北京版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《3.8角平分線》同步練習(xí)題及答案

定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線叫做這個(gè)角的平分線。

性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。

判定：在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。

尺規(guī)作圖：

①以角的頂點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交角的兩邊于兩點(diǎn)；

②分別以這兩點(diǎn)為圓心，大于兩點(diǎn)間距離?半的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在角的內(nèi)部交于一點(diǎn)；

③過(guò)角的頂點(diǎn)和這個(gè)交點(diǎn)作射線，即為角的平分線。

一、單選題

1.如圖，直線AB,CO交于點(diǎn)。，射線OM平分/AOC,若NAOC=76。，則/8QM等于（）

A.38°B.I（M°C.142°D.144°

2.下列關(guān)于角平分線的說(shuō)法正確的是（）

A.角的平分線是一條線段

B.角的平分線是平分這個(gè)角的直線

C.在角的內(nèi)部，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的一-條直線

D.在角的內(nèi)部，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線

3.以下說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）

①半圓是?。虎谌切蔚慕瞧椒志€是射線；③在一個(gè)三角形中至少有一個(gè)角不大于60。；

④過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)可以畫(huà)無(wú)數(shù)條弦；⑤所有角的度數(shù)都相等的多邊形是正多邊形.

A.1B.2C.3D.4

4.如圖，兩個(gè)直角NAOaNC。。共頂點(diǎn)0,下列結(jié)論：①/AOC=NBOD；②乙4OC+/8。。=90。：③若OC平

分NA03,則03平分NC8；④Z4OD的平分線與NCO8的平分線是同一條射線.其中不正確的個(gè)數(shù)有（）.

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B

A.1B.2C.3D.4

5.如圖，直線CO相交于點(diǎn)O,OE平分N8OQ,ZAOC=68°,則-4OE的度數(shù)是()

A.34°B.146°C.112°D.68°

二、填空題

6.如圖，已知NAOA=120。，O。平分NAOC,OE平分NBOC,則N0OE=

D

7.如圖，3。是VA4C的角平分線，若430=20。，則NC8。的度數(shù)是

8.如圖，OC平分NAO8,若N8OC=28。，則ZAOB=

9.如圖，已知。是直線AC上一點(diǎn)，08是一條射線，0。平分/AO8,OE在/8OC內(nèi)，2/BOE=/EOC,

ZDOE=70%ZEOC=

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E

B

D,

AOC

2

10.如圖，ZAOC=/COD=NBOD,則0。平分,OC平分,-ZAOB==

三、解答題

II.如紹，。是直線CE上一點(diǎn)，以。為頂點(diǎn)作NAOB=90。，且。4,08位于直線CE兩側(cè)，OB平分NCOD.

⑴當(dāng)ZAOC=600時(shí)，求/")￡的度數(shù)；

⑵請(qǐng)你猜想NAOC和/。。石的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

12.已知NAOB=84。，OM,QV分別是N8O。和N4OC的平分緣

(1)當(dāng)射線0。在/80〃內(nèi)部時(shí)，求/MON的度數(shù)：/MON的值隨著OC在/AOH內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)是否變化，為什么？

(2)當(dāng)OC在/AOA外部時(shí)，/MQV的值是否會(huì)隨著OC的轉(zhuǎn)變而變化？簡(jiǎn)單說(shuō)明理由.

13.如圖，08是NAOO的平分線，0。是N8。。的平分線，NAO。與/8OC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

O

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14.如圖，在/AOC中，射線OE平分/AOC,連接08,射線平分N8OC.

（【）若N4OA是直角，NAOC=70。，求NEO廠的度數(shù)：

⑵若NAOC+NEO尸=170°,N8OC=80。，則NCOE是多少度？

15.如圖所示，A8為一條直線，OC是NAOD的平分線，OE在N8OD內(nèi)，ZDOE=ZAOD,4coE=M,求4EOB

的度數(shù).

參考答案

定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線叫做這個(gè)角的平分線。

性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。

判定：在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。

尺規(guī)作圖：

①以角的頂點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交角的兩邊于兩點(diǎn)；

②分別以這兩點(diǎn)為圓心,大于兩點(diǎn)間距離一半的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧在角的內(nèi)部交于一點(diǎn):

③過(guò)角的頂點(diǎn)和這個(gè)交點(diǎn)作射線，即為角的平分線。

一、單選題

1.如圖，直線AB,CO交于點(diǎn)0,射線OM平分/AOC,若4OC=76。，則NAQM等于（）

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A

A.380B,104°C.142°D.144°

【答案】C

【分析】本題考查了角平分線的定義.根據(jù)角平分線的定義求出的度數(shù)，然后根據(jù)平角等于180。列式計(jì)算

即可得解.

【詳解】解：???/4OC=76。，射線OM平分NAOC,

?.ZAOM=-ZAOC=-x760=38。，

22

/.ZBOM=1SO°-ZAOM=180。-38。=142。.

故選：C.

2.下列關(guān)于角平分線的說(shuō)法正確的是（〉

A.角的平分線是一條線段

B.角的平分線是平分這個(gè)角的直線

C.在角的內(nèi)部，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的?條直線

D.在角的內(nèi)部，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線

【答案】D

【分析】本題考查了角平分線的定義，角的平分線是從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，將這個(gè)角分成兩個(gè)完全相同的

角，這條射線稱(chēng)為該角的角平分線，根據(jù)角平分線的定義逐項(xiàng)分析即可得解，熟練掌握角平分線的定義是解此題的

關(guān)鍵.

【詳解】解：A、角的平分線是一條射線，故原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意：

B、角的平分線是平分這個(gè)角的射線，故原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、在角的內(nèi)部，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線，故原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

D、在角的內(nèi)部，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線，故原說(shuō)法正確，符合題意；

故選：D.

3.以下說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）

①半圓是??；②三角形的角平分線是射線：③在一個(gè)三角形中至少有一個(gè)角不大于60。；

④過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)可以畫(huà)無(wú)數(shù)條弦；⑤所有角的度數(shù)都相等的多邊形是正多邊形.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

第5頁(yè)共14頁(yè)

【分析】本題主要考查圓的基本認(rèn)識(shí)，角平分線，三角形的內(nèi)角和定理，正多邊形的概念，命題等知識(shí)；根據(jù)以上

知識(shí)及定義逐一判斷即可.

【詳解】解：圓的任意一條直徑的端點(diǎn)將圓分成兩條弧，每一條弧都叫作半圓，故①正確；

根據(jù)三角形角平分線的定義可知，三角形的角平分線是一條線段，故②錯(cuò)誤；

假設(shè)三角形三個(gè)內(nèi)角都大于60,則其內(nèi)角和將大于18。，與三角形內(nèi)角和定理矛盾，故在一個(gè)三角形中至少有一

個(gè)角不大于60。，③正確；

過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直線，這些直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)連接成的線段即為弦，故可以畫(huà)無(wú)數(shù)條花，故④正確；

長(zhǎng)方形的四個(gè)角都相等，都等于90。，而長(zhǎng)方形不是正四邊形，故⑤錯(cuò)誤.

正確的個(gè)數(shù)為3個(gè)，

故選：C.

4.如圖，兩個(gè)直角共頂點(diǎn)0,下列結(jié)論：①NAOC=NBOD；②乙4。C+NA。。=90。；③若OC平

分/AOB,則08平分/C8；④NAO。的平分線與NCO3的平分線是同一條射線.其中不正確的個(gè)數(shù)有().

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】本題主要考查了角的計(jì)算，角平分線的定義，理解角平分線的定義，熟練掌握角的計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

①依題意得4O8=NCd>=90",則4OC+/BOC=/BOD+/BOC,由此可對(duì)該結(jié)論進(jìn)行判斷；

②假設(shè)NAOC+N8">=90。，則NAOC=N8OO=45。，進(jìn)而得N8OC=45。，根據(jù)已知條件無(wú)法判定N8OC=45。，

由此可對(duì)該結(jié)論進(jìn)行判斷；

③根據(jù)OC平分/AO8得NAOC=N8OC=45。，則NAOC=N38=45。，進(jìn)而得NBOC=N8QD=45。，然后根據(jù)

角平分線的定義可對(duì)該結(jié)論進(jìn)行判斷；

④設(shè)?！昶椒?00,則NAOE=NQOE,再根據(jù)=/笈。力得NCOE=N4OE,則CE平分NCO4,由此可

對(duì)該結(jié)論進(jìn)行判斷；綜上所述即可得出答案.

【詳解】解：①和NCOQ都是直角，

/.ZAOB=ZCOD=W,

???ZAOC+ZBOC=/BOD+ZBOC,

:?NAOC=NBOD,

第6頁(yè)共14頁(yè)

故結(jié)論①正確：

②假設(shè)ZAOC+ZBOD=90°,

QZAOC=/BOD,

/.ZAOC=ZBOD=45°,

???ZAOB=90°,

ZBOC=ZAOB-ZAOC=45°,

根據(jù)已知條件無(wú)法判定NBOC=45。,

故結(jié)論②不正確，

③平分/AO3,ZAOB=90°,

/.ZAOC=NBOC=-AAOB=45°,

2

又QZAOC=/BOD,

，NBOD=45。,

ZI3OC-/BOD-45°,

OB平分NCOQ,

故結(jié)論③正確：

④設(shè)OE平分NAOD,如圖所示：

:.ZAOC+ZCOE=/BOD+NBOE,

QZAOC=/BOD,

NCOE=/BOE,

???OE平分NCOB,

即440。的平分線與NCO3的平分線是同一條射線，

故結(jié)論④正確，

故選：A.

5.如圖，直線A3、CD相交于點(diǎn)。，OE平分NBOD,ZAOC=68°,則/AOE的度數(shù)是（）

第7頁(yè)共14頁(yè)

D

A.340B,146°C.112°D.68°

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，得N8QZ)=ZAOC=68。，結(jié)合OE平分N8OO,求得NBOE=；NBOD,根據(jù)4OE+ZAOE=180°,

解答即可.

本題考查了平角的定義，角的平分線，對(duì)頂角相等，熟練掌握角的平分線，平角的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：VO七平分N8O。，

NDOE=ABOE=-ZBOD,

2，

*.?ZmD=ZAOC=68°,

NDOE=NBOE=M。,

Z5OE+ZAOE=180°,

JNAOE=146。，

故選：B.

二、填空題

6.如圖，已知408=120。，0。平分NAOC,0E平分/8OC,則NDOE二.

【答案】60。/60度

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及有關(guān)角的計(jì)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì).

根據(jù)角平分線的定義得到NCOO=2NAOC,NCOK=GNBOC,根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論.

22

【詳解】解：:0。平分NAOC,0E平分/BOC,

???NCOD=-ZAOC,ZCOE=-NBOC,

22

???/DOE=4COD+ZCOE=1(NAOC+N8OC)=gNAOB,

NA08=120°,

第8頁(yè)共14頁(yè)

???NDOE=-NAOB=60°.

2

故答案為：60°

7.如圖，8。是V43C的角平分線，若乙鉆。=20。，則NC3。的度數(shù)是

【答案】200

【分析】本題主要考查了角平分線的定義，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)出）是角平分線得到48O=NCB。即可得解.

【詳解】Q8Z）是VABC的角平分線，

,ZABD=NCBD,

?,Z4M=20。，

/.NCBD=20。；

故答案為：20。.

8.如圖，OC平分/A04,若N8OC=28。，貝ijNAO4=.

【答案】56°

【分析】本題主要考查了角平分線的有關(guān)計(jì)算，由OC平分/AOB,N8OC=28。，即可得出NAO8=2N8OC.

【詳解】解：:OC平分NAO8,ZBOC=28°,

ZAOB=2ZBOC=2x28°=56°,

故答案為：56°

9.如圖.已知。是直線4c上一點(diǎn).。月是一條射線，。。平分/〃用，OE在/AOC內(nèi).9/ROE=/FOC,

【答案】80。/80度

【分析】本題考查了角平分線的定義，利用方程是解答本題的關(guān)鍵，難度適中.

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先設(shè)408為x。，40C為（180-力°,根據(jù)角平分線的定義、NB0E與NEOC的關(guān)系建立方程解答即可.

【詳解】解：設(shè)N4O5為x。，則N80C為（180—"。,

OD平分ZAQ8,

/.NDOB’NAOB,

2

則可得=

2

?;2/BOE=NEOC,

ZBOE=-ZBOC=”807）。

3

ZDOE=/DOB+/BOE=70°

則可得：1x+|(180-.r)=70,

解得x=60,

/.Z^OC=180°-60°=120°,

22

...NEOC=-NBOC=-xl20°=80°.

33

9

10.如圖，ZAOC=NCOD=NBOD,則OO平分,OC平分,-^AOI3==

【答案】NBOCZAODNBOCZAOD

【分析】本題考查了角平分線的定義，根據(jù)NAOC=NCOO=4OD并結(jié)合角平分線的定義可得OD平分Z30C,

OC平分乙40。，即可得解，熟練掌握角平分線的定義是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???ZAOC=ZCOD=NBOD,

?

JO。平分N8OC,OC平分ZAOD：-NAOB=NBOC=NAOD,

3

故答案為:NBOC,ZAOD,NBOC,ZAOD.

三、解答題

11.如量，。是直線CE上一點(diǎn)，以。為頂點(diǎn)作NAQ3=90。，且04,08位于直線CE兩側(cè)，OB平分NCOD.

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H

*-

⑴當(dāng)ZAOC=60"時(shí)，求NDOE的度數(shù)；

(2)請(qǐng)你猜想^AOC和NDOE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)/。0石=120。

⑵NDOE=2ZAOC,理由見(jiàn)解析

【分析】本題考查了與角平分線有關(guān)的計(jì)算.明確角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

(1)由題意知，ZBOC=ZAOB-ZAOC,由OB平分/C8,可得NBOD=NBOC,根據(jù)

ZDOE=]80°-ZBOD-ZBOC,計(jì)算求解即可；

(2)同(1〉計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：VZAOB=90°,Z4"=60°,

，ZBOC=90°-60°=30°,

,/08平分NC8,

???ZBOD=ZBOC=30°t

/.ZDOE=180°-30°-30°=120°；

(2)解：Z1DOE=2ZAOC,理由如下：

404=90。，

/.4OC=90。-ZAOC,

?I08平分NCOD,

J/BOD=ZBOC=90°—ZAOC,

???ZDOE=180°-2ZBOC=180。-2(9。。-ZAOC)=2ZAOC.

12.己知4OB=84。，OM,QV分別是NBOC和/AOC的平分線.

(I)當(dāng)射線OC在NAOB內(nèi)部時(shí)，求NMQV的度數(shù)；NMQN的值隨著OC在/AOB內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)是否變化，為什么？

(2)當(dāng)OC在NAO6外部時(shí)，/MOV的值是否會(huì)隨著OC的轉(zhuǎn)變而變化？簡(jiǎn)單說(shuō)明理由.

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【答案】(1)N/OV=42。；NMON的值隨著0C在/AO3內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)不會(huì)發(fā)生變化，理由見(jiàn)解析；

(2)NMQV的值不會(huì)隨著OC的轉(zhuǎn)變而變化，理由見(jiàn)解析.

【分析】本題考查了角平分線定義，角的和差關(guān)系.

(1)由OM,0V分別是N8OC和/AOC的平分線，可得/MON=：/AO8,從而可得答案；根據(jù)NM0N=,NA08

22

可得：/AO8不變，NMON的大小不變；

(2)據(jù)NMON=L/AOB可得：NAO8不變，ZA/QV的大小不變.

2

【詳解】(1)解：NMON的值隨著OC在-AO3內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)不會(huì)發(fā)生變化，理由如下：

OM,0V分別是230C和/AOC的平分線，

ZMOC=-ZBOC,ZNOC=-ZAOC,

22

4MON=ZMOC+NNOC=；(NBOC+/4OC)=g/AO8,

vZAOB=84°,

ZMO/V=-x84°=42°.

2

即乙MON的值隨著OC在/AOS內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)不會(huì)發(fā)生變化；

(2)解：NMON的值不會(huì)隨著OC的轉(zhuǎn)變而變化，理由如下：

/.4MON=Z.NOC-NMOC=g(/AOC-/BOC)=gNAOB,

vZAOB=84°,

ZMO7V=-x84°=42°.

2

即AMON的值不會(huì)隨著OC的轉(zhuǎn)變而變化.

13.如圖，08是NAO力的平分線，0C是/800的平分線，40。與N3OC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

O

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【答案】ZAOD=4ZBOC

【分析】設(shè)NC8=x,由題意可得N8OD=2x,Z4OD=4.r,則乙40。與/80C的數(shù)量關(guān)系可一目了然.

【詳解】解：設(shè)NC0D=x,

0C是NB0。的平分線，

4B0D=24C0D=2x,

08是NAQD的平分線，

/.ZAOD=2ZBOD=22.v=4x,

ZAOD=4ZBOC.

【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義，用含有一個(gè)字母的代數(shù)式表示出兩個(gè)角度，觀察兩個(gè)代數(shù)式之間的數(shù)量關(guān)

系即可得出兩個(gè)角度之間的數(shù)量關(guān)系.

14.如圖，在—AOC中，射線。七平分N40C,連接04,射線。尸平分N4OC.

（1）若249B是直角，ZBOC=70°,求/￡O/的度數(shù)：

⑵若NAOC+NEOf^WO0,N30C=80。，則NCOE是多少度？

【答案】（1）45。

（2）70°

【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的計(jì)算，找準(zhǔn)角之間的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵：

（1）根據(jù)直角結(jié)合角的和差關(guān)系得到/AOC的度數(shù)，角平