第10講單個物體的功能關(guān)系

%EJ

【模型一功能關(guān)系的理解及應(yīng)用】

類型1功能關(guān)系的理解

類型2功能關(guān)系的應(yīng)用

【模型二動能定理的理解及應(yīng)用】

類型1動能及動能定理的理解

類型2動能定理解決變力問題

類型3動能定理的數(shù)形結(jié)合

類型4動能定理塞過程的應(yīng)用

類型5動能定理往復(fù)過程的應(yīng)用

【模型三單體的機械能守恒定律的判斷及應(yīng)用】

類型1單體機械能守恒定律的判斷

類型2單體機械能守恒定律應(yīng)用

高考對本部分內(nèi)容的考查，注重對功能關(guān)系本質(zhì)的理解，直接考查功與能量轉(zhuǎn)化的對應(yīng)關(guān)系，如單

個物體通常用動能定理解決，即“合外力做功等于動能變化”。命題常以生活場景或科技應(yīng)用為載體，將功

能關(guān)系與曲線運動、電磁學(xué)、熱學(xué)等知識融合，在多過程的復(fù)雜情境中應(yīng)用能量守恒。

本講內(nèi)容重點講解動能定理解決單個物體的功能關(guān)系問題（1）理解動能動能定理，并會用動能定理

處理物理問題。（2）掌握有關(guān)動能定理的圖像問題。（3）重點關(guān)注動能定理在多過程問題中的應(yīng)用。

【模型一功能關(guān)系的理解及應(yīng)用】

類型1功能關(guān)系的理解

1.功能關(guān)系的理解

I）做功的過程就是能量轉(zhuǎn)化的過程，不同形式的能量發(fā)生相互轉(zhuǎn)化是通過做功來實現(xiàn)的。

2）功是能量轉(zhuǎn)化的量度，功和能的關(guān)系，一是體現(xiàn)在不同的力做功，對應(yīng)不同形式的能轉(zhuǎn)化，具有一

一對應(yīng)關(guān)系，二是做功的多少與能量轉(zhuǎn)化的多少在數(shù)值上相等。

2.常見力做功與能量變化的關(guān)系

1）當(dāng)只有重力（或彈簧彈力）做功時，物體的機械能守恒.

2）重力對物體做的功等于物體重力勢能的減少：叫=—峽,.

3）彈簧彈力對物體做的功等于物體彈性勢能的減少：％=必與八

4）電場力對物體做的功等于物體電勢能的減少：叱七二一蛇心

5）克服安培力做的功等于電能增加量：叱口=6-&）=△￡■

5）合外力對物體所做的功等于物體動能的變化：W『AEk=Ek「Eko（動能定理）

6）除了重力（或彈簧彈力）之外的力對物體所做的功等于物體機械能的變化：

明由力弗力外其也力=AE=E「E°

7）一對滑動摩擦力做功等于系統(tǒng)機械能減少（內(nèi)能增加）：0=戶廠人相時.

【典例1］（2024?浙江?高考真題）如圖所示，質(zhì)量為m的足球從水平地面上位置1被踢出后落在位

置3,在空中達到最高點2的高度為力，則足球（）

2

A.從1到2動能減少”?航B.從1至IJ2重力勢能增力口〃功力

C.從2到3動能增加加骸D.從2到3機械能不變

【答案】B

【解析】AB.由足球的運動軌跡可知，足球在空中運動時一定受到空氣阻力作用，則從從1到2重力

勢能增加mg力，則1到2功能減少量大于〃田〃,A錯誤，B正確;

01）.從2到3由于空氣阻力徑用，則機械能減小，重力勢能減小儂九則動能增加小于〃磔，選項Q）

錯誤。

故選B。

【變式1-1]（2024?廣東中山?模擬預(yù)測）（多選）熱氣球能給人以獨特的視角享受風(fēng)景的機會。假設(shè)

某熱氣球總質(zhì)量為如某豎直上升過程中受到浮力恒為凡空氣阻力恒為H熱氣球從地面由靜止上升高度

兒速度變?yōu)樨耙阎亓铀俣葹橥庠谏鲜鲞^程中，熱氣球的（）

A.重力勢能增加了加g力

B.動能增加了1戶h

C.機械能增加了歷

D.機械能增加了儂

【答案】ABD

【解析】A.熱氣球從地面由靜止上升高度力，克服重力做功儂力，則重力勢能增加了修力，故A正

確；

B.根據(jù)動能定理，動能增加了陽=（尸-也g-/M，故B正確；

CD.根據(jù)功能關(guān)系，機械能增加了△《=（「-/）/?=〃火力+；〃“，故C錯誤，D正確。

故選ABDo

【變式1-2]（2022?浙江?高考真題）風(fēng)力發(fā)電已成為我國實現(xiàn)“雙碳”目標(biāo)的重要途徑之一。如圖

所示，風(fēng)力發(fā)電機是一種將風(fēng)能轉(zhuǎn)化為電能的裝置。某風(fēng)力發(fā)電機在風(fēng)速為9m/s時，輸出電功率為405kW,

風(fēng)速在5?10m/s范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)化效率可視為不變。該風(fēng)機葉片旋轉(zhuǎn)一周掃過的面積為A,空氣密度為「，風(fēng)

場風(fēng)速為乙并保持風(fēng)正面吹向葉片。下列說法正確的是（）

A.該風(fēng)力發(fā)電機的輸出電功率與風(fēng)速成正比

B.單位時間流過面積A的流動空氣動能為:pAv2

C.若每天平均有LOxlONkW的風(fēng)能資源，則每天發(fā)電量為2.4xlO'JkWh

D.若風(fēng)場每年有5000h風(fēng)速在6~IOm/s范圍內(nèi)，則該發(fā)電機年發(fā)電最至少為SOxlO'kW.h

【答案】D

【解析】AB.單位時間流過面積A的流動空氣體積為匕=Au

單位時間流過面積A的流動空氣質(zhì)量為人=夕匕=

單位時間流過面積A的流動空氣動能為，M=1pAv3

乙乙

風(fēng)速在5~10m/s范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)化效率可視為不變，可知該風(fēng)力發(fā)電機的輸出電功率與風(fēng)速的三次方成正

比，AB錯誤；

C.由于風(fēng)力發(fā)電存在轉(zhuǎn)化效率，若每天平均有LOxlO'kW的風(fēng)能資源，則每天發(fā)電量應(yīng)滿足

E<1.0xl08x24kWh=2.4xl09kWh，C錯誤;

I).若風(fēng)場每年有5000h風(fēng)速在6~IOm/s的風(fēng)能資源，當(dāng)風(fēng)速取最小值6m/s時，該發(fā)電機年發(fā)電量具

有最小值，根據(jù)題意，風(fēng)速為9m/s時，輸事電功率為405kW,風(fēng)速在5?10m/s范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)化效率可視為

不變，可知風(fēng)速為6m/s時，輸出電功率為P=63x茅kW=120kW

則該發(fā)電機年發(fā)電量至少為E=R=120x5000kWh=6.0x]()5kWh,D正確：

故選D。

【變式1-3】如圖所示，質(zhì)量為，〃的跳傘運動員在高空由靜止下落，從靜止下落到打開降落傘之前運

動員一直做豎直方向的勻加速運動，此過程中，運動員減少的重力勢能與增加的動能之比為9：8,重力加

速度為0若此過程運動員下降的高度為力，則此過程中()

A.運動員的加速度大小為B.合外力對運動員做的功為泰〃皿

C.運動員的機械能減少量為上〃皿D.空氣阻力對運動員做的功為上〃城

【答案】C

Q

【解析】B.下降〃高度過程，減少的重力勢能為〃M，根據(jù)題意可知，增加的動能為

根據(jù)動能定理可知，合外力對運動員做的功為W=△紇故B錯誤；

OQ

AC.根據(jù)動能定理，有〃?M=解得〃=

Q1

運動員機械能的變化量為'E=-mgh+-mgh=--rngh

即運動員的機械能減少量為3〃?"，故A錯誤；C正確；

D.根據(jù)功能關(guān)系，運動員機械能的減少量等于克服空氣阻力做的功，即空氣阻力對運動員做的功為

一g"?gh,故D錯誤。

故選C。

類型2功能關(guān)系的應(yīng)用

功能關(guān)系應(yīng)用指導(dǎo)

1）做好兩個分析

①綜合受力分析、運動過程分析，由牛頓運動定律做好動力學(xué)分析.

②分析各力做功情況，做好能量的轉(zhuǎn)化與守恒的分析，由此把握運動各階段的運動性質(zhì)，各連接點、

臨界點的力學(xué)特征、運動特征和能量特征.

2）做好四個選擇

①當(dāng)物體受到恒力作用發(fā)生運動狀態(tài)的改變而且又涉及時間時，一般選擇用動力學(xué)方法解題；

②當(dāng)涉及功、能和位移時，一般選用動能定理、機械能守桓定律、功能關(guān)系或能量守恒定律解題，題

禮中出現(xiàn)相對位移時，應(yīng)優(yōu)先選擇能量守恒定律；

③當(dāng)涉及細節(jié)并要求分析力時，一般選擇牛頓運動定律，對某?時刻進行分析時選擇牛頓第二定律求

解;

④復(fù)雜問題的分析一般需選擇能量的觀點、運動與力的觀點綜合解題.

靖

【典例2】（2025?云南高考真題）如圖所示，質(zhì)量為力的滑塊（視為質(zhì)點）與水平面上協(xié)'段的動摩擦

因數(shù)為必，與其余部分的動摩擦因數(shù)為4,且從＞外。第一次，滑塊從I位置以速度％向右滑動，通過樹’

段后停在水平面上的某一位置，整個運動過程中，滑塊的位移大小為七，所用時間為外；第一次，滑塊從

II位置以相同速度％向右滑動，通過J加段后停在水平面上的另一位置，整個運動過程中，滑塊的位移大小

為I2,所用時間為，2。忽略空氣阻力，則（）

111MN

A.B.C.D.X）＜x2

【答案】A

【解析】CD.對兩種運動的整個過程根據(jù)能量守恒有="?ngXMN+〃2〃火（K-4加），

1=^ngxMN+ju2mg（占一XMV）可得K=9，故CD錯誤：

AB.根據(jù)牛頓第二定律M郎="也可得〃=

由于必＞外，故滑塊在以V上時的加速度大，根據(jù)前面分析可知兩次運動的總位移相等，即兩次運動過

程中UT圖像與橫軸圍成的面積相等，由于第二次時滑塊距離后點的距離較近，根據(jù)公式%2-y2=2多.”可

知第二次到達J/點時速度較大，作出整個過程中兩種運動狀態(tài)的口-/圖像

故選Ao

【變式2-1］（高一下安徽合肥期末）如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一半徑為〃的圓弧軌道，半徑如水平、

仍豎直，一個質(zhì)量為力的小球自A的正上方〃點由靜止開始自由下落，小球沿軌道到達最高點8時恰好對

軌道沒有壓力。已知442兆重力加速度為g,則小球從〃到8的運動過程中（）

A.重力做功2mgRB.機械能減少mgR

C.合外力做功D.克服摩擦力做功卜〃gK

【答案】CD

【解析】A.重力做功叫=，咫（2/?-/?）=〃3，A錯誤：

B.小球沿軌道到達最高點例時恰好對軌道沒有壓力，則有"?匕，解得丫=廊

R

機械能減少△石=3"g穴，B錯誤；

C.根據(jù)動能定理W令=c正確；

D.根據(jù)動能定理叫+叱=g/加=/gR,解得叱=-;〃3

所以克服摩擦力做功為，D正確。

故選CD。

【變式2-2】如圖所示，某物體在運動過程中，受豎直向下的重力和水平方向的風(fēng)力，某段時間內(nèi)，重

力對物體做功4J,物體克服風(fēng)力做功3J,則以下說法中正確的是（）

---（

I

A.外力對物體做的總功為7JB.物體的動能增加了1J

C.物體的機械能增加了3JD.物體的重力勢能增加了4J

【答案】B

【解析】A.功是標(biāo)量，故外力做功為W=%+W風(fēng)=4J-3J=1J,故A錯誤：

B.根據(jù)動能定理可知W=l%+叫《二△&故動能的增加量為AEk=%+W4=1J,故B正確；

C.風(fēng)力對物體做負功，故物體的機械能增加量等于風(fēng)力所做的功，故有AE=I%=-3J

物體的機械能減小了3J,故C錯誤；

I）.由于重力做正功，故物體的重力勢能減小，減小量為4J,故D錯誤。

故選Bo

【變式2-3］（2025?海南高考真題）某自動包裝系統(tǒng)的部分結(jié)構(gòu)簡化后如圖所示，足夠長的傳送帶固

定在豎直平面內(nèi)，半徑為A=0.5m,圓心角，=53。的圓弧軌道與平臺平滑連接，平臺與順時針勻速轉(zhuǎn)動的

水平傳送帶平滑連接，工件A從圓弧頂點無初速度下滑，在平臺上滑入靜止的空箱B并與其瞬間粘連成一

個整體，隨后一起滑上傳送帶，與傳送帶共速后進入下一道工序。已知工件A質(zhì)量為，"A=4kg,空箱B的

質(zhì)量為〃％=lkg,A、B及粘連成的整體均可視為質(zhì)點，整體與傳送帶間的動摩擦因數(shù)恒定，在傳送帶上運

動的過程中因摩擦產(chǎn)生的熱量Q=2.5J,忽略軌道及平臺的摩擦，cos53°=0.6,重力加速度g=10m/s?。

求：

（1）工件A滑到圓弧軌道最低點時受到的支持力；

⑵工件A與空箱B在整個碰搔過程中損失的機械能；

⑶傳送帶的速度大小。

【答案】（D72N,方向豎直向上：⑵1.6J（3）0.6m/s或2.6m/s

【解析】（1）工件A從開始到滑到圓弧軌道最低點間，根據(jù)機械能守恒機Ag（R-Rcos53o）=，4%2

解得%=2m/s

在最低點根據(jù)牛頓第二定律F-mg—，解得尸N=72N,方向豎直向上；

NAR

（2）根據(jù)題意工件A滑入空箱B后粘連成一個整體，根據(jù)動量守恒，%%=（，4+，6）5

解得%=1.6m/s

故A與B整個碰撞過程中損失的機械能為△￡=3〃?,\%2—：（以+人）以2=L6J

（3）第一種情況，當(dāng)傳送帶速度V小于心時，AB粘連成的整體滑上傳送帶后先減速后勻速運動，設(shè)

AB與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為〃，對AB根據(jù)牛頓第二定律〃（以+"%）8=（叫+〃％）。

設(shè)經(jīng)過時間八后AB與傳送帶共速，可得v=j-防

該段時間內(nèi)AB運動的位移為％=后如乙

傳送帶運動的位移為

故可得。=〃（八+.）gG-w）

聯(lián)立解得u=0.6nVs,另一解大于丫共舍去；

第二種情況，當(dāng)傳送帶速度U大于限時，AB滑上傳送帶后先加速后勻速運動，設(shè)經(jīng)過時間4后AB與傳

送帶共速，同理可得

該段時間內(nèi)AB運動的位移為父=二^G

傳送帶運動的位移為七'=%

故可得。=〃（〃入+"%）夕（工2-百）

解得y=2.6m/s，另一解小于心舍去。

【模型二動能定理的理解及應(yīng)用】

類型1動能及動能定理的理解

L動能：

（1）定義：物體由于運動而具有的能量叫動能。

（2）公式：反三版o

（3）單位：焦耳，1J=1N?m=lkg,m2/s2o

（4）物理意義：動能是狀態(tài)量，是標(biāo)量（選填“矢量”或“標(biāo)量”）。

2.動能定理：

（1）內(nèi)容：力在一個過程中對物體做的功，等于物體在這個過程中動能的變化。

（2）表達式：。得〃吭？—刎［2或抄=&—反。

（3）物理意義：合外力做的功是物體動能變化的量度。

（4）適用條件：

①動能定理既適用于直線運動，也適用于曲線運動。

②既適用于恒力做功，也適用于變力做功。

③力可以是各種性質(zhì)的力，既可以同時作用，也可以分階段作用。

3.對動能定理表達式的理解

（1）做功的過程就是能量轉(zhuǎn)化的過程，動能定理表達式中的“=”表示功是物體動能變化的量度。

①因果關(guān)系：合力做功是引起物體動能變化的原因。

②數(shù)量關(guān)系：合力做功與動能變化具有等量代換的關(guān)系。

③單位關(guān)系：國際單位制中功和能的單位都是焦耳。

（2）動能定理中所說的“力”，既可以是重力、彈力、摩擦力，也可以是靜電力、磁場力或其他力;

既可以是恒力，也可以是變力。

【典例3】（2024?安徽高考真題）某同學(xué)參加戶外拓展活動，遵照安全規(guī)范，坐在滑板上，從高為力

的粗糙斜坡頂端由靜止下滑，至底端時速度為匕已知人與滑板的總質(zhì)量為例可視為質(zhì)點.重力加速度大

小為g,不計空氣阻力.則此過程中人與滑板克服摩擦力做的功為（）

A.inghB.C.mgh+^mv2D.mgh-^mv2

【答案】I）

【解析】人在卜.滑的過程中，由動能定理可得〃3】一叱=3""-0

可得此過程中人與滑板克服摩擦力做的功為叱=〃功力-；〃八2

故選Do

【變式3-1］（2023?新課標(biāo)卷高考題）無風(fēng)時，雨滴受空氣阻力的作用在地面附近會以恒定的速率豎

直下落。?質(zhì)量為力的雨滴在地面附近以速率/下落高度力的過程中，克服空氣阻力做的功為（重力加速

度太小為g）（）

A.0B.mghC.—mv~-mghD.mv2+mgh

【答案】B

【解析】在地面附近雨滴做勻速運動，根據(jù)動能定理得加顏-叱=。

故雨滴克服空氣阻力做功為，咫力O

故選B。

【變式3-2］（2022?江蘇高考題）某滑雪賽道如圖所示，滑雪運動員從靜止開始沿斜面下滑，經(jīng)圓弧

滑道起跳。將運動員視為質(zhì)點，不計摩擦力及空氣阻力，此過程中，運動員的動能4與水平位移x的關(guān)系

【解析】設(shè)斜面傾角為〃，不計摩擦力和空氣阻力，由題意可知運動員在沿斜面下滑過程中根據(jù)動能

F

定理有Ek=mgxtan。即3=mgtan0

x

下滑過程中開始階段傾角〃不變，瓦-X圖像為一條直線：經(jīng)過圓弧軌道過程中〃先減小后增大，即圖

像斜率先減小后增大。

故選Ao

【變式3-3］（2021?山東高考題）如圖所示，粗糙程度處處相同的水平桌面上有一長為￡的輕質(zhì)細桿，

一端可繞豎直光滑軸0轉(zhuǎn)動，另一端與質(zhì)量為力的小木塊相連。木塊以水平初速度%出發(fā)，恰好能完成一

個完整的圓周運動。在運動過程中，木塊所受摩擦力的大小為（)

A?察

B?覆Cn-%

?8^L,16不￡

【答案】B

【解析】在運動過程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功與路徑有關(guān)，根據(jù)動能定理

-f-2TTL=°一；nivo

可得摩擦力的大小人普

故選B。

類型2動能定理解決變力問題

在一個有變力做功的過程中，當(dāng)變力做功無法直接通過功的公式求解時，可用動能定理，

一加2,物體初、末速度已知，恒力做功/恒可根據(jù)功的公式求出，這樣就可以得到"=%一一9

就可以求變力做的功了.

1.動能定理解題的基本思路

1）選對象：確定研究對象和研究過程

2）兩分析:

①運動分析：運動性質(zhì)及特點、明確初、末狀態(tài)動能?

②受力分析：幾個力？恒力還是變力？正功還是負功？求總功

3）列方程：分階段或全過程列動能定理

2.應(yīng)用動能定理解題的注意事項

1）動能定理中的位移和速度必須是相對于同一個參考系的，一般以地面或相對地面靜止的物體為參考

系.

2）應(yīng)用動能定理的關(guān)鍵在于對研究對象進行準(zhǔn)確地受力分析及運動過程分析，并畫出運動過程的草圖,

借助草圖理解物理過程之間的關(guān)系.

3）列動能定理方程時,必須明確各力做功的正、負,確實難以判斷的先假定為正功,最后根據(jù)結(jié)果加以檢

驗.

【典例4】（2025?浙江高考真題）如圖所示，兩根相同的橡皮繩，?端連接質(zhì)量為勿的物塊，另一端

固定在水平桌面上的A、6兩點。物塊處于力〃連線的中點。時，橡皮繩為原長。現(xiàn)將物塊沿加中垂線水平

拉至桌面上的。點靜止釋放。已知S距離為￡,物塊與桌面間的動摩擦因數(shù)為〃，橡皮繩始終處于?彈性限

度內(nèi)，不計空氣阻力，則釋放后（）

A

A.物塊做簡諧運動

B.物塊只受到重力、橡皮繩彈力和摩擦力的作用

C.若408=90。時每根琢皮繩的彈力為E則物塊所受合力大小為孤產(chǎn)

D.若物塊第一次到達。點的速度為％,此過程中橡皮純對物塊做的功W=；〃就+〃〃?也

【答案】D

【解析】AB.物塊在水平桌面上運動，受到重力、桌面的支持力、橡皮繩的彈力以及摩擦力的作用；

而運動方向受橡皮繩的彈力和摩擦力作用，其合力不滿足簡諧運動的網(wǎng)復(fù)力特點（尸=-丘），因摩擦力是

恒力，不隨位移按比例變化，所以物塊不做簡諧運動，故AB錯誤；

C.若408=90。時每根橡皮繩的彈力為"兩根橡皮繩彈力的合力與合=>/尸2+尸2=6為

物塊還受到摩擦力為/==物塊所受合力為七二血尸-"型，故C錯誤：

D.若物塊第一次到達C點的速度為%,物塊從。點運動到C點，由動能定理可知W-卬〃皿=］就-0

解得橡皮繩對物塊做的功為W=卜欣+〃〃解，故D正確。

故選D。

【變式4-1］（2025?云南高考真題）如圖所示，中老鐵路國際旅客列車從云南某車站由靜止出發(fā)，沿

水平直軌道逐漸加速到144km/h,在此過程中列車對座椅上的一高中生所做的功最接近（

A.4X105JB.4X10*JC.4X103JD.4X102J

【答案】B

【解析】高中生的質(zhì)量約為50kg,根據(jù)動能定理有=4.0x10」

故選

【變式4-2】圖1所示是一種叫“旋轉(zhuǎn)飛椅”的游樂項目，將其結(jié)構(gòu)簡化為圖2所示的模型。長L=3m

的鋼繩一端系著座椅，另一端固定在半徑，=3m的水平轉(zhuǎn)盤邊緣。轉(zhuǎn)盤可繞穿過其中心的豎直軸轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)

盤靜止時，鋼繩沿豎直方向自由卜垂；轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動時，鋼繩與轉(zhuǎn)軸在同一豎直平面內(nèi)，與豎直方向的夾

角0=37。。將游客和座椅看作一個質(zhì)點，質(zhì)量，〃=50kg。不計鋼繩重力和空氣阻力，重力加速度g=10m/s2。

（sin37=0.6?cos37=0.8）

（1）當(dāng)轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動時，求游客和座椅做圓周運動

a.向心力的大小工；

b.線速度的大小汽

（2）求游客由靜止到隨轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動的過程中，鋼繩對游客和座椅做的功W。

圖1圖2

【答案】(1)a.375N,b.6nVs；(2)1200J

【解析】（1）對游客和座椅一起受力分析如下圖所示

a.根據(jù)受力分子可知游客和座椅做圓周運動所需要的向心力為K=mgtan6=50xl0x；N=375N

b.根據(jù)幾何關(guān)系可知游客和座椅zuo2圓周運動的半徑為A=，?十Lsin0=3xO.6m=4.8m

2

由月=機乙代入數(shù)據(jù)得y=6m/s

r

（2）游客和座椅由靜止到隨轉(zhuǎn)盤勻速轉(zhuǎn)動得過程，根據(jù)功能關(guān)系有卬-〃吆〃l-cos8）=］，病

代入數(shù)據(jù)解得W=1200J

【變式4-3］如圖，輕質(zhì)彈簧上端固定在。點，下端與質(zhì)量為m的圓環(huán)相連，圓環(huán)套在水平粗糙的固定

細桿上?，F(xiàn)在將圓環(huán)從力點靜止釋放，當(dāng)圓環(huán)運動到8點時彈簧豎直H處于原長，到達C點時速度減為零：

在C點使得圓環(huán)獲得一個沿桿向左的速度/其恰好能回到力點。彈簧始終在彈性限度之內(nèi)，下列說法正確

的是（）

A.從1到。的過程中，圓環(huán)經(jīng)過方點速度最大

B.從。回到1的過程中，彈力最終做正功

C.從A到「克服摩擦力做功為

4

D.從力到。彈簧彈性勢能減少了!

4

【答案】C1）

【解析】A.圓環(huán)從月到。過程中，合力是（）時圓環(huán)的速度最大，A錯誤；

B.4到。過程中，根據(jù)能量守恒，彈性勢能減少，轉(zhuǎn)化為摩擦力做功產(chǎn)生的熱量，所以由?；氐搅Φ?/p>

過程中，彈性勢能增大，彈力最終做負功，B錯誤。

CD.從力至IJ。再由?；氐搅?，根據(jù)對稱特點可知，摩擦力做功相等，彈性勢能變化相同，根據(jù)動能定理，

有喝-Wf=0一畋-=0-g〃”

求得叫專=叱.=；/加,CI）正確。

故選UDo

類型3動能定理的數(shù)形結(jié)合

1.解決圖像問題的基本步驟

(1)觀察題目給出的圖像，弄清縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)所對應(yīng)的物理量及圖線所表示的物理意義.

(2)根據(jù)物理規(guī)律推導(dǎo)出縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)所對應(yīng)的物理量間的函數(shù)關(guān)系式.

(3)將推導(dǎo)出的物理規(guī)律與數(shù)學(xué)上與之相對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)關(guān)系式相對比，找出圖線的斜率、截距、圖線

的交點、圖與坐標(biāo)軸圍成的面積等所表示的物理意義，分析解答問題，或者利用函數(shù)圖線上的特定值代入

函數(shù)關(guān)系式求物理量.

2.圖像所圍“面積”和圖像斜率的含義

(1)[“T圖像K依據(jù)VT圖線與橫軸圍成

的面枳表示位移

圖線與橫軸圍成

(2)a-r圖像N依據(jù)廣的面積表示速度的變

化量

"-X圖線與橫軸圍成

(3)尸-X圖像K依據(jù)卬=&「

的面積表示功

⑷目心?黑片的斜率表示

⑸

卷題?詢T

【典例5】如圖1所示，上表面光滑的斜面體固定在水平地面上，一個小木塊從斜面底端沖上斜面。

圖2為木塊的初動能心與木塊軌跡的最高點距地面高度〃的關(guān)系圖像。由此可求得斜面的長度為

D.64

【答案】C

【解析】若物塊不滑離斜面，則由動能定理號=/明”

由圖像可知〃歸=爭

設(shè)斜面長度/傾角為。，當(dāng)物塊能滑離斜面時，則從底端到頂端時;，加=47〃班sine

滑離斜面后做斜拋運動，還能上升的高度/?=絆空

2g

滑塊軌跡的最高點距地面高度H=Lsin0+/?

?2A

聯(lián)立解得H=迎上&+/.(sin°fin”)

mg

由圖像可知斜率變速=魯二等=去解得sin!

mg3月0—4。2紇02

根據(jù)圖像可計算后一段圖像在縱軸上的截距為1.5M，則截距L(sine-sin*)=l.5%

解得I=\h0

故選C。

【變式5-3](2022?福建高考題)一物塊以初速度%自固定斜面底端沿斜面向上運動，一段時間后回

到斜面底端。該物體的動能七卜隨位移x的變化關(guān)系如圖所示，圖中與、線]、紇2均己知。根據(jù)圖中信息可

以求出的物理量有()

A.重力加速度大小B.物體所受滑動摩擦力的大小

C.斜面的傾角D.沿斜面上滑的時間

【答案】BD

【解析】ABC.由動能定義式得4=｝就，則可求解質(zhì)量力;上滑時，由動能定理線-0=-(〃?gsinO+/)x

卜滑時，由動能定理紇=(mgsin"為上滑的最遠距離；

由圖像的斜率可知〃吆sin。+/=空匕mgsin6-7=心

兩式相加可得gsin9=「-（豆+至）

2，〃4與

相減可知/=殳盧■

2%

即可求解的in〃和所受滑動摩擦力/的大小，但重力加速度大小、斜面的傾角不能求出，故AC錯誤,

B正確；

D.根據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)關(guān)系得機gsine+f=/M,%

a

故可求解沿斜面上滑的時間，D正確。

故選BDo

【變式5-3］（2021?湖北高考真題）如圖（a）所示，一物塊以一定初速度沿傾角為30°的固定斜面

上滑，運動過程中摩擦力大小F恒定，物塊動能后與運動路程s的關(guān)系如圖（b）所示。重力加速度大小取

10m/s2,物塊質(zhì)量勿和所受摩擦力大小F分別為（）

圖(a)圖（b）

A.m=0.7kg,f=0.5NB.m=Q.7kg,f=\.ON

C.勿R.8kg,f=0.5ND.m=0.8kg,f=l.ON

【答案】A

【解析】0~10m內(nèi)物塊上滑,由動能定理得-mgsin30?s-弁=線-%

整理得Ek=sin30+f）s

結(jié)合0~10m內(nèi)的圖像得，斜率的絕對值|川=〃吆sin30°+f=4N

10、20m內(nèi)物塊下滑，由動能定理得（以第足30。一/）（5-4）=紜

整理得紜=（mgsin30-f卜-（mgsin30°-/）^

結(jié)合10~20m內(nèi)的圖像得，斜率」=mgsin-30°-/=3N

聯(lián)立解得/=0-5Nm=0.7ko

故選Ap

【變式5-3］如圖1所示，水平面上一質(zhì)量為2kg的木箱在水平向右的力［=13N的作用下向右移動

4m的距離后，在另一水平力工作用下，又勻速運動4m的距離到達斜面底端，撤去外力，木箱沖上傾角為

37°的斜面，斜面和水平面間通過光滑小圓弧軌道（未畫出）連接。在木箱從靜止開始運動到斜面上最高

點的過程中，其動能隨運動路程變化的圖像如圖2所示。已知木箱與斜面間的動摩擦因數(shù)為0.5,重力加速

度？取10m/s2,sin370=0.6,cos37°=0.8o下列說法正確的是（）

A.尸2的大小為4N

B.木箱在斜面上能到達的最大高度為1.8m

C.木箱返回水平面后向左運動的最大距離為1.8m

D.整個運動過程中，木箱克服摩擦力做的功為36J

【答案】AC

【解析】A.由題圖2可知，木箱初動能為0,則木箱在尸/勺作用卜做初速度為零的勻加速直線運動，

應(yīng)用動能定理有（4-“"名居=心?

由題圖2知&I=36J,可得乩=0.2,之后木箱在F?的作用下做勻速運動，所以鳥=從〃次=4N

故A正確；

B.木箱沖上斜面后做勻減速運動，根據(jù)動能定理有一（"】gsin37+〃“〃gcos37=°-%

由題圖2知￡卜2=36J,可得口=1.8m,木箱在斜面上能到達的最大高度九3=.sin37°=1.08m故B錯

誤；

C.因為外=05vtan37°=0.75

所以當(dāng)木箱運動至斜面上的最高點后，沿斜面向下做勻加速運動，到達水平面后，在摩擦力作用下再

減速直到停止。木箱從沖上斜面到最終停下來，對這一過程應(yīng)用動能定理可得

一2〃2mgs3cos37-=0-紇2可得4=1?8m,故C正確;

D.對整個運動過程，由動能定理有明|+%「叱=。

所以叱=%+%=3+02=68J,故D錯誤。

故選AC。

類型4動能定理多過程的應(yīng)用

1.應(yīng)用動能定理解決多過程問題的兩種思路

(1)分階段應(yīng)用動能定理

①若題目需要求某一中間物理量，應(yīng)分階段應(yīng)用動能定理。

②物體在多個運動過程中，受到的彈力、摩擦力等力若發(fā)生了變化，力在各個過程中做功恃況也不同，

不宜全過程應(yīng)用動能定理，可以奸究其中一個或幾個分過程，結(jié)合動能定理，各個擊破.

(2)全過程(多個過程)應(yīng)用動能定理

當(dāng)物體運動過程包含幾個不同的物理過程，又不需要研究過程的中間狀態(tài)時，可以把幾個運動過程看

作一個整體，巧妙運用動能定理來研究，從而避開每個運動過程的具體細節(jié)，大大減少運算C

2.全過程列式時要注意

(1)重力、彈簧彈力做功取決于物體的初、末位置，與路徑無關(guān)。

(2)大小恒定的阻力或摩擦力做功的數(shù)值等于力的大小與路程的乘積。

3.多過程問題的分析方法

(1)將“多過程”分解為許多“子過程”，各“子過程”間由“銜接點”連接。

(2)對各“銜接點”進行受力分析和運動分析，必要時畫出受力圖和過程示意圖。

(3)根據(jù)“子過程”和“銜接點”的模型特點選擇合理的物理規(guī)律列方程。

(4)分析“銜接點”速度、加速度等的關(guān)聯(lián)，確定各段間的時間關(guān)聯(lián)，并列出相關(guān)的輔助方程。

(5)聯(lián)立方程組，分析求解.，對結(jié)果進行必要的驗證或討論。

卷壁融T

【典例6】(2024?廣東高考真題)如圖所示，光滑斜坡上，可視為質(zhì)點的甲、乙兩個相同滑塊，分別

從“甲、“乙高度同時由靜止開始下滑。斜坡與水平面在。處平滑相接，滑塊與水平面間的動摩擦因數(shù)為4,

乙在水平面上追上甲時發(fā)生彈性碰撞。忽略空氣阻力。下列說法正確的有()

乙

4

%

.......................

A.甲在斜坡上運動時與乙相對靜止

B.碰撞后瞬間甲的速度等于碰撞前瞬間乙的速度

C.乙的運動時間與“乙無關(guān)

D.甲最終停止位置與。處相距生

【答案】ABI）

【解析】A.兩滑塊在光滑斜坡上加速度相同，同時由靜止開始下滑，則相對速度為0,故A正確；

B.兩滑塊滑到水平面后均做勻減速運動，由十兩滑塊質(zhì)量相同，且發(fā)生彈性碰撞，可知碰后兩滑塊交

換速度，即碰撞后瞬間甲的速度等于碰撞前瞬間乙的速度，故B正確；

C.設(shè)斜面傾角為〃，乙下滑過程有g(shù)￡=:gsin%2

smO2

在水平面運動一段時間々后與甲相碰，碰后以甲碰前速度做勻減速運動小乙運動的時間為，=。+〃+/3

由于〃與“乙有關(guān)，則總時間與“乙有關(guān)，故C錯誤；

D.乙下滑過程有〃吆"乙=3加試

由于甲和乙發(fā)生彈性碰撞，交換速度，則可知甲最終停止位置與不發(fā)生碰撞時乙最終停止的位置相同；

則如果不發(fā)生碰撞，乙在水平面運動到停止有吆=2"gx

聯(lián)立可得工二四

即發(fā)生碰撞后甲最終停止位置與。處相距絲L故D正確。

故選ABD。

【變式6-1］（2021?遼寧高考題）冰滑梯是東北地區(qū)體驗冰雪運動樂趣的設(shè)施之一、某次滑梯的示意

圖如圖所示，螺旋滑道的摩擦可忽略：傾斜滑道和水平滑道與同一滑板間的動摩擦因數(shù)〃相同，因滑板不

同〃滿足〃在設(shè)計滑梯時，要確保所有游客在傾斜滑道上均減速下滑，且滑行結(jié)束時停在水

平滑道上，以下〃、/,2的組合符合設(shè)計要求的是（）

-3〃。

.h

L>=——

'Ao

【答案】CI）

【解析】設(shè)斜面傾角為。.游客在傾斜滑道上均減速下滑，則需滿足〃?gsin〃〈w〃月cos。

可得4>tan。=￡即有'>j-

因“個〃01.2%,所有游客在傾斜滑道上均減速下滑，可得4

滑行結(jié)束時停在水平滑道上，即在摩擦因數(shù)去最小時能停在滑道上，由全程的動能定理有

mg-2h-cos0?忌一氏w°

要求進入水平滑道’因此最大的動摩擦因數(shù)能夠進入水平滑道’即，⑹2/1.2從小

綜合需滿岐張和。+k琮

故選CD。

【變式6-2］（2021?全國甲卷高考題）一質(zhì)量為勿的物體自傾角為。的固定斜面底端沿斜而向上滑動。

該物體開始滑動時的動能為皖，向上滑動一段距離后速度減小為零，此后物體向下滑動，到達斜面底端時

動能為弓。已知sina=0.6,重刀加速度大小為g。則（）

A.物體向上滑動的距離為m二

2mg

B.物體向下滑動時的加速度大小為,

C.物體與斜面間的動摩擦因數(shù)等于0.5

D.物體向上滑動所用的時間比向卜.滑動的時間長

【答案】BC

【解析】AC.物體從斜面底端回到斜面底端根據(jù)動能定理有-〃〃優(yōu)N/cosa：宗-&

物體從斜面底端到斜面頂端根據(jù)動能定理有-mglsina一〃mglcosc=。-

整理得/=」；4=0.5,A錯誤，C正確；

mg

B.物體向下滑動時的根據(jù)牛頓第二定律有ma=mgsina-pmgcosa

求解得出”"I，B正確；

D-物體向上滑動時的根據(jù)牛頓第二定律有=〃7gsina+〃mgco*a

物體向下滑動時的根據(jù)牛頓第二定律有〃叫=w^sina-///ngcosa

由上式可知a±>aF

由于上升過程中的末速度為零，下滑過程中的初速度為零，且走過相同的位移，根據(jù)公式/=

則可得出下，【）錯誤。

故選BCo

【變式6-3】某同學(xué)在拍球的過程中發(fā)現(xiàn)，讓球由離地1m高處靜止下落并自由反彈，彈起的最大高度

為80cm。為了讓球每次都恰好彈回到1m的高度，球每次在1m高度時應(yīng)向下拍打一次球。設(shè)球在運動過程

中受到的空氣阻力大小恒定，球與地面碰撞后以原速率反彈，已知球的質(zhì)量為900g,重力加速度g=10m/s"

則下列說法正確的是（）

A.球在運動過程中受到的空氣阻力大小為1.5N

B.人每次向下拍球的過程中對球做的功為1.8J

C,從拍球到球回到釋放點，球克服空氣阻力所做的功為2J

D.球每次撞擊地面的過程中，地面對球做的功為11J

【答案】C

【解析】A.球在下落到彈起到最大高度的過程中，根據(jù)動能定理〃際（匕-色）-/（%十%）=。

其中％=lm,%=0.8m解得/=IN,故A錯誤。

B.球從最高點到返回到最高點的過程中，根據(jù)動能定理W-/x24=0

解得，人每次向下拍球的過程中對球做的功為W=2J,故B錯誤：

C.從拍球到球回到釋放點，球克服空氣阻力所做的功為Wf=/x2"=2J,故C正確；

D.根據(jù)動能定理，球每次撞擊地面的過程中仍二3〃“一2相片

因為球與地面碰撞后以原速率反彈，即V,=%

所以地面對球做的功為W'=0,故D錯誤。

故選C。

類型5動能定理往復(fù)過程的應(yīng)用

動能定理在往復(fù)運動問題中的應(yīng)用

1.往復(fù)運動問題：在有些問題中物體的運動過程具有重復(fù)性、往返性，而在這一過程中，描述運動的

物理量多數(shù)是變化的，而重復(fù)的次數(shù)又往往是無限的或者難以確定的。

2.解題策略：此類問題多涉及滑動摩擦力或其他阻力做功，其做功特點與路程有關(guān)，求解這類問題時

若運用牛頓運動定律及運動學(xué)公式將非常繁瑣，甚至無法解出。由于動能定理只涉及物體的初、末狀態(tài)而

不計運動過程的細節(jié)，所以用動能定理分析這類問題可使解題過程簡化。

題蛔惻

【典例7】一籃球質(zhì)量為m=0.60kg,一運動員使其從距地面高度為力尸1.8m處由靜止自由落下，反彈

高度為若使籃球從距地面力尸1.5nl的高度由靜止下落，并在開始下落的同時運動員向下拍球，球

落地后反彈的高度也為1.5nb該籃球每次與地面碰撞前后的動能的比值4不變，重力加速度大小g取10m/s2,

不計空氣阻力，求：

(1)比值4的大??；

(2)運動員拍球過程中對籃球所做的功。

【答案】(1)1.5；(2)4.5J

【解析】(1)設(shè)籃球自由下落與地面碰撞前瞬間的動能為后八籃球與地面碰撞后瞬間籃球的動能為其力

由動能定理可知籃球下落過程〃?她=昂一。

籃球上升過程r屋也=。一煤2

則一宰=1.5

匕k2

(2)第二次從1.5m的高度靜止下落，同時向下拍球，在籃球反彈上升的過程中，由

動能定理可得-mg"=。-4

第二次從1.5m的高度靜止下落，同時向下拍球，籃球下落過程中，由動能定理

K=^

可得卬+〃g％=線3

解得W=4.5J

【變式7-1】如圖所示，在豎直平面內(nèi)，粗糙的斜面軌道48的下端與光滑的圓弧軌道BCO相切于反

C是最低點，圓心角N8OC=37。，〃與圓心。等高，圓弧軌道半徑凡現(xiàn)有一個質(zhì)量為勿可視為質(zhì)點的小物

體，從〃點的正上方￡點處自由下落，物體恰好到達斜面頂端1處。已知。石距離為3R,物體與斜面A8之

間的動摩擦因數(shù)4。=0.5。重力加速度為g。(asin37°=0.6,cos37°=0.8),求：

(1)物體第一次到達C點時的速度大小和受到的支持力大??；

(2)斜面A8的長度￡；

(3)若〃可變，求〃取不同值時，物塊在斜面上滑行的路程s。

【答案】(1)2班亞，9，咫：(2)3.8/?；(3)見解析

【解析】(1)設(shè)物體到達。點的速度為％從E至IJG由動能定理得〃火(R+3R)=；mF

代入數(shù)據(jù)得u=2回

在。點，有4-mg=m—

R

代入數(shù)據(jù)得久=9/〃g

(2)從「至ijA,由動能定理得一"】g(R-Rcos37o+Lsin37o)-〃o"?gcos370xL=0-T"“2

代入數(shù)據(jù)得L=3.8R

(3)設(shè)摩擦因數(shù)為〃/時物塊剛好能靜止在斜面上，則有〃igsin37o=M〃zgcos370

解得必=0.75

①若0<〃<〃)=0.5,物塊將滑出斜面，則物塊的路程為￡=￡=3.87?

②若0.5<//<必=0.75,則mgsin37°>jumgsin370

所以物塊在斜面上多次往返，最后在8點速度為零，則有全程由能量守恒定律，可得

〃7g(3R+Rcos370)-junigcos37°x.y=0

解得$=手

4〃

③若//>=0.75,則mgsin370<“mgsin370

則物塊將停在斜面上，則有+/?cos37°-.ysin37°)-cos37°x.y=0

解得'二黑

故選Bo

【變式7-2】滑板運動是極限運動的鼻祖，許多極限運動項目均由滑板項目延伸而來。如圖所示是滑板

運動的軌道，加和應(yīng)是兩段光滑圓弧形軌道，比段的圓心為。點，圓心角為60°,半徑3與水平軌道

切垂直，水平軌道切段粗糙且長8m,一運動員從凱道上的1點以3m/s的速度水平滑出，在5點剛好沿軌

道的切線方向滑入圓弧形軌道比；經(jīng)⑦軌道后沖上應(yīng)軌道，到達￡點時速度減為零，然后返回。已知運

動員和滑板的總質(zhì)量為60kg,反￡兩點與水平面⑦的豎直高度分別為力和H,Rh=2m,H=2.8m,^=10m/s2o

求：

(1)運動員從/運動到達8點時的速度大小％和在空中飛行的時間4B；

(2