夥縣中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

時(shí)間：120分鐘；滿分：150分

第I卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合M={-1,0,1,2,3},N={x\4x-1>0,xeR],則MnN=（）

A.{2,3}B.{1,2,3}

C.{0.1.2.3}D.{-1,0,1.2.3}

【答案】B

【解析】解：集合M={-1,0,123},N={x\4x-l>0,xeR}={x\x>i},

則MnN={1,2,3}.

2.下列說法正確的是（）

A.命題“VxWR,x2+2x4-1WO”的否定是“mxER,x2+2x+1>0M

B.a是第二象限角的必要不充分條件是sina>0H.cosa<0

C.函數(shù)f（x）=2*T-1的零點(diǎn)是（1,0）

D./（x）=x+5的單調(diào)遞增區(qū)間為（一8,-「）,（，2+8）

【答案】D

【解析】解:對于4根據(jù)含有一個(gè)量詞的否定,

2

命題“V%WR,X2+2X+1<0W的否定是“3xWR,x+2x+l>0",故4錯(cuò)誤；

對于8,當(dāng)sina>0且cosaV0時(shí)，能推出a是第二象限角，

反過來當(dāng)a是第二象限角，也能推出sina>0且cosa<0,

所以a是第二象限角的充要條件是sina>0且cosa<0,故8錯(cuò)誤；

對于C,函數(shù)/。）=2丫7一1的零點(diǎn)滿足>7-1=0,即％=1,

所以零點(diǎn)是1,不是（1,0）,故C錯(cuò)誤；

對于。，函數(shù)f（x）=x+1,

結(jié)合對勾函數(shù)的圖象，可知/'（X）堂調(diào)遞增區(qū)間為（-8,-。），（V"2+8）,故。正確.

3.已知某種蔬菜的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度工（單位：留）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=**+/匕匕為常

數(shù)，e為自然對數(shù)底數(shù)），若該品種蔬菜在5久時(shí)的保鮮時(shí)間為216小時(shí)，在25。（：時(shí)的保鮮時(shí)間為24小時(shí)，則

在15久時(shí)，該品種蔬菜的保鮮時(shí)間大約為（）

A.120小時(shí)B.96小時(shí)C.72小時(shí)D.64小時(shí)

【答案】C

【解析】解:由題意得:{:鼠b魂%

兩式相除得:e-20k=9,

則e15k+b_e25k+b.e-iok_e25k￥b.(e-20kj|=24x3=72,

即該品種蔬菜的保鮮時(shí)間大約為72小時(shí).

4.已知正數(shù)a,8滿足工+:=1,貝U2a+b+l的最小值為()

a0

A.958C.7D.10

【答案】A

【解析】解：因?yàn)檎龜?shù)a,b滿足1+1=1,

ab

由2Q+b=(2a+b)(i+1)=1+y+4>2J+4=8,

所以2a+b+l>9,

當(dāng)且僅當(dāng)2二早時(shí)，即a=2,b=4時(shí)取等號(hào).

ab

5.已知/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(%)在［0,+8)上單調(diào)遞減，設(shè)Q=0.32,b=log20.3,C=203,則

()

A./(a)<f(c)<f(b)B,f(b)<f(a)<f(c)

C./(c)</(a)<f(b)D.f(c)<f(b)<f(a)

【答案】C

解：根據(jù)題意，函數(shù)/'(X)是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞減，

則f(x)在(-8,0］上也是減函數(shù)，則/(%)在R上為減函數(shù)，

20,3

v0<a=0.3<0.3O=1,b=log203<log2l=0,c=2>1.

所以c>Q>b,

所以/'(c)<f(a)vf(b).

6.已知角a,0滿足cosa=lcos(a4-/?)cos/?=則cos(a+23)的值為()

JL4O

A，126C，4D.2

【答案】c

【解析】解:因?yàn)閏osa=r^=cos(a+0_0)=cos(a+夕)cos'+sin(a+0)sin/7,cos(a+0)cos0=

所以sin(a+p)sinp=

則cos(a+2/?)=cos(a+/?+/?)=cos(a+￡)cos/?—sin(a+p'jsinp=：-}=).

7若函數(shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意都有/1(1-幻=/(1+%)，且當(dāng)之€[0,1]時(shí)，/(x)=

X

2-1,若函數(shù)g(x)=f(x)-loga(x+2)(a>。且a21)在(-1,7)上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是()

A.(0,；)U(7,+8)B.(03)U(9,+8)

C.(0*)U(7,+8)D.(0,1)U(9,+oo)

【答案】C

【解析】解：?.?函數(shù)/(幻是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)XE[0,1]時(shí)，f(x)=2x-l,

當(dāng)％W時(shí),-XE[0,1],函數(shù)/(%)=-/(-%)=+

又對任意％WR,都有/?(1一％)=/(1+%),

??.f(x)=f(x+4),即函數(shù)/(x)的周期為4,

又由函數(shù)g(%)=/(x)-loga(x+2)(a>。且a+1)在(一1,7)上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，得函數(shù)y=/(x)=

loga(x+2)的圖象在(一1,7)上有4個(gè)不同的交點(diǎn)，

/(1)=1,當(dāng)a>l時(shí)，由圖1可得loga(5+2)VI,解得Q>7；

當(dāng)OvaVI時(shí)，由圖2可得loga(7+2)>-1,解得0<aV上.

8.記max{a,b}表示a,b二者中較大的一個(gè)，函數(shù)/'(%)=一公一7%-5,g(x)=max{3"*,/og3(x+2)},

若V%iE[a-l,a+1],3X2[0,+oo),使得/'(xj=。(不)成立，則a的取值范圍是()

A.[-5,-2]B.[-4,-3]C.[-p-1]D.卜宗一引

【答案】A

解：y—31r在R上單調(diào)遞減，y=log3[x+2)在(-2,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)“I時(shí),3】-』。仍(1+2)=1,所以。(乃=爆晨益Vr

所以9(%)在[0,1]上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)工工0時(shí)，g(x)>^(1)=1,即g(x)在區(qū)間[0,+8)上的值域?yàn)閇1,+8).

「，、27r/7、[229,29

f(x)=-X2-7X-5=-[X+-\+-<-^

令f(x)=-x2—7%—5=1,得產(chǎn)+7工+6=(x+1)(%+6)=0,解得％=-1或%=—6,

畫出f(%)，以無)(無之0)的圖象如圖所示，

若e［a-l,a+1］,3X2G［0,+CO）,使得/（勺）=。（?。┏闪ⅲ?/p>

則需要g（x）在［0,+8）上的值域包含f（x）在［Q-l,a+1］上的值域，

則［匯：W,解得-54aW-2,即a的取值范圍是［-5,-2：.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)a,b,cER,且Q>b,則下列不等式成立的是（）

A.ac2>be2B.今</

C.a-c>b—cD.e~a<e~b

【答案】CD

對A,當(dāng)c=0時(shí)ac?>兒2不成立，故A錯(cuò)誤；

對B,當(dāng)。=-1,6=-2時(shí)義<白不成立，故B錯(cuò)誤；

對C,因?yàn)閍>b,兩邊同時(shí)減去c有Q-c>b-c成立，故C正確；

對D,因?yàn)閍>b=-aV-6,又、=短為增函數(shù)，故e"V。一匕成立，故。正確.

故選：CD.

10.關(guān)于函數(shù)/'（%）=3sin（2x-今+l（xWR）的下述四個(gè)結(jié)論，正確的有（）

A.若f（Xi）=/（x2）=1,則勺一次二額攵WZ）

B.y=/（無）的圖象關(guān)于點(diǎn)鳥,1）對稱

C.函數(shù)y=/Xx）在［0,且上單調(diào)遞增

D.y=八編）的圖象向右平移3個(gè)單位長度后所得的圖象關(guān)于y軸對稱

X4

【答案】ABD

【解析】解：由于函數(shù)/（x）=3s勿（2%*）+1（無6R）,由/（與）=/（孫）=1知：

對于4點(diǎn)（4,1），。2，1）是f（x）-35出（2X一3+1）圖象的兩個(gè)對稱中心，

則.q-無2=J,k=年(&€Z),故A正確；

對于B：因?yàn)?(不=3si7ur+l,所以點(diǎn)育,1)是f(%)的對稱中心,故8正確;

對于C：由2/CTT—242%—2工2E+2(k€Z),解得左兀一VW無Wk/r+工(k€Z),

4D4LJL4

當(dāng)k=0時(shí)，/(%)在［_g覆上單調(diào)遞增，則/(X)在［0,穎上單調(diào)遞增，在珞，自上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤：

對于。：y=/(x)的圖象向右平移令個(gè)單位長度后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為，y=3s》［2(x—^)—§+l=

-3cos2%+1,是偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對稱，故。正確，

l-|2x-3|,l<x<2,

II.已知函數(shù)/'(%)=打色，%>2,則卜列說法正確的是()

A.函數(shù)y=/(x)一上有3個(gè)零點(diǎn)

B.關(guān)于％的方程/(%)-京=0(n€N')有2n+4個(gè)不同的解

C.對于實(shí)數(shù)工G［1,+m),不等式2xf(x)—3<0恒成立

D.在區(qū)間［2時(shí)1,2力(九￡/7?)內(nèi)，函數(shù)/(幻的圖象與入軸圍成的圖形的面積為2

【答案】ACD

fl-|2x-3|,l<x<2,

【解析】解：函數(shù)/(%)=,/(勺x>2

當(dāng)14%W手寸，/(x)=2x-2,當(dāng)?V%42時(shí)，/(%)=4-2〉,

當(dāng)2VXW3時(shí)，則1〈浮費(fèi)/(x)="(》=11,

當(dāng)3Vxs4時(shí)，則5〈三2,/(%)="(今=2—熱

當(dāng)4VXW6時(shí)，則2<泮3,/(x)=i/^)=1-i,

當(dāng)6VXW8時(shí)，則3<*4,/(X)=i/(^)=1-1,

依次類推，可得困數(shù)的大致圖象如圖所示，

對于選項(xiàng)A,由fGO-txnO，得f(x)=9心

令y=3,由圖象可知y=上工與了=/(%)的圖象只有3個(gè)交點(diǎn)，

，函數(shù)y=/(x)-卜有3個(gè)零點(diǎn)，故A正確；

對于選項(xiàng)4,當(dāng)n=l時(shí)，/-(%)-1=0,UPf(x)=1,由圖象可知y="與y=/(%)的圖象只有3個(gè)交點(diǎn)，

二關(guān)于x的方程/(%)—：=0有3個(gè)不同的解，而當(dāng)n=l時(shí)，2n+4=6,故B錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)C,對■于實(shí)數(shù)％G[1,+co),不等式2%/(無)-3<0恒成立，即/(%)<。恒成立，

由用可知函數(shù)/⑺的圖象的每一個(gè)上頂點(diǎn)都在曲線y=/上，.??/?⑴4卷恒成立，故C正確；

對于選項(xiàng)。，當(dāng)九=1時(shí)，則X￡[L2],此時(shí)函數(shù)/。)的圖象與方軸圍成的圖形的面枳為Jxlxl=；,

當(dāng)71=2時(shí)，則xW[2,4],此時(shí)函數(shù)/'(%)的圖象與工軸圍成的圖形的面積為;X2X：=]

當(dāng)71=3時(shí)，則％E[4,8],此時(shí)函數(shù)/'(%)的圖象與4軸圍成的圖形的面積為"乂4乂*=}...，

當(dāng)XE⑵1?](九￡叱)時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象與工軸圍成的圖形的面積為“。一2時(shí)1)乂*=今故D

正確.

三,填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面積的計(jì)算問題，如圖所示，

弧田是由弧48和弦/1B所圍成的圖中陰影部分.若弧田所在扇形的圓心角為冷，扇形的弧長為2兀，則此弧田

的面積為.

【答案】37r—亨

4

【解析】解：設(shè)扇形的半徑為R,弧長為27r=4XR,

可得R=3,扇形面積S=1xx/?2=3TT,

故有SMOB=\OA?OB-si吟=；x9x?=空

所以弧山的面積為S-SMOB=3;r-亨.

13.若關(guān)于％的不等式(M-4)X2+(a+2)x-1>。的解集不為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_______.

【答案】(—8,—2)U[、，4-co)

【解析】解：根據(jù)題意，分兩種情況討論：

①當(dāng)。2—4=0時(shí),即Q=±2,

若Q=2時(shí)，原不等式為4%-120,解可得：x>i,則不等式的解集為{%比2)，不是空集；

若Q=-2時(shí)，原不等式為-1Z0,無解，不符合題意;

②當(dāng)十一460時(shí)，即aH±2,

222,

若一4)x+(a+2)x-1>0的解集是空集，則有｛，匚(::2)+4(a-4)<0解可得一2<。<去

則當(dāng)不等式(。2-4)x2+(a+2)x-1>0的解集不為空集時(shí)，有Q<一2或Q>(且。工2,

綜合可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,-2)U4，+00).

(x2-9,x<-3

14.已知函數(shù)/?(%)=，若方程/。)=1的一個(gè)實(shí)根在區(qū)間(心上+1)(上￡2)上，則k的

{xlg(x+3),x>—3

所有可能取值形成的集合為—

【答案】｛-3,-4,1｝

【解析】解：函數(shù)〃、)=以:;3之3

①當(dāng)工三一3時(shí)，由/一9=1,

解得％=—710或，10(舍去),

因?yàn)橐籆Uw(-4,-3),

故卜=-4；

②當(dāng)%>一3時(shí),

則.Hg(x+3)=1,HPlg(x+3)=i(x>-3),

分別作出左右兩邊函數(shù)的圖象，

從國象上可得出：方程lg(x+3)=：(%>一3)在區(qū)間(一3,-2)內(nèi)有一個(gè)實(shí)根，

故方程Yg(x+3)=l(x>-3)在區(qū)間(一3,—2)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根，此時(shí)k=-3,

下面證明：方程戲g(x+3)=1在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個(gè)實(shí)根，

等價(jià)于函數(shù)/(x)=xlg(x+3)-1在區(qū)間(一3,-2)和(1,2)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)榫谩?1,2)時(shí)，lg(x+3)>0,

故函數(shù)f(x)=xlg{x+3)-1在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)，

又/"(1)=/^4-1<0,f(2)=2]g5-1>0,

即/'(1)/(2)<0,由零點(diǎn)存在性定理知,函數(shù)/(%)=xlg(x+3)-1在區(qū)間(1,2)內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)

即方程以g(無+3)=1在區(qū)間(1,2)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根，

此時(shí)k=1,

綜上：上的所有可能取值形成的集合為{-3,-4,1}.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知集合/={%|2—a<x<2+a],B={x\x<1或%>4}.

(1)當(dāng)Q=3時(shí)，求ACB；

(2)i(xeAff是“無的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

【答案】解：(1)當(dāng)Q=3時(shí)，A=(x\-l<x<5},

所以4n8=卜|一14刀41或44xW5},

(2)由題可知,CRB={x\l<x<4],

因?yàn)椤埃是“％WCRB”的充分不必要條件，

所以力與金氏可得解得QVL

16.(本小題小分)

己知aWR,函數(shù)f(%)=logzK。-3)x+3a-4].

(1)當(dāng)Q=2時(shí)，解不等式/■(})<0；

(2)若函數(shù)y=/(x2-4x)的值域?yàn)镽,求a的取值范圍.

【答案】解：(l)a=2時(shí),/(x)=log2(-x+2),

不等式/(：)<0等價(jià)于10。2(-；+2)V0,

所以0<-1+2<1,解得/VXV1,

x2

所以不等式/(§v0的解集為弓,1).

(2)因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x2-4%)的值域?yàn)镽,

2

即y=log2[(a—3)x—4(a—3)x+3a—4]的值域?yàn)镽,

故(a-3)x2-4(a-3)x+3a-4能取到一切正數(shù)，

當(dāng)Q=3時(shí)，(a—3)x2—4(a—3)x+3a—4=5,不符合題意；

22

當(dāng)QV3時(shí)，(a-3)x-4(a-3)x+3a-4=(a-3)(x-2)+8-a<8-a,不符合題意；

當(dāng)a>3時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得d=16(a-3)2-4(a-3)(3a-4)>0,解得a<3或a>8,

所以a28；

綜上所述：Q的取值范圍是［8,+8).

17.(本小題15分)

已知函數(shù)/'(%)=5g(a為實(shí)數(shù))是奇函數(shù).

乙I乙

(1)求a的值：

(2)解不等式：/(X)>-i；

(3)若實(shí)數(shù)m滿足f(2m2-3)+/(1-3m)>0,求m的取值范圍.

【答案】解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=三2(a為實(shí)數(shù))是奇函數(shù)，

4I乙

由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，/?(())=?=0,

所以a=1,經(jīng)檢驗(yàn)/'(%)=符合題息;

(2)由(1)得/(%)=去J>一5

整理得，2*<3,即％<log23，

故不等式的解集為任氏<log23);

(3)因?yàn)閒(%)為奇函數(shù)且實(shí)數(shù)m滿足f(2m2-3)+/(I-3m)>0,即f(2/-3)>-/(I-3m)=f(3m-

1)，

因?yàn)閒(%)==-1+*在R上單調(diào)遞減，

所以2病—3<3m—1,

解得一g<7H<2,

故他的范圍為(一12).

18.(本小題17分)

已知函數(shù)/(%)=3\/~3sinxcosx+3cos2x—|.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若％e［一熱芻，求函數(shù)/(》)的值域；

⑶若方程/'(X)=2在久G［0,芻上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根無1，不，求COS6—無2)的值.

【答案】解：=3y/-3sinxcosx+3cos2x—|=^^sinZx+3X"r"—|=3sin(2x+卷)，

即f(%)=3stn(2x+最小正周期為幾，

令一^+2k?iW2%+?W[+2上兀，解得一J+kztWXW[+ZCTT,kEZ,

LbL36

故單調(diào)遞增區(qū)間為[一S+k/rf+網(wǎng)(kWZ)；

JO

(2)因?yàn)橐唬?lt;x<^>

所以一會(huì)工2%+看工1，

所以一?<sin(2x+^)<1.

4O

即f(x)的值域?yàn)?/p>

(3)x6[0,勺時(shí)，<2x<%

?5OOO

因?yàn)??(%)=2在XG[0,芻上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根%,x2,

所以sin(2M+分=京

則2打+/2X2+才=匕

人J22

所以％2=?一無1，

所以cosQi—x)=cos(2Xi-7)=sin(2%i4-7)=

2JD3

19.(木小題17分)

若兩數(shù)y=f(x)十gQ)為轅函數(shù)，則稱fQ)與9。)互為“和耳函數(shù)”；若函數(shù)y=f(x)g(；0為軾函數(shù)，則

稱f(x)與9(%)互為“積轅函數(shù)”?

2

⑴試問函數(shù)/(%)=+log2("%2+1+%)與g(x)=i%4-log2(VX4-1-X)是否互為“和幕函數(shù)”？說

明你的理由.

(2)已知函數(shù)/(%)=”-2r與9(T)=(m34-m-9)2%互為“積累函數(shù)”.

①證明：函數(shù)九。)=/(%)-gQ)存在負(fù)零點(diǎn)，且負(fù)零點(diǎn)唯