專題14空間向量與立體幾何（解答題）6種常見考法歸類知識五年考情（20212025）命題趨勢知識1線面關(guān)系的證明（5年4考）考點01平行關(guān)系的判定2025·上海2023·全國乙卷2022·全國甲卷1.線面關(guān)系證明是基礎(chǔ)必考題平行關(guān)系（如線面平行、面面平行）和垂直關(guān)系（線面垂直、面面垂直）的判定是解答題的“保底”考點，題目通常以常見幾何體（棱柱、棱錐、棱臺等）為載體，要求結(jié)合幾何定義、判定定理進行邏輯推理，強調(diào)對空間線面位置關(guān)系的直觀感知與嚴謹論證能力，難度中等，是得分的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。2.空間角的計算是高頻重難點空間角（異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角）的求解在近5年保持“5年5考”的高頻態(tài)勢，其中二面角是絕對核心（幾乎每年必考，覆蓋全國卷、地方卷多個地區(qū)），其次是直線與平面所成角，異面直線所成角偶有涉及。題目通常需要結(jié)合空間向量法（建系、求法向量）或幾何法（作輔助線、找角）求解，既考查空間想象能力，也注重運算準(zhǔn)確性，是區(qū)分度的重要體現(xiàn)。3.空間距離的考查聚焦點到面距離空間距離的考查以“點到面的距離”為核心（近5年多次出現(xiàn)），常與體積計算、空間角綜合命題，需要借助等體積法或空間向量的投影公式求解，體現(xiàn)“空間度量”的統(tǒng)一性，難度中等偏上?？键c02垂直關(guān)系的判定2023·全國甲卷2022·全國乙卷2021·全國甲卷2021·全國乙卷知識2空間角（5年5考）考點03求異面直線所成的角2025·全國一卷2021·上海考點04求直線與平面所成的角2025·北京2024·上海2023·全國甲卷2022·上海2022·浙江2022·全國甲卷2022·全國乙卷2022·北京2021·浙江考點05求面面角或二面角2025·全國二卷2025·天津2024·新課標(biāo)Ⅰ卷2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2024·全國甲卷2024·北京2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·北京2023·上海2023·全國乙卷2022·新高考全國Ⅰ卷2022·新高考全國Ⅱ卷2022·天津2021·新高考全國Ⅰ卷2021·新高考全國Ⅱ卷2021·全國甲卷2021·全國乙卷2021·天津2021·北京知識3空間距離（5年2考）考點06求點到面的距離2024·全國甲卷2024·天津2023·天津考點01平行關(guān)系的判定

(1)若直線PA與圓錐底面的所成角為，求圓錐的側(cè)面積；【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由線面角先算出母線長，然后根據(jù)側(cè)面積公式求解.

【答案】(1)證明見解析（2）作出并證明為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.（2）過作垂直的延長線交于點，(2)求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）．【答案】(1)證明見解析；【詳解】（1）如圖所示：（2）[方法一]：分割法一如圖所示：[方法二]：分割法二如圖所示：連接AC,BD,交于O，連接OE,OF,OG,OH.則該幾何體的體積等于四棱錐OEFGH的體積加上三棱錐AOEH的倍,再加上三棱錐EOAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中點P，連接AP,OP.則EH垂直平面APO.由圖可知，三角形APO,四棱錐OEFGH與三棱錐EOAB的高均為EM的長.所以該幾何體的體積考點02垂直關(guān)系的判定

【答案】(1)證明見解析.(2)（2）如圖，

【答案】(1)證明詳見解析(2)（2）[方法一]：判別幾何關(guān)系[方法二]：等體積轉(zhuǎn)換連接【答案】(1)；(2)證明見解析.（2）將所給的幾何體進行補形，從而把線線垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，然后再由線面垂直可得題中的結(jié)論.【點睛】求三棱錐的體積時要注意三棱錐的每個面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來求體積．對于空間中垂直關(guān)系（線線、線面、面面）的證明經(jīng)常進行等價轉(zhuǎn)化.【答案】（1）證明見解析；（2）．（2）[方法一]：相似三角形法[方法二]：平面直角坐標(biāo)系垂直垂直法[方法三]【最優(yōu)解】：空間直角坐標(biāo)系法[方法四]：空間向量法【整體點評】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一個邊長，從而求得該四棱錐的體積；方法二構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，利用直線垂直的條件得到矩形的另一個邊長，從而求得該四棱錐的體積；方法三直接利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量的垂直的坐標(biāo)運算求得矩形的另一個邊長,為最常用的通性通法，為最優(yōu)解；方法四利用空間向量轉(zhuǎn)化求得矩形的另一邊長.考點03求異面直線所成的角（ⅱ）求直線與直線所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)（i）證明見解析；（ii）.（ii）法一：寫出直線和的方向向量，即可求出余弦值.【詳解】（1）由題意證明如下，（2）（i）由題意及（1）證明如下，法一：建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，若，，，在同一個球面上，在平面中，法二：∵，，，在同一個球面上，∴球心到四個點的距離相等作出和的垂直平分線，如下圖所示，由幾何知識得，由勾股定理得，∴點即為點，，，所在球的球心，（ii）由題意，（1）（2）（ii）及圖得，設(shè)直線與直線所成角為，法2：過點作的平行線，交的延長線為，連接，，【分析】（1）由棱錐體積公式計算；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．考點04求直線與平面所成的角【答案】(1)證明見解析(2)（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線AB的方向向量與面PCD的法向量，根據(jù)向量夾角公式即可求解.【詳解】（1）取PA的中點N，PB的中點M，連接FN、MN，E、F分別為BC、PD的中點，設(shè)AB與平面PCD所成角為，即AB與平面PCD所成角的正弦值為.【答案】(1)(2)

【答案】(1)證明見解析（2）利用直角三角形求出的長及點到面的距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.【詳解】（1）如圖，

(1)求三棱錐PABC的體積；(2)若M為BC中點，求PM與平面PAC所成角大?。ńY(jié)果用反三角數(shù)值表示）.【答案】(1)1；【分析】（1）由棱錐體積公式計算；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法二面角．

【答案】(1)證明見解析；【詳解】（1）過點、分別做直線、的垂線、并分別交于點、．【答案】(1)證明見解析；(2).（2）以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.（2）解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，【答案】(1)證明過程見解析(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)見解析(2)見解析考點05求面面角或二面角（1）求；【詳解】（1）[方法一]：空間坐標(biāo)系+空間向量法[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法[方法三]：幾何法+三角形面積法

如圖，聯(lián)結(jié)交于點N．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：空間坐標(biāo)系+空間向量法[方法二]：構(gòu)造長方體法+等體積法【整體點評】（1）方法一利用空坐標(biāo)系和空間向量的坐標(biāo)運算求解；方法二利用線面垂直的判定定理，結(jié)合三角形相似進行計算求解，運算簡潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明的基礎(chǔ)上，利用三角形等面積方法求得.（2）方法一，利用空間坐標(biāo)系和空間向量方法計算求解二面角問題是常用的方法，思路清晰，運算簡潔，為最優(yōu)解；方法二采用構(gòu)造長方體方法+等體積轉(zhuǎn)化法，技巧性較強，需注意進行嚴格的論證.

【答案】(1)證明見解析(2)以為原點，為軸，過且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

【答案】(1)證明見解析（2）【答案】(1)證明見解析(2)(3)（2）利用空間向量計算面面夾角即可；（3）利用空間向量計算點面距離，再利用錐體的體積公式計算即可.法二、如圖以D為中心建立空間直角坐標(biāo)系，（2）同上法二建立的空間直角坐標(biāo)系，【答案】(1)證明見詳解；【答案】(1)證明見解析（2）故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析【答案】(1)證明見解析（2）先根據(jù)棱柱的體積公式求得，再利用二面角的定義，求解即可．

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).

【答案】(1)證明見解析；(2)．

【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

【答案】(1)證明見解析(2)（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦的絕對值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得.【詳解】（1）證明：連接并延長交于點，連接、，

【答案】(1)(2)【分析】（1）由等體積法運算即可得解；【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】【答案】（I）證明見解析；（II）；（III）.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；(2)方法二：利用幾何關(guān)系找到二面角的平面角，然后結(jié)合相關(guān)的幾何特征計算三棱錐的體積即可.（2）[方法一]：通性通法—坐標(biāo)法[方法二]【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角[方法三]：三面角公式結(jié)合的正切值，【整體點評】(2)方法一：建立空間直角坐標(biāo)系是解析幾何中常用的方法，是此類題的通性通法，其好處在于將幾何問題代數(shù)化，適合于復(fù)雜圖形的處理；方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時可以對幾何體的幾何特征有更加深刻的認識，該法為本題的最優(yōu)解.方法三：三面角公式是一個優(yōu)美的公式，在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得問題更加簡單、直觀、迅速.

【答案】(1)證明見解析；(2)1【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；

（1）求證：為的中點；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間直角坐標(biāo)系求得相應(yīng)平面的法向量，然后解方程即可求得實數(shù)的值.當(dāng)直線與平面相交時只有唯一的交點，故點與點重合，即點為中點.【點睛】本題考查了立體幾何中的線面關(guān)系和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）方法二：通過已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量證明線線垂直；（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值最大，進而可以確定出答案；【詳解】（1）[方法一]：幾何法因為E，F(xiàn)分別為和的中點，所以是BC的中點，[方法二]【最優(yōu)解】：向量法（2）[方法一]【最優(yōu)解】：向量法[方法二]：幾何法[方法三]：投影法【整體點評】第一問，方法一為常規(guī)方法，不過這道題常規(guī)方法較為復(fù)雜，方法二建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解是最簡單，也是最優(yōu)解；方法三利用空間向量加減法則及數(shù)量積的定義運算進行證明不常用，不過這道題用這種方法過程也很簡單，可以開拓學(xué)生的思維.考點06求點到面的距離【答案】(1)證明見詳解；【答案】(