垂徑定理、圓周角和圓心角的關(guān)系（8大考點）

:考點歸納

考點01利用垂徑定理求線段長問題

考點02利用垂徑定理求平行弦問題

考點U3利用垂徑定理求同心圓問題

考點04利用垂徑定理求實際應(yīng)用問題

考點05利用圓周角定理求角

考點06半圓（直徑）所對的圓周角是直角

考點0790。的圓周角所對的弦是直徑

考點08已知圓內(nèi)接四邊形求角度

1考點專練

考點01利用垂徑定理求線段長問題

1.如圖，已知。。的直徑為26,弦48=24,動點尸、。在。。上，弦若點M、N分別是弦48、

PQ的中點,則線段的取值范圍是（）

A.7<W<17B.14<W<34C.10<W<26D.6<^V<16

【答案】A

【詳解】解：如圖，連接。必、ON、OP,

???0。的直徑為26,

：.OA=OP=\3,

???點.”、N分別是弦尸。的中點，/4=24,尸0=10,

：.0M上AB,ON1PQ,AM=^AB=\2,PN=；PQ=5,

：0M=dAO'-AM，=5,ON=4PO°-PN?=12,

當(dāng)48〃P。時，河、0、N三點共線，

當(dāng)AB、位于。。的同側(cè)時，線段MM的長最短為QV-QW=12-5=7,

當(dāng)相、PQ位于。。的異側(cè)時，線段MV的長最長為QV+OW=12+5=17,

???線段的取值范圍是7WMVW17,

故選：A.

2.如圖，力8是0。的直徑，CQ是。。的弦，AB1CD,垂足為若。。=10,BE=4,則CD的長為

()

A.6B.16C.8D.12

【答案】B

【詳解】解：???44是O。的直徑，且43_LQ),

.-.DE=-CD

2t

.；OD=TO=OB,BE=4,

??.OE=OB-BE=10-4=6,

在Rtz\￡QE中，DE=ylOD2-OE2=V102-62=8*

.-.CD=2DE=\6.

故選：B.

3.如圖，若。。的半徑為10cm,圓心。到力8的距離為6cm,則48;()cm.

【答案】C

【詳解】解：過。作OH1/B于H,

:.AB=2AH，

0的半徑為1Ocm,圓心O到AB的距離為6cm,

.，.3=10cm,OH=6cm.

AH=y)0A2-0H2=8(cm),

:.AB=2AH=\6(cm).

4.。。是等腰三角形花。的外接圓，圓心。到底邊4c的距離為2cm,。。的半徑為6cm,則腰48的長

為（）

A.4&cmB,2A/26CIDC.2VFJcm或2>/^cmD.4"cm或4>/5，m

【答案】D

【詳解】解：分圓心在內(nèi)接三角形內(nèi)和在內(nèi)接三角形外兩種情況討論，

如圖?，假若/胡。是銳角，△ABC是等腰三角形，

連接N,OB,過點O作。。_L8C連接力。,

-0D1BC,

二。為4c的中點，

???△力8c是等腰三角形，且8c為底，

:.ADJ.BC,

???4O、。三點共線，

?/0D=2cm,OB=6cm,

AD=8cm,

BD=yj0B2-0D2=V62-22=472(cm),

AAB=ylAD2+BD2=J82+(472=476(cm):

如圖二，若/84C是鈍角，△力8c是等腰三角形，

同理可得力D=6—2=4（cm）,

:.AB=JAD?+BD?=勝+（4何=473（cm）,

綜上可得腰長AB=4>/6cm或4>/3cm.

故選：D.

5.如圖，CZ）為。。的直徑，為。。的弦，AB1CD于M,若CO=5cm,AB=4cm,則。河=

cm.

【詳解】解：連接。4,

-ABrCD,

：.AM=BM=AB=

在Rt-。"中，OM=dAO?-AM?=72.52-22=1.5（cw）,

故答案為：1.5.

6.如圖，。。的半徑QD_L弦力3于點C,連接力。并延長交。。于點E,連接EC.若49=8,CD=2t

【答案】2拒

【詳解】解：???在OO中,ODA.AB,

：.AC=BC=-AB,

2

?：AB=8,

..AC=BC=4,

設(shè)=\^OD=OA=x,

:CD=2,

-0C=x-2,

在RtaZCO中，AC2+OC2=AO2

?-?4:+(x-2)2=x2,

解得x=5,

0A=5；

；OA=OE,AC=BC,

??.OC〃BE目.OC=LBE,

2

???Z￡R4=NOC4=90°,

-：OC=OD-CD=5-2=3,

BE=6,

在RtZSEG?中，BC2+EB2=EC2?

??42+62=EC2,

：?EC=2屈.

故答案為：2g.

考點02利用垂徑定理求平行弦問題

7.已知在OO中，半徑〃=13,里AB"3且Z8=24,0)=10,則18與CQ的距離為().

A.7或17B.7C.7或12D.12

【答案】A

【詳解】解：當(dāng)在點。的兩側(cè)，作0M1X8于M,延長MO交CO于M連接04",

AB//CD,45=24,CD=\0,

則。NJ_CD,

/.OM=y/OA2-AM2=V132-122=5.ON=JoC2-CN2=>/132-52=12-

[WV=OA/+ON=5+12=17,

「?此時弦力8與。。的距離為17：

當(dāng)月氏在點。的同側(cè)，作OQ_LC。于0,交力〃于P,連接。4OC,

:.OP=>JOA2-AP2=V132-122=5,OQ=yloC2-CQ2=>/132-52=12,

尸。=OQ-OP=12-5=7,

此時弦相與C。的距離為7,

???弦力5與CD的距離為17或7.

故選：A.

8.AB、CD是0。的兩條弦，且,48〃CD,又OO的直徑為26,JZ?=10,CD=24,則力"與C3間的距離

為.

【答案】7或17

【詳解】解：連接。4、OC,過點。作OM_L48于點M,

-AB//CD,

???直線ON_LCD,設(shè)垂足為N點，

???ON1CDQM1=10,CD=24,

.\AM=BM=5,CN=DN=12,

-：OA=OC=\3,

???在RtAJQW中，O,W=1力。2—432=Ji32-52=12,

在RtZXCOV中，ON=y/cO2-CN2=V132-122=5，

①如下圖:當(dāng)血8在圓心的兩側(cè),則它們之間的距離為

②如下圖，如果48、CO在圓心的同側(cè)，則它們之間的距離為MN,

[\o[.\MN=0M-ON=i2-5=7.

綜上所述，AB,CD之間的距離為7或17.

故答案為：7或17.

9.已知。。的半徑為5,弦48=6,弦CQ=8,48〃CD,則這兩條平行弦48、CO的距離為

【答案】1或7

【詳解】解：過點。作尸點E,交CD于前F,連接04,OC.

vAB\\CD,0E1AB,

:.OF1CD.

-OA=OC=5,48=6,CD=8,

/.AE=-AB=3,CF=-CD=4.

22

在Rao/E中，OE=dom-AE2=J52-3?=4.

在RaOCF中，OF=JOC2-CF2=152—42=3?

當(dāng)月B,C。在圓心。的同側(cè)時,

當(dāng)工8,CO在圓心。的異側(cè)時,

EF=OE+OF=4+3=7.

故答案為：1或7.

10.在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，截面如圖，油面寬AB為4分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1

分米，油面寬變?yōu)?分米，圈柱形油槽的直徑MN為一.

........................]N

【詳解】如圖，C7?=6,AB=4,過圓心。作。于E,交CO于尸，則。尸JLC。

AAE=-AB=2CF=-CD=3,EF=\

2t2

設(shè)=x分米，則。尸=(x-l)分米

由勾股定理得，0/=力爐+。爐=22+工2,OC2=CF2+OF2=32+(X-\)2

0A=OC

：.OA2=OC2

22+x2=32+(x-l)2

解得x=3

:.OA2=22+32=13

：.0A=yf\3

圓柱形油槽的直徑MV為2JI5分米.

【點睛】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理.能根據(jù)垂徑定理分別表示兩個三角形的三邊，并根據(jù)勾股定

理構(gòu)造方程是解決此題的關(guān)鍵.

11.如圖，A,B,C,。在。。上，48//CO經(jīng)過圓心。的線段Ml45于點尸，與8交于點E,已知。0

半徑為5.

（1）若AB=6,CD=S,求E/7的長；

（2）若CD=4巫,且EF=BF,求弦力5的長;

【答案】（1）7；（2）8

【詳解】解：（1）連接A0和DO,

AF=—AB=3,

2

'：AO=5,

-OF=ylAO2-AF2=4-

-AB//CD,

:.EF上CD,

同理OE=』CQ=4,

2

OE=>JOD2-DE2=3,

：.EF=OF+OE=4+3=7；

(2)如圖，連接BO和DO,

DE=?E

-OE=>IOD2-DE2=b

設(shè)EF=BF=x,則

在RIAOBF中,OF?+BF2=BO\

22

(x-1)+x=25,解得x=4,x2=-3(舍去)，

BF=4,

；.AB=2BF=8.

【點睛】本題考查垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理，并能夠結(jié)合勾股定理進(jìn)行運用求解.

考點03利用垂徑定理求同心圓問題

12.如圖，在以點。為圓心的兩個圓中，大圓的半徑是小圓半徑的2倍，大圓的弦48和小圓交于C,D兩

點，若AC=CD=2,則小圓半徑是.

【詳解】解：過O點作OH上4B于H點、,連結(jié)Q4、OC,如圖，則力，=8”，CH=DH=\cD=\

設(shè)OCK,則。1=2r，

在Rl^CO"中，OH'OO-CH-vJ

RS%?！爸?，AH=AC+CH=3,OH2=O#-4H?=4戶一？

/一心而與，

13.如圖，兩個圓都以點。為圓心，大圓的弦力8交小圓于C,。兩點.求證：AD=BC.

【答案】證明見解析

【詳解】證明：過O作OE_L/18,垂足為G

CE=DE,

AE+DE=BE+CE,

:.AD=BC.

14.如圖，在兩個同心圓。。中，大圓的弦力8與小圓相交于C,。兩點.

(1)求證：AC=BD；

(2)若/C=3,BC=5,大圓的半徑R=5,求小圓的半徑，,的值.

【答案】(1)見解析

⑵而

【詳解】(1)證明：過。作OE_L4B于點E,如圖，

由垂徑定理可得力E=3E，CE=DE,

AE—CE=BE—DE,

???AC=BD；

(2)解：連接OC、OA,如圖，

AB=3+5=8,

???AE-4,

.'.CE=AE-AC=4-3=\,

???在R△水花中，。石2=。12一力5=52-42=9,

???在心△COE中，OC2=CE2+OE-=\2+9=\0,

??.OC=M，即小圓的半徑〃為而

15.如圖，已知點。是兩個同心圓的圓心，大圓的弦力5與小圓交于點C、D.

（2）如果48=8,8=4,大圓面積是小圓面積的3倍，求大圓半徑的長.

【答案】（1）見解析

⑵W

【詳解】（1）解：過點O作OE14B于E,

AE-CE=BE-DEt

AC=BD；

(2)解：連接49、CO,

在RtZXXOE1與RtZXCOE中，由勾股定理得：OE2=OA2-AE1,OE2=OC2-CE2,

:.OA2-AE2=OC2-CE2,

：.OA2-OC2=AE2-CE2,

*/AB-8,CD=4.

/.AE=4,CE—2，

:.OA2-OC2=42-22=\2①，

;大圓面積是小圓面積的3倍，

:.nOA2=3K-OC2,即②，

根據(jù)①②可得：0T=18,

：.OA=3yf2.

16.如圖，兩個圓都是以。為圓心，大圓的弦44交小圓于兩點.

(1)求證：AC=BDx

(2)若48=8,4。=1,小圓的半徑為5,求大圓的半徑A的值.

【答案】(1)見解析

(2)大圓的半徑為4應(yīng)

【詳解】(1)證明：如圖：作OE_L/8于E,

由垂徑定理，得：

AE=BE,CE=DE,

:.BE-DE=AE-CE,

即AC=BD；

(2)解：如圖，連接0208,

.?.BE=AE=4,￡>￡=4-1=3

在Rt△。儲和RtZXOQE中，由勾股定理，得：

OE2=OD--DE\OE2=OB1-BE2,

:.OD2-DE2=OB2-BE2,

即52-3z=032-42,

解得:04=4&

???大圓的半徑為40.

考點04利用垂徑定理求實際應(yīng)用問題

17.如圖1是廣東四大名園之一清暉園內(nèi)的一座圓形拱門.小明同學(xué)只用了一把一米長的直尺就測出了圓

形拱門的直徑.圖2為小明測量方案的示意圖，他先將直尺水平放在圓形拱門內(nèi)，即為8=1米，取18的中

點C,再測出點C到圓的最低點。的距離為0.1米.則圓形拱門的直徑是（）

圖1圖2

A.1.2米B.1.3米C.2.4米D.2.6米

【答案】D

【詳解】解：如圖：連接。C，OB,設(shè)該圓的半徑為r,則。8=r,。。=一0.1,

.?./=&—O.lf+0.5"解得：尸=1.3,

???圓形拱門的直徑是2廠=2.6米.

故選D.

18.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧前，點。是這段圓弧所在圓的圓心.已知彳8=200米，。是々

上的一點，OCLAB,垂足為O,CD=4()米.則這段彎路的半徑是米.

【詳解】解：???C是獲上的?點，OC1.AB,垂足為。，

.?.力。=_148=100米，

2

設(shè)這段彎路的半徑是K米，則==x米，

.?.OD=OC-CO=(x-40)米，

在^AOD中，由勾股定理得OA，=OD2+AD2,

.?./=(..40/+10()2,

解得x=145,

???這段彎路的半徑是145米，

故答案為：145.

19.如圖，北京冬奧冰壺比賽中，凌智在中軸線上力點投出一個冰壺，范蘇圓通過擦冰讓冰壺的運行軌跡

為圓弧，對方在中軸上4點有一障礙壺，力8=16米，且冰壺偏離中軸線的最大距離為4米，如果要把對方

冰壺撞開，則圓弧的半徑為.

領(lǐng)凄式g⑥

【答案】10米/10〃7

【詳解】解：依題意，4優(yōu)。三點共圓，如圖，

設(shè)圓弧的半徑為人過點。作交名于點￡,

,.48=16,DE=4,

.?.力。=8,OD=r-4

在Rt△力OD中，AO2=AD1-vOD2

r2=82+(r-4)2

解得：r=10

故答案為：10米.

20.我國明代科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中描繪了一種我國古代常用的水利灌溉工具一筒車.如圖，筒

車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，已知圓心。在水面的上方，。。被水面截得的弦力8長為8米,

水面到運行軌道最低點的距離為2米，求。。的半徑長.

圖1圖2

【答案】。。的半徑為5米

【詳解】解：如圖，連接。兒連接0c交48于點

由題意得，力8=8米，。。=2米，OC1AB,

.?.力。=』48=4米，

2

設(shè)。。的半徑為〃米，則。。=(一2)米，

在中，由勾股定理得月0'=0。'+力。'，

.?.r2=(r-2)2+42,

解得廠=5,

???。。的半徑為5米.

21.如圖，這是一種用于液體蒸儲或分儲物質(zhì)的玻璃容器一蒸惚瓶，它的下半部分是圓球形，其截面是圓,

且當(dāng)截面圓中弦AB的長為16cm時，瓶內(nèi)液體最大深度CD為4cm.

(1)求截面圓的半徑；

(2)當(dāng)瓶內(nèi)液體減少時，若瓶內(nèi)液體的最大深度8降低1cm,那么截面圓中的弦力〃減少了_cm.

【答案】(1)截面圓的半徑為10cm；

⑵06-2歷)

【詳解】(1)解：由題意知。力，力8,

?.5C=JC=-^5=8cm,

2

設(shè)球形的半徑OB=OD=r,則OC=O3—CQ=，?一4,

在RtAOCT中，OC2+BC2=OB1,

/.(r-4)2+82=r2,

解得r=1(),

截面圓的半徑為10cm；

(2)解：由題意知CO=4-l=3(cm),

.-.(%?=10-3=7,

在R3OC8中，OC?+BC?=OB'

BC=y]\02-72

AB=2百，

???截面圓中的弦力4減少了(16—2同卜m；

故答案為：。6-2回)

22.如圖，某大橋的拱橋線均為相等的圓弧，其中兩拱腳之間的水平距離L=40m,弓形的高度S=10m.

(1)計算橋拱圓弧所在圓的半徑；

(2)圖中陰影部分為貨輪通過此橋時的橫截面示意圖，43為船身寬，為保證安全，點力、4與其正上方拱橋

線上的對應(yīng)點E、b的距離均應(yīng)不小于2m.某日，測得拱頂。點高出水面15m.現(xiàn)有?艘貨輪露出水面部

分的高度為13.2m,45=14m.該貨輪每增加貨物10噸，船身就會下降請問要保證該貨輪安全通

過大橋，是否需要提前增加貨物？如果需要，至少需要增加多少噸？

【答案】（l）25m

（2）需要提前增加貨物，至少需要增加120噸

【詳解】（1）解：如圖，設(shè)橋拱圓弧所在圓的圓心為點。，連接。力、OQ,

由題意得，OQ工MN,MN=L=40m,PQ=S=10m,

.?.MP=-W=-x40=20m,

22

設(shè)。Q=OM=xm,則OP=O0-P0=(x-lO)m,

???在RtaOPM中，OP2+MP2=OM2,

/.(X-10)2+202=X2,

解得：x=25,

.,?橋拱圓弧所在圓的半徑為25m.

(2)解：如圖，設(shè)橋拱圓弧所在圓的圓心為點O,連接OE、EF,連接。。交于點G,

TTTTTTTTTTTTT7

由題意得，四邊形為8莊是矩形，

/.EF=AB=14m,

?：OC上EF,

￡G=-￡F=-xl4=7m,

22

由（1）得，OE=OC=25m,

OG=dOE2-EG?=A/252-72=24m，

:.CG=OC-OG=25-24=\m,

要保證該貨輪安全通過大橋，則貨輪露出水面部分的高度應(yīng)不超過15-1-2=12m,

v13.2>12,

???需要提前增加貨物,

I?7_io

由題意得，至少需要增加當(dāng)■盧xl0=120噸,

V/?1

答：要保證該貨輪安全通過大橋，需要提前增加貨物，至少需要增加120噸.

考點05利用圓周角定理求角

23.如圖，以原點O為圓心的圓交X軸于力，8兩點，交y軸正半軸于點C,。為第一象限內(nèi)上的一點,

若NOCD=65。，則/D48的度數(shù)是（）.

C.60°D.25°

【答案】B

【詳解】解:連接QQ,

vZOCD=65°,OD=OC,

.?.ZCOD=180o-2x65o=50°,

/.ZD05=90°-50°=40°,

*BD=BD'

NO4B=L/DOB=20°.

2

故選:B.

24.如圖，圓O為△48C的外接圓，其中點。在弧力。上，RODJ.AC,若4=36。，NC=6O\則ZBOD

的度數(shù)為（）

c

\/CT\\

A.132°B.144°C.156°D.162°

【答案】C

【詳解】解：連接04、OC,

??N7C8=60。，

408=2/4C8=2x60。=120°.

?:/BAC=3&,

/BOC=2ZBAC=2x36°=72°.

-0DLAC,

-AD=CD^

:.ZAOD=NCOD=-ZA0C.

2

???ZAOC=360°-NAOB-NBOC=360°-120。-72°=168°,

ZAOD=ZCOD=lxl68o=84°.

2

???/AOB+ZAOD=120°+84°=204°,

:./BOD=360。-NAOB-NAOD=360°-2()4°=156°.

故選：C.

25.如圖，已知銳角三角形MC內(nèi)接于圓。，OD1.BC于點、D,連接CM,點￡在線段。4上，OE=OD,

連接OE,若48c=75。，NOED=20。,則4C8的度數(shù)是（）

A.30°B.35。C.45°D.50°

【答案】B

【詳解】解：延長小交圓。于點尸，連接加LOB,OC,

-ZABC=75°,

/.Z4OC=150°,

-：OE=OD,

：.NOED=/ODE=200,

：?ZAOF=2NOED=400,

.?.ZCOF=150°-40o=110°,

?.?圓。中OQ_18c于點O,根據(jù)垂徑定理可得：CF=BF，

：.ZBOF=NCOF=,

??Z08=110°-400=70。，

.-.ZJCT=70oxl=35°,

故選：B

26.如圖，在。。中，點C為弦AB的中點連接OC、08,點。是筋上任意一點，若A4DB=\\6°,則NCOB=

A.64°B.116°C.128°D.70°

【答案】A

【詳解】解：作薪所對的圓周角力力。8,連接。1,如圖,

?.?點C為弦48的中點，OA=OB,

：.OCLAB,ZAOC=/COB=—/AOB=/APB,

2

?.?四邊形ADBP是I員I內(nèi)接四邊形，

408+408=180°,

???408=116。，

??.ZAPB=M0,

：.NCOB=ZAPB=M0,

故選：A.

27.如圖，四邊形力4。中，AB=AC=AD,且NC40=24,4C,若48=105。，則/&X?=

【答案】25。/25度

【詳解】解：

?.點4,C,。在以，為圓心的圓上,

："CAD=2NCBD,ZBAC=2/BDC,

；NCAD=23AC,

：2CBD=24DC,

???Z.CBD+ZBDC+ZBCD=18()。,

.?.3Z5ZX?+105°=180°,

??.ZBDC=25°.

故答案為：25°.

28.如圖，△NBC是。。的內(nèi)接三角形，4c。是它的一個外角.若4c0=72。，則N力OB的度數(shù)

為.

【答案】144。/144度

【詳解】解：在優(yōu)弧就上取一點G,連接力G,8G如圖所示:

???四邊形力C8G內(nèi)接于0。，

??.NG+N4c3=180。.

?，8+4。=180。，

:"G=/ACD=TT,

??兀=耗,

.-.ZJOT=2ZG=2x72°=144°；

故答案為：144。.

考點06半圓(直徑)所對的圓周角是直角

29.如圖，力。是。。的直徑，將弧力4沿弦力4折疊后，弧力4剛好經(jīng)過圓心O.若80=6,則/出的長是

()

A.3也B.3不C.65/3D.6亞

【答案】C

【詳解】解：如圖，過點O作。于點〃，交薪于點M,連接力M,

“二其、

/?。?、、、

(將弧/出沿弦/出折疊后,

弧剛好經(jīng)過圓心0，

vZ^

二/8垂直平分?！?，

AO=AM,

:.AM=OM=AO,

.,?,月O必為等邊三角形，

.-.Z4(7M=60o,

-OHLAB,

ZOAH=30°,

vAD是直徑，

...Z48Q=90。，

.?"0=280=12,

:.AB=^ADZ-BDZ=Vl22-62=673，

故選：C.

3().如圖，力〃是。。的直徑，48=10,。是。。上一點，OD上BC于點、D,=4,則4c的長為

【答案】6

【詳解】解：?.?OQ_L8C于點。，80=4,

?.BC=2BD=8,

是直徑,

/.ZC=90°.

在中，AB=\0,BC=8,由勾股定理得：AC=>lAB--BC1=6-

故答案為：6.

31.如圖，48是OO的弦，半徑于點C,/E為直徑，AB=^CD=，則線段CE的長

【答案】2用

48=8,

JC=-J^=4.

2

設(shè)。O的半徑=

1.OC=OD-CD=r-2.

在RSCUC中，由勾股定理得：/=(—2『+42,

解得：〃=5.

:.AE=2r=lG.

,;0D=5、8=2,

:.0C=3.

???HE是直徑，

/.ZABE=90°.

???點0,c分別是/瓦年的中點,

二8是△力的中位線.

:.BE=2OC=6.

在RtZ\C8E中，

CE=yjcB2+BE2=742+62=2713.

故答案為：2萬.

32.如圖，四邊形48C。內(nèi)接于。。，是。。的直徑，/力。。=116。，點七在。。上，則々￡C=

【答案】26°

【詳解】解：如圖，連接力C，

???四邊形49C3內(nèi)接丁9。，//00=116。,

:.48C=180°—ZADC=180°-116°=64°,

??46是OO的直徑，

.?.4C4=90°,

.??/84。=90。-64。=26。，

由圓周角定埋得：ZBEC=ZBAC=26°,

故答案為：26°.

33.如圖，四邊形力8CQ內(nèi)接于00,力C為。。的直徑，4ADB=NCDB.

(1)試判斷的形狀，并給出證明；

(2)若15=13應(yīng),力。=10,求8的長度.

【答案】(1)△力8C是等腰直角三角形，證明見解析

⑵24

【詳解】(1)解：△力8c是等腰直角三角形，證明如下：

???4C為。。的直徑，

;.ZADC=ZABC=90。,

AADB=4CDB,

AB=BC^

AB=BC,

乂?.?48c=90°.

.?448。是等腰直角三角形.

(2)解：???△48。是等腰直角三角形，

:.BC=AB=\30，

?FCEAB?+BC?=26,

Rt△力OC中，4QC=90。，4)=1(),則。=〃c2T=24,

CO=24.

【點睛】本題考查了圓周角定理，弧，弦，角之間的關(guān)系，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知

識，熟練掌握相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵.

34.如圖，線段。力上有一點。，以。為圓心，。力為半徑作圓，力是。。上一點，連接4c交。。于點8,

連接8。，若BC=BD,且/C=25。，求N8D/1的度數(shù).

A

A

【答案】15。

【詳解】解：如圖，設(shè)。。與。。相交于點￡,連接6E.

/.ZCBD=180°-ZC-ZBDC=130°.

是。。的宜徑，

，ZEBD=900,

，ZBED=90。-ZBDC=65。,

四邊形ABED是00的內(nèi)接四邊形，

：.ZA=\S00-ZBED=\\50,

ABDA=/CBD-ZA=15。.

考點0790。的圓周角所對的弦是直徑

35.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，點力在x軸負(fù)平軸上，點“在歹軸正平軸上，經(jīng)過力，B,O,

C四點，4c0=120。，/1B=4,則圓心點。的坐標(biāo)是（）

A.(73,1)B.(-73,1)C.(-1,73)D.(-2,2^)

【答案】B

【詳解】解：:四邊形45OC為圓的內(nèi)接四邊形，400=120。

:.ZABO+ZACO=\SO0,

.?."80=180。-120。=60。，

?.?408=90。，

為。。的直徑，

.：O點為48的中點，

在Rt△480中，???480=60。，48=4,

0B=LHB=LX4=2,

22

:.0A=AB--OB2="2-22=2x/3，

.?J（-2?0）,8（0,2）,

?.?O點為48的中點，

???。卜網(wǎng)，

故選：B.

36.圖是用。。制作的表盤模型，其中點力，8分別與整鐘點“2時”，“6時”重合，要使48C=90。，則點

C應(yīng)位于（）

A.“7時”處B.“8時”處C.“9時”處D.“10時”處

【答案】B

【詳解】解：如圖，連接4C,BC,

1?！?/p>

9；/，3

與口

765

-ZABC=90°,

AB是。0的直徑，即/AOB=180。，

???點4,與整鐘點“2時”重合，2+6=8,

.??點C應(yīng)位于“8時”處，

故選：B.

37.如圖，RtA48C是工人李大爺自制的一個三角形紙板（厚度不計），已知4%。=90。，4=15。，

/1C=10cm,李大爺將該三角形紙板放置在一個圓形工件上，使得頂點4C都在圓形工件的圓周上，將直

角邊力4與圓形工件圓周的交點記為點。，恰好發(fā)現(xiàn)CD=BD,則該圓形工件的半徑長為()

【答案】A

【詳解】解：???CZ)=8O,

：.ZB=ZDCB=15。,

??ZZX?=4+ZPO?=15。+15。=30。，

二。。=21C=2xl0=20cm,

■：ZBAC=90°,

??.CO是圓O的直徑，即半徑長為10cm,

故選A.

38.如圖，圓4與坐標(biāo)系交于8(4,0),C(0,3),且經(jīng)過原點，則圓力的半徑等于

vZ5OC=90°,

???4C是圓4的直徑.

?.?8(4,0),C(0,3),

??.OB=4,OC=3,

根據(jù)勾股定理，在RaBOC中，

BC=>j0132+0C2=^42+32=5.

二圓力的半徑為mBC=15.

故答案為：

2

39.如圖，四邊形力86是。。的內(nèi)接四邊形，N8=90°,/BCD=120。，=4,/。=5,則。。的半徑為

【答案】布

【詳解】解：如圖，延長8c力。交于點￡,連接4C,

???四邊形ABCD是OO的內(nèi)接四邊除/B=90。,NBCD=120°,

.?./84。=60。,//。。=90°,力。是直徑，

,-.ZCDE=90°,Z￡=30°,

,:48=4,

：.AE=2AB=8,CE=2CD,

???/D=5,

.-.DE=3,

??DE=>1CE2-CD2=辰D，

??.CD=5

??AC=ylAD2+CD2=2V7，

??.0。的半徑為近.

故答案為：yfl.

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),

直角三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

40.如圖，在△力4c中，/力C4=90。，。是4C上任意一點，連接X。，過。作CEJ_/1Z）于凡連接

BE.若BC=4,AC=6,則8E的最小值為.

A

【答案】2

【詳解】解：如圖,

由題意知，ZAEC=90°,

??.E在以力C為直徑的。例的函上（不含點C、可含點N）,

???8E最短時，即為連接BM與OM的交點（圖中點尸點）,

在RtzXACM中，8c=4，CM=^AC=3,則8M=J"+。/=5,

?；ME'=MC=3,

，BE長度的最小值BE'=BM-ME'=2,

故答案為：2.

41.如圖，四邊形4BCZ）的頂點在同一個圓上，且4:NB:NC=2:3:4.

（1）求28的度數(shù)：

（2）若力為戒的中點，力8=8,8。=6,求四邊形力88的面積.

【答案】（1）90。

⑵49

【詳解】（1）解：設(shè)/力、NB、"分別為2八3x、4x,

?.?四邊形力88為圓內(nèi)接四邊形，

.?/+/C=180。，EP2x+4x=180°,

解得，x=3()。，

.-.Z^=3x=90°；

???4C為圓的直徑，

；?AC=dAB2+BC2=Jl+6?=15

△X8c的面積=！x6x8=24,〃=90。,

2

:點。為而3的中點，

：.AD=CD=^-AC=5y[2^

??.、4DC的面積=1x5五x5忘=25,

2

四邊形ABCD的面積=24+25=49.

考點08已知圓內(nèi)接四邊形求角度

42.如圖，43CQ為。O內(nèi)接四邊形，48為。。直徑，C為麗中點,若如B=52。,則NO=()

D

B.116°C.154°D.126°

【答案】B

【詳解】解：C為防中點，若加8=52。,

:"CAB=ND4c=-NDAB=-x52°=26°,

22

???/5為。。直徑，

.-.Z4C5=90°.

ZB=900-ZCAB=64°,

?.?力次》為。。內(nèi)接四邊形，

.?.ZD+Z5=180°,

.-.ZD=i80°-Z5=116°,

故選:B.

【點睛】此題主要考杳圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，圓周角定理，熟練掌握同弧或等

弧所對的圓周角相等是解題關(guān)鍵.

43.如圖，點力，B,C,。在0。上，已知48=130。，貝!々OZ）的度數(shù)為