15.3等腰三角形

課程標準學習目標

①理解等腰三角形的概念,探索并證明等I.理解并掌握等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)定理與判定

腰三角形的性質(zhì)定理；定理，會運用判定定理和性質(zhì)進行證明：

②探索并掌握等腰三角形的判定定理；2.理解并掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理，會應用

③探索等邊三角形的性質(zhì)定理；其分析30°直角三角形的邊角關系問題；

④探索等邊三角形的判定定理。3.會根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)作簡單的輔助線解決問題。

如余落單

?u■寸3

VJen竺:？用

143等?三角形

iMttMTVIbiVaIntM*

知識點01等腰三角形的定義

?等腰三角形：在△ABC中，AB=AC,則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,NA是頂角，NB、

NC是底角.

180°-ZA

?等腰三角形中的角度關系：ZA=180°-2/B,ZB=ZC=

2

-等腰直角三角形：頂角為直角，兩個底角都等于45°

【即學即練1］（24-25九年級上?安徽宿州?階段練習）若一個三角形的底角比頂角大15。,則頂角為（）

A.45°B.40°C.50°D.55°

知識點02等腰三角形的性質(zhì)

?對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的中線所在的直線是它的對稱軸

?性質(zhì)定理1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）

?幾何語言：如圖，在aABC中，VAB=ACfAZB=ZC.

【即學即練2】（2024?安徽?模擬預測）如圖，將VABC繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△EDC,且點A,D,E

在同一條直線上，ZACB=a,則NAOC的度數(shù)是（）

A.90。一。B.45°+aC.1800-加D.30。+2a

【即學即練3】如圖，在VABC中，AB=AC,。是邊的中點，PDtAB,PE1AC,垂足分別為。，

E.求證：PD=PE.

性質(zhì)定理2：等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊

補充：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）

【即學即練4］（23-24八年級下?安徽宿州?階段練習）如圖，直線/經(jīng)過線段48的中點。，點P在直線/上,

且PA=PB,則下列結(jié)論：①ZPAO=NP80；②ZA=30。；③尸。平分NAPB；④PO垂直平分線段AB.其

中正確的個數(shù)有（）

【即學即練5】如圖，在VA4c中，AB=AC,尸為8c的中點，D,E分別為A8,AC上的點，且AO=AE,

求證：PD=PE.

知識點03等邊三角形的定義和性質(zhì)

?等邊三角形的定義：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫正三角形

【即學即練6］（23-24八年級.上?安徽?期末）如圖，VA8C是邊長為1的等邊三角形，D,E分別是邊/W,

AC上的兩點，將VAOE沿直線OE折疊，點A落在4處，則陰影部分圖形的周長為（）

A

A.1.5B.2C.2.5D.3

?對稱性：等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸，分別為三邊的垂直平分線.

定理1推論（等邊三角形的性質(zhì)）：等邊三角形三個內(nèi)角相等，每一個內(nèi)處都等于60。.

【即學即練7】（23-24八年級上?安徽宣城?期末）如圖，等邊三角形VA8C中，點。，￡分別在8C,48邊

上，且AE=3Z）,AD,CE相交于點F.

⑴請在圖中找出與CE相等的線段.并證明.

⑵求出/C77）的度數(shù).

定理2推論：各邊上的高、中線、對應的角平分線重合，且長度相等

【即學即練9］（24-25八年四上.江蘇南京?期中）如圖，等邊VA8C的高BD,CE相交于點。若08=2,

貝|」。力的長為

知識點04等腰三角形的判定

?定義法：證明一個三角形的兩邊相等

?判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡稱“等角對等邊“）.

幾何表述：如圖，在^ABC中，VZB=ZC,:.AB=AC.

?特別注意：

”等角對等邊“不能敘述為“如果一個三角形有兩個底角相等，那么它的兩條腰相等“，因為在未判定出它

是等腰三角形之前，不能用“底角”、“頂角”、“腰"、"底邊''這些名詞.

【即學即練10】（22-23八年級下?安徽宿州?期中）如圖，在VA5C中,ED〃BC,N73c和ZAC8的平分

線分別交EO于點G,F.若FG=2,￡0=4,則E3+DC的值為.

【即學即練11］（23-24八年級上?安徽阜陽?期中）如圖，在VABC中，ZBAC=75°,ZAC5=35°,ZABC

的平分線8。交邊AC于點。，石為BC的中點，連接OE.

⑴求證：△88為等腰三角形.

（2）求NEOC的度數(shù).

知識點05含30°角的直角三角形的性質(zhì)

?定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.

B

（含30。角的直角三角形的性質(zhì)揭示直角邊與斜邊的數(shù)量關系）

幾何表述：在Rt4ABC中，VZC=90°,Z4=30°,ABC=^AB.

【即學即練12］如圖，在VA8C中,AB=AC,乙4=120。，4B的垂直平分線環(huán)交A8于點E,交BC于

點凡求證：CF=2BF.

?性質(zhì)應用：①證線段的倍分關系;②計算角度

知識點06等邊三角形的判定

?定義法：證明一個三角形的三邊相等.

【即學即練13］（24-25八年級上?廣東惠州?期中）如圖，下列哪個條件能推出VABC是等邊三角形的是（）

B.ADLBC,BD=CD

C.ADLBC,BD=CD,ZfiAD=30°D.AD工8C,NBAD=ZACD

【即學即練14］（23-24八年級上?安徽安慶?期末）已知V/1AC的三邊長小c，滿足等式

V^+|2fl-/?-3|+>/^3=0,則VA3c的形狀是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.不等邊三角形D.等邊三角形

?推論1:三個角都相等的三角形是等邊三角形.

幾何表述：如圖，在^ABC中，.*.△ABC是等邊三角形.

【即學即練15】如圖，在△AC5中，A4=AC,N84C=120。，點RE在8c上,

證：△AEO為等邊三角形.

?推論2：有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

幾何表述：如圖，在△A8c中，?.?A8=AC,???/4=60。（或48=60?；?。=60。），,△A8c是等邊三角形.

【即學即練16］（24-25八年級上廣東珠海?期中）如圖，在RlZkABC中，ZC=90°,ZA=30°.

.4

⑴尺規(guī)作圖：作48邊上的中線CD；

⑵判斷△BCO的形狀，并說明理由.

知識點07尺規(guī)作等腰三角形

?已知底邊及底邊上的高作等腰三角形

以。為等腰三角形的底邊，6為底邊上的高，作等腰三角形.

a

作圖步驟：

1.作線段A8=a；.jc

2.作線段AB的垂直平分線MN,交AB于點D；'

3.在MN上取一點C,使DC=h：

4.連接AC,BC,則4ABC即為所求作的等腰三角形.AJfB

【即學即練17】（2021?安徽?一模）如圖，在VABC中，AB=AC,ZA=《r,根據(jù)作圖痕跡，可知NC8Q=（）

C.45°D.50°

【即學即練18】尺規(guī)作圖.已知：線段c,小求作等腰三角形A8C,使其底邊長為c,底角為4.（不

寫作圖作圖過程，保留作圖痕跡）

局里曷鋁

1.“三線合一”性質(zhì)應用：在等腰三角形中，運用“三線合一”的性質(zhì)時，已知其中“一線”，就可以得到另

外“兩線”.

?幾何表述：如圖，在^ABC中,

(l)-AB=ACfAD1BC,.??4。平分N8AC(或80=CD)；

(2)7AB=ACfBD=DG:.AD18c(或AD平分N84C)；

(3)7AB=ACfAD平分N8AC,:，6D=DC(或AD1BC).

2.等腰三角形的性質(zhì)與判定的異同

?相同點：使用的前提都是“在同一個三角形中”.

?不同點：條件和結(jié)論相反

-等腰三角形的性質(zhì)：

條件：兩邊相等一結(jié)論：這兩邊所對的角相等.

?等腰三角形的判定：

條件：兩角相等一結(jié)論：這兩角所對的邊相等.

3.證明等邊三角形的一般思路：

WJB2：力加呼等必一扁也

i

涌出等標答“等腰二?怖2■丁?等小三力他

麴型精折

【題型一：分類討論等腰三角形的個數(shù)】

例1.（22-23八年級下?安徽宿州?期中）如圖，在5x5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，點

A,B均在格點匕要在格點.上確定?點C,連接AC和8C,使工A8C是以/C為頂角的等腰三角形，則網(wǎng)

格中滿足條件的點C的個數(shù)是（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

變式1.如圖，在3x3的網(wǎng)格中，每個網(wǎng)格線的交點稱為格點.己知圖中A,6兩個格點，請在圖中再尋找另

一個格點。，使VA8C成為等腰三角形，則滿足條件的點。有（）個.

A.4個B.6個C.8個D.10個

例2.如圖，VA8C中NA8C=40。，動點。在直線BC上，當△A3。為等腰三角形，ZADB=

例3.平面直角坐標系中，已知A（2,2）、B（4,0）.若在坐標軸上取點C,使財8C為等腰三角形，則滿

足條件的點。的個數(shù)是（）

A.5B.6C.7D.8

【方法技巧與總結(jié)】解決分類討論等腰三角形的個數(shù)問撅時,牛要從i力（分為腰和底來討論）：角（分為頂

角和底角）來討論；如果是一腰上的高問題：要分銳角和鈍角三角形來討論

【題型二：等腰三角形的性質(zhì)和判定】

椀4.一，23工4一人奉荻E妾秘母麗麗市:疝甌'云VA8C市，447=75。，ZACB=35°,/ABC的平分線80

交邊AC于點O,E為8c的中點，連接OE.

⑴求證：△8C。為等腰三角形.

（2）求/EOC的度數(shù).

變式4.（23-24八年級上?安徽合肥?期末）如圖，-ABC中，D為BC邊上一點、,BEJ.AD,交力。的延長線

于點E,6_1_4。于尸，BE=CF.

⑴求證：點。為的中點；

（2）若8C=2AC,求證：AF=ED.

例5.如圖，在VA8C中，AB=AC,點D為AC上一點,且滿足AO=8。=8C.點/在3c延長線上，連

接尸。并延長，交A8于點E,連接AF.

D

R

⑴求-RAC和NACB的度數(shù);

⑵若點E是AB的中點，求證：A4B尸是等腰三角形.

變式5.（23-24八年級上?安徽亳州?期末）如圖，在V4KC中，ZABC=90°,是斜邊AC上的高線，CE是

NACB的平分線.

⑴若44=56。，求NBEC的度數(shù)；

⑵求證：BE=BF.

【方法技巧與總結(jié)】①在含等腰三角形的復雜圖形中求角時，常常利用方程思想，通過內(nèi)角、外角之間的

關系進行轉(zhuǎn)化求解；②證明兩條線段相等的常用方法：利用等腰三角形的判定一一“等角對等邊“，在證明過

程中，經(jīng)常通過計算三角形各角的度數(shù)，或利用角的關系得到角相等，從而得到所對的邊相等；③方程思

想解決角度問題。

【題型三：應用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)作輔助線解邊角關系】

例6：724：2-5只軍緩E要做百I畫品西康力）血囪，4P瓶/ABC的平分線，AP_U2于P,連接PC,若BPC

的面積為1cm,則VA3C的面積為.

例7.（2024?安徽?中考真題）在凸五邊形AACOE中，AB=AE,BC=DE,F是C。的中點.下列條件中,

不能推出A尸與CD一定垂直的是（）

A.ZABC=ZAEDB.ZBAF=/EAF

C.NBCF=/EDFD.ZABD=ZAEC

例8.（2024?安徽阜陽?三模）如圖，在四邊形A38中，AB=AD,/BAD=a,邊CO上的點S與點6關

于對角線4c對稱，則/AC3的度數(shù)為（）

D

B'

B

A.90°--?B.90°+-<zC.180°-勿D.45。+2a

22

【方法技巧與總結(jié)】在等腰三角形的有關計算中，有時需要添加輔助線，其頂角平分線、底邊上的高、底

邊上的中線是常見的輔助線.主要是利用等腰三角形的判定，解題的關鍵是求出各個角的度數(shù)。

【題型四：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求線段最值】

例91如囪丁茬'61記用「人月C,AD.CE是V/1AC的兩條中線，P是AD上一個動點，則下列線段的

長度等于8『十律最小值的是（）

變式9?L（22?23七年級下?安徽宿州?期末）如圖，在VABC中,AB=AC=5,BC=6,4）=4,A。是邊BC

上的中線.

（1）若NC=〃產(chǎn)，則/明。的度數(shù)是（用含，〃的式子表示）；

（2）若點P是線段人。上的一個動點，點。為線段人B上的一個動點，則P3+PQ的最小值是.

變式9-2.（24-25八年級上?河南周口?期中）如圖，在VA8C中,AC的垂直平分線OE分別交AC.AH于點E,

點D,若點尸是直線OE上一動點，點G是直線AC上的一動點，SA膻=20,8c=10,則GF+B的最小

【方法技巧與總結(jié)】①軸對稱的性質(zhì)一一將同側(cè)點轉(zhuǎn)換為異側(cè)點，三點共線求線段和的最小值；②利用三

角形的三邊關系求最值；③利用“垂線段最短”求最值

【題型五：等腰三角形與全等綜合】

［手拉手全辱橫型）例加一江廠商通麗匚而鹵G）「V兀/而入EDC都是等邊三角形，點從。、E在同

一條直線上，連接AE.

①NAEC的度數(shù)為_；

②線段A￡、6。之間的數(shù)最關系為_；

(2)拓展探究：如圖②，V/WC和△￡!心都是等腰直角三角形、ZACB=ZDCE=90°,點8、。、E在同

一條直線上，CM為△EQC中OE邊上的高，連接4E,試求的度數(shù)及判斷線段CM、AE.8M之間

的數(shù)量關系，并說明理由；

(3)解決問題：如圖③，VA3C和△EDC都是等腰三角形，ZACB=NDCE=36°,點、B、D,E在同一條

直線上，請直接寫出NE4B+NECB的度數(shù).

變式10.(23-24八年級上?安徽?單元測試)已知，在VAOB和△C8中，AO=CO,ZAOB=NCOD=/a,

4=/。，且A,O,。三點在同一條直線上.

Q

(1)如圖1,求證：OB=OD；

(2)如圖2,連接AC,并延長交于點Q.當/。=120。時，判斷AQA。的形狀,并說明理由;

(3)如圖3,過。點作。G_LAQ,垂足為G,若Q5=4,￡g=5,當/。=135。時,求QC的長.

（一線三直角全等模型）例1L如圖1,把一塊直角三角尺八8C的直角頂點C放置在水平直線上，在

VA8C中，ZACB=90°,AC=BC,試回答下列問題:

⑴若把三角尺A8C繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當A6〃MV時，N2=_度；

⑵在三角尺ABC繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，分別作AM上MN千M,BN工MN與N,若AM=6,

BN=2,求MN.

⑶三角尺ABC繞著點C按順時針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，其他條件不變，則AM、BN與MN之間有

什么關系？請說明理由.

基礎過關

一、選擇題

1.（2024八年級上?湖南?專題練習）在VABC中，ZA=60°,添加下列一個條件后，仍不能判定V4AC為等

邊三角形的是（）

A.AB=ACB.ZA=ZBC.ADIBCD.ZB=ZC

2.（24-25七年級下?重慶南岸?期末）如圖，在VA3C中，40平分/BAC,OE垂直平分48.若NC=2NB,

以下結(jié)論一定正確的是（）

A.AE—ACB.DE-DC

C.BD=ACD.BD=AE

3.（24-25八年級上?四川綿陽?階段練習）已知等腰三角形一腰上的高線與另一腰的夾角為60。，那么這個等

腰三角形的底角等于（）

A.15?；?5。B.30°C.150°D.150°或30。

4.（23-24八年級上?安徽淮南?期末）如圖，在VA8C中，A8=6,ZA8C=60。，點。在邊8C上，且AD=AC,

若8=2,則的長為（）

5.在VA3c中，AO平分/8AC,/B=2NADB,AB=3fCO=5,則AC的長為（）

A

A.6B.7C.8D.9

6.：23-24八年級上?安徽合肥?期末）如圖，V/1BC是等邊三角形，BD是中線，延長至E,使CE=CD,

則下列結(jié)論值誤的是（）

A.ZC￡D=30°B.ZBZ)E=120°C.DE=BDD.DE=AB

二、填空題

7.（24-25八年級上?湖南長沙?期e）公路邊上的很多汽車警示標志形狀都是等邊三角形.我們知道等邊三

角形是軸對稱圖形，它有條對稱軸.

8.如圖，在V/WC中，AB=AC,CE是48邊上的中線，A。是底邊上的高.若V"C的面積為24,

則_8￡花的面積為.

9.（23-24七年級下?安徽宿州?期末）如圖，在V4BC中，過點C作COJ.A8于點。，且BD=CD,過點3作

BM±AC于點例，連接MD,過點。作DN±MD,交BM于點N,CD與BM交于點￡.

（1）NA3C的度數(shù)為.

（2）若E為CO的中點，ME=\,則可石=.

10.（23-24八年級上?安徽合肥?期末）如圖，在等邊V/1AC中，AOLBC,垂足為點。且。4=8,E是線

段OA上的?個動點，連接踮，線段BF與線段的關于直線AB對稱.（1）連接4尸，則NE4尸的度數(shù)為；

。）連接。尸，當O"的長取得最小值時，AF的長為.

三、解答題

11.（24-25八年級上?廣東中山?階段練習）如圖，點8,EC,石在同一直線上，4C,。尸相交于點M,ZB=ZE,

AB=DE,BF=CE,求證：7c是等腰三角形.

AD

FCL

12.如圖，在V48c中，AB=AC,。、上分別是AB、AC的中點，且C。、8E交于。點，求證：BO=C