的切線——師生共研

1.（2024.浙江強(qiáng)基聯(lián)盟聯(lián)考）過圓f+），2=l上點(diǎn)《一冬半）的切線方程為

2.（2024?四川達(dá)州外國(guó)語學(xué)校測(cè)試）已知圓C：（x+1）2+（），-2/=4,則過點(diǎn)打1,3）

與圓。相切的直線/的方程為.

【變式訓(xùn)練】本例2中過兩切點(diǎn)的直線方程為.

【變式訓(xùn)練】（2025?河南鄭州階段測(cè)試）平行于直線2r+y+1=0旦與圓A2+.y2=5

相切的直線的方程是（）

A.21+），+5=0或2x+y—5=（）

B.2x+y+小=0或2r+y—小=0

C.2x—y+5=0或2x一廠5=0

D.2x—y+小=0或2x一廠#=0

考向四與圓有關(guān)的最值問題——多維探究

1.角度1直線型、距離型最值

（多選題）（2025?湖北武漢江夏一中、漢陽一中聯(lián)考）已知實(shí)數(shù)x,），滿足曲線C的

方程f+），2—2x—2=0,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.f+V的最大值是小+1

B.1+］的最大值是2+般

C.卜一），+3］的最小值是2啦一,

D.過點(diǎn)（0,6）作曲線C的切線，則切線方程為x—也），+2=0

角度2線段和、差的最值

2.（2024?江蘇鎮(zhèn)江二模j已知。C。-1）2+（），-1/=3,點(diǎn)A為直線/：），=一1上

的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線與。。相切于點(diǎn)P,若。（一2,0）,則依P|+|AQ的最小值

為.

角度3面積型最值

3.（2025.云南昆明一中雙基檢測(cè)）已知圓0：，+>2=2.點(diǎn)Q為直線/：、+），一4

=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，QE,Qb是圓C的兩條切線，E,尸是切點(diǎn)，當(dāng)四邊形OEQF

面積最小時(shí)，直線石廠的方程為（）

A.x+y—1=0B.x-y+1=0

C.工+2），-1=0D.x—2j+1=0

【變式訓(xùn)練】

1.（角度1）（2025?貴州聯(lián)考）若點(diǎn)P在曲線Cx2+），2-2L6），+1=0上運(yùn)動(dòng),則士

AI

的最大值為.

2.（角度2）（2024?江蘇徐州銅山區(qū)調(diào)研）已知圓Ci：（X——2產(chǎn)=1,圓C2：

（1-3）2+（），+4）2=4,M,N分別是圓G,C2上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是x軸上動(dòng)點(diǎn)，則|PM

一|PM|的最大值是（）

A.2P+3B.2V5+5

C.2也+3D.2v1^+5

3（角度3（2024.湖南“一起考”大聯(lián)考）直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于

A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓（九-2）2+,，2=2上，則△A5P面積的取值范圍是（）

A.[2,6B.[4,8

C.詆372D.[2隹3啦

【知識(shí)拓展】圖系的方程

1.（2025?河北保定部分學(xué)校月考）圓心在直線x-y-4=0上，且過兩圓x2+）2—4%

-6=0和f+）2—4y—6=0的交點(diǎn)的圓的方程為.

[分析此題若求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)算繁瑣，注意到兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程

y2—4x—6+41+），2—4y—6）=0,故只需根據(jù)題意求出2,并判斷其為圓的方程

即可.

【變式訓(xùn)練】

經(jīng)過直線x~2y=0與圓/+產(chǎn)一4x+2.y—4=0的交點(diǎn)，且過點(diǎn)（1,0）的圓的方程

為.

【限時(shí)訓(xùn)練】（限時(shí)：60分鐘）

【基礎(chǔ)必刷題】

一、單選題

1.（2025?湖北云學(xué)名校聯(lián)盟調(diào)研）如果直線辦+辦=4與圓f+），2=4有兩個(gè)不同

的交點(diǎn)，那么點(diǎn)P（〃，份與圓的位置關(guān)系是（）

A.尸在圓外

B.P在圓上

C.尸在圓內(nèi)

D.P與圓的位置關(guān)系不確定

2.（2025?山西臨汾模擬）己知直線I過圓/一公+產(chǎn)=0的圓心，且與直線2t+y

-3=0垂直，則/的方程為（）

A.x—2），+1=0B.x+2>—1=0

C.2x+），-2=0D.x-2y-\=0

3.（2024?河南洛陽期中）如圖，一座圓拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時(shí)，水面寬12米，

則當(dāng)水面下降1米后，水面寬為（）

A.四米B.而米

C.2小米D.2病米

4.已知直線力+4），-4=0與圓。相切于點(diǎn)7（0,1）,圓心。在直線x—y=0上,

則圓C的方程為（）

A.（x—3）2+（），一3y=13

B.（x—3）2+。+3）2=25

C.（*+3）2+。，—3>=13

D.（X+3）2+（），+3）2=25

5.（2024.湘豫名校聯(lián)考）已知直線A力與圓C：（九一1）2+（），+1/=9相

切，則實(shí)數(shù)力=（）

A.8—2/或一10一2班

B.-11或9

C.11或一9

D.—8+2&或10+26

6.（2024.江蘇常州一中調(diào)研）點(diǎn)y）在曲線y=、"二？一2上，則|31一4），+4］的

取值范圍為（）

2_18

A.予~5B.[2,18

1

C.[1,9D.

7.（2024.湖南部分校摸底）若圓心在第一象限的圓過點(diǎn)（2,0）,且與兩坐標(biāo)軸都相

切,則圓心到直線2x+y—11=0的距離為（

A.1B.

C.2D.小

8.（2024.河南鄭州外國(guó)語學(xué)校月考）--條光線從點(diǎn)（一2,—3）射出，經(jīng)y軸反射后

與圓（x+3）2+G，-2產(chǎn)=1相切，則反射光線所在直線的斜率為（）

32

A.B.

53

43

C.D.

54

9.（2025?湖北武漢江夏一中、漢陽一中聯(lián)考）若圓/+），2+以-4），-10=0上至少

有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線/：。工+b，=0的距離為2\伉，則直線/的斜率的取值范圍

是（）

A.|2一小，2+小B.[—2—小，—2+S

C.[-2一小.2+5D.[—2—小，2一5

二、多選題

10.（2025?貴州貴陽摸底）在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線，加一），+1=0與圓x2

+V=2的位置可能為（）

11.（2025?湖南部分學(xué)校聯(lián)考）己知直線A?+l）x+2y+2加-2=0與圓C：/

+/-2y-8=0,貝1」（）

A.直線/與圓C一定相交

B.直線/過定點(diǎn)（一2,2）

C.圓心。到直線/距離的最大值是2吸

D.使得圓心。到直線/的距離為2的直線/有2條

三、填空題

12.(2024.廣東摸底聯(lián)考)己知直線/：4x—3y—4=0,請(qǐng)寫出一個(gè)滿足以下條件

的圓M的方程____________.

①圓M與x軸相切；

②圓M與直線/相切；

③圓M的半徑為2.

13.(2023?廣東佛山模擬)己知點(diǎn)41,0),8(3,0),若防麗=2,則點(diǎn)P到直線/：

3x-y+4=0的距離的最小值為.

14.(2022.新課標(biāo)II卷j設(shè)點(diǎn)4(-2,3),B(0,a),直線AB關(guān)于直線y=a的對(duì)稱

直線為/,已知I與圓C：。+3)2+。+2)2=1有公共點(diǎn)，則a的取值范圍為

四、解答題

15.(2024.河南許昌中學(xué)定位考試)已知圓C過點(diǎn)”(0,-2),N(3,l),且圓心C

在直線x+2)，+l=0上.

⑴求圓。的方程；

⑵設(shè)直線公一)，+1=0與圓。交于4,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)小使得過點(diǎn)C2,0)

的直線/垂直平分弦AB?若存在，求出賣數(shù)〃的值：若不存在，請(qǐng)說明理曰.

【鞏固必刷題】

1.(2023?貴州銅仁適應(yīng)性考試)過