專題04概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)（期中復(fù)習(xí)講義）

.明?期中考情

核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律

熟練掌握列表法、樹狀圖法，能準(zhǔn)確列舉出

用列舉高頻考點(diǎn)，常以解答題形式出現(xiàn)，結(jié)合摸球、

所有等可能的結(jié)果，進(jìn)而計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件

法求概擲骰子、抽獎(jiǎng)等實(shí)際場(chǎng)景考查，注重對(duì)列舉

的概率；能根據(jù)不同情境，選擇合適的列舉

率過(guò)程完整性和準(zhǔn)確性的考查。

方法解決概率問(wèn)題。

常以解答題形式考查，常結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖表（如

用頻率理解頻率的穩(wěn)定性，明確大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)頻

折線圖、表格等）呈現(xiàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)；強(qiáng)調(diào)對(duì)“大

估計(jì)概率可作為概率的估計(jì)值；能根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，

量重復(fù)試驗(yàn)”這一前提條件的理解，以及利

率用頻率估計(jì)概率，并解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題。

用頻率估計(jì)概率解決實(shí)際決策類問(wèn)題。

能運(yùn)用概率知識(shí)分析、解決實(shí)際生活中的問(wèn)

核心考點(diǎn)，貫穿概率實(shí)際應(yīng)用類題目，在計(jì)

概率的題，如游戲公平性判斷、獲獎(jiǎng)概率計(jì)算、決

算、決策類問(wèn)題中高頻出現(xiàn)，常與其他知識(shí)

應(yīng)用策合理性分析等，體會(huì)概率在實(shí)際決策中的

（如統(tǒng)計(jì)）綜合考查。

作用。

.記?必備知識(shí).

1知識(shí)點(diǎn)01用列舉法求概率

1.列舉法

定義：在一次試驗(yàn)中，如果可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個(gè)，且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小相等，我們可

通過(guò)列舉試驗(yàn)結(jié)果的方法，分析出隨機(jī)事件發(fā)生的概率，這種方法稱為列舉法.

用列舉法求概率的條件；1）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)；2）每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.

用列舉法求事件概率的“三步驟”：

1）求出該試驗(yàn)所包含的所有結(jié)果數(shù)n.

2）求出該事件所包含的結(jié)果數(shù)m.

2.列表法

當(dāng)事件中涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，用表格不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，這種

方法叫列表法.

列表求概率的“三步驟”：

1）列表：分清一次試驗(yàn)中所涉及的西仝因素，一個(gè)為行標(biāo)，另一個(gè)為列標(biāo).

2）計(jì)數(shù)：通過(guò)表格的數(shù)據(jù)，分別求出等可能的結(jié)果總數(shù)n,和事件包含的結(jié)果數(shù)m.

3.樹狀圖法

當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多的因素時(shí)，列表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常

采用樹狀圖法求事件發(fā)生的概率

用畫樹狀圖法求概率的“四步驟”：

1）定：確定該試驗(yàn)的幾個(gè)步驟、順序、每一步可能產(chǎn)生的結(jié)果.

2）畫：列舉每一環(huán)節(jié)可能產(chǎn)生的結(jié)果，得到樹狀圖.

3）數(shù)：數(shù)出全部均等的結(jié)果數(shù)n和該事件出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)m.

1知識(shí)點(diǎn)02用頻率估計(jì)概率

1.頻率的穩(wěn)定性

對(duì)一般的隨機(jī)事件，在做大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一個(gè)事件出現(xiàn)的頻率，總在一個(gè)固

定數(shù)的附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性.

2.用頻率估計(jì)概率

一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率竺會(huì)穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)p,我們稱事

n

件A發(fā)生的概率為p.

.破?重難題型.

但題型一用直接列舉法求概率

解|題|技|巧

用列舉法求概率的條件：1）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)；2）每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.

1.（2526九年級(jí)上?全國(guó)?隨堂練習(xí)）甲口袋中裝有2個(gè)相同的小球，它們分別寫有字母4和B；乙口袋中裝有

3個(gè)相同的小球，它們分別寫有字母。，。和E；丙口袋中裝有2個(gè)相同的小球，它們分別寫有字母H和/.從

三個(gè)口袋中各隨機(jī)取出1個(gè)小球.

⑴取出的3個(gè)小球上恰好有1個(gè)、2個(gè)和3個(gè)元音字母的概率分別是多少？

（2）1（又出的3個(gè)小球上全是輔音字母的概率是多少？

2.（2425九年級(jí)上?江西吉安?階段練習(xí)）在如圖所示的電路圖中，隨機(jī)閉合開關(guān)S1，S2,S3中的兩個(gè)，請(qǐng)用

列表法或畫樹狀圖法求出能讓燈泡Li發(fā)光的概率.

3.（2324九年級(jí)上?四川綿陽(yáng)?期末）產(chǎn)品質(zhì)量是企業(yè)的生命，也是企業(yè)發(fā)展長(zhǎng)遠(yuǎn)的根本，做好產(chǎn)品質(zhì)量檢測(cè)

是一件非常重要的事情.某零件廠生產(chǎn)了5件規(guī)格一樣的產(chǎn)品，因某道工序的不合理產(chǎn)生了2件次品，現(xiàn)

從中不分先后一次性任意抽取3件進(jìn)行檢驗(yàn).（記3件正品分別為4B,C,2件次品分別為a,b）

⑴列出“從5件產(chǎn)品中不分先后一次性任意抽取3件產(chǎn)品〃的所有等可能結(jié)果；

⑵求抽得的3件產(chǎn)品中至少含1件次品的概率.

4.（2024?江蘇南京?三模）用抽簽的方法從水平相當(dāng)?shù)?名同學(xué)甲、乙、丙中選1名去參加校文化節(jié)，事先

準(zhǔn)備3張相同的小紙條依次畫上4、B、C.把3張紙條折疊后放入一個(gè)不透明的盒子中攪勻，然后讓3名

同學(xué)去摸紙條，摸得畫4的紙條的同學(xué)去參加校文化節(jié).

小磊說(shuō)：先抽的人中簽的概率大.后抽的人中簽的概率小.

你同意他的說(shuō)法嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

口題型二用列表法求概率

解|題|技|巧

列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某?事件包含的各種情況出

現(xiàn)的次數(shù)和方式，并求出該事件概率的方法.

5.（2425九年級(jí)上?寧夏銀川?期中）一個(gè)不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字“美"、”麗〃、"靈〃、"武”的四個(gè)

小球，除漢字不同之外，小球沒(méi)有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球.

⑴若從中任取一個(gè)球，求摸出球二的漢字剛好是“美〃的概率；

⑵甲從中任取一球，不放回，再?gòu)闹腥稳∫磺颍?qǐng)用樹狀圖或列表法，求甲取出的兩個(gè)球上的漢字恰能組

成“美麗”或“靈武〃的概率.

6.（2526九年級(jí)上?浙江寧波?階段練習(xí)）一個(gè)布袋里裝有三個(gè)小球，上面分別寫著“塔〃，“山〃，"石"，除文

字外三個(gè)小球無(wú)其他差別.

⑴從布袋里任意摸出一個(gè)小球，摸到文字恰好是“石〃的概率

（2）從布袋里任意摸出一個(gè)小球，記錄其文字，放回并搖勻，再?gòu)闹腥我饷鲆粋€(gè)小球記錄其文字，求兩次

記錄的文字有“塔"、"山"的概率.（要求列表或畫樹狀圖說(shuō)明）

7.（2526九年級(jí)上?廣東揭陽(yáng)?階段練習(xí)）在一個(gè)布袋中裝有一個(gè)黃球、兩個(gè)白球（它們只有顏色不同），從

中摸出兩個(gè)球.求兩個(gè)球都是門球的概率？（請(qǐng)用畫樹狀圖或列表法分析求解）

8.（2526九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）某校數(shù)學(xué)組準(zhǔn)備了4個(gè)探究活動(dòng).活動(dòng)1：在具體情境中探究拋物線模

型：活動(dòng)2：用變換設(shè)計(jì)圖案；活動(dòng)3：探究圓周角與圓心角的關(guān)系：活動(dòng)4：探究圖形與坐標(biāo)的關(guān)系.九

（1）班數(shù)學(xué)老師將這4個(gè)活動(dòng)分別寫在4張一樣的卡片上，并把卡片放進(jìn)箱子里，搖勻后每個(gè)學(xué)生都依次

從中隨機(jī)抽取1張，抽完后放回.

⑴該班學(xué)生小明抽到活動(dòng)2是事件；（填序號(hào)）

A.不可能B.必然C.隨機(jī)

⑵請(qǐng)用列表的方法求小明和劉紅抽到不同活動(dòng)的概率.

。題型三用樹狀圖法求概率

解|題|技|巧

用樹狀圖可將試驗(yàn)結(jié)果像樹枝分叉一樣一層一層表示出來(lái)，每個(gè)分支對(duì)應(yīng)一種可能結(jié)果.這樣由“樹

根”到“樹梢”能幫助我們有序地思考，不重復(fù)、不遺漏地得出所有結(jié)果.

9.（2425九年級(jí)上?安徽宿州?期中）為了檢查垃圾分類的落實(shí)情況，某居委會(huì)成立了甲、乙兩個(gè)檢查組，采

取隨機(jī)抽查的方式分別對(duì)轄區(qū)內(nèi)的4,B,C,。四個(gè)小區(qū)進(jìn)行檢查，并且每個(gè)小區(qū)不重復(fù)檢查，請(qǐng)用畫樹

狀圖或列表的方法求甲組抽到A小區(qū)同時(shí)乙組抽到C小區(qū)的概率.

10.（2425九年級(jí)上?四川綿陽(yáng)?期末）一個(gè)不透明的口袋中裝有四個(gè)完全相同的小球，將上面分別標(biāo)上數(shù)字

1,2,3,4.

⑴從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，求摸出小球上的數(shù)字是奇數(shù)的概率？

⑵先從I」袋中隨機(jī)摸出1個(gè)小球，將小球上的數(shù)字記為出在剩卜.的三個(gè)小球中再隨機(jī)摸出一個(gè)小球，將小

球上的數(shù)字記為從求a,能使以2+"+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根成立的概率.

11.（2425九年級(jí)上?河南開封?期末）小穎去洛陽(yáng)旅游時(shí)購(gòu)買了A,B,C,D四款擺件，如圖所示.每款擺

件均裝在一個(gè)不透明的禮品盒內(nèi)，且這四個(gè)禮品盒完全相同.小穎先讓媽媽從四盒禮品中隨機(jī)選擇一個(gè)拿

走，再讓爸爸從剩下的三個(gè)中隨機(jī)選擇一個(gè)拿走.

⑴媽媽拿走的禮品盒里裝的是A款擺件的概率是

⑵請(qǐng)用畫樹狀圖法或列表法求媽媽和爸爸拿走后剩卜.的是A,。兩款擺件的概率.

12.（2425九年級(jí)下?陜西西安?開學(xué)考試）慶祝北京冬奧會(huì)三周年暨奧林匹克歷史知識(shí)產(chǎn)權(quán)授權(quán)產(chǎn)品“冰墩墩〃

蛇年新春特別版“蛇墩墩〃系列新品在北京發(fā)布，現(xiàn)場(chǎng)發(fā)布了五個(gè)形象的“蛇墩墩〃手辦，產(chǎn)品在設(shè)計(jì)上則采用

了“五福臨門”的寓意.小明收集了如圖所示的五張印有"蛇墩墩''圖案的卡片?：A.”福星蛇墩墩"，民"祿星

蛇墩墩〃，C."壽星蛇墩墩”，。.“喜星蛇墩墩〃，E“財(cái)星蛇墩墩”（除正面內(nèi)容不同外，其余均相同），現(xiàn)

將五張卡片背面朝卜,洗勻放好.

⑴小明從五張卡片中隨機(jī)抽取一張卡片是“福星蛇墩墩〃的概率是:

（2）小明從五張卡片中隨機(jī)抽取一張卡片，不放回，記下卡片正面內(nèi)容后，再將剩下四張卡片洗勻后從中隨

機(jī)抽取一張卡片，記下卡片正面內(nèi)容，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法，求小明兩次抽取的卡片中都沒(méi)有抽到"福

星蛇墩墩〃的概率.

C7題型四幾何概型

解|題|技|巧

13.（2324九年級(jí)上?廣東東莞?期末）玩具廠商生產(chǎn)了一款由大小相等的小正方形格子構(gòu)成的飛鏢游戲板，

還對(duì)其設(shè)計(jì)了兩種玩法.一種是向飛鏢板（如圖1）隨機(jī)投擲二板飛鏢，另一種是將飛鏢板對(duì)折（如圖2）,

并先后隨機(jī)投擲兩枚飛鏢.請(qǐng)判斷這兩種玩法中飛鏢投中黑色區(qū)域的概率是否相等，并說(shuō)明理由.

14.（2324九年級(jí)上?浙江杭州?期中）有一個(gè)轉(zhuǎn)盤如圖，讓轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，求

⑴第一次指針落在白色區(qū)域的概率為.

⑵用畫樹狀圖或列表法求指針一次落在白色區(qū)域，另一次落在灰色區(qū)域的概率.

15.（2223七年級(jí)下?四川達(dá)州?期末）如圖是一大一小的兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，甲盤被平均分成6等份，

乙盤被平均分成4等份，每個(gè)轉(zhuǎn)盤均被涂上紅、黃、藍(lán)三種顏色，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的

顏色即為轉(zhuǎn)出的顏色，小明與小穎參與游戲；小明轉(zhuǎn)動(dòng)甲盤，小穎轉(zhuǎn)動(dòng)乙盤.

⑴小明轉(zhuǎn)出的顏色為紅色的概率為;

⑵小明轉(zhuǎn)出的顏色為黃色的概率為:

⑶小穎轉(zhuǎn)出的顏色為黃色的概率為;

⑷兩人均轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，如果轉(zhuǎn)出的顏色為紅色，則勝出，你認(rèn)為該游戲公平嗎？為什么？

16.（2122七年級(jí)下?山東淄博?期中）向如圖所示的等邊三角形區(qū)域內(nèi)扔沙包（區(qū)域中每個(gè)小等邊三角形除

顏色外完全相同），沙包隨機(jī)落在某個(gè)等邊三角形內(nèi).

⑴扔沙包一次，落在圖中陰影區(qū)域的概率是:

⑵要使沙包落在圖中陰影區(qū)域的概率為5還要涂黑幾個(gè)小等邊三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

C4題型五利用頻率估計(jì)概率

解?題?技?巧

頻率與概率是兩個(gè)不同的概念，概率是伴隨著隨機(jī)事件客觀存在的，只要有?個(gè)隨機(jī)事件存在，那

么這個(gè)隨機(jī)事件的概率就一定存在;而頻率是通過(guò)試驗(yàn)得到的，它隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化.當(dāng)試

驗(yàn)的重復(fù)次數(shù)充分大時(shí)，頻率在概率附近擺動(dòng).為了求出隨機(jī)事件的概率，我們可以通過(guò)多次重復(fù)試

驗(yàn)，用所得的頻率來(lái)估計(jì)概率.

17.（2425九年級(jí)上?廣東江門?期末）在一個(gè)不透明的口袋里，裝有若干個(gè)除了顏色外無(wú)其他差別的小球，

某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)，將球搖勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)上述

過(guò)程.下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

摸球的次數(shù)〃1001503005008001000

摸到紅球的次數(shù)m6193b301480601

摸到紅球的頻率%0.620.590.6020.600.601

na

（1）上表中的a=_,b=_：

（2）〃摸到紅球〃的概率的估計(jì)值是_（精確到0.1）：

⑶如果袋中有24個(gè)紅球，那么袋中除了紅球外，還有多少個(gè)其它顏色的球？

18.（2425九年級(jí)上?寧夏銀川,期末）某漁民準(zhǔn)備將自家的魚塘轉(zhuǎn)讓出去，現(xiàn)在需要通過(guò)估計(jì)魚塘中魚的數(shù)

量來(lái)估算魚塘的價(jià)值.他從魚塘中打撈了200條魚.在每一條魚身上做好標(biāo)記后，把這些魚放歸魚塘，經(jīng)

過(guò)一段時(shí)間后，再?gòu)聂~塘中打撈魚.通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)得到數(shù)據(jù)如下表所示：

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，回答下列問(wèn)題：

每次打撈魚數(shù)50100200300500

每次打撈魚中帶標(biāo)記的魚數(shù)4111931n

打撈到帶標(biāo)記的魚的頻率0.080m0.0950.1030.100

（1）表中m=,n=；

⑵隨機(jī)從魚塘中打撈一條魚，根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)打撈到帶標(biāo)記的魚的概率為（精確到0.1）；

⑶若每條魚大約40元，則這片魚塘的價(jià)值大約是多少？

19.（2324八年級(jí)下?江蘇泰州?階段練習(xí)）工廠質(zhì)檢員對(duì)甲員工近期生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行抽檢，統(tǒng)計(jì)合格的件數(shù),

得到如卜.表格：

抽取件數(shù)（件）501002303005001000

合格頻數(shù)4994192285m950

合格頻率0.980.940.960.950.95n

⑴表格中＞n的值為一，〃的值為

⑵估計(jì)任抽一件該產(chǎn)品是不合格品的概率.

⑶該工廠規(guī)定，若每被抽檢出一件不合格產(chǎn)品，需在相應(yīng)員工獎(jiǎng)金中扣除給工廠2元的材料損失費(fèi)，今天

甲員工被抽檢了460件產(chǎn)品，估計(jì)要在他獎(jiǎng)金中扣除多少材料損失費(fèi)？

20.（2324九年級(jí)上.浙江杭州?期中）某園林基地，特地考察一種花卉移植的成活率，對(duì)本基地這種花卉移

植成活的情況進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖.

請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，回答卜.列問(wèn)題：

⑴這種花卉成活的頻率穩(wěn)定在」附近，估計(jì)成活概率為_（精確到0.1）.

⑵該園林基地已經(jīng)移植這種花卉10000棵.

①估計(jì)這批花卉成活的棵數(shù)；

②根據(jù)某大型小區(qū)需要成活99000棵這種花卉，估計(jì)還需要移植多少棵？

「題型六游戲公平性

解|題|技|巧

游戲雙方獲勝的概率相等，說(shuō)明游戲是公平的，否則說(shuō)明游戲不公平.

21.（2425九年級(jí)上?安徽六安?期末）小華和妹妹做游戲，游戲規(guī)則如下:小華先將3枚勛章放在如圖所示3X3

的方格中,然后妹妹再?gòu)钠溆嗔鶄€(gè)小TF方形中仟選一個(gè)放置勛堂,若勛章所在方格構(gòu)成的圖形是軸對(duì)稱圖

形，則小華獲勝，否則妹妹獲勝.

問(wèn)上述游戲規(guī)則公平嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.（2425九年級(jí)上?寧夏銀川?期中）如圖，有兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤A、B,轉(zhuǎn)盤A被均勻分成4等份,

每份標(biāo)上1、2、3、4四個(gè)數(shù)字；轉(zhuǎn)盤4被均勻分成6等份，每份標(biāo)上1、2、3、4、5、6六個(gè)數(shù)字.有人

為甲、乙兩人設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲，其規(guī)則如下：

（1）同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤人與2

（2）轉(zhuǎn)盤停止后，指針各指向一個(gè)數(shù)字（如果指針恰好指在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，宜到指針指向一個(gè)

數(shù)字為止），用所指的兩個(gè)數(shù)字作乘積，如果所得的積是偶數(shù)，那么甲勝；如果所得的積是奇數(shù)，那么乙勝.你

認(rèn)為這樣的規(guī)則是否公平？請(qǐng)你說(shuō)明理由；如果不公平，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)公平的規(guī)則，并說(shuō)明理由.

23.（2425九年級(jí)上?廣東潮州?期末）如圖，兩個(gè)可自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤人被分成3等份，轉(zhuǎn)盤B被分成

2等份，轉(zhuǎn)盤A上的數(shù)字分別是1,2,3,轉(zhuǎn)盤B上的數(shù)字分別是1,2.小王與小張兩名同學(xué)用這兩個(gè)轉(zhuǎn)

盤做游戲，游戲規(guī)則如下：同時(shí)用力轉(zhuǎn)動(dòng)4B兩個(gè)轉(zhuǎn)盤.兩個(gè)轉(zhuǎn)盤停止后，將指針?biāo)竻^(qū)域的兩數(shù)相乘（當(dāng)

指針落在兩個(gè)扇形的交線上時(shí)，當(dāng)作指向右邊的扇形），如果積為2的倍數(shù)，則小王獲勝；否則，小張獲勝.

⑴用列表法或畫樹狀圖求小王獲勝的概率：

（2）你認(rèn)為這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？如果公平，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不公平，請(qǐng)你改變游戲規(guī)則，使這個(gè)游戲

對(duì)雙方都公平.

24.（2425九年級(jí)上?福建?期中）已知盒中有大小、質(zhì)地相同的紅球、黃球、藍(lán)球共4個(gè)，從中任取一球，

得到紅球的概率是手得到紅球或黃球的概率是右

⑴求盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個(gè)數(shù)；

⑵設(shè)置游戲規(guī)則如下：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色，若取到兩個(gè)球顏色相同則甲勝，

否則乙勝.從概率的角度判斷這個(gè)游戲是否公平，請(qǐng)說(shuō)明理由.

口題型七概率中的“放回”與“不放回”問(wèn)題

解|題|技|巧

對(duì)于“放回”和“不放回”的題目，易錯(cuò)點(diǎn)在于不知道如何判斷是“放回”還是“不放回”，只要判斷正

確，然后結(jié)合樹狀圖等方法就能迎刃而解.

25.（2425九年級(jí)上?全國(guó)?期末）一個(gè)不透明的袋子中裝有兩個(gè)黃球和兩個(gè)紅球，任意摸出一球后放回，再

任意摸出一球，求兩次都摸到紅球的概率.

26.（2223九年級(jí)上?全國(guó)?期中）將如圖所示的牌面數(shù)字分別是2,3,4,5的四張撲克牌背面朝上，洗勻后

放在桌面上.

⑴從中隨機(jī)抽出一張牌.，牌面數(shù)字是偶數(shù)的概率是;

⑵從中隨機(jī)抽出兩張牌，兩張牌面數(shù)字的和是5的概率是：

⑶先隨機(jī)抽出一張牌，將牌面數(shù)字作為十位上的數(shù)字，然后將該牌放回并重新洗勻，再隨機(jī)抽取一張，將

牌面數(shù)字作為個(gè)位上的數(shù)字，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法求組成的兩位數(shù)恰好是4的倍數(shù)的概率.

27.（2021九年級(jí)上?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?期末）小穎和小亮都想去觀看“垃圾分類”宣傳演出，但只有一張入場(chǎng)

券.于是，老師就設(shè)計(jì)了這樣的一個(gè)游戲：一口袋裝有除顏色外均相同的2個(gè)白球1個(gè)紅球利1個(gè)藍(lán)球，

通過(guò)摸球來(lái)決定誰(shuí)去觀看演出.方案如下：第一-次隨機(jī)從口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一

球，兩人勝負(fù)規(guī)則如下：摸到“一白一紅〃，則小穎去觀看；摸到“一紅一藍(lán)〃，則小亮去觀看.

⑴這個(gè)方案公平嗎?請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法說(shuō)明理由；

⑵你若認(rèn)為這個(gè)方案不公平，那么請(qǐng)你改變兩人勝負(fù)規(guī)則，設(shè)計(jì)一個(gè)公平的方案.

由樹狀圖可以看出：共有12種可能，摸到“一向一紅〃有4種，摸到"一紅一藍(lán)〃的情況有2種，

故小穎獲勝的概率為？;小亮獲勝的概率為所以這個(gè)游戲不公平.

12312o

28.（2425九年級(jí)上?內(nèi)蒙古烏海期末）某學(xué)習(xí)小組做“用頻率估計(jì)概率〃的試驗(yàn)時(shí)，在一個(gè)不透明的布袋中

裝有除顏色外完全相同的紅球和白球共5個(gè)，組員小華做摸球試驗(yàn)，他將球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，

記下顏色，再放回布袋中，不斷重復(fù)上述過(guò)程.下表是試驗(yàn)中的部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).

摸球次數(shù)10204060100150200

紅球出現(xiàn)次數(shù)591826416181

紅球出現(xiàn)的頻率0.50.450.450.4330.410.4070.405

⑴從這個(gè)布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，估計(jì)這個(gè)球恰好是紅球的概率約為（保留一位小數(shù)）；

⑵從這個(gè)布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，不放回，再摸出一個(gè)球，請(qǐng)用畫樹狀圖法或列表法求摸出的兩個(gè)球恰好

是“一紅一白〃的概率.

----------------------過(guò)-?-分犀疏收-------------------------------

期中重難突破練（測(cè)試時(shí)間：15分鐘）

29.（2024?廣東廣州?中考真題）善于提問(wèn)是應(yīng)用人工智能解決問(wèn)題的重要因素之一.為了解同學(xué)們的提問(wèn)

水平，對(duì)4B兩組同學(xué)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并根據(jù)結(jié)果對(duì)每名同學(xué)的提問(wèn)水平進(jìn)行評(píng)分，得分情況如下（單位：

分）:

4組75788282848687889395

8組75778083858688889296

⑴求力組同學(xué)得分的中位數(shù)和眾數(shù)；

⑵現(xiàn)從小B兩組得分超過(guò)90分的4名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)參與訪談，求這2名同學(xué)恰好來(lái)自同一組

的概率.

30.（2024,山東青島?中考真題）學(xué)校擬舉辦慶祝“建國(guó)75周年〃文藝匯演，每班選派一名志愿者，九年級(jí)一

班的小明和小紅都想?yún)⒓?，于是兩人決定?起做“摸牌”游戲，獲勝者參加.規(guī)則如下：將牌面數(shù)字分別為1,

2,3的三張紙牌（除牌面數(shù)字外，其余都相同）背面朝上，洗勻后放在桌面上，小明先從中隨機(jī)摸出一張，

記下數(shù)字后放回并洗勻，小紅再?gòu)闹须S機(jī)摸出一張.若兩次摸到的數(shù)字之和大于4,則小明勝；若和小于4,

則小紅勝；若和等于4,則重復(fù)上述過(guò)程.

⑴小明從三張紙牌中隨機(jī)摸出一張，摸至?xí)?〃的概率是;

（2）請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，說(shuō)明這個(gè)游戲?qū)﹄p方是否公平.

31.（2024?河北?中考真題）甲、乙、丙三張卡片正面分別寫有Q+瓦+除正面的代數(shù)式不同外，

其余均相同.

次

1第^a+b2a+ba-b

Q+b2a+2b2a

2a+b

a-b2a

⑴將三張卡片背面向上并洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，當(dāng)。=1/=-2時(shí)，求取出的卡片上代數(shù)式的值為負(fù)

數(shù)的概率；

⑵將三張卡片背面向上并洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，放回后重新洗勻，再隨機(jī)抽取一張.請(qǐng)?jiān)诒砀裰醒a(bǔ)全

兩次取出的卡片上代數(shù)式之和的所有可能結(jié)果（化為最簡(jiǎn)），并求出和為單項(xiàng)式的概率.

32.（2024?江蘇蘇州?中考真題）一個(gè)不透明的盒子里裝有4張書簽，分別描繪”春〃，"夏秋"，"冬"四個(gè)

季節(jié)，書簽除圖案外都相同，并將4張書簽充分?jǐn)噭?

⑴若從盒子中任意抽取1張書簽，恰好抽到“夏''的概率為;

⑵若從盒子中任意抽取2張書簽（先抽取1張書簽，且這張書簽不放回，再抽取1張書簽），求抽取的書簽

恰好1張為"春"，1張為"秋〃的概率.（請(qǐng)用畫樹狀圖或列表等方法說(shuō)明理由）

33.（2024?陜西?中考真題）一個(gè)不透明的袋子中共裝有五個(gè)小球，其中3個(gè)紅球，1個(gè)白球，1個(gè)黃球，這

些小球除顏色外都相同.將袋中小球搖勻，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球記下顏色后放回，記作隨機(jī)摸球一次.

⑴隨機(jī)摸球10次，其中摸出黃球3次