結(jié)構(gòu)力學(xué)必修·學(xué)科基礎(chǔ)課城市建設(shè)學(xué)院第九章漸近法9.1概述一.漸近法分類：力法和位移法，是求解超靜定結(jié)構(gòu)的兩種基本方法，這兩種方法都要求建立和求解典型方程。當(dāng)未知數(shù)目較多時，解聯(lián)立方程的工作是非常繁重的。為了避免組成和求解聯(lián)立方程，人們又尋求便于實際應(yīng)用的計算方法，于是陸續(xù)出現(xiàn)了各種漸近法。本章主要介紹其中應(yīng)用較廣范的力矩分配法、無剪力分配法和剪力分配法。力矩分配法和無剪力分配法都是以位移法為基礎(chǔ)，采用逐次漸近的方法，其結(jié)果的精確度隨著計算輪次的增加而提高，最后收斂于精確解，而每-輪的計算都是按同一步驟進(jìn)行的，每一步都有明確的物理意義，因而便于理解掌握，在結(jié)構(gòu)設(shè)計中被廣泛采用。二.各種漸近法的適用條件：

力矩分配法適用于連續(xù)梁和無結(jié)點線位移的剛架;無剪力分配法適用于某些特殊剛架，例如單跨多層的對稱剛架在反對稱荷載作用下的內(nèi)力計算;剪力分配法適用于無結(jié)點角位移的結(jié)構(gòu)。此外，各種方法還可以聯(lián)合應(yīng)用。

9.2力矩分配法的基本原理一、力矩分配法中的三個概念1、轉(zhuǎn)動剛度（Sij）：查表8-1使等截面直桿某桿端（近端）發(fā)生單位轉(zhuǎn)角

=1時，在該端（近端）所需施加的力矩。AB遠(yuǎn)端固定

lEI1SAB=4EI/lABlEISAB=EI/l遠(yuǎn)端滑動

1ABlEISAB=3EI/l1遠(yuǎn)端鉸支

ABlEI遠(yuǎn)端自由

SAB=012、傳遞系數(shù)（Cij）：桿件遠(yuǎn)端彎矩與近端彎矩之比稱為傳遞系數(shù)。CAB=2i

A/4i

A=1/2ABlEIφA4iφA2iφACAB=0/3i

A=0ABlEIφA3iφA0CAB=-i

A/i

A=-1ABlEIφAiφA-iφA3、分配系數(shù)（μij）：桿ij的轉(zhuǎn)動剛度與匯交于i結(jié)點的所有桿件轉(zhuǎn)動剛度之和的比值。a）單節(jié)點剛架b）A節(jié)點平衡

力矩分配法的一個計算單元產(chǎn)生的彎矩分別為取A結(jié)點作隔離體（上圖b），由得式中，為匯交于A結(jié)點的各桿A端轉(zhuǎn)動剛度之和。二、力矩分配法的思路和步驟1、解題思路ACBP1P2MABMBCMBA(a)MCBMfABMfBCMfBAMfCBACBP1P2(b)MBMBMfBCMfBAMABcMBCfμMBAμMCBcM'ACB(c)2、解題步驟（1）在剛結(jié)點上加上附加剛臂，使原結(jié)構(gòu)成為單跨超靜定梁的組合體，查表8-1計算分配系數(shù)μij

。（2）查表8-2計算各桿的固端彎矩，利用平衡條件求出結(jié)點的不平衡彎矩。（3）將不平衡彎矩反號，按分配系數(shù)μij

、傳遞系數(shù)Cij先進(jìn)行近端分配、再進(jìn)行遠(yuǎn)端傳遞。（4）將各桿的固端彎矩、分配彎矩、傳遞彎矩相加，即得各桿的最后彎矩。例9-1:試用力矩分配法計算圖示連續(xù)梁，繪彎矩圖。解：1）固定結(jié)點。在B結(jié)點上附加一剛臂（圖b），計算各桿分配系數(shù)、固端彎矩。

令則2）放松結(jié)點B，B結(jié)點上的不平衡力矩（b）固定節(jié)點B將其反號后加在B結(jié)點上（圖c），計算分配彎矩、傳遞彎矩。（c）放松節(jié)點B3）將以上兩結(jié)果疊加，即得到最后的桿端彎矩。d）彎矩圖（kN·m）例9-2試作如圖9-5a所示剛架的彎矩圖。解：1）固定節(jié)結(jié)點。在Ａ結(jié)點上附加一剛臂（圖b），計算各桿分配系數(shù)、固端彎矩。a）原結(jié)構(gòu)b）固定結(jié)點A2）放松結(jié)點A，A結(jié)點上的不平衡力矩將其反號后加在A結(jié)點上（圖9-5c），計算分配彎矩、傳遞彎矩。c）放松結(jié)點Ae）分配傳遞過程3）將以上兩結(jié)果疊加，即得到最后的桿端彎矩。d）彎矩圖（kN·m）9.3用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架一、基本概念1、力矩分配法是一種漸近法。2、每次只放松一個結(jié)點。3、一般從不平衡彎矩絕對值較大的結(jié)點算起。

二、計算步驟1、確定各結(jié)點處桿端力矩的分配系數(shù)、傳遞系數(shù)。2、查表確定各桿端的固端彎矩。3、逐次循環(huán)放松各結(jié)點，以使結(jié)點彎矩平衡，直至結(jié)點上的傳遞彎矩小到可以略去不計為止。一、基本概念1、力矩分配法是一種漸近法。2、每次只放松一個結(jié)點。3、一般從不平衡彎矩絕對值較大的結(jié)點算起。

二、計算步驟1、確定各結(jié)點處桿端力矩的分配系數(shù)、傳遞系數(shù)。2、查表確定各桿端的固端彎矩。3、逐次循環(huán)放松各結(jié)點，以使結(jié)點彎矩平衡，直至結(jié)點上的傳遞彎矩小到可以略去不計為止。4、將各桿端的固端彎矩與歷次分配彎矩、傳遞彎矩相加，即得各桿端的最后彎矩。例9-3

用力矩分配法計算如圖9-7a所示的連續(xù)梁，并繪M圖。解：由于AB部分的內(nèi)力是靜定的，可將荷載所產(chǎn)生的彎矩和剪力作為外力加在B結(jié)點上，如圖9-7b所示。a）原結(jié)構(gòu)b）等效結(jié)構(gòu)圖1）將C、D、E各結(jié)點加上附加剛臂，計算固端彎矩即分配系數(shù)。2）將結(jié)點輪流放松進(jìn)行力矩的分配和傳遞，為了使計算時收斂較快，分配宜從不平衡力矩數(shù)值較大的結(jié)點開始，可先放松結(jié)點C，由于放松結(jié)點C時，結(jié)點D是固定的，所以可以同時放松結(jié)點E因此，凡不相鄰的各結(jié)點每次均可同時放松，這樣便可加快收斂的速度。整個計算過程見圖9-7c。c）力矩分配與傳遞過程計算桿端最后彎矩，并繪彎矩圖（圖9-7d）d）彎矩圖（kN·m）例9-4用力矩分配法計算如圖9-8a所示的剛架，并繪M圖。解：1）將結(jié)點B、結(jié)點C固定，計算分配系數(shù)及固端彎矩。令結(jié)點C：結(jié)點B：2）將結(jié)點B、C兩結(jié)點輪流放松，進(jìn)行力矩的分配和傳遞，計算過程見圖9-8b。3）計算桿端最后彎矩，并繪M圖（圖9-8c）。9．4無剪力分配法一、無剪力分配法的應(yīng)用條件PPPP/2P/2P/2ABCDFEGP/2P3P/2ABDFP/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2剛架中除兩端無相對線位移的桿件外，其余桿件都是剪力靜定桿件。二、無剪力分配法的解題步驟1、固定結(jié)點，加附加剛臂以阻止結(jié)點的轉(zhuǎn)動，但不阻止線位移，計算各桿分配系數(shù)及各桿在荷載作用下的固端彎矩；2、放松結(jié)點，使結(jié)點產(chǎn)生角位移和線位移，求各桿的分配彎矩和傳遞彎矩。3、將以上兩步的桿端彎矩疊加，即得原剛架的桿端彎矩。三、例題9-5試用無剪力分配法計算圖示剛架,繪M圖。20kN20kNi2i4i4iABCDEBC20kNAB40kN20kN20kN20kN20kN20kN20kN20kN20kNAB4mC40kN40kN4m4m8m2i2i2iii2iA’B’C’9.5剪力分配法一、柱頂有水平荷載作用的鉸結(jié)排架PEI1EI2EI3h2h3h1(a)ΔΔΔ(b)Δ=1EIhd=3EI/h3(c)

側(cè)移剛度（di）及柱頂發(fā)生水平位移Δ時，各柱頂?shù)募袅Γ阂弧⒅斢兴胶奢d作用的鉸結(jié)排架PQ1=d1ΔQ2=d2ΔQ3=d3Δ(d)Q1=μ1PQ2=μ2PQ1h1Q2h2Q3h3Q3=μ3P(e)由圖（d）：代（2）入（1）：式中μ稱剪力分配系數(shù)二、橫梁剛度無限大時剛架的剪力分配圖示剛架，橫梁剛度無限大，無結(jié)點角位移，只有水平線位移Δ。側(cè)移剛度（di）及柱頂側(cè)移為Δ時，各柱的剪力：由圖（c）：代（2）入（1）：式中μ稱剪力分配系數(shù)