高數(shù)二試卷及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)，因為A.左導(dǎo)數(shù)不存在B.右導(dǎo)數(shù)不存在C.左右導(dǎo)數(shù)存在但不相等D.左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等答案：C2.極限lim(x→0)(sinx/x)等于A.0B.1C.∞D(zhuǎn).不存在答案：B3.函數(shù)f(x)=x^3-3x+2的拐點為A.(0,2)B.(1,0)C.(2,2)D.(1,2)答案：D4.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得A.f(ξ)=0B.f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)C.f(ξ)=f(b)-f(a)D.f(ξ)=f(a)+f(b)答案：B5.函數(shù)f(x)=e^x的麥克勞林展開式的前三項為A.1+x+x^2B.1+x+x^2/2C.1+x+x^2/6D.1+x+x^3答案：B6.若級數(shù)Σ(a_n)收斂，則下列級數(shù)中一定收斂的是A.Σ(2a_n)B.Σ(a_n^2)C.Σ((-1)^na_n)D.Σ(a_n/n)答案：A7.函數(shù)f(x)=sin(x^2)在[0,π]上的平均值等于A.0B.1C.2D.π答案：A8.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞增，則f(x)在(a,b)內(nèi)的原函數(shù)F(x)滿足A.F'(x)=f(x)B.F'(x)≥f(x)C.F'(x)≤f(x)D.F'(x)=f(x)+C答案：A9.函數(shù)f(x)=ln(x)在x=1處的泰勒展開式的第二項為A.-1B.1C.-1/2D.1/2答案：C10.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(x)≥0，則∫[a,b]√f(x)dx的幾何意義是A.以y=f(x)為曲邊，[a,b]為底的曲邊梯形的面積B.以y=√f(x)為曲邊，[a,b]為底的曲邊梯形的面積C.以y=f(x)為曲邊，[a,b]為底的曲邊三角形的面積D.以y=√f(x)為曲邊，[a,b]為底的曲邊三角形的面積答案：B二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在x=0處可導(dǎo)的有A.f(x)=x^2B.f(x)=|x|C.f(x)=x^3D.f(x)=sin(x)答案：A,C,D2.極限lim(x→∞)(x^2/e^x)等于A.0B.1C.∞D(zhuǎn).不存在答案：A3.函數(shù)f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的凹凸區(qū)間為A.(-∞,1)上凸，(1,∞)上凹B.(-∞,1)上凹，(1,∞)上凸C.(-∞,2)上凸，(2,∞)上凹D.(-∞,2)上凹，(2,∞)上凸答案：B4.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得A.f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)B.f(ξ)=f(a)+f(b)/2C.f(ξ)=0D.f(ξ)=f(b)-f(a)答案：A5.函數(shù)f(x)=cos(x)的泰勒展開式在x=0處的第四項為A.-x^4/4!B.x^4/4!C.-x^3/3!D.x^3/3!答案：A6.下列級數(shù)中，收斂的有A.Σ(1/n)B.Σ(1/n^2)C.Σ((-1)^n/n)D.Σ(1/n^3)答案：B,D7.函數(shù)f(x)=x^2在[1,2]上的平均值等于A.1B.2C.3D.5答案：B8.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞減，則f(x)在(a,b)內(nèi)的原函數(shù)F(x)滿足A.F'(x)=f(x)B.F'(x)≤f(x)C.F'(x)=f(x)+CD.F'(x)≥f(x)答案：A,B9.函數(shù)f(x)=e^x在x=0處的泰勒展開式的第三項為A.x^2/2B.x^3/6C.x^2/6D.x^3/2答案：B10.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(x)≥0，則∫[a,b]f(x)dx的幾何意義是A.以y=f(x)為曲邊，[a,b]為底的曲邊梯形的面積B.以y=f(x)為曲邊，[a,b]為底的曲邊三角形的面積C.以y=√f(x)為曲邊，[a,b]為底的曲邊梯形的面積D.以y=√f(x)為曲邊，[a,b]為底的曲邊三角形的面積答案：A三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)f(x)在x=0處可導(dǎo)，則f(x)在x=0處連續(xù)。答案：正確2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在(a,b)內(nèi)必有最大值和最小值。答案：正確3.函數(shù)f(x)=x^3在x=0處有拐點。答案：錯誤4.若級數(shù)Σ(a_n)收斂，則Σ(a_n^2)也收斂。答案：正確5.函數(shù)f(x)=sin(x)在[0,π]上的平均值等于2。答案：錯誤6.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞增，則f(x)在(a,b)內(nèi)的原函數(shù)F(x)滿足F'(x)=f(x)。答案：正確7.函數(shù)f(x)=e^x在x=0處的泰勒展開式的前三項為1+x+x^2。答案：正確8.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(x)≥0，則∫[a,b]√f(x)dx的幾何意義是以y=f(x)為曲邊，[a,b]為底的曲邊梯形的面積。答案：正確9.函數(shù)f(x)=x^2在[1,2]上的平均值等于1.5。答案：正確10.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞減，則f(x)在(a,b)內(nèi)的原函數(shù)F(x)滿足F'(x)≤f(x)。答案：正確四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述函數(shù)在某點處可導(dǎo)的幾何意義。答案：函數(shù)在某點處可導(dǎo)的幾何意義是該點處切線存在且切線斜率等于該點的導(dǎo)數(shù)值。2.簡述級數(shù)收斂的必要條件。答案：級數(shù)收斂的必要條件是級數(shù)的通項a_n趨于0。3.簡述函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)的必要條件。答案：函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)的必要條件是該區(qū)間上任意一點的極限值等于該點的函數(shù)值。4.簡述定積分的幾何意義。答案：定積分的幾何意義是以被積函數(shù)為曲邊，積分區(qū)間為底的曲邊梯形的面積。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)f(x)=x^3-3x在[0,3]上的單調(diào)性和極值。答案：函數(shù)f(x)=x^3-3x在[0,3]上的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，解得x=±1。在區(qū)間[0,3]上，f'(x)在x=1處由正變負(fù)，因此x=1是極大值點，極大值為f(1)=-2。在區(qū)間[0,3]上，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，在[1,3]上單調(diào)遞減。2.討論級數(shù)Σ(1/n^p)的收斂性。答案：級數(shù)Σ(1/n^p)的收斂性取決于p的值。當(dāng)p>1時，級數(shù)收斂；當(dāng)p≤1時，級數(shù)發(fā)散。3.討論函數(shù)f(x)=e^x在x=0處的泰勒展開式的應(yīng)用。答案：函數(shù)f(x)=