第5節(jié)空間直線、平面的垂直

課標(biāo)要求1.以立體幾何的定義、基本事實和定理為出發(fā)點，認(rèn)識和理解空間中線面垂直、面面垂

直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運用基本事實、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的垂直

關(guān)系的簡單命題.

知識診斷自測

【知識梳理】

1.直線與平面垂直

(1)直績口平面垂直的定義

直線I與平面。內(nèi)的任意直線都垂直,就說直線/與平面。互用垂直.

⑵直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

X文字語言圖形表示符號表示

如果一條直線與一個平面內(nèi)/

判定定理的兩條相交直線垂直,則這條

7_L〃z,/_L〃,則/±?

直線與這個平面垂直

如果兩直線垂直于同一個平nt

性質(zhì)定理】邛｝=///優(yōu)

面,那么這兩條直線平行匕m1aJ

2.直繚口平面所成的角

⑴定義:平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角稱為這條直線和這個平面所成的角，一條直

線垂直于平面，則它們所成的角是比;一條直績口平面平行或在平面內(nèi),則它們所成的角是￡.

(2)范圍:包泉

3.二面角

(1)定義:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角.

(2)二面角的平面角

B

在二面角a?//的棱上任取一點。，以。為垂足分別在半平面。和“內(nèi)作垂直王棱的射線0A和0B,則

射線0A和0B所成的角稱為二面角的平面角.

(3)二面角的平面角a的范圍:[0,n].

4.兩個平面垂直

(1)兩個干面垂直的定義

一般地,如果兩個平面a與我所成角的大小為90。,則稱這兩個平面互相垂直,記作a_L"

(2)兩個平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

X文吾言圖3秒表小符號表示

如果一個平面經(jīng)過無一個平面的

1ca)”

判定定埋

￡

一條垂線,則這兩個平面互相垂直h

如果兩個平面互相垂直,那么在一

如果0_1_夕,aC\0=〃i,AOua,AO

性質(zhì)定理

個平面內(nèi)垂直于匕們區(qū)線的直線￡

_Lm,則4。_1_4

垂直十另一個平面kJ

[常用結(jié)論與微點提醒]

直線與平面垂直的常用結(jié)論

(1)若一條直線垂直于一個平面,則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線.

(2)若兩平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面.

(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.

(4)一直線垂直于兩平行平面中的一個,那么它必定垂直于另一個平面.

(5)兩相交平面同時垂直于第三個平面,那么兩平面的交線垂直于第三個平面.

【診斷自測】概念思考辨析+教材經(jīng)典改編

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“4”或“X”)

(1)直線/與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直,則La.()

(2)垂直于同一個平面的兩平面平行.()

(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面.()

(4)若平面a內(nèi)的一條直線垂直于平面萬內(nèi)的無數(shù)條直線,貝必，尸.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)X

解析⑴直線/與平面〃內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直,則有/L,或/與。斜交或匕或l//at故⑴錯誤.

(2)垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交,故(2)錯誤.

(3)若兩個平面垂直,則其中一個平面內(nèi)的直線可能垂直于另一平面,也可能與另一平面平行,也可

能與另一平面相交，也可能在另一平面內(nèi),故(3)錯誤.

(4)如圖,在正方體ABCD-A^C。沖,_L/B,所以8G垂直于平面ABCD內(nèi)所有與AB平行的

直線,而平面ABCxDx過BC\,顯然平面與平面ABCD不垂直,故(4)錯誤.

D、

2.(人教A必修二P159T2改編)己知直線a,h與平面出人力能使的充分條件是()

A.aJ_y,/?±yB.aC\p=a,bl.a,bu[3

C.a〃液,a//aD.a〃a,a邛

答案D

解析a±y,/?±三。與〃相交或平行,故A不正確；

因為“n后/>_!_〃,E所以/何以繞交線a任意旋轉(zhuǎn),所以不能得到小人故B不正確；

a/邛、a〃ana與僑§交或平行,故C不正確；

當(dāng)aA-fi,a//ay過直線。作平面與平面〃交于直線仇所以4

又。_L.，所以,

又bua,所以a_1_力,故D正確.

3.(人教A必修二P150探究改編)如圖，將一張三角形紙片沿著8C邊上的高4)翻折后豎立在桌面

上,則折痕力。所在直線與桌面。所成的角等于()

BI)

A.150°B.135°

C.90°D.60°

答案C

解析由題意可知ADtBD,AD.LCD,BDC\CD=D,BD,CQu平面火

所以_L平面a,

所以折痕AD所在直線與桌面。所成的角等于90°.

4.(蘇教必修二Pl87Tli改編)過△力4c所在平面。外一點P,作PO±a,垂足為O,連接尸4PB,PC.

⑴若PA=PB=PC,則點。是△/BC的心.

(2)若P4LPB,PB工PC,PCLP4垂足都為P,則點。是△WB。的心.

答案⑴外⑵垂

解析(1)易證4尸。1g/\尸08g4尸。。，

故OA=OB=OC,。是△48。的外

(2)易知總，平面產(chǎn)以7,

從而PZ_L8C

而PO_L平面48C,所以POA.BC,

從而BC_L平面PAO,所以BC.LAO.

同理力C_L8O.

所以。為△力3C的垂心.

考點聚焦突破

考點一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

例1如圖，己知正方體力

(1)求證平面4CC;

(2卜必,N分別為BQi與GQ上的點,且MN_LB\Di,MN工C\D,求證:MN〃4C.

證明(1)如圖，連接4cl.

因為CCiJ■平面A\B\C\D\y81。仁平面A\B\C\D\y

所以CG_L囪A.

因為四邊形4BiGZ)i是正方形，

所以小G_L8Qi.

又因為CGA4G=G,4G,CGu平面小GC,

所以平面小GC

(2)如圖，連接

因為BQ*。,囪G〃/Q,

所以四邊形力為平行四邊形，

所以C\D〃AB\,

因為MN上CiD,所以MN工ABi.

又因為MNLB\D\,4BQBQ尸B、,AB\,8QIU平面AB\D[,

所以MY_L平面450.

由⑴知BQ」平面4GC,且4Cu平面小GC所以小ULBQi.

同理可得4CJ_43i.

又因為AB\C\B\D\=B\yAB\y歷De平面AB\D\y所以“iCJL平面AB\D\.

所以MN〃小C.

思維建模1.證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直,而證明線面垂直常需借助線面垂直的性質(zhì)，若題

中給出數(shù)據(jù)，則也可以應(yīng)用勾股定理證明線線垂直.而證明直線和平面垂直的常用方法：(1)判定定

理;(2)垂直于平面的傳遞性(〃〃力,。_1_。=力_1_。);(3)而而平行的性質(zhì)(4_1_夕,a〃4=。_1_0;(4)面面垂直的

性質(zhì).

2.直線和平面垂直的性質(zhì)定理可以作為兩條直線平行的判定定理,可以并入平行推導(dǎo)鏈中，實現(xiàn)平

行與垂直的相互轉(zhuǎn)化,即線線垂直=線面垂直=線線平行=線面平行.

訓(xùn)練1如圖,平面平面ABC,平面平面48C,彳E_L平面PBC,E為垂足.

p

(1)求證:。4_1平面/4。；

(2)當(dāng)點￡為△P^C的垂心時,求證:△NBC是直角三角形.

證明⑴如圖,在平面ABC內(nèi)取一點D,過點D作UC于點F.

因為平面P力CJ?平面ABC,且交線為AC,。/七平面ABC,

所以。P_L平面P4C

因為尸Xu平面P/C,所以DFVPA.

過點。作。于點G,

同理可證。G_LP4

因為DG,?！付荚谄矫鍭BC內(nèi),且DGCDF=D,

所以P/_L平面48c.

(2)如凰連接戰(zhàn)并延長交PC于點H.

因為點E是叢PBC的垂心，所以PCLBH.

又平面PBC,PCu平面PBC,

所以PC_L4E.

因為AEC\BH=E,AE,BHu平面ABE,

所以PC_L平面

又48u平面43瓦所以PCA.AB.

由(1)知尸4_L平面為3C,

又45u平面48。，所以PALAB.

因為PACPC=P,P4,尸Cu平面PAC,

所以4AJ_平面山C.

又4Cu平面/MC,所以AB上AC,

即△IBC是直角三角形.

■三垂線定理及逆定理拓展視野

1.三垂線定理及逆定理

(1)三垂線定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直,那

么它也和這條斜線垂直.

(2)三垂線定理的逆定理:平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面內(nèi)一條斜線垂直,那么它也和這條斜

線在該平面內(nèi)的射影垂直.

如圖，已知:P4P。分別是平面a的垂線和斜線,力。是尸。在平面a的射影,〃ua,則aVPO^aLAO.

2.三垂線定理解題的關(guān)鍵:找三垂！

一找直線和平面垂直，

二找平面的斜線在平面內(nèi)的射影和平面內(nèi)的一條直線垂直.

注意:由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作為已知條件.

典例(1)在正方體ABCD-AiBiCDi中，求證:〃C_L8G.

證明在正方體"CAN山中,因為小平面BCGBi,4c是平面的一條斜線,B、C

是4C在平面3CG3上的射影,

由三垂線定理知小CLBG.

(2)如圖，力8co為直角梯形，/DAB=/ABC=90。,

AD=2AB=2BC,/M_L平面4BCD求證:PCJ_CD

證明連接NC,

因為/48。=90。,48=6。，

由勾股定理得

同理CD=\[2AB,

即AC^+CD^AB^AD2,

所以力ULCD

又尸/_L平面48。。,。。是平面ABCD的一條斜線,4c是尸C在平面ABCD上的射影,且ACVCD.

由三垂線逆定理知PCLCD.

考點二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

例2(2023?全國甲卷)如圖，在三棱柱ZBCT/iG中，小C_L平面48C,ZACB=90°.

(1)證明:平面/CG4_L平面BBCC;

⑵設(shè)/8=/山,力小=2,求四棱錐小-8囪GC的高.

⑴證明因為小C_L平面ABC,BCu平面48C,所以小C_L8C,

因為4cB=90。,所以5C1JC,

XJiCnJC=C,/liG4Cu平面ACCiAh

所以BC_L平面力CCVh,

又8Cu平面BBCC,

所以平面4CG/i■1平面BB4C.

⑵解如圖，過點4作出HLCC,交CG于點凡

由⑴知平面4CG4_L平面BBCC,

又平面4CG41n平面BB\C\C=CCi,

小Hu平面4CCM1,

所以4HJ_平面BBCC,

即四凌錐小1C|C的高為A^H.

由題意知BC=BC,ZAiCB=ZACB=90°,

則ZX4C8且△4C8,故C/=C4.

又44尸2,NAOi=90。，

所以A]C\=CA\=\/2.

在等腰直角△C4G中，小，為斜邊中線，

所以小〃=4cci=i,

故四凌錐由的高為1.

思維建模1.證明面面垂直首先要根據(jù)條件證明線面垂直,則所有經(jīng)過平面垂線的平面都與已知平

面垂直,而面面垂直判定的常用兩種方法：

(1)面面垂直的定義;(2)面面垂直的判定定理(a_L.,aua=o.邛).

2.若條件中已知面面垂直,則通常會應(yīng)用面面垂直證明線面垂直，即一個面內(nèi)垂直于交線的直線垂

直于另一個平面.

訓(xùn)練2如圖所示,在四棱錐P-ABCD中，底面/8C。是ND43=60。且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為

正三角形,其所在平面垂直于底面ABCDy若G為AD的中點.

⑴求證:8G_L平面尸40;

(2)求證:4O_LP8;

(3)若點分別為8cpe的中點,求證:平面OE/LL平面/BCD

證明(1)在菱形ABCD中，ND48=60。,G為AD的中點，

所以

又平面尸力。_1_平面ABCD,平面尸月。0平面ABCD-AD,6Gu平面ABCD,

所以8Gl.平面P4D

(2)如圖,連接PG,

E

AB

因為△P/g為正三角形,G為線段的中點，

所以尸G_L4D

由(1)知BGUD,

又PGCBG=G,PG,5Gu平面PGB,

所以力。_1_平面PGB.

因為PBu平面PGB,所以/￡>_LQ8.

⑶如圖,連接DE,EF,DF.

在MBC中,FE〃PB,

在菱形ABCD中,GB//DE.

而尸Eu平面DEF,QEu平面DEF,EFCDE=E,PBu平面PGB,GBu平面PGB,PBCGB=B,所以平面

。石尸"平面PGB.

因為平面產(chǎn)力。，平面ABCD,平面4DC平面4次7。=%。,尸Gu平面PAD,PGA.AD,

所以PGJ_平面力BCD

又PGu平面PGB,

所以平面PG5_L平面ABCD,

所以平面。瑁平面ABCD.

考點三平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

例3(2025?青島模擬)如圖所示,正方形AAxDxD與矩形ABCD所在的平面互相垂

直,g2AD=2,4D(UDi=O,E為線段上的一點.

⑴若OE〃平面DiBC,求證:E為力B的中點；

(2)在線段AB上是否存在點E,使得平面平面4UC?若存在,求出AE的長;若不存在,請說

明理由.

⑴證明因為四邊形力小。。為正方形,4〃run=。，

所以。為4。的中點.

又因為OE〃平面D、BC,平面力平面DiBC=BDi,OEu平面ABD\y

所以0E〃孫

又因為。為力Oi的中點，

所以E為48的中點.

⑵解存在點E,當(dāng)我三時,平面。刃EJ_平面力QC理由如下：

設(shè)zcn。斤尸（圖略），

因為四邊形AA\D\D為正方形，

所以。i〃_L力"

又因為平面/小。|。八平面ABCD=AD,平面力4Q|O_L平面/BCQ,QiQu平面AA\D\D,

所以。O_L平面43C。，

又因為ZCu平面48c。，

所以。O_L4C

在矩形ABCD中,AB=?.fAD=\,

當(dāng)時,在RtAJDE中，

tanN4OE=M4，

AD2

在RtZWC中,tanZBAC=^：f

所以/ZQE=N8ZC,

又因為N2NC=N44C+NQ/C=9O。，

所以/4OE+N￡UC=90。，

則N"7）=90。,所以4CJ_OE,

又因為DEC\DD}=D,DE,OQu平面DTDE,

所以力C_L平面QQE.

又因為4Cu平面/OC,

所以平面。。七_1_平面AD\C.

思維建模1.垂直與平行的結(jié)合問題,求解時應(yīng)注意平行、垂直性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.

2.對于線面關(guān)系中的存在性問題,首先假設(shè)存在,然后在該假設(shè)條件下,利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、

性質(zhì)進行推理論證.

訓(xùn)練3（多選）（2025?石家莊模擬）如圖,在圓柱OsO中,軸截面ABCD為正方形，點廠是油上一點,M

為BD與軸。。的交點,￡為“8的中點,N為力在。尸上的射影,且成"平面AMN,則下列選項正

確的有（）

A.C尸〃平面4V/NB/N_L平面DBF

C.O6_L平面力MND廠是他的中點

答案BCD

解析對于A,如圖,延長力M,則AM過C,

???與平面AMN交于點C,A錯誤；

對于B,??78為圓。的直徑，???ML4E

又//）_L底面圓O,且8/七底面圓O,

:.BFLAD,

又AFC\AD=A,且AF,力。u平面ADF,

：.8/_1_平面ADF,又4Nu平面ADF,

:"NIBF,又ANtDF,BFClDF=F,

且BF,Obu平面DBF,

???4N_L平面DBF,：.B正確：

對于C,由B選項分析可知*NJ_平面DBF,

又BDu平面DBF,；.BD工AN,

又軸截面48CO為正方形，

：?BD上AM,又ANO4M=A,

且AN,4V/u平面AMN,

.??&)_L平面AMN、：.C正確：

對于D,?.?跖〃平面AMN,

又EVu平面DEF,

且平面/MNCl平面DEF=MN,

.??即〃MN,又易知以2,

人々MENFME

設(shè)NF=x,則DN=2xfDF=3x,

設(shè)正方形44CQ的邊長為2,

由AN1DF,

可得A!^=AD2-D1\P=4-4x2,

.\AF2=AN2+^F2=4-4X2+X2=4-3X2,

又???力。2+4產(chǎn)=Q產(chǎn)，

.*.4+4-3x2=9x2,.*.x2=|,

???4/=4-3%2=2,,??4b=&,

又AB=2,BFIAF,：,BF=a,

.,?好="，是疝的中點，.??D正確.

課時對點精練

一、單選題

1.如圖,AB是圓柱上底面的一條直徑，。是上底面圓周上異于A,B的一點,D為下底面圓周上一點,

且J_圓柱的底面,則必有（）

c

A.平面力3C_L平面BCD

B.平面BCO_L平面NCO

C.平面力平面4CQ

D.平面，C0_L平面ABD

答案B

解析因為48是圓柱上底面的一條直徑，

所以4C_L8C,

又AD垂直于圓柱的底面，

所以4O_L8C,

因為ACQAD=A,AC,/Qu平面ACD,

所以BC_L平面力C。，

因為8Cu平面BCD,

所以平面BCO_L平面ACD,故選B.

2.下列命題中正確的是（）

A.如果直線a不垂直于平面火那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于直線a

B.如果平面a垂直于平面人那么平面〃內(nèi)一定不存在直線平行于平面夕

C.如果直線。垂直于平面見那么平面。內(nèi)一定不存在直線平行于直線a

D.如果平面a_L平面那么平面a內(nèi)所有直線都垂直于平面在

答案C

解析若直線。垂直于平面%則直線。垂直于平面a內(nèi)的所有直線，故C正確,其他選項均不正確.

3.（2025?鄭州質(zhì)檢）如圖，在四面體A-BCD中,AB=ACyBC上BD,平面/8C_L平面BCD,O為線段BC

的中點，則下列判斷錯誤的是（）

A.AC工BDB.3O_L平面ABC

C.ABLCD口.力。_1_平面8。。

答案C

解析因為平面48CJ_平面BCD,平面48Cn平面BCD=BCy

又BCLBD,8Ou平面BCD,

所以平面力垢故B正確；

而4Cu平面48C

所以BO_L/C,故A正確；

因為AB=ACtO為線段3c的中點，則NO_L4c又由平面4BC_L平面BCD,平面WCn平面

BCD=BC,力。u平面4BC,則平面BCD,故D正確；

假設(shè)"_LC。,由于力O_L平面BCD,

有4。_LCQ,則有CO_L平面48C,

又由BQ_L平面ABC,與過平面夕一點,有且僅有一條直線與已知平面垂直矛盾，故ABLCD不成立,

故C錯誤.

4.（2024?全國甲卷）設(shè)火￡為兩個平面,tn,n為兩條直線,且。。夕=〃?，下述四個命題：

①若m//〃，貝ljn//a或n//P

②若〃z_L〃，則〃J_?；騨A_p

③若〃〃a且〃〃//,則m//n

④若n與火夕所成的角相等，則〃山?

其中所有真命題的編號是（）

A.①③B.②④

C.①②③D.?@?

答案A

解析對于①,當(dāng)〃ua,因為〃7〃〃，mu0,

則〃〃4

當(dāng)〃寸,因為m//nymua,則n//at

當(dāng)n既不在仁也不國內(nèi)，

因為m//〃,加”則〃〃a且〃〃/?,故①正確；

對于②,若加則可能〃〃a或〃與。相交,②錯誤；

對于③,如圖,過直線n分別作兩平面與火/，分別相交于直線s和直線/,

因為〃〃火則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知n//s,

同理可得〃〃/,則s〃八

因為加平面夕,ru平面△則s〃平面日，

因為su平面％an/S=m,

則s//ni,又因為〃〃s,則〃?〃〃,故③正確；

對于④,若。八夕="7,n與a和夕所成的角相等,如果"〃火〃〃夕，則〃?〃〃,故④錯誤.

綜上只有①③正確.

5.如圖，在斜三棱柱45CT山C中，Z^C=90°,BCs.LAC,則G在底面45c上的射影〃必在（）

A.直線43上B.直線8c上

C.直線力C上D.△力3c內(nèi)剖

答案A

解析連接4G（圖略）,由4cL48,AC±BC],ABCBCiB,AB,BGu平面ABC、,得4。，平面ABC\.

???*Cu平面48C,???平面48cl_L平面ABC.

JG在平面43c上的射影"必在平面43G與平面ABC的交線AB上.

6.已知正方形ABCD的邊長為2;若將正方形ABCD沿對角線BD折疊成三棱錐A-BCD,則在折疊

過程中，不可能出現(xiàn)（）

X.ABVCD

B./4CX5D

C.三棱錐A-BCD的體積為1

D.平面平面BCD

答案A

解析對于A,若ABLCD,因為BCLCD,ABC\BC=B,AB,4Cu平面ABC,

所以。_L平面48C,

又力Cu平面所以CD1AQ

而CD=2,AD=2f即直角邊長與斜邊長相等,顯然不正確；

對于B,取BD的中點0,連接AO,0C,

因為AOLBD,COA.BD,AOC\CO=O,AO,COu平面AOC,

所以8Q_L平面40C,

又力Cu平面AOC,所以BDLAC\

對于C,當(dāng)折疊所成的ZAOC=150。時,頂點A到底面BCD的距離為&Xsin30。邛，

此時乙8尾X2X?j；

對于D,當(dāng)N/OC=90。時,有平面平面8CD故選A.

7.（2025?貴陽調(diào)研）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC=3,NBCDA2。。,4_!_平面ABCD,PD±CD,PB

1CB,PB=PD=2a,則PA=（

A.lB.V2

C丁D.V5

答案D

解析如圖，連接/C

由PB=PD=2五,PC=3,PD1DC,PB1BC,

得CD=CBZPC?-PB2=\.

因為。4_1_平面ABCD,CDu平面ABCD,

所以又CD1PD,且04POu平面PAD,PAC\PD=P,

所以CD_L平面0/。.

因為平面PAD,所以CDL4D,

同理可得CBJL/B.

又CD=CB,貝！JRtAJZ?C^RtA/lDC,

所以/ACB=N4c。-亭-60。.

在RtA^^C中，3C=1,N405=60。，

所以止心

因為PA1平面ABCD,48u平面ABCD,

所以AXJ_49,貝（JPA=y/PB2-AB2=V8^3=VS.

8.(2025?東營模擬)在正方體ABCD-AiBQDi中,M,N分別是棱DDi和線段8G上的動點，則滿足與

。。垂直的直線MN()

A.有且僅有1條B.有且僅有2條

C.有且僅有3條D.有無數(shù)條

答案D

解析如圖，過點N作NE_L3C,垂足為￡

連接?！?/p>

當(dāng)MN高度一樣,即MD=NE時,一定有DD」MN,理由如下:

在正方體力8。。-48］。|。|中,NE//CC\//MDy

又MD=NE,

所以四邊形MDEN為平行四邊形，

所以MN〃OE.

因為。。1_L平面ABCD,且OEu平面ABCD,

所以DD\上DE,則DDiLMN.

所以當(dāng)MN高度一樣,即時,一定有DD\'MN,

此時滿足條件的直線MN有無數(shù)條.

二、多選題

9.若平面/用蔭足a_L￡,夕「尸=/,P三a,尸包,則下列命題中是真命題的為（）

A.過點尸垂直于平面儀的直線平行于平面夕

B.過點尸垂直于直線I的直線在平面a內(nèi)

C.過點尸垂直于平面夕的直線在平面a內(nèi)

D.過點。且在平面a內(nèi)垂直于/的直線必垂直于平面夕

答案ACD

解析由于過點P垂直于平面a的直線必平行于平面外內(nèi)垂直于交線的直線，則直線平行于平面/X

因此A正確；

過點〃垂直于直線/的直線有可能垂直于平面如不一定在平面a內(nèi)，因此B不正確；

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知,選項C,D正確.

10.如圖，在以下四個正方體中，直線45與平面COE垂直的是（）

答案BD

解析對于A,顯然AB與CE不垂直，則直線AB與平面CDE不垂直；

對于B,因為AB.LCE,AB上ED,且CEQED=E,CE,EOu平面CQE,所以平面CDE;

對于C,顯然AB與CE不垂直,所以直線AB與平面CDE不垂直；

對于D,因為EO1平面ABC,則ED上AB,同理CELAB,

因為EDCCE=E,ED,CEu平面CDE,

所以43_L平面CZ）E.

11.（2025?江蘇名校聯(lián)考）在四棱錐P-ABCD中,底面48。是菱形,P在底面上的射影E在線段BD

上,則（）

A.PA=PCB.PB=PD

C.4C_L平面PBDD.8O_L平面PAC

答案AC

解析A選項,由題意得PEJ_平面ABCD,底面ABCD是菱形，

連接力。與交于點兒

則AH=CHyEHA.AC,因為AH=HC,故AE=HC,

又PA=yJPE2+AE2,PC=y/PE24-CE2,

故PA=PC,A正確.

B選項，因為PEJ_平面力BCD,

80u平面ABCD,

所以PE_LBD,

所以PZ）=VPE2+￡7）2,

PBf1PE2+EB2,

由于ED與EB不一定相等,故PB,PD不一定相等,B錯誤.

C選項,因為底面ABCD是菱形，

所以月C_L8O,

又產(chǎn)￡_L平面ABCD,4Cu平面ABCD,

所以PEJ_/C

因為PEC\BD=E,PE,8Ou平面PBD,

所以力CJL平面PBD,C正確.

D選項,連接PH,若E,H不重合，

此時在RtAPEH中,PH為斜邊，

故PH與EH不垂直,即BD與PH不垂直,

故此時BD與平面21c不垂直,D錯誤.

三、填空題

12.如圖所示是一個正方體的平面展開圖,則在該正方體中，棱所在的直線與棱AB所在的

直線是異面直線且互相垂直.（注:填上你認(rèn)為正確的一條棱即可，不必考慮所有可能的情況）

答案CG,EH,QG（任選一個作答）

解析如圖，結(jié)合平面圖形還原出正方體,

結(jié)合正方體性質(zhì)易知,

棱CG,DH,EH,FG所在的直線與棱AB所在的直線是異面直線且互相垂直.

13.如圖所示，在四棱錐PT8C。中,4，底面4為。且底面各邊都相等，〃是PC上的一動點，當(dāng)

點M滿足條件:①②DMLPC,③中的時,平面平面PCQ（只要

填寫一個你認(rèn)為是正確的條件序號即可）.

答案②（或③）

解析連接4C（圖略），,??2i_L底面/8C。，

.??底面各邊都相等,???4C_L8D

,

：PAC\AC=A>PA>4Cu平面PAC,

：.BDLW-^PACt：.BD_LPC.

當(dāng)OM_LPC（或。時，

即有PC_L平面MBD,而PCu平面PCD,

???平面平面PCD.

14.在矩形ABCD中,48<8C,現(xiàn)將△48。沿矩形的對角線的所在的直線進行翻折,在翻折的過程

中，給出下列結(jié)論：

①存在某個位置，使得直線4。與直線BD垂直；

②存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直；

③存在某個位置，使得直線AD與直線8c垂直.

其中正確結(jié)論的序號是.

答案②

解析①假設(shè)力。與8。垂直，過點4作于點E,

連接CE,如圖所示.

啕器卜血平面曲

則BDLCE,而在平面BCD中,CE與BD不垂直,故假設(shè)不成立,①不正確；

②假設(shè)CDHAD-D,CD,力Ou平面/CD,

?