第二章圓錐曲線（高效培優(yōu)單元測試?強(qiáng)化卷）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.已知4（0,-2）,例0,2）,動點(diǎn)P滿足|尸力卜|尸司=2,則點(diǎn)尸的軌跡是（）

A.橢圓B.雙曲線的一支C.雙曲線D.射線

【答案】B

【詳解】因?yàn)榱Γ?,-2）,8（0,2）,所以|AB|=4,

則|以|-歸/=2<|力理，由雙曲線的定義可知，點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一支.

故選：B.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線_/=6x的焦點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為（）

-3_11

A.3B.—C.-D.—

2612

【答案】B

【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線/=6x的焦點(diǎn)為?

點(diǎn)F到坐標(biāo)原點(diǎn)。（0⑼的距離為|。尸|=0=-.

故選：B.

3.已知耳入分別為橢圓?=1的左、右焦點(diǎn)，直線歹=21與C交于兩點(diǎn)43,則平行四邊形小班

84

的周長為（）

A.4>/2B.8C.8拒D.16

【答案】C

【詳解】由題意知，a=2叵，由橢圓的定義知，

四邊形力片夕用的周長為|"|+|/；卜|跖|+忸周=4a=8&.

故選：C

1/13

2

4.已知雙曲線=1的左、右焦也分別為4,心，若c上一由A到y(tǒng)軸的距離為則△力片心的面

積為()

A.4x/6B.2&C.2百D.近

【答案】B

【詳解】由題意知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為/=±石，代入/一?=1得”=±迷,

又因工|=2x/m=4.

所以△力片用的面積為:x4x遙=2拓.

故選：B

5.已知尸是橢圓。(+￡=1的下焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn),力仁』)，則眼|+歸日的最小值為(

)

101113

A.B.—C.4D.

T3T

【答案】D

【詳解】設(shè)尸為橢圓。的上焦點(diǎn)，橢圓C:,+：=l中"3,b=也,則。=2,

所以焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為尸(0,-2),9(0,2).

連接尸尸，由橢圓定義得歸下|+|%1=2。=6.

由于1⑶2<r所以點(diǎn)A在橢圓內(nèi)?

—I-?----

9515

如圖所示，\PA\+\PF\=\PA\+2a-\PF'\=6-(|PF'|-|P^|),

2/13

ox

將|呼|代換為2〃-|尸產(chǎn)'|來求|F+|叨|的最小值，也就是求|以［-|尸力|的最大值,

當(dāng)P,49三點(diǎn)共線時(shí)，|尸尸|一|4|的最大值為|力尸|=5

3

所以|刃+歸日的最小值為6-：=/.

故選：D

6.已知拋物線C：V=2pMP>0），M為x軸正半軸上一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段。必的垂直平分線/交拋

物線C于48兩點(diǎn)，若四邊形04V/4為菱形，且/04M=I2O。，則菱形。0/4的周長為（：

A.5B.5gpC.8D.16百〃

【答案】D

【詳解】設(shè)/與x軸的交點(diǎn)為。，易知/_Lx軸.

設(shè)點(diǎn)。&0）,/>0.如圖，由于科邊形。為菱形，NO4W=120。，所以乙1。。=30。，所以

囪=粵=字.不妨設(shè)小半），則件|=2pt,解得f=6p.

在放氯射。中，［04|=2|/10|=2'17=4廊，所以菱形0/M4的周長為川。4|=16石〃.

22

7.己知廠為雙曲線C:十%=1k>0力>0）的右焦點(diǎn)，48是雙曲線。上兩點(diǎn)且滿足或=4而，|第=38,

則雙曲線。的離心率為（）

3/13

A7口7石「屈/73

A.—B.-------C.------nD.

5533

【答案】D

【詳解】設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為《，連接力此，因?yàn)槿f=4而，|/4=3。，所以4優(yōu)產(chǎn)三點(diǎn)共線，力、4分

別在雙曲線兩支上,且|冏=6,四|二必，根據(jù)雙曲線的定義可知四3|=2a+b,由㈤=46-2%山F|=2c,

在乙￡4尸和由余弦定理可得.

〃+4。2-（2〃+/?2_16〃+公2-（4/）-2@2

cos/FJ；B=

4bc16bc

又』+凡整理化簡可得gg所以

8.造型R可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中曲線。的一部分.已知。過坐標(biāo)原點(diǎn)。，且C上的點(diǎn)滿足橫

坐標(biāo)大于-2,到點(diǎn)F(2,0)的距離與到定直線x=研。<0)的距離之積為4,則。在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的

最大值為與1的關(guān)系為()

A.%<1B.%=1C.D.y0>\

【答案】D

【詳解】設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)為(%)),

由題意知，曲線C方程為：\x-a[yl(x-2)2+y2=4,其中x>-2,

將點(diǎn)(0,0)代入曲線方程，得：-2口=4,則〃=-2.

4/13

故曲線。方程為：\x+2\-yj(x-2)2+y2=4,其中x>-2.

，16/-\2

wr=--下一(》一2),

(x+2)

業(yè)3,,,2641

當(dāng)I=一時(shí)，y'=-----a^=22Z

2494196196>1

因此。在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為>1.

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知曲線。：加，+/沙2=1,則（）

A.若〃?>〃>0,則C是圓B.若機(jī)=〃>0,則C是橢圓

C.若〃〃7<0,則。是雙曲線D.若〃?=（）,〃>0,則。是兩條直線

【答案】CD

【詳解】因?yàn)榍€C：mx2+ny2=t.

當(dāng)陽=〃>0時(shí)，表示圓；

當(dāng)陽>0,〃>0且加工〃時(shí)，表示橢圓；

當(dāng)〃〃7<0時(shí)，表示雙曲線；

I〃?=0f〃7>0

當(dāng)八或八時(shí)，表示兩條直線-

|//>0[〃=0

所以CD正確.

故選：CD

10.已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線。經(jīng)過（3,-乎，（-4,6）兩點(diǎn)，則（）

A.雙曲線。的離心率為正

2

B.雙曲線。的漸近線方程為y=±gx

C.直線歹=x-3與雙曲線C的左支和右支各有一個(gè)交點(diǎn)

D.過點(diǎn)（1,1）可以作四條直線與雙曲線。只有一個(gè)公共點(diǎn)

【答案】ABD

【詳解】不妨設(shè)滿足題意的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為〃渭

雙曲線經(jīng)過（3,-岑卜卜4,6）兩點(diǎn)，則由題意有卜一丁“I解得/〃=晨

16"?-3〃=In-1

5/13

顯然有機(jī)〃＞0,.?.滿足題意的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為工-歹2=]

在雙曲線。中，a=2,b=l,c—V?＞則e=至=,故A正確.

2a42

雙曲線。的漸近線方程為y=±；x,故B正確.，

因?yàn)橹本€P=x-3與x軸交點(diǎn)（3,0）在雙曲線右頂點(diǎn)（2,0）右側(cè)，且其斜率1大于漸近線斜率

所以直線y=x-3與雙曲線C的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤.

畫圖可得，過點(diǎn)7（1,1）可以作四條直線與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，

其中兩條與雙曲線相切，另兩條與漸近線平行，故D正確.

故選：ABD.

11.拋物線有如卜光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出;

反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線產(chǎn)=公的焦點(diǎn)為凡

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于x軸的光線A從點(diǎn)＜4〃?）射入，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)/（XQJ反射后，

再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)8（%,必）反射后，沿直線乙射出，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.x]x2=\

B.點(diǎn)/（$,必）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在直線，2上

C.直線《與直線x=-l相交于點(diǎn)O,則4O,。三點(diǎn)共線

D.直線人與4間的距席最小值為4

【答案】ACD

【詳解】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線48過拋物線的焦點(diǎn)”（1,0）,

6/13

將直線AB的方程代入y2=4x中，得/-4<v-4=0,

所以由韋達(dá)定理得必必二T，乂+必=4/,所以中2=。?]=1，故選項(xiàng)A正確；

若點(diǎn)力（內(nèi)，乂）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)在直線4上，則必=一%，

所以|川=|對=2,即|〃|=2,不一定成立，故不合題意，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

直線4與廣-1相交于點(diǎn)。（-1，乃），所以直線OO的斜率為心。=一%，

k='=叢，…

又直線CM的斜率為“，一$一區(qū)一必一乃，所以所以4O,。三點(diǎn)共線，故選項(xiàng)C正確;

~4

直線4與4間的距離d=\yy-y2\=+為『一4必必=+1624,

當(dāng)，=0時(shí)，]取最小值4,故選項(xiàng)D正確；

故選：ACD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.拋物線/二心（加工0）的準(zhǔn)線方程.

【答案】X=-y

4

【詳解】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程/=用可〃?。0）可得：準(zhǔn)線方程為x=-：.

13.雙曲線條―r=1的左、右焦點(diǎn)分別是斗鳥，點(diǎn)P在雙曲線上，且|P%=5|P周，則|尸￡|=.

【答案】2

【分析】根據(jù)雙曲線的定義及己知可得歸國一|尸周=4|尸周=2%即可得.

【詳解】由題設(shè)，雙曲線參數(shù)〃=4,又歸國二5|2用，

7/13

則卜歸周=4,周=2。=8,所以|尸周二2.

14.正方形力8c。的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，若橢圓的焦點(diǎn)在正方形的內(nèi)部，則橢圓的

離心率的取值范圍是.

【;於】卜與^

【詳解】如圖，根據(jù)橢圓的對稱性知點(diǎn)。在直線卜=》上，可得*+理=1，

a~b~

因?yàn)榻裹c(diǎn)在正方形的內(nèi)部，所以與＞。，

叫如哥＞1

即/從＞〃202+〃。2,可得從＞",

又b2=a2-。2，所以c2+ac-，2〈0，

所以e'e-lvO,

又解得0＜。＜立二1.

2

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

求適合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑴焦點(diǎn)在y軸上，長軸長等于io,離心率等于1的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)經(jīng)過點(diǎn)力(3,-1),并且對稱軸布在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的方程.

【詳解】(1)因?yàn)殚L軸長等于1()，離心率等于］,

所以。=5,。=3,6=4,

乂因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，

所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程上+廣=1.(6分)

1625

8/13

（2）設(shè)雙曲線方程為

代人點(diǎn)力（3,-1）,得4=8,

22

???雙曲線方程為土-二=1.（13分）

88

16.（15分）

己知?為橢圓￡+1=1（〃＞八0）卜一點(diǎn),且點(diǎn)。到兩焦點(diǎn)距離之和為4,且橢圓離心率為*.

a'b'2

（1）求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

Q

（2）若直線N=x+小被橢圓C截得的線段長為,求〃?的值.

【詳解】（1）由題可得2°=4，則。=2,

又由e=￡=^^,得c=，則"=/—c?=4—2=2,

a2,

所以橢圓。的方程為/?2L=i.?分）

42

（2）設(shè)直線y=x+〃?與橢圓。交于4（x”yJ,8（當(dāng),），2）兩點(diǎn)，

y=x+m

聯(lián)立方程組（22消y得到3x2+4mx+2m2-4=0,

廠4.尸

42

△=16W2-4X3（2W2-4）=8（6-W2）>0

4m

則產(chǎn)+0=-?。?分）

2m2-4

為々=

2

由于?=乂|力卻=\l\+k|x2-Xj|=Jl+上,（7+0）2-4中2,

J

?/.（4zwA.2w~—48/…八、

則r]J（i+「）[-7）-4x——=?。?2分）

整理得到6-，〃2=4,解得〃7=土應(yīng)，

又〃1=土正時(shí)，△=8（6-2）=32＞0,所以〃[=土加滿足題意.（15分）

17.（15分）

已知雙曲線C：￡一￡.=1（。＞0力＞0）的右焦點(diǎn)為“，右頂點(diǎn)為A,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|。H二|力尸|=1.

a'b~

（1）求。的方程；

（2）過點(diǎn)F的直線/與。的右支交于〃，N兩點(diǎn)，記C的左頂點(diǎn)為〃，證明：BM1BN.

9/13

【詳解】（1）由|。H=|力產(chǎn)可得a=c—a=l,即c=2a=2,

則b2=c2-a2=3>

*>

所以。的方程為=（5分）

可設(shè)，的方程為x=0+2,”（再,必）,%（馬,必）.

x=ty+2,

由hy2可得（3--1）/+［如+9=0,

x*―=1,

12/9

則3/一1"0，y+y=-77r-7?y^2=^—;-（10^）

i2St—15t—1

由題意知8（7,0）,則由=（*+1,%），麗=伍+1,%），

麗?麗=（芭+1）（*2+1）+必為=（0+3）（。+3）+y而

=62+1）必必+3“必+為）+9=^^-^7[+9=0'（14分）

所以氏W_L5N.（15分）

18.（17分）

22（O

-^y+p-=l（a>/?>0）,四點(diǎn)耳,

已知橢圓C:P2hy-,A（o/），匕（U）中恰有三點(diǎn)在橢圓。上.

（1）求橢圓。的方程.

（2）過點(diǎn)。（4,0）且斜率不為0的直線/與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn).

（i）若。為原點(diǎn)，求△MON面積的最大值;

（ii）點(diǎn)4（-2,0）,設(shè)點(diǎn)。是線段MN上異于M,N的一點(diǎn)，直線QA,QM的斜率分別為4,&,且勺+&=（）,

10/13

I。刈此I

水|DN卜阿嚴(yán)直

【詳解】（1）由對稱性知己［,《］和山0,1）在橢圓C上,

I）\2）

6=1,2

所以13，所以。=2,橢圓C的方程為工+/=1.（4分）

F+K=1，4

a~4/）-

（2）（i）設(shè)直線/的方程為x=1+4,點(diǎn)M（XQJ,N（x2iy2）,

O'消去'得：口4）…伊12=。,

由，

j+y-毋

則,-『4,A=16（/2-12）＞0,則/＜一2百或"2技

所以|必一閔=邛手，（7分）

所以△MON面積S=，X4X|M-%|=，X4

2R12r2+4/2+4

j8〃8

令、/7-12=〃（〃＞0）,則/jJ+12,ir+16J6一，

,7U4---

當(dāng)且僅當(dāng)〃=4,即『二28時(shí).，△MON面積的最大值為1.（11分）

（ii）因?yàn)槿?&=0,所以直線。4。歷的傾斜角互補(bǔ)，所以|四=|四,

所以點(diǎn)。在線段/。的垂直平分線上，所以。［1，一；/

所以|。訓(xùn)=J（4f『+必2=廬口間，同理得|QN|=爐7Tl崗,

T

\MQ\=y/t+iy,+^,=（13分）

|。時(shí)卜陷|

所以

\DN\-\MQ\"必+：

11/13

|。必色0|二必卜+j3

必必+消

|。叫?阿心+;）3

y必+/

因?yàn)楸貫?五（乂+%），

—3/、333

|DH|-|N0|=五（乂+%）+「%二五%一五%

畫初飛（i2）+：）萬I

|nw|?|N0|

所以的值為1.（17分）

|QN|.阿|

19.（17分）

己知尸是拋物線氏V=2px（P>0）的焦點(diǎn)，尸（與，2）為拋物線E上一點(diǎn)，且|PF|=2.

（1）求拋物線￡的方程；

（2）設(shè)/,〃為拋物線E上的兩點(diǎn)1小同十點(diǎn)夕），直線4P,4尸分別與y軸交十歷，N兩點(diǎn)，且原點(diǎn)O恰

為"V的中點(diǎn).

（i）證明：直線X8過定點(diǎn)；

（ii）若直線的斜率大于0,且△0/8的面積為2a，求直線48的方程.

【詳解】⑴因?yàn)閽佄锞€V=2px（p>0）的焦點(diǎn)為嗚,0）,準(zhǔn)線方程為x=-勺且尸（今,2）在拋物線￡上,

|尸用=2,根據(jù)拋物線定義有，為+勺2,