3.2雙曲線

第二課時倫敦奧運會自行車賽車場獨特的雙曲線型屋頂設(shè)計讓人耳目一新，策略性屋頂設(shè)計能讓室內(nèi)擁有充足的自然光線，減少照明能耗;建筑外壁穿孔覆層能讓室內(nèi)擁有良好的自然通風(fēng);收集的雨水可作建筑它用。那么雙曲線到底有些什么幾何性質(zhì)呢？我們以為例來研究一下.(a＞0，b＞0)雙曲線上點(x,y)都滿足雙曲線在不等式x≥a與x≤－a所表示的區(qū)域內(nèi).a－ayOF1F2[問題]：通過前面的學(xué)習(xí)我們知道橢圓的圖象分布在一個矩形內(nèi)，那么雙曲線的圖象是否也分布在一個有限的范圍之內(nèi)呢？1.范圍2.對稱性雙曲線關(guān)于y軸、x軸、原點都是對稱的坐標(biāo)軸是雙曲線的對稱軸原點是雙曲線的對稱中心雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心yOxF1F2[問題]：觀察雙曲線的圖象，雙曲線是對稱圖形嗎？如果是的話你能找到它的對稱軸和對稱中心嗎？3.頂點令y＝0，得x＝±a，∴雙曲線和x軸有兩個交點A1(－a,0)、A2(a,0)雙曲線和它的對稱軸有兩個交點，它們叫做雙曲線的頂點令x＝0，得y2＝－b2，這個方程沒有實數(shù)根，則雙曲線和y軸無交點特殊點B1(0,－b)、B2(0,b)OxA1A2F1F2y=by=-bB2B13.頂點[問題]：我們知道橢圓有四個頂點，雙曲線有頂點嗎？如果有的話有幾個頂點呢？[注意]：雙曲線與坐標(biāo)軸的交點只有兩個，因此，雙曲線只有兩個頂點，B1,B2不能看作是雙曲線的頂點.3.頂點線段A1A2

叫做雙曲線的實軸線段B1B2叫做雙曲線的虛軸實軸的長等于2a虛軸的長等于2ba叫做雙曲線的實半軸長b叫做雙曲線的虛半軸長實軸與虛軸相等的雙曲線叫等軸雙曲線yOxA1A2F1F2y=by=-bB2B14.漸近線經(jīng)過A2、A1作y軸的平行線x＝±a，經(jīng)過B2、B1作x軸的平行線y＝±b，四條直線圍成一個矩形(如圖).兩條直線的漸近線.叫做雙曲線yOxA1A2B2B1F1F2ab[結(jié)論]：在討論雙曲線范圍的時候我們發(fā)現(xiàn):4.漸近線

(a＞0,b＞0)的漸近線為yOxA1A2B2B1ab[問題]：焦點在y軸的雙曲線的漸近線和焦點在x軸的雙曲線的漸近線一樣嗎？4.漸近線當(dāng)a＝b時，實軸和虛軸等長，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線.這時雙曲線方程為x2－y2＝a2，漸近線方程為x＝±y，它們互相垂直，并且平分雙曲線實軸和虛軸所成的角.5.離心率雙曲線的焦距與實軸長的比,叫做雙曲線的離心率.∵c

＞a＞0，∴e＞1．[問題]：橢圓的離心率可以反應(yīng)橢圓的圓扁程度，那么雙曲線的離心率呢？5.離心率

雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊.由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊.例1.求雙曲線的實半軸長、虛半軸長、焦點坐標(biāo)、漸近線方程和離心率，并畫出該雙曲線的草圖.

[分析]：畫草圖時先畫出漸近線，然后找到頂點坐標(biāo)，再依次近似的取幾個點坐標(biāo)，最后用光滑的曲線連接即可.例2.已知雙曲線的中心在原點，焦點在x軸上，虛半軸長為2,離心率為3，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

例3.討論直線y=x+b與雙曲線x2-y2=1的公共點的個數(shù).[分析]：在討論直線與圓錐曲線焦點問題中，用