通州區(qū)2025-2026學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)期中質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試卷

考生須知：

1.本試卷共8頁(yè)，共三道大題，28個(gè)小題，滿分為100分，考試時(shí)間為120分鐘.

2.請(qǐng)?jiān)谠嚲砗痛痤}卡上準(zhǔn)確填寫(xiě)學(xué)校名稱、班級(jí)、姓名.

3.試題答案一律填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.

4.在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.

5.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.

一、選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題2分，共16分）每題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)

只有一個(gè).

3

1.已知34,那么下列式子中一定成立的是（）

A4x=3yB.3x=4yC.xy=12D.x+y=7

2.二次函數(shù)y=2（x—2『一1圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（-2,1）B.（2-1）C.（2,1）D.(-2,-1)

3.如圖，在VA8C中，DE//BC,AO=2，BD=3,EC=6,則AE的長(zhǎng)為()

A

A.3B.4C.5D.6

4.若兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比為2:3,則這兩個(gè)相似三角形的面積比為（）

A.2:3B.3:2C.4:9D,無(wú)法確定

5.下列關(guān)于拋物線），=5一的說(shuō)法正確的是（）

A.圖象開(kāi)口向下B.對(duì)稱軸是y軸

C.有最高點(diǎn)D.）隨工的增大而增大

6.根據(jù)下列表格中的對(duì)應(yīng)值，判斷關(guān)于x的方程+C=0（。工0）的一個(gè)解的取值范圍是（）

X???0.250.50.751???

y=ax2+bx+c???-1.69-0.251.313???

A.0<x<0.25B.0.25<x<0.5

C.0.5<x<0.75D.0.75<x<I

7.函數(shù)y=ax?+ax+a（a^O）的圖象可能是下列圖象中的（）

8.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)是3.點(diǎn)尸是A5延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)Q,使CQ=BP,連接

A。、0P交于點(diǎn)0,并分別與邊C。、BC交于點(diǎn)、F、E，連接4E，下列結(jié)論：①AQ1。。：②

OA2=OD-OP；③S,八（〃）二S四邊形；④當(dāng)BP=1時(shí),二三',正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

A.I個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題（本題共8個(gè)小題，每小題2分，共16分）

9.拋物線），=1向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，則平移后的拋物線表達(dá)式為.

10.《哪吒之魔童鬧?！飞嫌澈蠡鸨?，哪吒的可愛(ài)形象被眾人所喜愛(ài)，而其各部分結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)度設(shè)計(jì)都

與黃金分割有關(guān)，如圖，點(diǎn)〃為4c的黃金分割點(diǎn)（BC>A8）,已知哪吒在劇中的身高4c設(shè)定為

74cm,則8C長(zhǎng)為cm（結(jié)果保留根號(hào)）.

11.如圖，線段8￡、CQ相交于點(diǎn)4連接。￡、BC，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使△4￡>Es/\ABC，這個(gè)條

件可以是_____.（寫(xiě)出一個(gè)條件即可）

BC

12.某廣場(chǎng)有一噴水池，水從地面噴出，如圖，以水平地面為x軸，出水點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)

系，水在空中劃出的曲線是拋物線），=-/+41的一部分，則水噴出的最大高度是.

13.（墨經(jīng)）中有：“景到，在午有端，與景長(zhǎng)，說(shuō)在端”.大約在兩千四百年前，墨子和他的學(xué)生做了

世界上第1個(gè)小孔成像的實(shí)驗(yàn).如圖所示的實(shí)驗(yàn)中，若物距為10cm,像距為18cm,蠟燭火焰倒立的像

的高度是9cm.則蠟燭火焰的高度是cm.

14.拋物線），二+2X+C上有三點(diǎn)（一22），（2,為），則）*，乃，力的大小關(guān)系是

.（用“V”連接）

FF1

6如圖'在矩形488中'若鈣=3,AC=5,而力則的長(zhǎng)為一

16.已知某函數(shù)的圖象過(guò)4（2,-1）.8（4,1）兩點(diǎn)，下面有四個(gè)推斷，所有合理推斷的序號(hào)是.

①若此函數(shù)的圖象為直線，則此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（0,-3）；

②若此函數(shù)的圖象為拋物線、且經(jīng)過(guò)（3,-0.5）,則該拋物線開(kāi)口向下：

③若此函數(shù)的表達(dá)式為y=（。。0）,且圖象經(jīng)過(guò)（6,0）,則4<〃<5；

④若此函數(shù)的表達(dá)式為），=。（％-〃）2+依〃工（）），拋物線開(kāi)口向下，且3<力<4,則。的取值范圍是

1

a<——.

2

三、解答題（本題共68分，第17題4分；第18題7分；第19題4分；第20-22題每題5

分；第23、24題每題6分；第25題4分；第26、27題每題7分；第28題8分）解答應(yīng)寫(xiě)

出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.

17.如圖，在VA3C中，點(diǎn)。是邊48上一點(diǎn)，點(diǎn)E為VA3C外一點(diǎn)，DE//BC,連接死，

ZE=ZA.求證：AEDBS^ABC.

（1）求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOv中，畫(huà)出這個(gè)二次函數(shù)的圖象;

(3)當(dāng)y>()時(shí)，x的取值范圍是.

19.如圖，在VABC中，點(diǎn)。在邊BC上，ZBAC=ZADC,AC=4,BC=8,求CO長(zhǎng).

20.在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小辰同學(xué)想利用影子測(cè)量旗桿的高度，他在某一時(shí)刻測(cè)得1m長(zhǎng)的標(biāo)桿影長(zhǎng)為

0.8m,同時(shí)當(dāng)他測(cè)量教學(xué)樓前的旗桿的影長(zhǎng)時(shí)，因旗桿靠近教學(xué)樓，有一部分影子在墻上，他測(cè)得旗桿

到教學(xué)樓的距離8C=10m,旗桿在教學(xué)樓墻上的影長(zhǎng)CO=1.5m,求旗桿AB的高.

21.如圖，正方形A3s中，點(diǎn)P在3c上，且8P=3PC,點(diǎn)。是CO的中點(diǎn).求證：AQA.PQ.

（1）將y=—.丫2+4*-3化成y=a（x—+Z形式：

（2）補(bǔ)全表格，則〃?=,n=（〃?<"）；

X???0in2n4???

y???-30k0-3???

（3）若關(guān)于x的方程—d+4x—3—f=0在0<x<3的范圍內(nèi)有解，則/的取值范圍是.

23.某公司以每件50元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，規(guī)定銷(xiāo)售時(shí)的單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于每件70元，在

銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷(xiāo)售量》（件）與每件的銷(xiāo)售單價(jià)1（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系

y=-10x+1000.

（1）當(dāng)x=60時(shí)，每件的利潤(rùn)是，總利潤(rùn)為.

（2）若設(shè)總利潤(rùn)為川元，則”，與X的函數(shù)表達(dá)式是.自變量1的取值范圍是

___________________,

（3）銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大總利潤(rùn)是多少？

24.如圖，在VABC中，ZBAC=120°,以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧，與8C邊交于點(diǎn)

E.F，BE<BF,連接AE，AF.若NEA/=60°,

（1）求證：AABEsACAF.

（2）若BE=2,EF=3,求線段。尸的長(zhǎng).

25.籃球是大家平時(shí)接觸非常多的運(yùn)動(dòng)之一，投籃時(shí)，球出手后籃球飛行的軌跡可以近似的看作一條拋物

線的一部分，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，投球后，籃球的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單

（I）小雷同學(xué)想要研究自己的投籃情況：第一次投籃時(shí)，記錄了籃球的水平距離％（單位：m）與豎直

高度（單位：m）的幾組數(shù)據(jù)如下：

水平距離

00.40.81.52.02.43.24.1...

x/m

豎直高度

y/m

423

2.102.833.434.164.434.503.30...

:保留兩位

小數(shù)）

第一次的投籃軌跡近似滿足函數(shù)關(guān)系y=—^（x—2.4）2+4.5,投籃的出手點(diǎn)高度為m,當(dāng)籃球的

水平距離為2.8m時(shí)，豎直高度為m；

（2）已知籃筐中心位置在水平距離4.2m,豎直高度3m處.當(dāng)籃球的豎直高度為3m時(shí)對(duì)應(yīng)的水平距離

與籃筐中心位置的水平距離相差0.1m以內(nèi)，籃球可以進(jìn)入籃筐,若小雷第二次的投籃軌跡近似滿足函數(shù)

5

關(guān)系）'=一五（工一21）~9+4,己知兩次投籃只有一次投中，則投中.（填寫(xiě)“第一次”或“第二

次”）（參考數(shù)據(jù)如下：1.549?尺。1.897）

26.如圖，在平面宜角坐標(biāo)系中，拋物線》二以2+打+3交X軸于點(diǎn)4（-1,0）,8（4,0）

兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)c.

（2）點(diǎn)p是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且在直線8c上方.過(guò)點(diǎn)P作PDLBC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)尸作）'軸的平行線

交直線〃。于點(diǎn)E，求。。長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

27.在RtZiABC中，ZACB=90°,AC=BC,CD為AB邊上中線.在Rt_AEF中，

ZAEF=90°,AE=EF，AF<AC.連接班M,N分別為線段AF,8戶的中點(diǎn)，連接MN.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在VAAC內(nèi)時(shí)，依題意補(bǔ)全圖1,求證：CD=MN：

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在VA8C外時(shí)，連接CN,EN,判斷CN與硒的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并加以

證明.

28.對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xQv中第一象限內(nèi)的點(diǎn)P（x,y）和圖形W,給出如下定義：過(guò)點(diǎn)尸作x軸和y軸

的垂線，垂足分別為M，N,若圖形W中的任意一點(diǎn)。（W〃）滿足aWx且8W）