第六章幾何圖形初步--角的有關(guān)計算題重點題型梳理專題練2025?2026學(xué)年

初中數(shù)學(xué)人教版(2024)七年級上冊

一、三角板中角度計算問題

1.將一副三角板按如圖所示的方式擺放，己知口=32。10\則尸=

2.一副三角板如圖擺放，已知NC48=90。，Zm￡=60°,若=則NB4O=

3.如圖1所示，將一副三角板的直角頂點重合在點。處.

圖1圖2

(1)/40。NBOC；(填“>"y)

⑵若將三角尺按圖2的位置擺放，/AOC和/8OO在數(shù)量上有何關(guān)系？說明理由：

(3)在圖2中，已知NBO中與/AOC的度數(shù)比為，〃：〃,當(dāng)“與方I1是同類項時,求NBOD的

度數(shù).

4.如圖，將兩塊直角三角板的直角頂點C疊放在一起.

DD

￡

CB°B

（缶用圖）

⑴/ACE/BCD（填“>”、“<”或“=”）；

（2）當(dāng)NDCE=15。時，求/ACB的度數(shù)；

（3）猜想NAC8與NDCE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（4）將三角板AC。繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)直線。平分NBCE時，NECQ的度數(shù)為（注:

不寫過程，直接寫出結(jié)果，只填寫小于平角的結(jié)果）.

二、與方位角有關(guān)的計算題

5.如圖，點A,8,。分別表示手繪地圖中廈門鼓浪嶼風(fēng)景區(qū)內(nèi)鄭成功紀(jì)念館、鄭成功水操臺遺址、

日光巖三個景點.經(jīng)測最40?=66。，鄭成功水操臺遺址在日光巖的北偏東28。方向，則用成功紀(jì)念

6.如圖，貨輪。在航行過程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60。的方向上，同時在它北偏東30。、西北（即

北偏西45。）方向上又分別發(fā)現(xiàn)了客輪8和海島C.

（1）仿照表示燈塔方位的方法，分別畫出表示客輪8和海島。方向的射線08,OC（不寫作法）；

（2）若有一艘漁船且NAOO是它補角的;，則漁船Q在貨輪。的（寫出方位角）

7.如圖①，貨輪?？吭?。點，發(fā)現(xiàn)幻塔A在它的東北（東偏北45?；虮逼珫|45。）方向上.貨輪8在

碼頭。的西北方向上.

⑴仿照表示燈塔方位的方法，畫出表示貨輪3方向的射線;

⑵如圖②，兩艘貨輪從碼頭。出發(fā)，貨輪C向東偏北15。的OC的方向行駛，貨輪。向北偏西15。的

方向航行，求NCO。的度數(shù).

8.方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所

成的角(一般指銳角).如圖，射線。4的方向是北偏東15。，射線08的方向是北偏西40。，射線04

平分N3OC,射線OE是射線03的反向延長線.

(1)求射線OC的方向角:

(2)求NCOE的度數(shù)；

(3)若射線。。平分NC0E,試判斷440。是否為直角？并說明理由.

三、鐘面角

9.如圖，當(dāng)時鐘指向上午9:30時，時針與分針的夾角。的度數(shù)是

10.(1)時鐘4：50,時針與分針?biāo)鶌A的角是。.

(2)如圖，此時鐘面上的時間是10時40分，到11時，時針走過的度數(shù)是

11.如圖，在一個圓形時鐘的表面上，QA表示時針，OB表示分針(。為兩針的交點即旋轉(zhuǎn)中心).下

午3點時，與OB成直角.

(1)時針1小時轉(zhuǎn)過的角度為_。，分針I(yè)分鐘轉(zhuǎn)過的角度為_。；

⑵在下午3點至4點之間，從下午3點開始，經(jīng)過多少分鐘，時針與分針成60。角？

12.生活處處有數(shù)學(xué)，就看你是含有數(shù)學(xué)的眼光.同學(xué)們都見過機械手表吧，讓我們一起去探索其中

隱含的數(shù)學(xué)知識.

一塊手表如圖①所示，把它抽象成數(shù)學(xué)模型：如圖②，表帶的兩端用點A和點。表示，表盤與線段

交于點B、C,。為表盤圓心.

圖3

⑴若BC為4cm,CD:AB=3:2,B是AC中點，求手表全長4。的長度.

⑵表盤上的點B對應(yīng)數(shù)字“12”，點C對應(yīng)數(shù)字“6"，OE為時針，QV為分針，8:30時表盤指針狀態(tài)如

圖③所示，分針QV與OC重合.

①求/EON的度數(shù)；

②作射線OM,使/成加二25。，求此時N3OM的度數(shù).

四、角平分線的有關(guān)計算

13.如圖，內(nèi)部有順次的四條射線，OE,OC,OD,OF,其中OE平分NAOC,。尸平分

CDOB.

(2)若NAO8=a,ZCOD=/?(<z>/?),求NEC尸的度數(shù).

⑵將圖①中的NC8繞頂點。順時針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，其它條件不變，探究/AOC和/DOE的度

數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；

(3)將圖①中的NCOD繞頂點。順時針旋轉(zhuǎn)至圖③的位置，其他條件不變.直接寫出NAOC和NDOE的

度數(shù)之間的關(guān)系.

15.如圖①，。。是NAOE內(nèi)部的一條射線，OB、0。分別平分NAOC,/EOC.

(2)ZAOE與ZBOD的大小有什么關(guān)系，寫出你的結(jié)論并說明理由；

(3)如圖②，如果OC是24OE外部的一條射線，08、OO分別平分NAOC,ZEOC.那么(2)中

NAOE與/30。的大小關(guān)系還成立嗎？請說明理由.

16.如圖1,。為直線48上一點，過點。作射線0C,使NBOC=50。，現(xiàn)將一個三角板的直角頂點

放在點。處，一邊0/)與射線。8重合，如圖2.

（1）ZEOC=；

⑵如圖3,將三角板OOE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，當(dāng)OC是N8OE的平分線時；求N&）。的度

數(shù)；

（3）將三角板OOE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角度。（0。＜。＜90。），是否有某個時刻滿足

NCOD=：NAOE?如果有，求N8OO的度數(shù)，說明理由.

五、角〃等分線的有關(guān)計算

17.在Z4O4的內(nèi)部作射線0C,射線。。把/A04分成兩個角，分別為N40C和24OC,若

ZAOC=-ZAOB?￡ABOC=-AAOB,則稱射線OC為NAOB的三等分線.若Z4O8=60。，射線OC

33

為-A04的三等分線，則/AOC的度數(shù)為（）

A.20°B.40°C.20°或40。D.20。或30。

18.定義：從/AO8的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線OC,把NAO8分成1:2的兩部分，射線OC叫

做N4QB的三等分線.若在NMON中，射線OP是NMON的三等分線，射線3是尸的三等分

線，設(shè)NMOQ=x，則NMON用含x的代數(shù)式表示為（）

999999

A.-x或3x或一-x或3x或9xC.7.或一x或9xD.3工或7?或9x

424422

六、余角與補角的有關(guān)計算

19.（1）一個角的余角比它的補角的;多12。，求這個角的度數(shù).

（2）已知一個角的余角的4倍與這個角的補角的和是180。，求這個角的度數(shù).

20.如圖4408=180。,//0。=/。0七=90。.

⑴請寫出/反用與NCOO的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(2)寫山NAOF的補角和余角；

⑶如果NAOf=34。，OC平分N8OD,求/COB度數(shù).

21.已知，直線A3,CO相交于點。Z1=50°,ZDOF=90°,。尸是NBOE的平分線.

⑴如圖1所示，求N2的度數(shù)；

(2)如圖2所示，作NCO/的平分線OG,求NCOG的度數(shù)：

⑶在(2)的條件下，請你過點O作射線O",使得NGO”為N1的余角的2倍，求NFO”的度數(shù).

22.已知點仄O、C在同一條直線上，ZAOT=a(0°<a<60°).

⑵如圖2,若NBOZ)=90°,NBOE=40°,OA平分NDOE,求a.

⑶如圖3,若40。與/ACM互余，NBOE也與n月04互余，請在圖3中畫出符合條件的射線?！昙?/p>

以計算后，直接寫出NOOE的度數(shù)(用含夕的式子表示)

綜合練

一、單選題

1.一副三角板，如圖所示疊放在一起，則圖中Na的度數(shù)是()

2.在同一平面內(nèi)有乙408=70。52',/30。=35。20',則-40。的度數(shù)是()

A.106。12'B.35。32'C.106。12'或35。32'D.1()5。72‘或35。32'

3.如圖，平面鏡MN放置在水平地面上，墻面PDLCD于點D,一束光線4。照射到鏡面A/N上,

反射光線為08,點8在尸。上，若408=100。，則NAOC的度數(shù)為（）

MOND

A.40°B.30。C.45°D.50。

4.已知：如圖I,點A,O,8依次在直線MN上，現(xiàn)將射線OA繞點。沿順時針方向以每秒2。的速

度旋轉(zhuǎn)；同時射線08繞點。沿逆時針方向以每秒4。的速度旋轉(zhuǎn).如圖2,設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為1秒

A.整個運動過程中，不存在NAO8=90。的情況

B.當(dāng)4408=60。時，兩射線的旋轉(zhuǎn)時間/一定為20秒

C.當(dāng)，值為36秒時，射線08恰好平分NMOA

D.當(dāng)4403=60。時，兩射線的旋轉(zhuǎn)時間，一定為40秒

5.如圖，點A、。、4在同一直線上，。。平分NAO￡>,ZBOD=I20°,則ZAOC的度數(shù)是（）

6.如圖，/AO8是平角，Z4OC=30°,N8OD=60。，分別是/AOC,N8OO的平分線,

則NMON=（）

7.已知OC是/AO8的平分線，NBOD=g/COD,OE平分NC8,設(shè)NAO8=a,則/80E=()

A.—a或一aB.—?；蛞籥C.一?；蛞?。D.-a

168166866

8.如圖，若N8OC:NAOC=1:2,N4OB=66。，且OC在乙40B的內(nèi)部，則NAOC=()

A.22°B.42°C.72°D.44°

9.如果N1和N2互補，且N1>N2,則下列表示N2的余角的式子中：①90。-N2；②N2-90。：③

1（Zl+Z2）；@|（Z2-Zl）,能正確表示N1的余角的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

10.如圖，已知Nl=28。，NAOC=90°,點B、。、。在同一條直線上，則N2的度數(shù)為（）

A.102°B.118°C.122°D.62°

H.當(dāng)時鐘指針指向3點40分時，分針與時針的夾角是（）度.

A.120B.130C.140D.150

12.如圖，某海域有三個小島A、B、0,在小島O處觀測到小島A在它北偏東60。的方向上，觀測到

小島8在它南偏東38。的方向二，則/4O8的度數(shù)是（）

北

南

A.92°B.98。C.68°D.82°

二、解答題

13.如圖,4,B之間是一座山,一條鐵路要通過A,5兩地,在A地測得鐵路的走向是北偏東65。18',

如果A,8兩地同時開工，那么在8地按南偏西多少度施工，才能使鐵路在山腹中準(zhǔn)確接通？為什么？

北

li

南

14.已知將一副三角尺(直角三角尺和OCO)的兩個頂點重合于點O,ZAOB=90°,ZCOD=30°；

⑴如圖1,將三角尺OCO繞點。逆時針方向轉(zhuǎn)動，當(dāng)03恰好平分/COD時，求NAOC度數(shù);

⑵如圖2,當(dāng)三角尺OC。擺放在—AO/3內(nèi)部時，作射線OM平分NAOC,射線。N平分NBOD,如

果.二角尺OCQ在，人。月內(nèi)繞點O仟意轉(zhuǎn)動,NMO/V的度數(shù)是否發(fā)牛變化？如果不變,求其值:

如果變化，說明理由.

15.如圖，NAO8=90。，OC是N4O8內(nèi)部的一條射線，O。，OE分別是NAO8,N80C的平分

(1)若NAOC=20。，求NOOE的度數(shù)；

⑵小明通過作圖觀察發(fā)現(xiàn)，無論銳角NAOC的大小如何，NDOE的度數(shù)始終為/AOC的一半.他

的結(jié)論是否正確？請判斷，并說明理由.

16.如下圖，已知N4OB內(nèi)部有三條射線，OE平分NBOC，O/平分/49C.

19

(2)若將條件中的“。石平分N4。。，。/平分ZAOC”改為“NEOK=§NBOC,NCO/=§NAOC”,

且NAO8=a,求NEOE的度數(shù).

17.己知點0為直線A"上一點，將直角三角板MOV如圖1所示放置，且直角頂點在。處，在NMQN

內(nèi)部作射線OC，且OCt恰好平分

O

圖2

⑴若4CON=25°,則NAOM是。；

⑵若ZBON=2ZNOC,求ZAOM的度數(shù)；

⑶如圖2,。是射線08上一點，且NO￡)N=90。，試猜想N0M)與NNOC之間的數(shù)軟關(guān)系，并說明

理由.

答案

一、三角板中角度計算問題

1.解：根據(jù)三角板可知N1=90。,

???Na+Nl+N夕=180。,且Na=32°l(X,

:.Z/?=180°-90°-32°10'=57>50'.

故答案為：57。50'

2.解：VZC4B=90°,ZZME=60°,

/.ZC4E=NCAB-ZBAE=903-NBAE,ZBAD=ZDAE-/BAE=60°-ZBAE

丁zlCAD=3ZI3AE,

???ZG4E+ZBAE+^BAD=34BAE,

：.90°-ZBAE+ZBAE+60O-ZBAE=3/BAE,

，ZBAE=31.5°,

???N8AO=22.5。，

故答案為：22.5.

3.(1)①???ZAO3=NCW=90°,

工ZAO8+ZBOD=ZCOD+ZBOD,即ZAOD=NBOC.

故答案為；=;

(2)VZA()B=^COD=^r,ZAOC=ZAOB+Z.COD-ZBOD,

，ZAOC=\SO°-ZBOD,

即ZAOC+ZBOD=180°.

(3)??Y*u與”是同類項，

6m=72+l

**|ll=2n-ll，

in=2

解得一，

zz=11

???/8OC與/AOC的度數(shù)比為〃?：〃，11-2=9,

N8OC=90°x-------=20°，

11-2

/.ZSOD=90o-20o=70°.

故N8。。的度數(shù)是70。.

4.(1)解：VZACD=ZBCE=90°f

/.ZACD-ZDCE=ZBCE-ZDCE,

即ZACE=4BCD,

故答案為：=;

(2)解：VZBCE=90°,ZDCE=15°,

，ZBCD=ZBCE-ZDCE=9()°-15°=75°,

,//ACQ=90°,

/.ZACB=ZACD+/BCD=90°+75°=165°；

(3)解：4cB+NQC￡=180。，理由如下：

,/ZACD+ABCE=90°+90°=180°,

???ZACE+ZDCE+NBCD+ZDCE=180°,

即ZACB+ZDCE=180°；

(4)解：當(dāng)三角板ACO旋轉(zhuǎn)到如圖①位置時，直線CO平分/8CE,

k

D

圖①

???N1=-N6CE=45°,

2

???ZECD=180o-Zl=135°,

當(dāng)三角板AC。旋轉(zhuǎn)到如圖②位置時，直線C。平分NBCE,

綜上，/反力的度數(shù)為45。或135。,

故答案為：45。或135。.

二、與方位角有關(guān)的計算題

5.解：因為鄭成功水操臺遺址在日光巖的北偏東28。方向,

所以N5ON=28。.

乂因為2404=66。,

所以/AON=^AOB-，笈QN=66。-28°=38°.

所以鄭成功紀(jì)念館在Fl光巖的北偏西38。方向.

故答案為：北偏西38。方向.

6.(1)解：客輪8和海島。方向的射線08,0。如圖所示:

(2)解：:人。。是它補角的;,

JZAOD=1(180°-NAOQ),

解得：400=45。,

如圖,

北

而175°

西東

RM.

南

圖2

故。在。南偏東15?；虮逼珫|？5。.

7.(1)如圖所示，射線08的方向就是西北方向，即貨輪8所在的方向.

北

南

(2)依題意可得，NMOQ=901NC'OQ=15°,ND0M=15。

/.ZCOD=Z.D0M+NMOC

=/DOM+(ZMOQ-ZCOQ)

=15o+(90o-15°)

=90°

8.(1)解：由題意得；ZNOA-\5°,ZNOB-40°,

\?AOB?NOA?NOB15?40?55?,

???射線Q4平分N8OC,

\?AOB?AOC-?BOC55?,

2

/.ZATOC'=+ZAOC=15°+55°=7(F,

???射線OC的方向角為北偏東70。；

(2)解：???射線OE是射線08的反向延長線，

\?BOE?BOC2COE1807,

?BOC2?AOH110?,

\2COE180?110?70?；

(3)解：440。是直角，理曰如下：

???射線O。平分NCOE,ZCOE=70°,

\?DOE-?COE35?,

2

\?AOD180?35?55?90?

.?.ZAO。是直角.

三、鐘面角

30

9.解：3乂30。+30。乂二=105。，則上午9:30時:時針與分針的夾角a的度數(shù)是105。.

故答案為：105。.

10.解：(1)鐘表上4點50分，時針與分針的夾角可以看成6乂30。+30。、”二205。.或

6()

360°-205°=155°.

(2)如圖，由鐘面角的定義可知,

,ZAOB=30°x2+20°=80°,

???^BOE=30°-20o=10°,

故答案為:(1)205或155(2)10°.

11.(1)解：時針1小時轉(zhuǎn)過的角度為360。+12=30。,

分針I(yè)分鐘轉(zhuǎn)過的角度為360。+60=6。；

故答案為：30,6

(2)設(shè)在下午3點至4點之間，從下午3點開始，經(jīng)過x分鐘，時針與分針成60。角.

①當(dāng)分針在時針.上方時,由題意得:

30x

I3+—|x30-6x=60,(n￡6A--=90-60)

I60J60

解得：“*；

②當(dāng)分針在時針下方時,由題意得:

30x

6x-3+—x30=60,(ng6A--=90+60)

I60J60

解得:x若

答：經(jīng)過華或當(dāng)

分鐘，時針與分針成60。角.

12.(1)解：是4C中點

AB=BC=-AC=4cm-

2

AC=8cm；

QCO:A3=3:2；

\CD=6cm；

/.AD=AC+CD=14cm；

(2)解：①分針的速度為360°+60=6。(每分)；

時針的速度為(360。+12)+60=0.5。(每分)；

30分鐘時針走的路程為0.5。入30=15。,即時針從8點到8:30走了15。,

:.NEON=15。+2x30。=75。；

②當(dāng)OM在NEON內(nèi)部時，NNOM=NEON-NEOM=75°-25°=50°，

/BOM=180°-NNOM=130°；

當(dāng)OM在/EON外部時，NBOM=180°-(/EON+/EOM)=180°-(75°+25°)=80°.

四、角平分線的有關(guān)計算

13.(1)解：:OE平分/4OC,O尸平分NDO8,

AZEOC=-ZAOC,ZDOF=-ZDOB

22t

VZAOB=160°,ZCOD=40°,

/./EOF

=AEOC+ZDOF+ZCOD

=；(ZAOC+NBOD)+ZCOD

二；(ZAOB-NCOO)+ZCOD

=^(ZAOB+ZCOD)

=^x(1600+40o)=100°.

(2)解：:OE平分N4OC,O尸平分/DOB,

.??ZEOC=-Z.AOC,NDOF=-/DOB,

22

VZAOB=a,4COD=p(a>仍，

/./EOF

=ZEOC+ZDOF+ZCOD

=1(ZAOC+ZBOD)+4cOD

=g(NAO5-ZCOD)+Z.COD

=g(ZAO8+NCOQ)

=g(a+夕).

14.(1)解：VZAOC=30°,

/.ZCOB=180°-ZAOC=180c-30°=150°,

OE平分N8B,

???ZCOE=-ZCOB=75°,

2

又：NCOD=90。,

/.ADOE=ZCOD-ZCOE=15°；

(2)解：NAOC=2NDOE、

理由：???/。%＞是直角，OE平分4cOB,

???4COE=ZBOE=90°-/DOE,

：.'1AOC180?2BOC180721COE180?2(90?2DOE),

:.NAOC=2NDOE；

(3)解：ZAOC=360°-2Z￡)OE；

理由：YOE平分4COB,/。”＞是直角，

???乙BOE=Z1COE=-乙BOC=乙DOE-90°,

2

.??？40c180?2BOC18072?COE180?2(?1X)E90?),

/.ZAOC=360°-2ZDOE；

15.(1)解：OB、OO分別平分NAOC,/EOC,

NCOD=-NCOE.NCOB=-AAOC,

22

ZA(7E=140°,

/./COD+NCOB=-AAOE=70°,

2

.ZCOD=30°,

ZBOC=40°,

故答案為：40°；

(2)解：ZAOE=2ZBOD,理由如下:

OB、0。分別平分NAOC,/EOC,

/.匕COD=-ZC'OE,ZCOB=-NA",

22

NCOD+ZCOB=-ZAOE,

2

/BOD=L/AOE,

2

：.ZAOE=2ZBOD；

(3)解：ZAOE=2NBOD成立,理由如下，

OB、O￡＞分別平分/AOC,/￡OC,

NAOB=ZHOC=-4AoC,Z.COD=ZEOD=-NCOE,

22

ZAOE=ZEOC-NAOC,/BOD=ZCOD-ZBOC=g(NEOC-ZAOC),

/.ZAOE=2ZI3OD.

16.(1)解：,:NEZ?D=90。，

Z.EOC=NEOD-NBOC=40°,

故答案為：40°.

(2)解：設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度N8OZ)=x,

ZBOE=90°+x,

???ZBOC=50°,OC是ZBOE的平分線，

???ZBOE=2ZBOC,

.*.90O+A:=2X50O,

Ax=10°,

即NBOD=100.

(3)解：有某個時刻滿足=理由如下：

依題意，旋轉(zhuǎn)的角度/8。。=?(0。＜0＜90。)，

ZAOE=1800-Z.EOD-/BOD=180°-90°-cz=90°-a,

當(dāng)。＜50°時，點。在OC的右惻，

當(dāng)50。＜。＜90。時，點。在OC的左側(cè)，

/.NCO￡)=50°-a或a-50。，

??,ZCOD=-ZAOEt

3

???50。-a=；(90。-a),或a-50。=：(90。-a)

解得a=30?；?0。,

???4BOD的度數(shù)30?；?0°.

五、角〃等分線的有關(guān)計算

17.解：VZAOB=60°,射線OC為NAOB的三等分線.

???^AOC=-Z.AOB=20°或NBOC=』NAOB=20°,

33

JZAOC=ZAOB-ZBOC=60°-20°=4()°,

???NAOC的度數(shù)為20?；?0°.

故選：C.

18.解：如圖：射線OP是NMON(/MOP=2NNOP)的三等分線,射線。。是

ZMOP(ZQOP=2NMOQ)的三等分線，

3

貝ljZQOP=2x,4NOP=-/MOP=-x(x+2x)=1x,

39

/./MON=/MOQ+4QOP+NNOP=x+2x+^x=^x-

如圖：射線O尸是/MON(乙WO尸=2NNOP)的三等分線，射線。。是/MOP(/MOC=24PP)的三

等分線，

111(1)3

則NQ0P=2x,4N0P=±4Mop=上乂x+-x=-x,

2221214

139

...NMON=NMOQ+Z.QOP+NNOP=x+-x+^x=^x；

如圖：射線OP是NMQV(NNOP=2NMOP)的三等分線，射線OQ是NMOP(NMOQ=2NQOP)的三

等分線,

M°

oN

則NQOP=gx,/NO尸=2NMOP=2xx+gx)=3x,

19

/.NMON=NMOQ+ZQOP+ZNOP=x+^x+3x=^x；

如圖：射線OP是NMON(NN。尸=2NMOP)的三等分線，射線OQ是/MOP(NQOP=2/MOQ)的三

等分線，

則ZQOP=lx,乙NOP=2/MOP=2x(x+2x)=6x,

；"MON=NMOQ+ZQOP+NNOP=x+2x+6x=9x；

9Q

綜上，NMQV為:x或二x或9x,

42

故選：C.

六、余角與補角的有關(guān)計算

19.解:(I)設(shè)這個角的度數(shù)為x。，由題意得,

(90-.v)--(180-x)=l2,

解得x=27,

答：這個角的度數(shù)為27。.

(2)設(shè)這個角的度數(shù)為廿，由題意得，

4(90-x)+(180-x)=180,

解得x=72,

答：這個角的度數(shù)為72。.

20.(1)解：/EOF=NCOD,理由如下：

???ZFOD=Z.COE=900,

AZEOF+ZZ)OE=90o,NCOD+/DOE=900,

???/EOF=NCOD；

(2)解：VZFOD=ZCOE=90°,ZAO8=180。，

，ZAOF+ZfiOF=180°,ZAOF+ZFOD+ZBOD=180°,

，ZAOF+/BOD=90。,

???NAO/的補角是/3O產(chǎn)，NAO/的余角是N8OD；

(3)解:由(2)知NAOb+NZ?OD=90。，

ZAOF=34°,

???ZBOD=56°,

*/OC平分N8O￡),

??.4cOB=-NBOD=28。.

2

21.(1)解：?:/BOE=41+/DOE,

JZBOE=50°+9()0=14()0

?/。/是N8OE的平分線，

???NBOF=-/BOE=1x140°=70°

22

，Z2=-NBOF-Zl=70°-50°=20°

2

(2)解：VZZX?E=90°,

JZCOE=180°-90°=90°,

VZl=50°,

???ZBOE=ZDOE-Zl=90°-50°=40°

???OF是N80E的平分線

???/EOF=-NBOE=lx40°=20°

22

???ZCOF=ZCOE+Z￡OF=900+20°=110°

*/OG平分NC",

???ZCOG=-ZCOF=-xll00=55o

22

答：NCOG的度數(shù)是55。.

(3)解：VZl=50°,

???N1的余角是90°—50。=40°,

???ZGOH=40°x2=80°

①:NCOG=55°,

???在—AOC內(nèi)部畫O〃，則NCOH=80°-55°=25°

???ZFOG=ZCOG=55°

，乙FOH=乙FOG+Z.GOH=55°+80。=135°

②同理在4BOD內(nèi)部畫，

/FOH=4GOH-Z.GOF=80°-55°=25°

答:NFO”的度數(shù)是25?；?35。.

22.(1)解：vZAOD=90°,ZCOD=70°,

/.ZAOB=180O-ZJ\OD-zLCOD=20°,

故答案為：20°；

(2)解：vZBOD=90°,N8QE=40。，

；./DOE=NBOD+ABOE=900+40°=130°,

3平分NOOE,

NAOE=L/DOE=65。,

2

/.a=ZAOE-/BOE=65°-40°=25°：

(3)解：①當(dāng)OE在08的上方時，如圖,

「.ZAOD與/AO8互余，N8OE也與NA08互余,

.-.ZAOD=90°-?,ZZ?6>￡=90°-?,

:"DOE=NBOD-NBOE=90°-(90°-a)=a,

②當(dāng)OE在08的下方時，如圖，

D

________ZAQD與/AQ8互余，N80E也與N4Q8互余,

B~7oC

ZAOD=^0-a,N8OE=90°-a,

/DOE=ZBOD+ZBOE=90。+90°-a=180。一a,

綜上所述，NDO￡的度數(shù)為：180。-2或a.

綜合練

I.A

本題考查了三角板中角度計算詞題，由題意得：ZA=90°,ZACB=60°-45°=15°,即可求解:

解；如圖所示;

A

由題意得：ZA=90°,ZACB=60°-45°=15°,

:.Za=90o-15o=75°；

故選：A

2.C

本題考查角度的計算，熟練掌握角度的計算是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意分兩種情況分類討論：在NAO3

內(nèi)部或外部，分別計算NAOC的度數(shù).

解：①當(dāng)OC在24OA內(nèi)部時，

*/ZAOC=ZAOB-/BOC,

:.ZAOC=70o52f-3502O*=35°32f,

②當(dāng)OC在N4O8外部時，

???ZAOC=ZAOB+ZBOC,

???ZAOC=70。52'+35。20'=105。72'=106。12',

綜上，/4OC的度數(shù)為106。12'或35。32'.

故選：C.

3.A

根據(jù)題意得根據(jù)平角的定義，代入即可求解，

本題考查了，反射角等于入射角，平角的定義，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)定義.

解：依題意，NAOC=NBOD,ZAOB=100°,

zSAOC-i-zLBOD+ZAOB=180°,

???ZAOC+1(X)0+ZAOC=180°,解得：ZAOC=40°,

故選：A.

4.C

由題意知NMQ4=2產(chǎn)，ZNOA=\SO0-2t°；當(dāng)0WY45時，NNO3=4產(chǎn)；當(dāng)45vT90時，

/208=360。-4/；ZAOB=ZNOA-ZNOB=90°,計算求解可判斷選項A的正誤；令

NAQB=NNOA-NNOB=0甲,乙AOB=4NOB-4NOA=&『，計算求解可判斷選項B、D的止誤；

將1=36代入，求出NA/O4,NNOA,NNO4的值，然后根據(jù)NA(M=NMM-NNOA求解/4O4的

值，根據(jù)上八OB與NMO4的關(guān)系判斷選項C的正誤.

解：由題意知NMQ4=2f。，NNQ4=180°-2/。；當(dāng)0W/W45時，/NOB=M。；當(dāng)45<Y90時，

NM98=3600-4/。；

令4AOB=NNOA-4NOB=4,即180。一2/。-4/。=90。，解得f=15秒，

???存在403=90。的情況；

故A錯誤，不符合題意；

令NAO6=NNQ4-NNO/3=60。，即1800-27°-4，。=60。，解得1=20秒，

4^ZAOB=ZNOB-ZNOA=60°,即4尸一（180。-2產(chǎn)）=60。，解得/=40秒，

???當(dāng)4404=60。時，兩射線的旋轉(zhuǎn)時間/不一定為20秒；

故B、D錯誤，不符合題意；

當(dāng)f=36時，NMOA=72。,Z.VOA=108°,NNOB=144°,

，ZAOB=ZNOB-ZNOA=144°-108°=36°,

NAOB=L/MOA,

2

，射線08恰好平分ZMOA,

故C正確，符合題意；

故選C.

本題主要考查了角的運算，角平分線等知識.解題的關(guān)鍵在于正確的表示各角度.

5.A

本題考查了角平分線的有關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線找出角的等量關(guān)系.

由平角定義得4408=180。，計算NAO。，然后利用角平分線定義即可解答.

解：因為點4、0、3在同一直線上，

所以N4O8是平角，即/4。8=180。.

因為N8OD=120。，

所以NAO￡>=NAO6-ABOD=180°-120°=60°.

又因為0C平分NAO/）,

所以ZAOC=-ZAOD=30°.

2

故選：A.

6.D

本題考查了與角平分線有關(guān)的計算，熟練掌握角平分線的計穿是解題關(guān)鍵.先根據(jù)角平分線的定義可

得？人OM^AOC15?,NBON=[N8OO=30°,再根據(jù)平角的定義可得404=180。，然后根

22

據(jù)ZMON=ZAOBZAOMZ.BON計算即可得.

解：???ow,av分別是NAOC,/BOZ）的平分線，ZAOC=30°,ZBOD=60°,

A?AOM-7AOC15?,NBON=L/BOD=30°,

22

???/AOB是平角，

，NAO8=18。。，

，/MON=ZAOB-ZAOM-NBON=135°,

故選：D.

7.A

本題考查角平分線的定義，角的和與差，角的〃等分線.利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)

鍵.分類討論：當(dāng)。。位于N8OC內(nèi)部時和當(dāng)。。位于/BOC外部時，解答即可.

解：如圖I,當(dāng)。。位于/8OC內(nèi)部時，

圖1

ZAOB=a,OC是NA04的平分線,

???ZCOB=-a.

2

?/N6OD」NCOD,

3

1

???NBOD=L/COBa3

8-ZCOD=-a.

48

,/OE平分NCOZ),

，ZEOD=-ZCOD=—a,

216

3I5

/.ZBOE=ZEOD+ABOD=-?+-?=—?:

16816

如圖2,當(dāng)OO位于28O。外部時，

VZAOB=a,OC是/AOA的平分線,

；.ZlCOB=-a.

2

/BOD'/COD,

3

I3

aa

???NBOD=、4COB4-4-

2

*/OE平分NC8,

ZEOD=-ZCOD=-a,

28

311

ZBOE=ZEOD-ZBOD=-a——a=-a；

848

綜上可知=或1a.

168

故選：A.

8.D

根據(jù)N3OC:NAOC=1:2,分圻出NAOC與NAO3的倍分關(guān)系即可解決問題.

解：VZI3OC:ZAOC=］：2,

22

???ZAOC=-Z4OB=-x66°=44°.

33

故選：D.

本題主要考查了角的倍分關(guān)系，正確得到NAOC與N40B的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

9.B

本題考查了余角和補角：如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角；如果兩個角的

和等于(平角)，就說這兩個角互為補角.

由N1和N2互補，得Nl+N2=180。，由N1的余角為90。-/1,通過代數(shù)變換，判斷各式子是否等于

9O°-Z1.

解：???/1和N2互補，

/.Zl+Z2=180°.

Z1的余角為90。-/1,

①：Nl"2,即90。一/2工90。一/1,故錯誤：

②：Z2-90°=(180o-ZI)-90°=90o-Zl,故正確；

③：g(Nl+N2)=gxl80o=900工90。一/1,故錯誤；

@：^(Z2-Zl)=1(180o-Zl-Zl)=l(180o-2Zl)=90°-Zl,故正確.

???②和④正確，共2個.

故選：B.

10.B

本題考查了角度的和差計算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出各個角度之間的和差關(guān)系.

根據(jù)/1=28。，/AOC=90。，求出/8OC,進而根據(jù)平角的定義得出N2即可.

解：V^1=28°,ZAOC=90Q,

/.ZBOC=ZAOC-Zi=90°-28°=62°,

/.N2=180°-NBOC=180°-62°=118°.

故選：B.

II.B

本題主要考查了鐘面角、絕對值、角的和差等知識點，確定時針和分針在3點40分時的角度位置是

解題的關(guān)鍵.

先確定時針和分針在3點40分時的角度位置，求其差值的絕對值，并取小于180度的角即可解答.

解：???時針每分鐘