第3章一元一次不等式

思維導圖

知識清單

一、不等式及其性質(zhì)

1.用符號（或"W”），（或“2”），“W”連接而成的數(shù)學式子，叫做不等式。

常見的不等號：>、V、不、WW.

2.不等式的基本性質(zhì)

不等式的基本性質(zhì)1a<b,b<c=>a<c（也叫不等式的傳遞性）

不等式的基本性質(zhì)2不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)，所得到的不等式仍成立

字母表達式：a>bna+c>b+c,ac>be；

a<b=>a+c<b+c,ac<be

不等式的基本性質(zhì)3不等式的兩邊都乘（或都除以）同一個正數(shù)，所得的不等式仍成立；不等式的兩

邊都乘（或都除以）同一個負數(shù)，必須改變不等號的方向，所得的不等式成立。

字母表達式：a>b,且c>O=ac>be,->-；

-----------C-----------C

a>b,且eVOnacVbe.<g

二、一元一次不等式（組）

1.定義：不等號的兩邊都是②而且只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是這樣的不等式

叫做一元一次不等式.

2.不等式的解集：能使不等式成立的未知數(shù)的值的全體叫做不等式的解集，簡稱不等式的解

3.解一元一次不等式的一般步驟和根據(jù)：

步驟根據(jù)

1去分母不等式的基本性質(zhì)3

2去括號單項式乘多項式法則

3移項不等式的基本性質(zhì)2

4合并同類項合并同類項法則

5兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)不等式的基本性質(zhì)3

注意：不等式的解法的第5步中，當除的數(shù)是一個負數(shù)時，不等式中的不等號必須改變方向，這是與解一

元一次方程的不同之處。

4.不等式的簡單應(yīng)用解題步驟：

步驟要占

1審審題目中的已知量、未知量、待求量

2設(shè)一般是求誰設(shè)誰，或者誰小設(shè)誰

3列根據(jù)題目中的不等量關(guān)系列對應(yīng)不等式

4解解d不等式的解集

5答

5.一元一次不等式組定義：一般地，由幾個含同一未知數(shù)的一元一次不等式所組成的一組不等式，叫做一

元一次不等式組；

6.不等式組的解：組成不等式組的各個不等式的解的公共部分就是不等式組的解

不等式組解集口訣：同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笕≈虚g；大大小小則無解；

7.元次不等式組的應(yīng)用：“審、設(shè)、歹h解、答”。

易錯總結(jié)

一、不等式及其性質(zhì)

1.根據(jù)題意或描述列不等式

錯誤：表示不等式的語言有很多，不能根據(jù)描述的“至少”和“至多”，“不少于”和“不多于”，“不

超過”和“不低于”等語言選擇正確的不等式符號。

注意：學會根據(jù)常見的語言描述，用正確的不等式符號列不等式。如：

a大于ba>bx不大于bxWbx不超過bxWb

a小于ba<bx不小于bx2bx不低于bx》b

X不等于bxHbx至/最少bx2bx不足bx<b

X至/最多bxWbX超過bx>b

例1根據(jù)下列數(shù)量關(guān)系或題意表述寫出不等式.

(1)X與5的和的28%不大于一6；

(2)勿除以4的商加上3至多為5；

(3)a與。兩數(shù)和的平方不小于3.

(4)一罐飲料凈重為300g,其中，蛋白質(zhì)含量為mg,且不低于凈重的0.6%；

(5)某校七年級學生有0人，八年級學生有〃人，七年級學生人數(shù)比八年級的2倍還要多.

【答案】(1)28%。+5)4-6

(2)4-+3<5

(3)(a4-b)2>3

(4)m>300x0.6%

(5)m>2n

【分析】本題考查列不等式.抓住題目中的“至多”、“不大于”、“非正數(shù)”等關(guān)鍵詞是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“不大于-6”即可列出不等式；

(2)根據(jù)“至多為5”即可列出不等式;

(3)根據(jù)“不小于3”即可列出不等式.

(4)根據(jù)蛋白質(zhì)含量不低于凈重的0.6%列出不等式即可.

(5)根據(jù)七年級學生人數(shù)比八年級的2倍還要多列出不等式即可

【詳解】(1)解：由題意得：28%(x+5)<-6；

(2)解：由題意得：y+3<5

(3)解：由題意得：(a+8)2^3.

(4)解：根據(jù)題意可知蛋白質(zhì)含量mN300x0.6%

(5)解.：根據(jù)題意可知：m>2n

2.在數(shù)軸上表示不等式

錯誤：不能根據(jù)未知數(shù)所滿足的實數(shù)范圍，在數(shù)軸上表示，①錯誤使用空心點“?！焙汀阿阱e誤使用

向左包含與向右包含。

注意：“。”對應(yīng)“>”或"V”符號，“?”則涵蓋等于，因此對應(yīng)“2”或“W”；在數(shù)軸上表示實數(shù)

范圍時，具體如下：

例2將下列關(guān)于x的解集表示在數(shù)軸上

(1)xW3(2)x>-2(3)0.5<x<2

【答案】見詳解

【分析】根據(jù)在數(shù)軸上表示不等式的解集的規(guī)則將解集表示在數(shù)軸上即可。

【詳解】(】)如圖，在數(shù)軸上表示xW3.

432101234

(2)如圖，在數(shù)軸上表示x>-2.

■■Aalaaaa4

-43r101-2~3-4

(3)如圖，在數(shù)軸上表示0.5V〉:W2.

432101234

3.不等式的基本性質(zhì)3的運用

錯誤：在兩邊都乘或都除以相同的一個負數(shù)時，符號沒有變成相反。

注意：不等式的性質(zhì)與等式的性質(zhì)比較類似，但是也有明顯的區(qū)別，主要是兩點：①性質(zhì)3中，不等式兩

邊同時乘以0時，不等式兩邊都為0,符號變?yōu)椤?"：②不等式兩邊都乘或都除以相同的一個負數(shù)時，不

等式要變號。

例3(2026九年級-廣西?專題練習)若Q>上則下列不等式成立的是.(填序號)

①ac>be；②一2Q>-2b；?a-2<b-2；?-a<-b；⑤|a|>聞；@^a>|b：⑦b-a>0.

【答案】④⑥

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項分析即可.

【詳解】解：①:。〉/),若c=0,則ac=be,故該項不成立；

@,：a>b,：.-2a<-2b,故該項不成立；

③?「Q>b,???Q-2>8-2,故該項不成立；

@Va>b,：.-a<-b,故該項成立；

⑤???Q>b,若取。=-1,6=-2,滿足a>b,但此時|a|=1,|方|=2,有|a|V網(wǎng)，故該項不成立；

?,：a>b,故該項成立；

⑦7u>b,.*.b—a<0,故該項不成立;

故答案為：④⑥.

4.比較兩個式子的大小

錯誤：判斷兩個式子的大小，不能根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)進行變形。

注意：在已知字母參數(shù)的不等關(guān)系前提下，要判斷復雜式子的天小關(guān)系，需要通過不等式的性質(zhì)，變形不

等式兩邊的式子，必要時需要運用多個性質(zhì)多次變形。尤其注意“兩邊都乘或除以一個負數(shù)時不等式要變

號”這一特殊情況。

例4已知a>2b,則

(1)比較大?。孩賏22b2②a2b0③8b4a④一］~b

(2)若商店中A物品2a元/個，B物品a+2b元/個；小林買了3個A和4個B,小姜買了1個A和6個B,

請問誰付的錢多？并說明理由

【答案】(1)①〉②〉③V④V

(2)小林付的多，理由見詳解。

【分析】根據(jù)已知的不等式關(guān)系，結(jié)合不等式的性質(zhì)，可以將兩個式子進行比較，在第(1)小題中，分別

要用到性質(zhì)2和性質(zhì)3；在第(2：小題中，應(yīng)先用a和b分別表示出小林和小姜所付的錢，然后用做差法

比較他們付的錢的大小。

【詳解】(1)①因為a>2b,根據(jù)不等式的性質(zhì)2,兩邊同時減去2,a2>2b2；

②因為a>2b,根據(jù)不等式的性質(zhì)2,兩邊同時減去2b,a2b>0；

③因為a>2b,根據(jù)不等式的性質(zhì)3,兩邊同時乘以4,4a>8b,所以8bV4a；

④因為a>2b,根據(jù)不等式的性質(zhì)3,兩邊同時除以-2,-^<-b.

(2)小林一共花費3X2a+4X(a+2b)=(10a+8b)元：小姜一共花費2a+6(a+2b)=(8a+12b)元。由(10a+8b)

(8aH2b)=2a4b；由(1)中第②小題如a2b>0,所以原式=2(a2b)>0；BP(10ai8b)>(8aH2b),

所以小林付的錢多。

二、一元一次不等式(組)

1.用不等式的性質(zhì)解簡易不等式

錯誤：在學習解不等式時，不能很好的運用不等式的性質(zhì)。

注意：我們可以通過不等式的性質(zhì)，解決一些簡單的不等式，一般情況下解一元一次不等式時：①移項時

注意每項移動后變號，移項使得左側(cè)為未知數(shù)相關(guān)的一次式，右邊為實數(shù)：②合并同類項；③系數(shù)化為1:

尤其注意性質(zhì)3使用時變號的情況。

例5(2526八年級上-黑龍江大慶-階段練習)利用不等式的性質(zhì)解下列不等式，并在數(shù)軸上表示解集.

(l)4x-9<-5；

(2)-2x>x+6；

(3)4x-3>2；

【答案】見解析

(2)x<-2,見解析

(3)》之1見解析

4

【分析】本題主要考查解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步驟及

數(shù)軸上的點所表示數(shù)的特征是解題的關(guān)鍵.

(1)直接移項，合并同類項，x的系數(shù)化為1,把解集在數(shù)軸上表不出來即可；

(2)直接移項，合并同類項，x的系數(shù)化為1,把解集在數(shù)軸上表示出來即可；

(3)直接移項，合并同類項，x的系數(shù)化為1,把解集在數(shù)軸上表示出來即可；

【詳解】(1)解：4x-9<-5,

移項得，4x<-5+9

合并同類項得，4%<4,

x的系數(shù)化為1得，x<1;

在數(shù)軸上表示為：

(2)解：-2x>x+6,

移項得，—2%—x>6

合并同類項得，-3%a6,

A■的系數(shù)化為1得，x<-2；

在數(shù)軸上表示為：

(3)解:4x-3>2,

移頂?shù)茫?%>2+3,

合并同類項得，4%>5,

A■的系數(shù)化為1得，x>7；

4

在數(shù)軸上表示為:

2.去分母時的注意事項

錯誤：去分母時當兩邊同時乘或除以一個負數(shù)時，沒有進行變號。

注意：在去分母時，需要用到性質(zhì)3,因此在去分母時要注意的是，首先判斷是否使用了性質(zhì)3,有的分數(shù)

去分母時，使用的是分數(shù)的性質(zhì)，比如對于不等式/>2,左邊變形為（4+2x）,不需要變號，得到的是

—0.5

（4+2x）>2即可；其次是在使用性質(zhì)3時，兩邊要同時乘或除以一個數(shù)（這一點同一元一次方程解題步驟

中的易錯點），當這個數(shù)為負數(shù)時，一定要變號。

例6（2526八年級上?江蘇鹽城?開學考試）（1）解不等式手>2%.

（2）解不等式5-2%V?,并把它的解在數(shù)軸上表示出來.

（3）解不等式2-手〉竽，并把它的解在數(shù)軸上表示出來.

34

【答案】（】）》<—5；（2）%>3,畫圖見解析；（3）》<1,畫圖見解析

【分析】本題主要考查了求一元一次不等式的解集，并在數(shù)軸上表示出解集.

（1）先去分母，再移項，合并同類項，把未知數(shù)的系數(shù)化為1,求出不等式的解集，并把解集在數(shù)軸上表

小出來即可;

（2）先去分母，再移項，合并同類項，把未知數(shù)的系數(shù)化為1,求出不等式的解集，并把解集在數(shù)軸上表

示出來即可；

（3）先去分母，去括號，再移項，合并同類項，把未知數(shù)的系數(shù)化為1,求出不等式的解集，并把解集在

數(shù)軸上表示出來即可.

【詳解】解：（1）芋>2%,

去分母得：3x-5>4x,

移項得：3x-4x>5,

合并得：一%>5,

解得；x<—5；

（2）5-2%<手，

去分母得：10—4%VI—%,

移項得：x—4%<1—10,

合并得：-3x<—9,

解得:x>3；

不等式的解集在數(shù)軸上表示如下：

(3)2-->—,

34

去分母得:24-4(5x-2)>3(3r+1),

去括號得：24-20X+8>9x4-3,

移頂?shù)茫阂?0%-9%>3-24-8,

合并得：-29%>-29,

解得：x<1；

不等式的解集在數(shù)軸上表示如下：

3.根據(jù)性質(zhì)判斷字母參數(shù)的取值

錯誤：帶有字母參數(shù)的不等式的求解和分析，缺少方法技巧。

注意：在進行不等式中字母參數(shù)的分析時，要學會根據(jù)不等號是否變號確定系數(shù)的正負(也就是同乘或除

以的這個數(shù)的正負，是性質(zhì)3的逆用)；同時注意不同情況的分類討論；也同時要掌握“將字母參數(shù)看作

實數(shù)先計算再根據(jù)解進行分析?”的一般方法。

例7(2526七年級下-全國-單元測試)己知關(guān)于”的不等式3》+mx>-8的解集如圖所示，則m的值

為.

【答案】1

【分析】木題考查了一元一次不等式的解，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次不等式的解法.由題意可得%>-2是

不等式3%+機工>-8的解集，解不等式可得%>-了-,進而得到一號二一2,即可求解.

3+m3+m

【詳解】解：由題意可得%>-2是不等式3x+mx>—8的解集，

???3x+mx>-8

(3+m)x>—8

：----=—2,

?3+m

解得m=1,

故答案為：1.

4.解一元一次不等式組時求合集的原則

錯誤：求解一元一次不等式組，不能根據(jù)口訣求不等式組的合集。

注意；不等式組解集遵循“同大取大；同小取小；大小小大取中間；大大小小則無解”，具體意思如下:

口訣示例合集

同大取大x>a,x>b；且a>bx>a

同小取小X<a,x<b；且a>bx<b

大小小大取中間x<a,x>b；旦a>bb<x<a

大大小小則無解x>a,x<b；且a>b無解

例8(2425八年級下?遼寧丹東-階段練習)解不等式組(通過數(shù)軸表示的方法得到解集).

⑴尸一6之4%

(x-(3%+1)<%4-2

5%-2<3(x+2)

(2)2x-l5X+1/1

t------r-1

【答案】(1)數(shù)軸見解析，x>2

(2)數(shù)軸見解析,-l<x<4.

【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，并在數(shù)軸上表示解集.

(1)分別求出不等式組中兩不等式的解集，表示在數(shù)軸上，再找出不等式組的解集即可；

(2)分別求出不等式組中兩不等式的解集，表示在數(shù)軸上，再找出不等式組的解集即可.

【詳解】⑴解:{?圖奇其+2,

解不等式及-624%得,x>2,

解不等式x-(3x+1)<x4-2得,x>-1,

將不等式的解集表示在數(shù)軸」.為：

'5x-2<3(%+2)

(2)解：2x-l5x+l1?

1-----r-1

解不等式5%-2<3(%+2)得,x<4,

解不等式等一早W1得，x>-l,

將不等式的解集表示在數(shù)軸上為：

5.實際問題應(yīng)注意正整數(shù)解

錯誤：在實際問題中，只求出未知數(shù)滿足的解集，但不結(jié)合實際情況給出最終結(jié)果。

注意：解決實際問題時，求得的未知數(shù)的解集可能不是最終結(jié)果。根據(jù)實際情況還需注意：①是否要為正

數(shù)，因為作為數(shù)量、測量量等數(shù)據(jù)都是正數(shù)；②是否為整數(shù)，因為數(shù)量是整數(shù)的。

例9林老師要給實驗室采購新的天平和試管，已知天平售價50元/套，試管售價12元/套。林老師一共帶

了2500元，購買的試管數(shù)量比天平多20套，且不大于天平套數(shù)的1.6倍。那么林老師有可能分別購買了

多少套天平和試管？請列出來所有可能的情況

【答案】一共有三種：天平34套，試管54套：天平35套，試管55套；天平36套，試管56套。

【分析】根據(jù)解應(yīng)用問題的基本步驟，先設(shè)未知數(shù)，可以設(shè)天平采購了x套，那么試管采購了（x+20）套,

再根據(jù)“帶了2500元”，解讀為總采購費用不超過2500元列式，根據(jù)“（試管套數(shù)）不大于天平套數(shù)的

1.￡倍”再列式，解聯(lián)立的一元一次不等式組，并求出正整數(shù)解即可。

【詳解】設(shè)天平采購了x套，則試管采購了（x+20）套；根據(jù)題意可列式為

(50%+126x4-20；<2500，解得x的取值范圍為詈WxW詈，因為x為正整數(shù)，所

lx+20<1.6%

以:<=34,35或36.

當圻34時，天平采購了34套,試管采購了54套;

當:《二35時，天平采購了35套,試管采購了55套;

當小36時，天平采購了36套,試管采購了56套;

6.根據(jù)不等式（組）的解判斷字母參數(shù)的值

錯誤：帶字母參數(shù)的不等式或不等式組，不能根據(jù)已知條件判斷不等式的性質(zhì)，或不能通過字母參數(shù)表示

實數(shù)來求解并表示出不等式（組）的解?，進行深入討論。

注意：除了“一、3根據(jù)性質(zhì)判斷字母參數(shù)的取值”所描述的需要掌握的方法外；與方程類似的，我們需要

學會通過用字母參數(shù)表示出解，然后根據(jù)題意討論解的情況，求出字母參數(shù)。

例10（2025?安徽?模擬預測）若關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有三個，則a的取值范圍

是.

【答案】一3＜。三一2

【分析】本題主要考查了一元一次不等式組的整數(shù)解.利用不等式組的整數(shù)解個數(shù)來列出關(guān)于a的不等式

組是解題的關(guān)鍵.

首先確定不等式組的解集，先利用含a的式子表示，根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)就可以確定有哪些整數(shù)解?，根據(jù)解

的情況可以得到關(guān)于a的不等式組，從而得出々的范圍.

3x-1>5?

【詳解】解:

,x+a<2②

解①得X>2,

解②得％<2-a,

???不等式組的整數(shù)解共有三個,

???這三個整數(shù)解為:2,3,4,

4<2—a<5?

.*?-3<a<—2.

故答案為：-3<a<—2.

例11(2425九年級下?廣東中山?期中)某同學解一個關(guān)于)的一元一次不等式組［”一已

(4+2%>-1②

知不等式①的解集如圖所示.

⑴求m的值;

(2)解此不等式組，并在數(shù)軸上表示出解集.

【答案】(1)1

(2)-1<x<2,數(shù)軸見解析

【分析?】本題考查了一兀一次不等式組的解法：

(1)解出不等式①，根據(jù)數(shù)軸即可求出俄

(2)解出不等式②，結(jié)合①的解即可得不等式組的解，再在數(shù)軸上表示出來即可.

【詳解】(1)解:解不等式①得TW7H+1,

根據(jù)數(shù)軸知m+1=2,

因此m=1；

(2)解：解不等式②得%

綜合①②得-：<工W2,

把一申V%工2在數(shù)軸上表示如圖所示：

7.一元一次不等式組中方案問題中求所有方案

錯誤：方案問題，要么出現(xiàn)所求未知數(shù)的列式不足，求得的解范圍太廣；要么在列出所有方案時不能完整

討論。

注意：方案的實際問題需要我們通過列出所有符合要求的可能性，因此首先要根據(jù)題意求出未知數(shù)的取值

范圍，同時要注意要滿足所有題干中提到的要求，然后根據(jù)未知數(shù)的每個符合要求的解，討論方案結(jié)果，

或進一步進行比較，最終得出結(jié)論。

例12(2425七年級下?湖南懷億-階段練習)在當今數(shù)字化時代，人工智能技術(shù)正以前所未有的速度發(fā)

展，成為推動各行業(yè)變革的關(guān)鍵力量.其中，深度學習作為人工智能的核心領(lǐng)域之一，依賴于強大的計算

能力來訓練復雜的模型.為了提升力/模型訓練效率，某實驗室需采購兩種類型的6汽,卡：甲型（高性能）和

乙型（節(jié)能型）.已知購買10塊甲型。心.和5塊乙型和。需200萬元；購買15塊甲型G尸〃和1D塊乙型G小

需325萬元.

（1）甲型、乙型6/W單價各是多少萬元？

（2）若預算為1000萬元，且甲型數(shù)量不低于乙型的5倍且不超過乙型的16倍，有幾種采購方案？

（3）若售出甲型每塊利潤為5萬元，乙型為4萬元，在（2）的條件下，實驗室如何采購商家獲得利潤最大？

最大利潤是多少？

【答案】（1）甲型、乙型伊?！畣蝺r各是15萬元，10萬元

（2）共3種采購方案

（3）實驗室采購甲型60塊、乙型10塊商家獲得利潤最大，最大利潤是340萬元.

【分析】此題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵

描述語，找到合適的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)甲型、乙型G&7單價各是T萬元，y萬元，由購買10塊甲型67⑷和5塊乙型?！ㄐ?00萬元；購買

15塊甲型砒7和10塊乙型GPU需,325萬元，可列出二元一次方程組，即可解答；

（2）設(shè)購買甲型〃塊，根據(jù)預算為1000萬元，且甲型數(shù)量不低于乙型的5倍且不超過乙型的16倍，列出

一元一次不等式組，解出解集，再根據(jù)a,理泮為整數(shù)，即可解答.

（3）根據(jù)〃的取值，逐個計算，即可解答.

【詳解】（1）解：設(shè)甲型、乙型初〃單價各是X萬元，y萬元，依題意，得

（10x+5y=200

（15x+10y=325，

解需X,

答：甲型、乙型G%單價各是15萬元，10萬元.

（2）設(shè)購買甲型a塊，依題意，得

、1000-15r>_

a<10°°~15ax16'

（io

解得58"WaW64,

???&出浮為整數(shù)

.、的取值為60,62,64,共3種采購方案.

(3)當a=60時，60x5I1Ux4=340(萬元)；

1000-62x15

當a=62時，62x5+x4=338（萬元）；

當a=64時，64X54-1000^4X15X4=336（萬元）.

?業(yè)1000-60x15l.1000-60X1S.?八/一—、

??當Q=60時，--------=10,則60x5+--------------x4=340（萬兀）.

答：實驗室采購甲型60塊、乙型10塊商家獲得利潤最大，最大利潤是340萬元.

易錯訓練

1.（2425七年級下?全國?單元測試）下列式子：①一2<0,②2y-5>1,③m=1,?x2-x,⑤匯*-2,

@x+l<2x-1中，是不等式的有（）

A.2個B.3個C.4個I）.5個

【答案】C

【分析】本題考查了不等式的定義，能熟記不等式的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：用不等號（>,V,<，>,

工）表示不等關(guān)系的式子，叫不等式.

根據(jù)不等式的定義逐個判斷即可.

【詳解】解：依題意，不等式有：①一2V0,②2y-5>1,@x0一2,⑥％+1<2%一1,共4個，

故選：C.

2.（2024?湖南婁底?模擬預測）如果Q>b,那么下列不等式中，一定不成立的是（）

A.a-3>b—3B.—>—C.-2a<—2bD.-2a+3>—2b+3

22

【答案】D

【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項判斷即可求解，掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：A、?.?a>b,：.a-3>b-3,該選項正確，不合題意；

B.-：a>b,該選項正確，不合題意；

Cx.\-2a<-2b,該選項正確，不合題意：

D,,：a>b,：.-2a<-2h,A-2a+3<-2b+3,該選項錯誤，符合題意；

故選：￡）.

3.（2324八年級下-廣東清遠-期中）不等式組｛；：二的解集在數(shù)軸上表示正確的（）

【答案】B

【分析】本題考查不等式組的解集在數(shù)軸上表示，根據(jù)題意在數(shù)軸上畫出對應(yīng)的取值范圍是解答的關(guān)鍵.根

據(jù)不等式組的解集在數(shù)軸上表示的方法解答即可.

【詳解】解：把不等式組的解集表示在數(shù)軸上，如圖：

4.（2425八年級上-浙江金華-階段練習）下列說法一定正確的是（）

A.若Q<b,則（m?—I）Q<（m2—l）bB.若Q>b,則ac?>be2

C.若Q<b,則3-2Q<3-2bD.若ac2cbe2,則Q<b

【答案】I）

【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：（1）不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數(shù)，

不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變；（3）不等式

的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變.根據(jù)不等式的性質(zhì)分

別判斷即可.

【詳解】解：A、血2一1可能大于0也可能小于0,當Q<b時，（巾2一1）Q與（血2一1）萬大小關(guān)系不能確定，

故錯誤，不符合題意；

B、若Q>b,當C=0時，QC?=故錯誤，不符合題意；

C、若a<6,所以一2。>一2匕，則3—2a>3—2b,故錯誤，不符合題意；

D、若ac2Vbe2,可確定c00且c?>0,則aVb,故正確，符合題意；

故選：D.

5.（2425八年級下?遼寧丹東?階段練習）若關(guān)于%的不等式（2—Q）X>7的解集為％<三，則a的取值范

2-a

圍是（）

A.a<2B.a>2C.aH2D.a<-2

【答案】B

【分析】本題考查了不等式的基本性質(zhì)、解一元一次不等式，根據(jù)把不等式兩邊同時除以2-Q時，不等號

的方向改變，可知2-a<0,解不等式求出a的取值范圍即可.

【詳解】解：???關(guān)于”的不等式（2-a）x>7的解集為“<

2-a

2-a<0,

解得：a>2.

故選：B.

6.（2526八年級上?山東淄博?階段練習）若關(guān)于x的不等式組J*無解，且關(guān)于x的分

式方程上-竽二二3的解為非負數(shù)，則滿足條件的所有整數(shù)/〃的和是（）

x-33-x

A.-2B.3C.0I）.1

【答案】A

【分析】本題考查解一元一次不等式組和分式方程的知識點，解題關(guān)鍵是根據(jù)不等式組無解的條件和分式

方程解的非負性確定整數(shù)m的取值范圍.

先解不等式組，根據(jù)無解的條件得出TH的范圍：再解分式方程，結(jié)合解為非負數(shù)且分母不為零的條件進一步

確定m的范圍，最后找出符合條件的整數(shù)m并求和.

【詳解】解：解不等式組，得卜之巴1

???不等式組無解，

2

Am>一3,

解分式方程，得％=一，

3-m

???120且盧工3,

3-m3-m

:，m<3且mH—1,

:.-3<m<3且mH-1,

Til=-3?—2,0?1,2.

*'?-3+（—2）+0+1+2=-2.

故選:A.

7.（2425七年級下?北京通州?期中）一個數(shù)加的2倍與數(shù)〃的差不少于5,寫出這個不等式.

【答案】2/n-n>5

【分析】本題考查列不等式.理解題意，找出數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵.根據(jù)題意列出不等式即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可列不等式為：2m-n>5.

故答案為：2m—nN5.

8.（2324八年級下?廣東清遠?期中）不等式6—2%23%—4的正整數(shù)解的和為.

【答案】3

【分析】本題主要考查解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次不等式的基本步驟：去分母、去

括號、移項、合并同類項、系數(shù)億為1.

先解不等式求出解集，然后求出整數(shù)解，再求和即可.

【詳解】解：6-2x>3x-4

-2x—3x>-4—6

-5x>-10,

?\x<2,

???正整數(shù)解為1,2,

???正整數(shù)解的和為1+2=3,

故答案為：3.

9.（2526八年級上?全國?期中）如下，是某藥品說明書的一部分，設(shè)每天服用這種藥品的劑量為陰，則

才的取值范圍.

用法用量：口服

每次：0.2?0.3g

每天：2?3次

【答案】0.4工tW0.9

【分析】本題主要考查了一元一次不等式組的應(yīng)用.由實際問題中的不等關(guān)系列出不等式，理解題意是解

題關(guān)鍵.根據(jù)題意列不等式求解舊可.

【詳解】解：根據(jù)題意知，2x0.2&xW3x0.3,即0.4工％工0.9,

故答案為：0.44x40.9.

10.（2425八年級下?遼寧丹東?階段練習）若關(guān)于*的不等式組的整數(shù)解共有4個.則用的

取值范圍是.

【答案】6<m<7

【分析】此題考查一元一次不等式組的整數(shù)解.分別求出不等式組中不等式的解集.利用取解集的方法表

示出不等式組的解集，根據(jù)解集有4個整數(shù)解，即可得出答案.

【詳解】解:由，解得：

1/—LXS1

3<x<m,

由該不等式有4個整數(shù)解，得

3,4,5,6是這四個整數(shù)解，

.*.6<m<7,

故答案為：6<m<7.

11.（2425七年級下?湖北咸寧?期末）按照如下程序操作，規(guī)定：從“輸入一個值/'到”結(jié)果是否大于

21”為一次程序操作，如果結(jié)果得到的數(shù)小于或等于21,則用得到的這個數(shù)進行下一次操作.

如果程序操作進行了一次就停止，那么輸入的彳的最大整數(shù)是.

【答案】-10

【分析】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的

關(guān)鍵.

根據(jù)程序操作進行了一次就停止，可列出關(guān)于x的一元一次不等式，求出最大整數(shù)解即可解答.

【詳解】解：根據(jù)題意，得一2x+2>21,

解得x<-

???最大整數(shù)解為％=-10，

即輸入*的最大整數(shù)是-10.

故答案為:-10.

12.（2425七年級下-全國?課后作業(yè)）已知機>3,利用不等式的性質(zhì)寫出下列各式的取值范圍：

（l）m4-5

O

⑶一27n

（4）3m—4

【答案】（l）m+5>8

⑵”7

6Z

（3）-2m<-6

⑷3m-4>5

【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)“性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不

變；性質(zhì)2：不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變：性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）

同一個負數(shù)，不等號的方向改變”，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)1即可得；

（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)2即可得；

（3）根據(jù)不等式的性質(zhì)3即可得；

（4）根據(jù)不等式的性質(zhì)2和性質(zhì)1即可得.

【詳解】⑴解：

m+5>3+5,

zn+5>8.

(2)解：Vm>3,

,m3

66

?.?m>l一?

62

(3)解：Vm>3,

-2m<-2x3?

*,?-2m<-6.

(4)解：a：m>3,

.*.3m>3x3,即3m>9,

.\3m-4>9-4,

/.3m—4>5.

13.(2425七年級下?甘肅武威?期末)解不等式組，并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來：

(1)12%-8<0

U；(3(x-2)>0

2x-S1

(2)=一<”一，,并寫出該不等式組的整數(shù)解.

-3(x-2)>4-x

【答案】(1)2cx<4,數(shù)軸見解析

(2)-2<x<l,數(shù)軸見解析，整數(shù)解為一1,0

【分析】本題考查求不等式組的解集，在數(shù)軸1：表示不等式的解集，熟練掌握解不等式的步驟，正確的計

算，是解題的關(guān)鍵：

(1)分別求出每一個不等式的解集，找到它們的公共部分，即為不等式組的解集，定邊界，定方向，在數(shù)

軸上表示出解集即可；

(2)分別求出每一個不等式的解集，找到它們的公共部分，即為不等式組的解集，定邊界，定方向，在數(shù)

軸上表示出解集，進而確定不等式組的整數(shù)解即可.

2無一8<0①

【詳解】(1)解:

.3(%—2)>0②

由①，得：%<4；

由②，得：x>2,

???不等式組的解集為2<XV4；

在數(shù)軸上表示解集如圖：

2x-5<%—1①

(2)

(-3(x-2)>4-%(2)

由①，得：%>-2；

由②，得：%<1；

???不等式組的解集為一2V%V1；

在數(shù)軸上表示不等式的解集如圖：

不等式組的整數(shù)解為：-1,0.

14.(2425八年級下?遼寧丹東?階段練習)定義：若一元一次方程的解也是一元一次不等式組的解，則稱

此一元一次方程為此一元一次不等式組的子方程.

例如：方程4%-16=0的解為無=4,不等式組的解集為2VXV5,因2<4<5,故方程軌一

16=0是不等式組/；*［。的子方程.

⑴在方程①5%+2=0,啰x+1=0,③x-(3x+1)=-5中，不等式組｛"彳)；5的子方程是_(填

序號)；

x--1-<1-

(2)若不等式組*『4的i個子方程的解為整數(shù)，求此子方程的解.

匕+戶-1

【答案】⑴③

⑵一1或。

【分析】本題主要考查解一元一次不等式組和一元一次方程，解題的關(guān)鍵是理解并掌握“子方程”的定義

和解一元一次不等式、一元一次方程的能力.

(1)分別解不等式組和解一元一次方程，再根據(jù)“子方程”的定義即可判斷；

(2)解不等式組得出其整數(shù)解，即可求得此子方程的解.

【詳解】⑴解：解不等式組產(chǎn)力：：?；S,得：1V"4.

?.