結(jié)構(gòu)力學(xué)必修·學(xué)科基礎(chǔ)課城市建設(shè)學(xué)院第八章位移法8.1位移法的基本概念一、位移法的提出：

從理論上講，用力法可以分析各種（所有）超靜定結(jié)構(gòu)。困難是當(dāng)未知量較多時(shí)，力法方程不易求解。這個(gè)困難對(duì)于計(jì)算工具落后（無(wú)電子計(jì)算機(jī)）的年代，是一個(gè)很難解決的問(wèn)題。20世紀(jì)初，在力法的基礎(chǔ)上提出了位移法，位移法最主要的研究對(duì)象是高次超靜定剛架（多層多跨剛架）。二、位移法涉及的結(jié)構(gòu)與體系1、原結(jié)構(gòu)：超靜定結(jié)構(gòu)2、原體系：超靜定結(jié)構(gòu)+外部因素3、基本結(jié)構(gòu)：?jiǎn)慰绯o定梁4、基本體系：原結(jié)構(gòu)+附加剛臂+附加鏈桿三、力法和位移法的區(qū)別1.力法的基本未知量是多余約束力，去掉多余約束，列位移協(xié)調(diào)方程（力法方程）求解。位移法的基本未知量是獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)位移，加約束，然后列力系平衡方程（位移法方程）。2.基本結(jié)構(gòu)不同3.約束處理方式不同四、位移法的解題思路R11基本結(jié)構(gòu)僅發(fā)生轉(zhuǎn)角Z1時(shí)產(chǎn)生的力。R1p基本結(jié)構(gòu)在荷載單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的力。r11基本結(jié)構(gòu)僅在Z1=1時(shí)產(chǎn)生的力，8.2（單跨超靜定梁）等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程一、轉(zhuǎn)角位移方程的定義:等截面直桿（單跨超靜定梁）在桿端發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)或移動(dòng)以及外荷載、溫度等外因作用下的桿端彎矩和剪力。單跨超靜定梁的桿端彎距和桿端剪力的表達(dá)式。二、為何要研究等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程1.位移法是以等截面直桿（單跨超靜定梁）為計(jì)算基礎(chǔ)的。2.漸近法中也要用到轉(zhuǎn)角位移方程。三、桿端力的表示方法和正負(fù)規(guī)定

1.彎矩：MAB表示AB桿A端的彎矩。對(duì)桿端而言，順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)；對(duì)結(jié)點(diǎn)或支座而言，順時(shí)針為負(fù)，逆時(shí)針為正。與前面規(guī)定不同。桿端彎矩及其正負(fù)號(hào)規(guī)定

2.剪力和軸力：QAB表示AB桿A端的剪力。順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)。NAB表示AB桿A端的軸力。拉力為正，壓力為負(fù)。與前面規(guī)定相同。PBAQBA0QAB0四、轉(zhuǎn)角位移方程的三種類(lèi)型1、兩端為固定端（支座）的單跨超靜定梁2、一端為固定端支座，另一端為可動(dòng)鉸支座的單跨超靜定梁。3、一端為固定端支座，另一端為滑動(dòng)支座的單跨超靜定梁。1、兩端為固定端（支座）的單跨超靜定梁1.梁的一端發(fā)生角位移

如圖8-4a所示兩端固定的梁，A端發(fā)生順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)角

，而B(niǎo)端固定不動(dòng)，這時(shí)用力法可求得其桿端彎矩和桿端剪力如下:五、線(xiàn)剛度：令i=EI/l

4iФA2iФA6i/lФA4i2i6i/l當(dāng)ФA=11.支座移動(dòng)單獨(dú)作用產(chǎn)生的桿端彎矩和桿端剪力。2.梁的兩端發(fā)生垂直于桿軸線(xiàn)方向的相對(duì)線(xiàn)位移如圖8-5a所示為兩端固定的梁，其兩端在垂直于桿軸線(xiàn)方向發(fā)生相對(duì)線(xiàn)位移，用力法求得其桿端彎矩和桿端剪力如下五、線(xiàn)剛度：令i=EI/l

6i/l6i/l12i/l2=1五、形常數(shù)：?jiǎn)慰绯o定梁由于支座移動(dòng)產(chǎn)生的桿端彎矩和桿端剪力稱(chēng)為等截面直桿的剛度系數(shù)。六、載常數(shù)：即固端彎矩、固端剪力：?jiǎn)慰绯o定梁由于荷載和溫度變化產(chǎn)生的桿端彎矩稱(chēng)為固端彎矩，相應(yīng)的剪力稱(chēng)為固端剪力。用MFAB、MFBA、QFAB、QFBA

表示。8.3基本未知量數(shù)目的確定一、基本未知量（結(jié)點(diǎn)位移）1.結(jié)點(diǎn)角位移2.結(jié)點(diǎn)線(xiàn)位移二、桿端力的表示方法和正負(fù)規(guī)定1.彎矩：MAB表示AB桿A端的彎矩。對(duì)桿端而言，順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)；對(duì)結(jié)點(diǎn)或支座而言，順時(shí)針為負(fù)，逆時(shí)針為正。2.剪力和軸力：QAB表示AB桿A端的剪力。順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)。NAB表示AB桿A端的軸力。拉力為正，壓力為負(fù)。與前面規(guī)定相同，三、如何確定基本未知量1.結(jié)點(diǎn)角位移:一個(gè)剛結(jié)點(diǎn)就有一個(gè)結(jié)點(diǎn)角位移。在剛結(jié)點(diǎn)處加上附加剛臂。2.結(jié)點(diǎn)線(xiàn)位移：在結(jié)點(diǎn)會(huì)發(fā)生線(xiàn)位移的方向上加上鏈桿,加入的附加鏈桿數(shù)就是結(jié)點(diǎn)線(xiàn)位移的個(gè)數(shù)。

3.結(jié)點(diǎn)角位移與結(jié)點(diǎn)線(xiàn)位移的總和即為基本未知量數(shù)目。三、確定結(jié)點(diǎn)線(xiàn)位移的方法1.利用技巧:無(wú)側(cè)向約束的剛架，一層一個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線(xiàn)位移。2.鉸化結(jié)點(diǎn)、增設(shè)鏈桿法：將所有結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為鉸結(jié)點(diǎn)，分析鉸化結(jié)構(gòu)的幾何組成，用添加鏈桿的方法使其成為幾何不變體系，所加鏈桿數(shù)即為結(jié)構(gòu)的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線(xiàn)位移數(shù)。a）原結(jié)構(gòu)

b）基本結(jié)構(gòu)四、確定基本未知量舉例：1角1線(xiàn)1角2線(xiàn)2角1線(xiàn)2角2線(xiàn)8.4位移法的典型方程及計(jì)算步驟一、位移法典型方程建立位移法方程的條件、位移法方程及各符號(hào)的意義：1、典型方程表達(dá)式：rii:主系數(shù)rij:副系數(shù)Rip:自由項(xiàng)

rij=rji2、位移法典型方程說(shuō)明：（1）主系數(shù)、副系數(shù)、自由項(xiàng)。（2）系數(shù)和自由項(xiàng)：附加剛臂和附加鏈桿處的反力矩和反力。（3）位移法的實(shí)質(zhì)：以結(jié)點(diǎn)未知位移表示的靜力平衡條件。a）原結(jié)構(gòu)

b）基本結(jié)構(gòu)

c）基本體系（1）選取位移法基本體系，確定基本未知量；（2）寫(xiě)出位移法方程；（3）繪單位彎矩圖、荷載彎矩圖，計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)；（4）解出基本未知量Zi；（5）按照M=M1Z1+M2Z2+……MnZn+MP繪彎矩圖；（6）繪剪力圖、軸力圖。3、位移法解題步驟:8.5位移法應(yīng)用舉例例8-2

試用位移法計(jì)算如圖8-18a所示的剛架，并繪出結(jié)構(gòu)的彎矩圖。各桿件EI為常數(shù)。解：1.確定基本未知量數(shù)目，加上附加約束得到基本結(jié)構(gòu)。2.寫(xiě)出位移法方程

圖

圖

圖3（1）查表繪單位彎矩圖,荷載彎矩圖。CD桿查表8-1的1圖，MCD=4iMDC=2iBC桿查表8-1的3圖，MCB=3iMBC=0

圖

CD桿查表8-1的2圖，MCD=-6i/l=-3i/2MDC=-6i/l=-3i/2繪圖時(shí)可參考圖8-5。AB桿查表8-1的4圖，MAB=-3i/l=-3i/4MBA=0AB桿查表8-2的11圖，MABF=-ql2/8=-40MBAF=0繪圖時(shí)考慮疊加法。3（2）由平衡條件計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。角標(biāo)1表示反力所屬的附加約束（基本未知量），角標(biāo)2表示引起該反力的原因。附加剛臂處合力矩=0，附加鏈桿處合力=0求r11，r12，R1p：分析Z1處，以結(jié)點(diǎn)C為隔離體，1求r11，分析

圖由根據(jù)結(jié)點(diǎn)C的力矩

平衡得：根據(jù)結(jié)點(diǎn)C的力矩

平衡得：

、

、

都是附加鏈桿中產(chǎn)生的反力，分別是附加剛臂、附加鏈桿發(fā)生單位位移以及外荷載作用下所產(chǎn)生的，可以截取剛架的某一部分為隔離體，利用力的投影方程求得。從

圖中取橫梁為隔離體，如下圖a所示，

得：從

圖中取橫梁為隔離體，如下圖b所示，

得：從

圖中取橫梁為隔離體，如下圖c所示，

得：a）求

隔離體圖

b）求

隔離體圖c）求

隔離體圖

將求得的剛度系數(shù)和自由項(xiàng)數(shù)值代入位移法方程得：解方程得：根據(jù)疊加原理繪出該剛架的彎矩圖例：用位移法計(jì)算圖示連續(xù)梁，繪彎矩圖。各桿EI為常數(shù)。解：1、選取位移法基本體系，確定基本未知量數(shù)目。2、寫(xiě)出位移法方程3.（1）查表繪單位彎矩圖、荷載彎矩圖。AB和BC桿查表8-1的1圖。MBA=4i=2EI/3

MBC=4i=2EI/3

MAB=2i=EI/3

MCB=2i=EI/33.（1）查表繪單位彎矩圖、荷載彎矩圖。BC桿查表8-1的1圖，CD桿查表8-1的3圖。MCB=4i=2EI/3MCD=3i=EI/2MBC=2i=EI/3MDC=03.（1）查表繪單位彎矩圖、荷載彎矩圖。AB桿查表8-2的2圖。MABF=-pl/8=-22.5MBAF

=pl/8=22.5集中荷載作用處彎矩有突變,突變值為

pl/4。CD桿查表8-2的11圖，繪圖采用疊加法。MCDF=-ql2/8=-45MDCF=04、求出各基本未知量3、（2）計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)，利用合力矩=05、按M=M1Z1+M2Z2+MP繪彎矩圖8.6直接利用平衡條件建立位移法方程一、“新法”與“老法”的區(qū)別1、新法：不通過(guò)基本體系，直接依據(jù)“轉(zhuǎn)角位移方程”，由原結(jié)構(gòu)取隔離體，利用靜力平衡條件直接建立位移法方程的方法。2、老法：通過(guò)位移法典型方程和基本未知量的數(shù)目列位移法方程，進(jìn)而求解結(jié)點(diǎn)未知位移的方法。二、新法的解題步驟1.確定基本未知量數(shù)目；（同老法）2.查表寫(xiě)出桿端彎矩和桿端剪力的表達(dá)式；3.根據(jù)靜力平衡條件列位移法方程；4.解出基本未知量Zi；（同老法）5.將求得的Zi代回桿端彎矩表達(dá)式，求各桿端彎矩值，繪彎矩圖。6.繪剪力圖、軸力圖。例8-2:求圖示剛架，繪彎矩圖。各桿EI相同。解：該剛架有一個(gè)角位移未知量

和一個(gè)線(xiàn)位移未知量

，取基本體系如圖b所示。

b）基本體系根據(jù)基本體系附加剛臂和附加鏈桿上的反力矩和反力為零的條件，可建立位移法的典型方程：分別繪制出

圖、

圖和

圖

a）

圖b）

圖

c）

圖

在a圖中根據(jù)結(jié)點(diǎn)C的力矩平衡得：在b圖中根據(jù)結(jié)點(diǎn)C的力矩平衡得：在c圖中根據(jù)結(jié)點(diǎn)C的力矩平衡得：a）求

隔離體圖b）求

隔離體圖c）求

隔離體圖從

圖中取橫梁為隔離體，如圖a所示，

得：

從

圖中取橫梁為隔離體，如圖b所示，

得：

從

圖中取橫梁為隔離體，如圖c所示，

得：

將求得的剛度系數(shù)和自由項(xiàng)數(shù)值代入位移法方程得：解方程得：根據(jù)疊加原理,按繪出該剛架的彎矩圖:8.7對(duì)稱(chēng)性的利用一、半剛架法：

用半個(gè)剛架的計(jì)算簡(jiǎn)圖代替原結(jié)構(gòu)對(duì)剛架進(jìn)行分析的方法。二、奇數(shù)跨對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)1、對(duì)稱(chēng)荷載作用：用帶有定向支座的半剛架代