15.3.1等腰三角形（第2課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)J'軸對(duì)稱和等腰三角形的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探索等腰三角形的判定方法，

這為我們提供了證明兩條線段相等的新方法。

2.內(nèi)容分析

本節(jié)課的內(nèi)容是探索等腰三角形的判定方法，其知識(shí)基礎(chǔ)源「學(xué)生已掌握的軸對(duì)稱知識(shí)和等腰三角形

的性質(zhì)，形成了“性質(zhì)一判定”的逆向思維鏈條，共同完善了等腰三角形的知識(shí)體系。等腰三角形的判

定為證明兩條線段相等提供了新途徑。等腰三角形的軸對(duì)稱性，不僅是性質(zhì)推導(dǎo)的依據(jù)，也是判定定理發(fā)

現(xiàn)的直觀支撐，體現(xiàn)了軸對(duì)稱在幾何研究中的價(jià)值。此外，內(nèi)容還包含尺規(guī)作圖的實(shí)踐環(huán)節(jié)，將三線合?

的應(yīng)用與作圖操作結(jié)合，強(qiáng)化了理論與實(shí)踐的聯(lián)系。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：探索并理解等腰三角形的判定定理”

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）探索并理解等腰三角形的判定定理，并會(huì)運(yùn)用其進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明。

（2）能用尺規(guī)作圖：已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形。

（3）在探索和證明的過程中，培養(yǎng)邏輯推理能力，提高有條理地思考和表達(dá)的能力；在解決實(shí)際問題

的過程中，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。

2.目標(biāo)解析

（1）學(xué)生通過軸對(duì)稱直觀感知”等角對(duì)等邊”的規(guī)律，理解環(huán)節(jié)則要明確定理的題設(shè)（兩個(gè)角相等）

與結(jié)論（這兩個(gè)角所對(duì)的邊相等），避免與性質(zhì)定理混淆；運(yùn)月判定定理進(jìn)行簡(jiǎn)單證明是能力落腳點(diǎn)，需

掌握定理的規(guī)范表述和推理格式，能在具體幾何情境中識(shí)別“角等”條件，進(jìn)而推導(dǎo)“邊等”結(jié)論。

（2）尺規(guī)作圖“已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形”，本質(zhì)是三線合一的應(yīng)用實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)生

運(yùn)用幾何知識(shí)解決作圖問題的能力。

（3）在探究過程中，學(xué)生需經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證、證明的完整思維流程，鍛煉邏輯推理能力；在表

述證明思路或與他人交流時(shí)，需清噴、有條理地運(yùn)用幾何語言，從而提高數(shù)學(xué)表達(dá)能力，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S

習(xí)慣。

三、教學(xué)問題診斷分析

判定定理與性質(zhì)定理的混淆

學(xué)生易因二者均涉及“邊等”與“角等”的關(guān)系，出現(xiàn)性質(zhì)與判定的顛倒使用，尤其在復(fù)雜幾何

題中，難以準(zhǔn)確區(qū)分“由邊推角”和“由角推邊”的邏輯方向。在教學(xué)中可采取如下措施：明確列出

性質(zhì)定理（等邊一等角）和判定定理（等角一等邊）的條件、結(jié)論、用途，并結(jié)合具體例題標(biāo)注“已知什

么，要證什么，用哪個(gè)定理”。開展“反向提問”訓(xùn)練：給出“若一個(gè)三角形是等腰三角形，則"

（性質(zhì)）和“若一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，則"（判定），讓學(xué)生填充結(jié)論并說明依據(jù)，強(qiáng)化邏輯

方問的區(qū)分。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：能準(zhǔn)確區(qū)分等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)引入

等邊對(duì)等角

3—

1.等腰三角形具備什么樣的性質(zhì)？

2.怎樣判斷一個(gè)三角形是不是等腰三角形？

設(shè)計(jì)意圖：展示等腰三角形“性質(zhì)”與“判定”的互逆關(guān)系。通過提問引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)回憶等腰三

角彩的性質(zhì)（等邊對(duì)等角、三線合一）和判定方法（定義），噢醒學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備，為后續(xù)知識(shí)的深

入探究或應(yīng)用做好鋪墊。

（二）合作探究

思考我們知道，如果一個(gè)三角形有兩條邊相等，那么它們所對(duì)的角相等.反過來，如果一個(gè)三角形有兩

個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)系？

答如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊也相等.A

符號(hào)語言如圖，在△A8C中，N4=NC求證：AB=AC.

證明作△48C的角平分線AD./；\

???AO是N5AC的平分線，/:\

：.ZBAD=ZCAD.BDC

在△A3。和△AC。中，

N8=NC,ZBAD=ZCAD,AD=AD,

???△ABZ)gZ\ACD(AAS).

：,AB=AC.

追問你還有其他證法嗎？

證明作邊上的高AD

???人。是邊上的高，

???NAD8=NAOC=9()°.

在4A〃。和△ACO中，

N8=NC,ZADB=ZADC,AD=AD,

/./\ABD^^ACD(AAS).

：-AB=AC.

等腰三角形的判定：

有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”.

符號(hào)語言???在△ABC中，NB=/C,

：.AB=AC.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從“邊一角”的正向認(rèn)知，過渡到“角一邊”的逆向探究，促使學(xué)生主動(dòng)探索等腰

三角形判定定理。使學(xué)生經(jīng)歷完整的判定定理的生成過程，深億對(duì)幾何定理科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性的認(rèn)知。鼓勵(lì)

學(xué)生嘗試不同的輔助線添加方式，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與開放性。

(三)典例分析

例2求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.

符號(hào)語言已知：如圖，4D是△ABC的外角NC4E的平分線，AD//BC.

求證：AB=AC.

分析要證明/W=AC,可先證明NA=NC.因?yàn)镹l=/2.所以可以設(shè)法找出NB,

NC與Nl,N2的關(guān)系.

證明?:ADHBC,

AZl=Ztf,Z2=ZC.

又A。平分NCA￡

AZ1=Z2.

AZB=ZC.

：,AB=AC.

例3尺規(guī)作圖：已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)為小底邊上高的長(zhǎng)為力，求作這個(gè)等腰三角形.

,a??h,

分析根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，當(dāng)?shù)走叴_定時(shí)，底邊所對(duì)的頂點(diǎn)在

底邊的垂直平分線上.由此，作出底邊的垂直平分線，利用高的長(zhǎng)度確定底邊所對(duì)一

的頂點(diǎn)的位置，即可作出這個(gè)等腰三角形.

作法如圖.

⑴作線段A8二a

(2)作線段AB的垂直平分線MN,與AB相交于點(diǎn)D.

(3)在MN上取一點(diǎn)C,使DC=k.4

(4)連接4C,BC,則△A8C就是所求作的等腰三角形.

設(shè)計(jì)意圖：例2將平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定定理聯(lián)系起來，狗建“平行線

+角平分線t等腰三角形”的邏輯鏈條，完善知識(shí)體系0例3銜接等腰三角形的性質(zhì)(三線合一)與

尺規(guī)作圖，將理論知識(shí)轉(zhuǎn)化為實(shí)踐操作。通過“分析性質(zhì)-設(shè)計(jì)步驟T規(guī)范作圖”的流程，強(qiáng)化“性

質(zhì)指導(dǎo)作圖，作圖驗(yàn)證性質(zhì)”的雙向聯(lián)系，提升知識(shí)的綜合應(yīng)用能力。

(四)鞏固練習(xí)

1.如圖，NA=36。，NO8c=36。，NO72。.分別計(jì)算N1,N2的度數(shù),并說明圖中有哪些等腰三角形.

解???NA=36°,ZC=72°,A

???ZABC=180°-Zy4-ZC=72°.

，Z2=Z/4BC-ZMC=72O-36O=36°.

，Nl=NA+N2=36°+36°=72°.

VZABC=ZC,Z1=ZC,NA=N2,

BC

.?.△ABC,△BCD,△A8Z)都是等腰三角形.A

2.如圖，把一張長(zhǎng)方形的紙沿對(duì)角線折疊，重合部分是一，個(gè)等腰三角形嗎?為什么？

解由折疊的性質(zhì)得：Z1=Z2,

*：AB//CD,

AZ1=Z3,

AB

AZ2=Z3,

???△AEC是等腰三角形.

3.如圖，AC和8。相交于點(diǎn)O,RAB//CD,04=0及求證0C=0D

解???AB〃CD,

AZA=ZC,NB=/D.

?：0A=0B,

，NA=NB,

AZC=ZD,

：.OC=OD.

4.上午8時(shí)，一條船從海島A出發(fā)，以15nmile/h的速度向正北航行，10時(shí)到達(dá)海島8處從A,8望燈

塔C，測(cè)得/NAC=42。，NN8G84。.求海島8與燈塔C的距離.

解由題意得：15x2=30(nmile).

???NC=/N3C-NNAC=84°-42°=42°,

：.ZC=ZNAC,

???BC=AB=30(nmile),

,海島B與燈塔C的距離是30nmile.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)完新知識(shí)后及時(shí)進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)新知的記憶，加深學(xué)生對(duì)新知

的理解，還可以及時(shí)反饋學(xué)習(xí)情況，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，幫助教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。

（五）歸納總結(jié)

（六）感受中考

1.（2025?吉林）如圖，在口力/?。中，□8=45。,口心匚力9匚艮尺規(guī)作圖操作如下：（1）以點(diǎn)3為圓

心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交過84,BC于點(diǎn)M,M（2）以點(diǎn)C為圓心，4N長(zhǎng)為半徑畫弧，交邊。5于

點(diǎn)再以點(diǎn)N'為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，與前一條以點(diǎn)C為圓心的弧相交于三角形內(nèi)部的點(diǎn)力；（3）過

點(diǎn)A/畫射線CM'交邊48于點(diǎn)D.下列結(jié)論錯(cuò)誤的為（D）

A.QB=CDCBB.口5。。=90°C.DB=DCD.AD+DC=BC

2.（2025?四川眉山）如圖，在四邊形48CQ中，AD匚BC,AB=6,8010.按下列步驟作圖：①以點(diǎn)A

為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫弧，分別交48、/Q于E、F兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)￡、廠為圓心，大于;石廠的長(zhǎng)為半

徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P；③作射線力產(chǎn)交4C于點(diǎn)G,則CG的長(zhǎng)為(A)

A.4B.5C.6D.8

A

M

B

NN'

第1題圖

3.（浙江衢州）在一自助夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明同學(xué)從營(yíng)地A出發(fā)，要到A地的北偏東60。方向的C處,

他先沿正東方向走了200m到達(dá)B地，再沿北偏東30。方向走，恰能到達(dá)目的地C（如圖），那么，由此可

知，B、C兩地相距，^m.

4.（2022?廣東廣州）如圖，點(diǎn)。,石在AA8C的邊BC上，NB=NC,BD=CE,求證：△gZUCE.

證明：?；NB=NC,

：.AC=AB,

在A430和△ACE中,

*：AB=AC,