2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之復(fù)數(shù)

一.選擇題（共8小題）

1.已知復(fù)數(shù)z=4?3i,則復(fù)數(shù)（1+iR的虛部為（）

A.1B.7C.iD.7/

對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）則復(fù)數(shù)馬勺虛部為（

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z2,1,

Z

4

343-

A.-iB.-iiC.-D.5

555

3.若z=—―q—1,則|z|=()

(1+0

V2J2\<10

A.--1B.1一浮C.—D.

222

()

4.已知復(fù)數(shù)z=l+2i,M|i|=

匹

A.V5B.V3C.--D.

35

5.已知復(fù)數(shù)z=（其中i為虛數(shù)單位），則團(tuán)=（)

V5V2廠

A.—B.—C.v2D.V5

52

6.設(shè)Z=-2+）,則5在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4z—i

7.已知復(fù)數(shù)z滿足——=-2i,則z的虛部為（）

Z

1111

A.-iB.——iC.-D.

510510

8.已知復(fù)數(shù)z滿足z(1?i)=4-i,則z的虛部為()

33C33

--一---

A.2B.22D.2

二.多選題（共4小題）

（多選）9.若z在復(fù)平面內(nèi)時應(yīng)的點(diǎn)為4z+2z=3+V3i,則（）

A.z的實(shí)部為1

B.z的虛部為一遍

C.|z|=4

57r

D.立線OA的傾斜角為丁

（多選）10.已知復(fù)數(shù)Z|和22在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)Z］和Z2，且滿足Izil=l,Z2=izi，貝Ij（）

A.|Z2|=1B.zf=—Z2

C.|Z22|=1

D.OZX10Z2

（多選）11.在復(fù)平面內(nèi)，下列說法正確的是（）

A.復(fù)數(shù)z=l-2i,則5在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限

B.若復(fù)數(shù)Z|,Z2滿足|Z1+Z2|=|Z1?Z2|，則Z1Z2=O

C.若閔=1,zee,則|z-2|的最小值為1

D.若-4+3i是關(guān)于x的方程f+px+q=O（p,t/GR）的根，則〃=6

（多選）12.已知關(guān)于復(fù)數(shù)z的方程組伊5+20；12|=S：（々￡幻有且僅有一個復(fù)數(shù)解，則人的值

（\z-4-k\=\z-3i-k\

可能是（）

651231523

A.-B.-----C.-D.一

4848

三.填空題（共4小題）

13,復(fù)數(shù)z滿足z（2+i）=7+i,ffl|z-z|=.

14.若z（1+/）=1-2i,貝i]z=.

15.已知復(fù)數(shù)z=4?3i,則復(fù)數(shù)（1+iR的虛部為.

16.已知z二弟，其中i為虛數(shù)單位，PWlz-2/|=.

4II

四.解答題（共4小題）

17.己知。為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)zi=a-2i,Z2=a+3i,\z2\=y/2\Z1\,復(fù)數(shù)Z2在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象

限.

（1）求a的值;

（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zi，Z2對應(yīng)的向量分別是后,0B,其中0是原點(diǎn)，求NA08的大小.

18.在①復(fù)數(shù)z滿足z+i和三均為實(shí)數(shù)：⑦5為復(fù)數(shù)z的共枕復(fù)數(shù)，且z（l+i）=5+1；③復(fù)數(shù)z=a+bi

（aeR,〃V0）是關(guān)于x方程--4戶5=0的一個根，這二個條件中任選一個（如果選擇多個條件分別

解答，按第一個解答計(jì)分），并解答問題：

（1）求復(fù)數(shù)z；

（2）在復(fù)平面內(nèi)，若Zi=5+A+（m2+m—3）i對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

19.已知復(fù)數(shù)z=3+〃?i,其中R.

（1）設(shè)zi=（1+3/）z,若zi是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)"7的值;

(2)設(shè)〃?=-1,分別記復(fù)數(shù)z、z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為A、B,求04與。8的夾角的余弦值以及0A在

荒上的投影向量的坐標(biāo).

20.己知復(fù)數(shù)z=(a2+a-2)+(a2-7a+6)2其中aWR.

(1)若zWR,求4的值；

(2)若z對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求。的取值范圍.

2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之復(fù)數(shù)（2025年10月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

題號1235678

答案BDcDCBCA

二,多選題（共4小題）

題號9101112

答案ABABDACBD

一,選擇題（共8小題）

1.已知復(fù)數(shù)z=4?3i,則復(fù)數(shù)（l+i）2的虛部為（）

A.1B.7C.iD.7/

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.

【專題】對應(yīng)思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【解答】解：由復(fù)數(shù)z=4-3i,可得2=4+3K

則（1+0z=（1+0（4+3i）=4+7i+3tz=l+76

則其虛部為7.

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查復(fù):數(shù)的概念與運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,1）,則復(fù)數(shù)4的虛部為（）

z

3434

A----

5B.55D.5

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義寫出復(fù)數(shù)2.再利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出復(fù)數(shù)3即得其虛部.

Z

【解答】解：復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,1）,

則z=2+i,

z2-i(2-i)234.

其虛部為-春

z-2+i-(2+i)(2-i)-55

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查更數(shù)的四則運(yùn)算,以及復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

3.若z=」一0—1，貝U|z|=（）

（1+0

A.--1B.1-孝x<io

c.—D.V10

222

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；復(fù)數(shù)的模.

【專題】對應(yīng)思想；分析法；數(shù)系的擴(kuò)充和史數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)Z,再計(jì)算其模即可.

【解答】解：因?yàn)?=4-1=解一1=與曲。-1=+一

（1+。/2121?（一（）2I

所以|Z|=J（—卞2+（_》2=乎.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

4.己知復(fù)數(shù)z=l+2i,則由=（）

Z

LLO

A.V5B.V3C.一

3

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模.

【專題】整體思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】。

【分析】根據(jù)共輾復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)模的性質(zhì)求|外.

【解答】解：復(fù)數(shù)z=l+2i,

M.l,l.|1|111店

則|金=同=0=而罰=苫=于

故選：。.

【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知復(fù)數(shù)2=福（其中i為虛數(shù)單位），貝旭=（）

XI乙L

\［5\［2LL

A.—B.—C.x/2D.V5

52

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模；復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算.

【專題】方程思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)：運(yùn)算求解..

【答案】C

［分析］借助更數(shù)運(yùn)算法則結(jié)合模長定義計(jì)算即可得.

【解答】解：由題意,\z\=11^14L==V2.

I1+ZilV1+4

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的模長，屬于基礎(chǔ)題.

6.設(shè)z=-2+/,則5在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；共扼復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析］根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

【解答】解：z=-2+；=—2-3

則5=-2+3

故5在夏平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)（-2,1）位于第二象限.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考克復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

4z-i

7.已知復(fù)數(shù)z滿足——=-2i,則z的虛部為（）

z

1111

A.—iB.—iC.-D.—

510510

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求出結(jié)果.

【解答】解：因?yàn)槎?_2〃

所以4/z+l=2z,

所以1=(2-4/)z,

所以z==?-:藍(lán)+4廣等=）所以z的虛部為丁

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考杳復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

8.已知兔數(shù)z滿足z（1-i）=4則z的虛部為（）

373

A.-B.C.-I

222

【考點(diǎn)】復(fù):數(shù)的除法運(yùn)算；復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.

【專題】對應(yīng)思想；分析法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】A

【分析】首先利用除法運(yùn)算公式化簡復(fù)數(shù)z,再求虛部.

53

【解答】解：由（力得=蕓==皂段=-+-

z1-=4?i,z22

3

所以Z的虛部是3

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

二,多選題（共4小題）

（多選）9.若z在狂平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為4z+2z=3+V3i,則（）

A.z的實(shí)部為1

B.z的虛部為-V5

C.|z|=4

57r

D.直線。4的傾斜角為二-

6

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.

【專題】對應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】AB

【分析】設(shè)z=x+W（x,）€R）,代入z+22=3+百K利用復(fù)數(shù)相等的條件求解x,>'的值判斷A與B；

求出復(fù)數(shù)的模判斷C求出直線04的傾斜角判斷D

【解答】解：設(shè)z=x+yj（x,『ER）,由z+25=3+V5i,

得x+yi+2（x-yi）=3x-=34-V3i,

即3x=3,-y-V3,解得遮，故4、8正確;

2

|z|=J12+(-V3)=2,故C錯誤；

z對應(yīng)的點(diǎn)A為(1,-V3),所以直線OA的傾斜角為弓，故。錯誤.

故選：AB.

【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

(多選)10.已知復(fù)數(shù)zi和Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)Zi和Z2，且滿足團(tuán)|=1,Z2=izi，則()

A.|z2|=lB.zl=-zf

C.\Z^Z2\=1D.0Z110Z2

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復(fù)數(shù)的模.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；優(yōu)選法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】ABD

【分析】根據(jù)更數(shù)模長的運(yùn)算公式判斷4正確；然后設(shè)z尸cosO+isind則Z2=-sin0+/cosG,RlJZ.(cos0,

sinG),Z2(-sine,cosG),然后根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算和向量的模長與坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷C8O的正誤.

【解答】對于4，|z2|="zi|=Wx|zi|=l,所以A1E確；

設(shè)zi=cosB+isine,MZ2=~S：n0+/cos6,則Zi(cos6,sinO),Z2(-sin6?cos8)

對于從因?yàn)?/p>

zl+zI=(cosG+isinOy+(~sin64-icosG)2=(cos20-sin26+isin20')+(sin20—cos26-

isE28)=0,所以月正確；

卜

222

對于C,因?yàn)閨Z工2產(chǎn)_應(yīng)2-OZJ=-2成?0Z2+0Z2，

=1-2(-sinecosG+sinBcose)+1=2,所以|2工21=&，所以C錯誤；

對于。，0Z]=(cos。,sinO),0Z2=(—sinO,cos。)，

—?T

則OZ]?0Z2=(cos。,sinO)■(—sinO,cos。)=—sinOcosO+sinOcosO=0,

所以O(shè)%JLOZ，所以O(shè)正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)評】本題主要考杳好數(shù)的四則運(yùn)算，好數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

(多選)11.在夏平面內(nèi)，下列說法正確的是()

A.復(fù)數(shù)z=l-2i,則5在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限

B.若復(fù)數(shù)Z|,Z2滿足|z[+Z2l=|z]-Z2I，則Z[Z2=0

C.若|z|=l,zEC,則|z?2］的最小值為1

D.若-4+3/'是關(guān)于x的方程f+px+qn。（〃，qER）的根，貝ljp=6

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復(fù)數(shù)的模.

【專題】對應(yīng)思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】AC

【分析】根據(jù)共規(guī)復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式，結(jié)合復(fù)數(shù)模的幾何意義、實(shí)系數(shù)一元二次方程根的

性質(zhì)逐一判斷即可.

【解答】解：由z=l-2八得2=l+2i,則5在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)（1,2）位于第一象限，故A正確；

設(shè)zi=l,Z2=i,則％+Z2I=|1+i|二e，|zi-Z2|=|1-/|=V2,

但是Z］Z2=#0，故8錯誤；

由|z|=l,zGC?設(shè)z=cos6+isinB,

得|z一2|=\cos6-2+isinO\=yJ^cosO-2）2+sin20=>/cos20+4-4cos6+sin23=V5-4cos6,

當(dāng)cos0=l時,|z?2］的最小值為1,故C正確;

已知-4+3i是關(guān)于x的方程/+px+q=O（p,qER）的根，

則-4-3/也是關(guān)于x的方程/+px+q=O（p,qWR）的另一根，

由根與系數(shù)的關(guān)系得-4+3升：-4-3i）=-p,即〃=8,故。錯誤.

故選：AC.

【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考杳復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

（多選）12.已知關(guān)于復(fù)數(shù)z的方程組1產(chǎn)5+20；12|=5；（々WR）有且僅有一個復(fù)數(shù)解，則人的值

（\z-4-k\=\z-3i-k\

可能是（）

651231523

A.-B.-----C.—D.一

4848

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的相等.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】BD

【分析】先將已知方程組有--解轉(zhuǎn)化為直線和圓的位置關(guān)系，進(jìn)而應(yīng)用點(diǎn)到直線距離計(jì)算求解?.

【解答】解：由［手中。二z|=5：（（kER）有且僅有一個復(fù)數(shù)解，

］z-4-k\=\z-3i-k\\

可知以（25,20）為圓心，5為半徑的圓與點(diǎn)（4+4，0）與（匕3）所連線段的垂直平分線相切，

點(diǎn)（4+匕0）與（k,3）所連線段的中點(diǎn)為（2+匕|）,斜率為一/

可得垂直平分線為/：8x-6y?弘?7=0,

由點(diǎn)到直線距離公式有1x25-萼當(dāng)8k-7|=5,即,3.幽=50,解得k=學(xué)或胃.

V82+6288

故選：BD.

【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)相等的定義，考杳劃歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

三,填空題(共4小題)

13.復(fù)數(shù)z滿足z(2+/)=7+/,則|/一切=2.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】2.

【分析】由已知利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算求解z,進(jìn)?步得到作則|z-N可求.

【解答】解：由z(2+/)=7+/,得z==(二.Ji=3_i,

/十I1/十1)(2-I)□

則5=3+3可得z—5=3—i-3—i=-23

則|z-N=|-2i|=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

10

14.若z(1+i)—1-2/>則z—一/一,i.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)第.

【專題】對應(yīng)思想；分析法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

(答案1—i—ii.

【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【解答】解：因?yàn)閦(l+i)=1-2/,所以z=44=需幫*=一寺一)

故答案為:

【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

15.已知復(fù)數(shù)z=4-3i,則復(fù)數(shù)(l+i)2的虛部為」.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部；共挽復(fù)數(shù).

【專題】對應(yīng)思想；分析法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)：運(yùn)算求解.

【答案】7.

【分析】根據(jù)共機(jī)亞數(shù)的定義以及乘法運(yùn)算法則，結(jié)合虛部定義可得結(jié)果.

【解答】解：由復(fù)數(shù)z=4?3i,得5=4+3i,

則（l+i?=（1+力（4+3Z）=1+7/,

因此更數(shù)（1+i7的虛部為7.

故答案為：7.

【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

16已知z=舞，其中i為虛數(shù)單位，則|z?2i|=_V5_.

4l"I

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算.

【專題】對應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】V5.

【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)除法求出z,再利用復(fù)數(shù)模的意義求解.

【解答】解：由2=黑病?=妻旦=2+八

得z?2i=2+i-2i=2??,

所以|z-2i\=44+1=A/5.

故答案為：V5.

【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

四.解答題（共4小題）

17.已知。為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)zi=a-2i,Z2=〃+3i,憶2|二a|z/,復(fù)數(shù)Z2在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象

限.

（1）求〃的值；

（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zi，Z2對應(yīng)的向量分別是0B,其中。是原點(diǎn)，求NA08的大小.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解.

【答案】（1）I；

3

（2）-7T.

4

【分析】（1）利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算建立方程，結(jié)合象限條件篩選出4的值；

（2）通過向量對應(yīng)關(guān)系，用點(diǎn)積公式求夾角，結(jié)合余弦值與角度范圍確定結(jié)果.

222222

【解答】解：（1）zi=a-2i,Z2=a+3i,則|z/=yja4-（-2）=Va+4,\z2\=Va+3=Va+9,

由％|=V2|zj|,得"a2+9=y/2?yja2+4,

兩邊平方化簡：/+9=2(/+呼,即/=],解得。=±],

因Z2對應(yīng)點(diǎn)在第一象限，實(shí)部。＞0,故4=1.

(2)當(dāng)〃=1時，zi=l-2i對應(yīng)A=(1,-2),22=1+3,?對應(yīng)稔=(1,3),

計(jì)算&?d=1x1+(-2)x3=-5,

22

|O4|=712+(-2)2=Vs,|J^|=V1+3=V1O,

由，…=喘焉=意箍=一冬

又NAOB[0,n],故,力08=季

【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算、復(fù)平面象限性質(zhì)，以及向量夾角與復(fù)數(shù)的關(guān)聯(lián)，屬于基礎(chǔ)題.

18.在①復(fù)數(shù)Z滿足z+i和七均為實(shí)數(shù)；⑦5為復(fù)數(shù)Z的共桅復(fù)數(shù)，月2（1+0=2+1；③復(fù)數(shù)z=〃+6

（?GR,b<0）是關(guān)于x方程7-4x+5=（）的一個根，這三個條件中任選一個（如果選擇多個條件分別

解答，按第一個解答計(jì)分），并解答問題：

（1）求更數(shù)z；

（2）在復(fù)平面內(nèi)，若的=5+[+（771?+m一3），對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

【考點(diǎn)】共枕復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】整體思想：粽合法：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)：運(yùn)算求解.

【答案】⑴z=2?i；

1

（2）（0,1）U（-2,

2

【分析】（1）根據(jù)所選條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可求解;

（2）先對已知復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡，然后結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可建立關(guān)于m的不等式，可求.

【解答】解：（1）設(shè)2="次（a,b為實(shí)數(shù)）,

若選①復(fù)數(shù)z滿足z+i和二均為實(shí)數(shù),

za+bi(a+bi)(2+i)=91為實(shí)數(shù),

則z+i="+(/?+1)i為實(shí)數(shù),

2-i-2-1(2+i)(2-i)

所以｛上:2,解得歷2,47,

所以z=2-/；

若選②5為復(fù)數(shù)z的共聊復(fù)數(shù)，且z（l+i）=5+l；

則Ca+bi)(1+i)=a-bi+\,

即a-h+(a+b)i=a+\-hi,

所以=Qjl,解得力=_1,〃:？，

la4-b=-b

所以z=2-i；

若選③復(fù)數(shù)z=a+歷(a￡R,Z?<0)是關(guān)于x方程，-4x+5=0的一個根，

貝ij(a+bi)2-4(a+〃)+5=0,即j-加。加可+(2必?4￡，)i=O,

所以J-//-4a+5=0,2ab-4b=0,bVO,

所以a=2,b=-1,z=2-ii

(2)若Zi=5+[+(m2+m—3)i=2+/'+'+(nr+m-3)i=2+、+(?+〃？-2)i對應(yīng)的點(diǎn)(2+、，

m2+m-2)在第四象限，

則〃?2+〃?-2V0,2+^X),

解得0V/〃VI或-2Vm<1.

故"1的取值范圍為(0,I)u(-2,1).

【點(diǎn)評】本題主要考杳了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.已知復(fù)數(shù)z=3+〃”，其中〃正R.

(1)設(shè)司=(1+3/)z,若zi是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

(2)設(shè)〃?=-1,分別記復(fù)數(shù)z、z?在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為A、B,求小與茄的夾角的余弦值以及A在

治上的投影向量的坐標(biāo).

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn)；平面向量的投影向量.

【專題】計(jì)算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】⑴m=l；

3A/T0129

(2)-------；(——，—p).

1055

【分析】(1)由zi=(l+3i)析+mi)=3-3/〃+(9+〃?)i,利用zi是純虛數(shù)求解；

(2)由m=-1,得到z=3?i,/=8?6,從而A(3,-1),B(8,-6),再利用占在晶上的數(shù)量積

投影向量公式求解即可.

【解答】解：(1)zi=(1+33(3+加)=3-3〃?+(9+〃?)i,

因?yàn)閦i是純虛數(shù)，所以3?3陽=0且9+小邦，

解得m=\；

(2)當(dāng)加=-1時，z=3-i,故A(3,-1),0A=(3,-1),

d=(3?i)2=8-6i,故8(8,-6),OB=(Q,-6),

設(shè)V&,OB>=0,

hlllcOAOB30_3710

則cosJ=------—-

|。川］。8|7101010

—?

t-*-*OB!—3VTo112Q

所以O(shè)A在OB上的投影向量為KM|cos8?r-=V10x-------x—x(8,-6)=(一,一J),

\OB\10105b

TT12Q

即。力在08上的投影向量的坐標(biāo)為(W，—，

【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

20.已知復(fù)數(shù)2=(?2+A-2)+(a2-7?+6)i,具中aWR.

(1)若z€R,求。的值；

(2)若z對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求〃的取值范圍.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)：運(yùn)算求解.

【答案】(1)a=\或a=6；

(2)aE(-8,-2)U(6,+oo).

【分析】(1)復(fù)數(shù)z=〃+/;i(a,/走R)表示實(shí)數(shù)，只須。=0,求解即可;

(2)復(fù)數(shù)z=a+4(〃，〃￡R)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，只須解不等式組即可.

U>0

【解答】解：(1)因?yàn)閦WR,所以“2-74+6=0,解得。=1或。=6；

a2+tz-2>0

(2)由已知可得

a2—7a+6>0

解得(-co,-2)U(6,+oo),

所以。的取值范圍為加(-8,-2)U(6,+8).

【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

考點(diǎn)卡片

1.平面向量的投影向量

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

投影向量是指一個向量在另一個向量上的投影.投影向量可以月來求兩個向量之間的夾角，也可以用來求

一個向量在另一個向量上的分解.

設(shè)了是兩個非零向量，AB=a,CD=b,考慮如下的變換：過AB的起點(diǎn)人和終點(diǎn)8分別作所在直線

的垂線，垂足分別為4,叢,得到稱上述變換為向量Z向向量1投影，A"力叫做向量;在向量了上的

投影向量.

向量Ta在向量力T上的投影向量是|Ta|cos6?3卜.

網(wǎng)

【解題方法點(diǎn)撥】

投影，是一個動作.投影向量，是一個向量.我們把而|cos。叫作向量；在向量1上的投影.那么投影向量

可以理解為投影數(shù)最乘上一個方向上的單位向量.

（I）向曷最在向量力上的投影向量為|Q|"COS。（其中"為與匕同向的單位向量），它是一個向吊:，旦與b共線，

其方向由向量云和片夾角0的余弦值決定.

（2）注意：3在了方向上的投影向量與1在之方向上的投影向量不同，不在2方向上的投影向量為由cos。a

而

【命題方向】

（I）向量分解：將一個向量分解成與另一個向量垂直和平行的兩個部分.

（2）向量夾角計(jì)算：通過求兩個向量之間的夾角，則可以判斷它們之間的關(guān)系（如垂直、平行或成銳角

或成鈍角）.

（3）空間幾何問題：求點(diǎn)到平面的距離.

2.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

i是數(shù)學(xué)中的虛數(shù)單位，?=-i,所以i是-I的平方根.我們把"方的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，把。=0且屏0的數(shù)

叫做純虛數(shù)，存0,且〃=0叫做實(shí)數(shù).復(fù)數(shù)的模為而不京.形如旄R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中

〃分別是它的實(shí)部和虛部.

【解題方法點(diǎn)撥】

-分解復(fù)數(shù)：通過給定的復(fù)數(shù)表達(dá)式，提取實(shí)部和虛部.

-應(yīng)用：在復(fù)數(shù)運(yùn)算中，分開處理實(shí)部和虛部，簡化計(jì)算過程.

【命題方向】

-實(shí)部與虛部的提?。嚎疾槿绾螐膹?fù)數(shù)表達(dá)式中提取實(shí)部和虛部.

-實(shí)部虛部的運(yùn)算：如何利用實(shí)部和虛部進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算和解決問題.

若叁數(shù)z=a2-3+2川的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)。=

解：若復(fù)數(shù)z=〃2-3+23的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，

則〃2-3+2a=0,解得：。=-3或。=1,

故答案為：-3或1.

3.復(fù)數(shù)的相等

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

笈數(shù)21=.+歷i和z2=a2+b2i相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等，即和歷=歷.

【解題方法點(diǎn)撥】

-比較分量：通過比較兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，判斷它們是否相等.

-應(yīng)用：在復(fù)數(shù)方程中使用復(fù)數(shù)相等的條件求解未知數(shù).

【命題方向】

-復(fù)數(shù)相等的判定：考查如何根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部判斷復(fù)數(shù)的相等.

-復(fù)數(shù)方程的應(yīng)用：如何在復(fù)數(shù)方程中應(yīng)用復(fù)數(shù)相等的性質(zhì).

4.復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義

【知識點(diǎn)的認(rèn)識】

1、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法

建立了直角坐標(biāo)系來表示奧數(shù)的平面叫做更平面.在亞平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，1y軸叫做虛軸，x軸的單

位是1，y軸的單位是i，實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)叫做原點(diǎn)，且原點(diǎn)（0,0）,對應(yīng)復(fù)數(shù)0.即復(fù)數(shù)z=a+/?T復(fù)

平面內(nèi)的點(diǎn)z（a,b）-平面向量

2、除了復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量的一-對應(yīng)關(guān)系外，還要注意：

（1）\z\=\z-0\=a（a>0）表示且數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為a；

（2）|z-zo|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)z0對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.

3、復(fù)數(shù)中的解題策略：

（I）證明復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的策略：

@z=?+Z?/GR<=>/?=0（a,/?GR）；?ZER^Z=Z.

（2）證明復(fù)數(shù)是