6．4.3余弦定理、正弦定理第1課時(shí)余弦定理——(教學(xué)方式：深化學(xué)習(xí)課—梯度進(jìn)階式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]1．借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系，了解余弦定理的推導(dǎo)過(guò)程．2．掌握余弦定理及其變形，并能利用余弦定理解決相關(guān)問(wèn)題．1．余弦定理在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，則有文字語(yǔ)言三角形中任何一邊的平方，等于___________________符號(hào)語(yǔ)言a2＝______________，b2＝______________，c2＝____________推論cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2．解三角形的定義一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的________．已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做__________．|微|點(diǎn)|助|解|(1)余弦定理的特點(diǎn)①適用范圍：余弦定理對(duì)任意的三角形都成立．②揭示的規(guī)律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個(gè)角的余弦之間的關(guān)系，它含有四個(gè)不同的量，知道其中的三個(gè)量，就可求得第四個(gè)量．(2)余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例．在△ABC中，c2＝a2＋b2?C為直角；c2＞a2＋b2?C為鈍角；c2＜a2＋b2?C為銳角．(3)利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題①已知兩邊和夾角或已知三邊能直接利用余弦定理解三角形．②若已知兩邊和一邊的對(duì)角，可以用余弦定理解三角形．eq\a\vs4\al(基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練)1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣．()(2)已知三角形的三邊求三個(gè)內(nèi)角時(shí)，解是唯一的．()(3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，則△ABC一定為鈍角三角形．()(4)在三角形中，勾股定理是余弦定理針對(duì)直角三角形的一個(gè)特例．()(5)余弦定理只適用于已知三邊和已知兩邊及夾角的情況．()2．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝2，c＝1，B＝60°，則A＝()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)3．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝eq\r(6)，c＝3，cosA＝eq\f(2,3)，則b＝()A．1 B.eq\r(3)C．3 D．1或3題型(一)已知兩邊和一角解三角形[例1](1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2eq\r(3)，A＝30°，求a的值；(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq\r(3)，B＝30°，解這個(gè)三角形．聽(tīng)課記錄：|思|維|建|模|已知兩邊及一角解三角形的兩種情況(1)若已知角是其中一邊的對(duì)角，可用余弦定理列出關(guān)于第三邊的一元二次方程求解．(2)若已知角是兩邊的夾角，則直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊，再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求其他角．[針對(duì)訓(xùn)練]1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a＝2，b＝eq\r(7)，B＝60°，則c＝()A．1 B.eq\r(3)C．3 D．1或32．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，若cosB＝eq\f(4,5)，c＝5，a＝3，則b＝()A.eq\r(58) B.eq\r(34)C.eq\r(24) D.eq\r(10)題型(二)已知三邊(或三邊關(guān)系)解三角形[例2]在△ABC中，已知a＝2eq\r(6)，b＝6＋2eq\r(3)，c＝4eq\r(3)，求A，B，C的大小．聽(tīng)課記錄：|思|維|建|模|已知三角形三邊解三角形的方法先利用余弦定理的推論求出一個(gè)角的余弦，從而求出第一個(gè)角；再利用余弦定理的推論求出第二個(gè)角；最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角．[針對(duì)訓(xùn)練]3．若△ABC的三邊長(zhǎng)分別為3,6,7，則該三角形最大角的余弦值為()A．－eq\f(1,9) B.eq\f(1,9)C.eq\f(11,21) D.eq\f(12,21)4．若三角形三邊長(zhǎng)之比是1∶eq\r(3)∶2，則其所對(duì)角之比是()A．1∶2∶3 B．1∶eq\r(3)∶2C．1∶eq\r(2)∶eq\r(3) D.eq\r(2)∶eq\r(3)∶2題型(三)判斷三角形的形狀[例3]在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，試判斷△ABC的形狀．聽(tīng)課記錄：|思|維|建|模|利用余弦定理判斷三角形形狀的方法及注意事項(xiàng)(1)利用余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．(2)統(tǒng)一成邊的關(guān)系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會(huì)出現(xiàn)漏解．[針對(duì)訓(xùn)練]5．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinB·cosC，試確定△ABC的形狀．eq\a\vs4\al(課下請(qǐng)完成課時(shí)跟蹤檢測(cè)十四)6．4.3余弦定理、正弦定理第1課時(shí)余弦定理課前預(yù)知教材1．其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC2．元素解三角形[基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練]1．(1)√(2)√(3)√(4)√(5)×2．選D因?yàn)閎2＝a2＋c2－2accosB＝1＋4－2×1×2×eq\f(1,2)＝3，所以b＝eq\r(3).因?yàn)閍2＝b2＋c2，所以△ABC為直角三角形，且AB⊥AC，故A＝eq\f(π,2).3．選D由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即6＝b2＋9－2b×3×eq\f(2,3)，整理可得b2－4b＋3＝0，解得b＝1或b＝3.課堂題點(diǎn)研究[題型(一)][例1]解：(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝32＋(2eq\r(3))2－2×3×2eq\r(3)×cos30°＝3.所以a＝eq\r(3).(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(3eq\r(3))2－2a×3eq\r(3)×cos30°，即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.當(dāng)a＝3時(shí)，A＝B＝30°，C＝120°；當(dāng)a＝6時(shí)，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝0，又0°<A<180°，所以A＝90°，C＝60°.綜上，當(dāng)a＝3時(shí)，A＝30°，C＝120°；當(dāng)a＝6時(shí)，A＝90°，C＝60°.[針對(duì)訓(xùn)練]1．選C由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得7＝4＋c2－2c，即(c－3)(c＋1)＝0，解得c＝3.故選C.2．選D由cosB＝eq\f(4,5)，c＝5，a＝3以及余弦定理得b＝eq\r(a2＋c2－2accosB)＝eq\r(9＋25－2×3×5×\f(4,5))＝eq\r(10)，故選D.[題型(二)][例2]解：根據(jù)余弦定理的推論，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(6＋2\r(3)2＋4\r(3)2－2\r(6)2,2×6＋2\r(3)×4\r(3))＝eq\f(\r(3),2).∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,6).cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(2\r(6)2＋6＋2\r(3)2－4\r(3)2,2×2\r(6)×6＋2\r(3))＝eq\f(\r(2),2).∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,4).∴B＝π－A－C＝π－eq\f(π,6)－eq\f(π,4)＝eq\f(7π,12)，∴A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(7π,12)，C＝eq\f(π,4).[針對(duì)訓(xùn)練]3．選A因?yàn)榇筮厡?duì)大角，所以邊長(zhǎng)為7的邊所對(duì)的角為最大角，設(shè)為θ，則cosθ＝eq\f(9＋36－49,2×3×6)＝－eq\f(1,9)，故選A.4．選A設(shè)三角形三邊長(zhǎng)分別為m，eq\r(3)m,2m(m＞0)，最大角為A，則cosA＝eq\f(m2＋\r(3)m2－2m2,2m·\r(3)m)＝0，∴A＝90°.設(shè)最小角為B，則cosB＝eq\f(2m2＋\r(3)m2－m2,2·2m·\r(3)m)＝eq\f(\r(3),2)，∴B＝30°，∴C＝60°.故三角形三角之比為1∶2∶3.故選A.[題型(三)][例3]解：將已知等式變形為b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosBcosC.由余弦定理并整理，得b2＋c2－b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋b2－c2,2ab)))2－c2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2ac)))2＝2bc×eq\f(a2＋c2－b2,2ac)×eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，∴b2＋c2＝eq\f([a2＋b2－c2＋a2＋c2－b2]2,4a2)＝eq\f(4a4,4a2)＝a2.∴A＝90°.∴△ABC是直角三角形．[針對(duì)訓(xùn)練]5．解：∵(a＋b＋c)(b＋c－a