北師版九上數(shù)學(xué)第1章特殊平行四邊形

1.如圖，在菱形ABCD中，AC,BD相交于0.

(1)若Z.ADC=50°,則Z-ADB=

(2)若BD=8,AC=6,貝ljAD=,AB=,Z.A0D=°，菱形ABCD的面

積=.

D

B

2.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=4,4840=120。，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為（）

A

C

A.20B.18C.16D.15

3.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)D作對(duì)角線BD的垂線交BA的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,求證：DE=AC.

4.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)0,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)￡,使BE=AB,連接CE.

(1)求證：BD=EC.

(2)若ZE=50°,求上B4O的大小.

5.如圖，在菱形ABCD中，41=60。，AB=4,0為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過。點(diǎn)作OE_L/B,

垂足為E.

⑴求乙ABD的度數(shù);

⑵求線段BE的長(zhǎng).

6.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線EF與AC交于點(diǎn)0,與AD交于

點(diǎn)E,與BC交于點(diǎn)F,連接EC,AF.

(1)求證；四邊形AFCE是菱形.

(2)若EF=8,AC=6,求菱形AFCE的面枳.

7.如圖，將等邊三角形ABC沿射線BC向右平移到&DCE的位置，連接AD,BD,貝!下列結(jié)論:

①40=BC：

②8D,4C互相平分；

③四邊形ACED是菱形；

@BD1.DE.

其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

8.如圖，在菱形ABCD中，/.ABC=60%DE//AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證：DE=^BE.

9.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,在不添加任何輔助線和字母的

情況下，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件使得平行四邊形ABCD變?yōu)榫匦?，需要添加的條件是—.(寫出一個(gè)

即可)

AD

B

10.如圖，AC與BD相交于點(diǎn)0,AB〃CD,AB=CD,且^OCB=Z.ADO.求證：四邊形ABCD

是矩形.

11.如圖，四邊形ABCD是由兩個(gè)全等的正三角形ABD和BCD組成的，M,N分別為BC,AD

的中點(diǎn).求證：四邊形BMDN是矩形.

12.檢杳一個(gè)門框（已知兩組對(duì)邊分別相等）是不是矩形，可用的方法是（）

A.測(cè)量鄰邊是否相等

B.用重錘線檢查豎門框是否與地面垂直

C.測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線是否互相平分

D.用曲尺測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線是否互相垂宜

13.如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,BE1AC,垂足為點(diǎn)E.DFLAC,垂足

為點(diǎn)F,點(diǎn)、0既是AC的中點(diǎn)，又是EF的中點(diǎn).

D

(1)求證：△BOEg△OOF；

(2)若04=^80,則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請(qǐng)說明理由.

14.如圖，E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，如果△A8E為等邊三角形，求乙EDC的度數(shù).

A________D

BC

15.如圖，以正方形ABCD的邊AB為一邊向外作等邊三角形ABE,則^AED的度數(shù)為［)

A.15°B.20°C.22.5°D.25°

16.如圖,點(diǎn)E,F在正方形ABCD的邊BC,CD上，AE,BF相交于點(diǎn)G,BE=CF.求證:

(1)AE=BF；

(2)AE1BF.

17.如圖，四邊形ABCD是正方形，E,F分別是DC和CB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DE=BF,連接

AE,AF,EF.

(1)求證：△HOEg/k/lBF；

(2)若8C=8,DE=6,求EF的長(zhǎng).

18.如圖，在A/IBC中，AB=AC,Z.B=60°,/.FAC,/-ECA是△ABC的兩個(gè)外角，AD平分

^FAC,CD平分LECA.求證：四邊形ABCD是菱形.

19.如圖，在AABC中，AB=AC=5,BC=6,AD是BC邊上的中線，四邊形ADBE是平行四

邊形.

(1)求證：四邊形ADBE是矩形;

⑵求矩形ADBE的面積.

20.如圖，EF過矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)0,且分別交AB,CD于點(diǎn)E,F,那么陰影部分的面

積是矩形ABCD的面積的()

21.把一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，折痕為EF,若

AB=3cm,8C=5cm,則重疊部分（△0￡尸）的面積是,cm2.

Af

22.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E（與點(diǎn)B,C不重合）是BC邊上一點(diǎn)，將線段EA繞點(diǎn)E

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF,過點(diǎn)F作BC的垂線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接CF.

（2）若4B=2,S&ABE=2s求BE的長(zhǎng).

23.如圖在AABC中，AD1BC,垂足為。，點(diǎn)D,E,F分別是BC,AB,AC的中點(diǎn).求證:

四邊形AEDF是菱形.

24.如圖，在"ABC中，4B=4C,點(diǎn)D,E,F分別是BC,AB,AC的中點(diǎn).求證：四邊形

AEDF是菱形.

A

25.下列條件能判定四邊形是菱形的是（）

A.對(duì)角線相等的四邊形B.對(duì)角線互相垂直的四邊形

C.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形D.對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形

26.如圖，己知四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)E,F分別是AB,BC上的點(diǎn)，AE=CF,并且

LAED=Z.CFD.求證：

(1)LAED^△CFDx

⑵四邊形ABCD是菱形.

27.如圖，在AABC中，AB=AC,M為邊BC的中點(diǎn)，MGJ./B,MDLAC,DELAB,GF1

AC,垂足分別為G,D,E,F；GF,DE相交于點(diǎn)H,求證：四邊形HGMD是菱形.

28.如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)。，/-AOD=120°,AB=1cm,貝ijZ-ADC=

Z.DBC=,AC=cm,BD=cm.

29.如圖，在中，乙ACB=90。，。是4B邊的中點(diǎn)，AC=3,BC=4,貝ljCD=

30.如圖，在矩形ABCD中，M,N分別是AD,BC的中點(diǎn)，P,Q分別是BM,DN的中點(diǎn).求

證：AMBAW&NDC.

A,--------------8

31.如圖，在△ABC中，Z.ACB=90°,CDLAB,垂足為D,點(diǎn)、E是AB的中點(diǎn)，CD=DE=a,

則AB的長(zhǎng)為（）

A.2aB.2y/2aC.3a

32.在矩形ABCD中，兩條對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。，若=。8=4,則AD=

33.如圖，在矩形ABCD中，E為/1。的中點(diǎn).求證：乙EBC=cECB.

34.如圖，在矩形ABCD中，DE//CA,AE//BD.

⑴求證：四邊形AODE是菱形；

⑵若將題設(shè)中“矩形ABCD"這一條件改為"菱形ABCD",其余條件不變，則四邊形AODE

是,請(qǐng)證明.

35.如圖，點(diǎn)0是矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，若AB=5,AD=12,

則四邊形ABOM的周長(zhǎng)為（）

36.下列說法不正確的是（）

A.一組鄰邊相等的矩形是正方形

B.對(duì)角線相等的菱形是正方形

C.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形

D.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形

37.如圖，在△力BC中，乙48c=90。，BD平分/.ABC,DE1BC,DFLAB.求證：四邊形

BEDF是正方形.

38.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是lOczn,點(diǎn)E,F,G,H分別從點(diǎn)A,B,C,D出發(fā)，以

2cm/s的速度同時(shí)向點(diǎn)B,C,D,A運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形EFGH是何種四邊形？請(qǐng)

說明理由.

39.如圖，點(diǎn)0是線段AB上的一點(diǎn)，OA=OC,0D平分乙40C交AC于點(diǎn)D,OF平分

4COB,CF1OF,垂足為點(diǎn)F.

(1)求證：四邊形CDOF是矩形.

(2)當(dāng)LAOC為多少度時(shí)，四邊形CDOF是正方形？并說明理由.

40.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0,E是BD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且△

ACE是等邊三角形.

⑴求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)若^LAED=2LEAD,求證：四邊形ABCD是正方形.

答案

1.【答案】25；5；5；90；24

2.【答案】C

【解析】由題意知&ABC是等邊三角形，

所以AB=AC=4,菱形ABCD的周長(zhǎng)=4AB=16.

3.【答案】???四邊形ABCD是菱形,

：.AB//CD,AC1BD,

'.AE//CD,Z.AOB=90°.

vDE1BD,即Z-EDB=90°,

:.Z.AOB=乙EDB，

:.DE//AC,

???四邊形ACDE是平行四邊形，

:.DE=AC.

4.【答案】

(1)四邊形ABCD是菱形，

:.AB=CD,AB//CD.

又vBE=AB,

二BE=CD,BE//CD,

???四邊形BECD是平行四邊形，

???BD=EC.

(2)???四邊形BECD是平行四邊形，

:.BD//CE,

???ZLADO=zE=50°.

乂???四邊形ABCD是菱形，

???AC1BD,

???Z.BAO=90°-LABO=40°.

5.【答案】

(1)在菱形ABCD中，AB=AD,41=60°,

ABD為等邊三角形，

???2LABD=60°；

(2)由(1)可知BD=AB=4,

又???0為BD的中點(diǎn)，

:.OB=2,

又vOE1AB,及乙ABD=60°,

二Z.BOE=30°,

???BE=1.

6.【答案】

(1)vAE//FC,

:.Z.EAC=Z-FCA.

ZEAO=LFCO,

在△40E與ACOF中，AO=CO,

Z.AOE=LCOF,

AOE^△COF(ASA),

???EO=FO,

：,四邊形AECF為平行四邊形.

又-EFLAC,

???四邊形AECF為菱形.

⑵S菱形4的=?"'="6'8=24.

7.【答案】D

8.【答案】???四邊形ABCD是菱形，Z.ABC=60\

/.AD//BC,AC=AD.

vAC//DE,

二四邊形ACED是菱形，

AD=AB=BC=CD,

BC=EC=DE,即C為BE的中點(diǎn)，

...DE=BC=^BE.

9.【答案】AC=BD

【解析】答案不唯一，如AC=BD或418(7=90。等.

10.【答案】?：AB//CD,AB=CD,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

AD//BC,AO=CO,BO=DO,

:.Z.DAC=Z.OCB.

vZ-OCB=乙40。，

Z.DAC=Z.ADO.

???AO=CO=BO=DO,

'.AC=BD,

二四邊形ABCD是矩形.

11.【答案】由等邊三角形的性質(zhì)，可推出Z.DMB=^MBN=^BND=90°,可得四邊形BMDN是

矩形.

12.【答案】B

13.【答案】

(1)?.?點(diǎn)。是"的中點(diǎn),

???OE=OF.

,:BE1AC,DF1AC,

:.乙OER=，OF。=90。.

在ABOE和△OOF中，

(乙OEB=Z.OFD=90°,

\OE=OF,

(/.BOE=乙DOF,

BOEW△DOF

(2)四邊形ABCD是矩形.

理由如下，

???△BOE^△DOF,

:.OB=OD.

???點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

:.OA=OC.

vOA=-BD,

2

???OA=OB=OC=OD,

四邊形ABCD是矩形.

14.【答案】-：LABE為等邊三角形，

???21=60°,AB=AE.

又四邊形ABCD為正方形，

ZB4D=9O°,AB=AD,

z2=30°,AD=AE,

:.LADE=75°,

二乙EDC=90°—4ADE=90°-75°=15°.

15.【答案】A

16.【答案】

(1)v四邊形ABCD是正方形，

.'.AB=BC,乙ABE=乙BCF=90°.

又BE=CF,

ABE^△BCF,

：.AE=BF.

(2)由(1)知乙BAE="BF.

-￡BAE+Z.AEB=90°,

:?乙CBF+乙AEB=90°,

???/J?GE=90°,即AE1BF.

17.【答案】

(1)???四邊形ABCD是正方形，

???/-ADE=LABC=90°=Z-ABF.

在A/WE和△48F中，

(AD=AB,

40=乙ABF,

(DE=BF,

.??△40%△/WF(SAS).

(2)Y^ADEQAABF,DE=6,

:.BF=DE=6.

BC=DC=8,

CE=8-6=2,CF=8+6=14.

在Rt△FCE中，EF=VCF2+CE2=V142+22=10x^2.

18.【答案】vZ-B=60°,AB=AC,

ABC為等邊三角形，

:.AB=BC,

:.Z.ACB=60°,LFAC=LACE=120°,

:.乙BAD=乙BCD=120°,

:.乙B=Z.D=60°,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

vAB=BC,

???平行四邊形ABCD是菱形.

19.【答案】

(1)-AB=AC,

AD是BC邊上的中線,

:.AD1BC,

二LADB=90°.

???四邊形ADBE是平行四邊形，

???平行四邊形ADBE是矩形.

(2)-AB=AC=5,BC=6,AD是BC邊上的中線,

BD=DC=；BC=3.

2

在Rt△ACD中，AD=y/AC2-DC2=4,

二S矩形AQBE=BO?/W=3x4=12.

20.【答案】B

21.【答案】5.1

【解析】由折疊的性質(zhì)，可得AB=A8,A'E=AE.

在Rt^A'DE中，<A'D2+A'E2=DE2.

又AE4-DE=AD,可設(shè)DE=無cm,

則A'E=AD-DE=(S-T)cm,

列方程，得32+(5—％)2=/,解得無=3.4,

即DE=3.4cm,

所以S^DEF=~DE-AB=x3.4x3=5.1(cm2).

22

22.【答案】

(1)vEFLAE,

:.LAEB4-乙GEF=90°,

又-Z-AEB+^BAE=90°,

???Z-GEF=乙BAE，

又-/FG1BC,

Z.ABE=Z.EGF=90°,

在△48E與&EGF中，

(LABE=Z.EGF,

\ABAE=乙GEF,

(AE=EF,

△EGF(AAS).

(2)，：AABEQNEGF,AB=2,

A8=EG=2>SAABE=S^EGF，

?:$dADE=2s

SAEGF=2s，

:.EC=CG=1,

???四邊形ABCD是正方形，

???BC=AB=2,

???BE=2-1=1.

23.【答案】???點(diǎn)D,E,F分別是BC,AB,AC的中點(diǎn),

DE//AC,DF//AB,

四邊形AEDF是平行四邊形.

又?：AD1.BC,BD=CD,

???AB=AC,

AE=-AB=-AC=AF.

22

二平行四邊形AEDF是菱形.

24.【答案】???點(diǎn)D,E,F分別是BC,AB,AC的中點(diǎn),

...DE,DF是AABC的中位線，

^E=^AC=AF,DF=^AB=AE.

VAB=AC,

DE=AF=DF=AE,

四邊形AEDF是菱形.

25.【答案】C

26.【答案】

(1)???四邊形ABCD是平行四邊形，

???Z.A=zC.

在△4ED與ACFD中，

(Z.A=Z.C,

\AE=CF,

{^AED=MFD.

AED^△CFD(ASA).

(2)由(1)知，△4EZ)g貝ljAD=CD.

又四邊形ABCD是平行四邊形，

???四邊形ABCD是菱形.

27.【答案】連接AM,

---MG1AB,DELAB,

:.MG//DE.

vMDLAC,GFLAC,

二GF//DM,

???四邊形HGMD是平行四邊形.

-AB=AC,M為邊BC的中點(diǎn),

:.AM平分/.BAC.

又???MG1AB,MDLAC,

:.MG=M0,

???四邊形HGMD是菱形.

28.【答案】90°；30°；2；2

29.【答案】2.5

【解析】由勾股定理A8=AM析+BC2可得AB=5,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

的一半求出CD=2.5.

30.【答案】???四邊形ABCD是矩形，

AB=CD,AD=BC,"="=90°.

???在矩形ABCD中，M,N分別是AD,BC的中點(diǎn)，

/.AM=-AD,CN=-BC,

22

:.AM=CN.

在和△NOC中，

:AB=CD,Z/l=ZC=90°,AM=CN,

△/VDC(SAS).

31.【答案】B

【解析】???CD1AB,CD=DE=a,

:.CE=>j2a,

???在AABC中，Z.ACB=90°,點(diǎn)E是48的中點(diǎn)，

???AB=2CE=2>/2a.

32.【答案】4V3

【解析】：四邊形ABCD為矩形，

二OA=OB=OD=OC=4,

???80=。8+00=4+4=8.

在Rt△ABD中，AB=4,80=8,

由勾股定理可知AD2=RD2-AR2=82-42=48.

:.AD=4V3.

33.【答案】v四邊形ABCD是矩形，

二4力=40=90°,AB=CD.

是AD的中點(diǎn)，

???AE=DE,

ABE^△DCE,

:.BE-CE,

BEC是等腰三角形,

???Z.EBC=乙ECB.

34.【答案】

(1)四邊形ABCD為矩形，

???0A=0C,0D—OB,AC—BD,

0A=0D.

???DE//CA,AE//BD,

：?四邊形AODE是平行四邊形，

四邊形AODE是菱形.

(2)矩形；證明：

vDE//CA,AE//BD,

???四邊形AODE是平行四邊形.

???四邊形ABCD是菱形，

???AC1BD,

:.LAOD=90",

二平行四邊形AODE是矩形.

35.【答案】B

36.【答案】D

【解析】因?yàn)橛幸粋€(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，所以D不正確，故選D.

37.【答案】vDE1BC,DFJLAB