河南省鄭州外國(guó)語學(xué)校2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)

學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合4=={x|ln(-%2+8%—14)N0},則力n8=()

A.{x\4<x<5]B.{x|3<x<4}C.{x|3<x<4]D.{x|2<%<4]

2.設(shè)p：x>a,q：/+3%-10>0,且p是q成立的充分不必要條件，則a的取值范圍是

()

A.(0,2)B.(2,4-00)C.[2,4-oo)D.(2,5]

3.若cosa+cos/?=：,cos(a-/?)=—^,其中a,/?e(O,ir),Msina+sin/?=()

A.-B.-C.-D.-

2242

4.若關(guān)于％的不等式/一4"+3a2<0(a<0)解集為{x[%i<x<x2]f則下列結(jié)論錯(cuò)誤的

是()

A.xtx2+/+X2<o的解集為{a|-g<Q<o}

B.+%i+必的最小值為一g

C.%i+x2H—乙的最大值為—與色

XjX23

D.+x2-i—°的最小值為43

X/23

5.已知函數(shù)“切=9214次+22*1,(a>0且a工1)在R上單調(diào)遞減，則a的取值范圍

為()

A(咽C.[14]D.艮1)

6.已知函數(shù)/(切=(771-§仙—島)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)加=()

A.1B.-1C.2D.-2

7.已知IX>0,y>0,X]nXY]nY=Ve,XY=e,則/心八口=()

A.eB.S/QC.ID.—

8.已知函數(shù)f(x)=sin(3XI0)(3>0,|如〈》在區(qū)間［；，］上單調(diào)遞減，且/(j=f(；)=

-fg),將函數(shù)y=/(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)

y=g(x)的圖象，若函數(shù)？=g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則t的最大值為()

二、多選題

9.下列選項(xiàng)正確的是（）

A.2cos215°-1=—B.^tan210°=1

2

tan480+tan72°

C.sin30°sin22.5°sin67.5°=—D.=-V3

4l-tan4E<,tan720

10.若Q>b>1,0VcV1,則（

A.ca>cbB.abc>bac

C.alogcb<blogc。D.alogca<blogcb

11.函數(shù)/(幻=ax2+^ahH0)的圖象被稱為牛頓三叉戟曲線，以下圖象可能為函數(shù)八幻的

圖象的是()

三、填空題

12.在(2%-4)5的展開式中，—的系數(shù)為.

13.在△48C中，角48c的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=LbcosA=1+cosB,則邊b的取值

試卷第2頁，共4頁

范圍為.

14.設(shè)函數(shù)/(%)=(?一加眇乂3-m外(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若存在實(shí)數(shù)a使得

/-(X)<0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

四、解答題

15.在△4BC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,己知(2c+Q)COSB+bcosA=0,點(diǎn)M是

4c上的動(dòng)點(diǎn)

(1)求角8的大小

(2)若BM是448c的角平分線，a=4,c=5,求BM的長(zhǎng)度

(3)若b=4,點(diǎn)M滿足流=3宿，BM=1,求△8MC的面積：

16.如圖，已知四棱臺(tái)4)?。一481。1。1的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，平面

力I平面4/0力九=。/=遙.點(diǎn)M是線段4匕的中點(diǎn),N為線段。)上一點(diǎn).

⑴若CN=1,證明：MN〃平面力0。14：

⑵在線段CO上是否存在點(diǎn)M使平面495&與平面MN4央角的余弦值為膏？若存在，

指出點(diǎn)N的位置；若不存在，說明理由.

17.已知橢圓E：W+《=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F式一1,0),尸2(1,0),(巧,1)是橢

圓上的一點(diǎn).

⑴求橢圓E的方程；

(2)過右焦點(diǎn)F2的直線1與柄圓E交于力，8兩點(diǎn)，線段48的垂直平分線交直線Z「點(diǎn)P,交直線

%二一2于點(diǎn)。，求震的最小值.

18.某次投籃游戲，規(guī)定每名同學(xué)投籃幾次5N2,九€川)，投籃位置有48兩處，第一次

在4處投，從第二次開始，若前一次未投進(jìn)，則下一次投籃位置轉(zhuǎn)為另一處；若前一次投進(jìn)，

則下一次投籃位置不變.在A處每次投進(jìn)得2分，否則得。分；在8處每次投進(jìn)得3分，否則

得0分.已知甲在A,8兩處每次投進(jìn)的概率分別為袁%且每次投籃相互獨(dú)立.記甲第

k(k<n.keN.)次在力處投籃的概率為即，第k次投籃后累計(jì)得分為心.

(1)求X2的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)求｛以｝的通頂公式；

(3)證明：Eg)〉"-)

參考公式：若X,V是離散型隨機(jī)變量，則E(X+丫)=E(X)+E(y).

19.已知函數(shù)/a)=/+2cosx,g(幻二”子"，其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底

數(shù).

(1)求/(刀)的最值；

(2)若函數(shù)y=g(x)-。在區(qū)間(一2n,2n)上有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)Q的取值范圍；

(3)若mGR,討論函數(shù)y=gM+mf(x)的單調(diào)性.

試卷第4頁，共4頁

《河南省鄭州外國(guó)語學(xué)校2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)1234567891()

答案CBADCABBABDBD

題號(hào)11

答案BD

1.C

【分析】本題可先求解集合以由于最終求的是交集,故可以先把式的范圍限定在(0,+8；內(nèi),

通過比較在該范圍內(nèi)f(x)=/、g(x)=2"的函數(shù)圖象得到集合4中大于0的元素范圍，再

根據(jù)交集的定義求出4nB.

【詳解】求解An8時(shí)，先求簡(jiǎn)單的集合8,根據(jù)In(-/+既-14)>0可知，一/+8%-14>

1,

進(jìn)行因式分解(％-3)0-5)40,得34X45,故求集合A時(shí)可只考慮%>0的范圍，

由于存在底數(shù)為2的指數(shù)，求導(dǎo)難以判斷單調(diào)性(ln2的近似值未告知)，

所以可通過觀察/(幻=/、g(x)=2邛勺函數(shù)圖象得到不等式解集，

比較特殊點(diǎn)，可得，

X0i2345

fM01491625

gMi2481632

當(dāng)x繼續(xù)增大時(shí)，指數(shù)函數(shù)比幕函數(shù)增長(zhǎng)速度快，再無其他交點(diǎn)，

故在％>0的范圍內(nèi)，/22刀解集為2

力n8的結(jié)果為2與3WxW5之間的交集，即，AQB=M3<x<4},

答案第1頁，共15頁

故選：c.

2.B

【分析】設(shè)滿足條件p,g的集合分別為集合4B,由〃是q成立的充分不必要條件，則集

合力是集合8的真子集，根據(jù)集合的包含關(guān)系可得答案.

【詳解】由q：/+3%一10>0得無<一5或%>2,設(shè)8=(—8,—5)U(2,+8).

設(shè)滿足p：x>Q的集合為4,則4=[a,4-co),

由〃是成立的充分不必要條件，則集合力是集合B的真子集，

所以a>2,所以a的取值范圍是(2,+oo).

故選：B

3.A

【分析】將sina+sin/?和cosa+cos/?=：平方后相加，結(jié)合cos(a-n)的值，建立方程求解.

【詳解】,?a,P€(0,n),則令sina+sin。=>0)①,

***cosa+cos/?=1(2),

由①?+②2得2+2cos(a-0)=/+：,

又cos(a-t2=

???￡=在

2°

故選:A.

4.D

【分析】A選項(xiàng)，/j2為方程/-4ax+3a2=0的兩根，由韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根

之積，得到不等式，求出解集：B選項(xiàng)，配方求出最小值：CD選項(xiàng)，變形得到必+x2+—=

4a+±=-(-4a-^),由基本不等式求出最大值，得到答案.

【詳解】A選項(xiàng)，由題意得益,必為方程/一4以+3a2=。的兩根，

故與+不=4a,x1x2=3a2,

工62+無1+孫=3Q2+4Q<0,解得{Q|VaVo},A正確；

2

B選項(xiàng)，xtx2+xr+x2=3a+4a=3(a+^\-

當(dāng)且僅當(dāng)a=-:時(shí)，等號(hào)成立，B正確；

答案第2頁，共15頁

CD選項(xiàng)，a<0,

勺+“2+裊=40+券=鉆+*=_(_40一點(diǎn)”_2}4-(一?=_竽,

當(dāng)且僅當(dāng)-4a=-5即0=一?時(shí)，等號(hào)成立，

故與+小+3的最大值為一”，C正確，D錯(cuò)誤.

必工23

故選：D

5.C

【分析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及二次函數(shù)的單調(diào)性列不等式，即可

得到答案.

(_受1

【詳解】由題意得|0<?<1，

11-4(z+2>logal=0

得；Wa￡*

Z4

故選：c

6.A

【分析】由圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得到奇函數(shù)，由奇函數(shù)定義得到/(一無)=-/(幻，解出m的

值.

【詳解】要使得/(%)有意義,則|洋工0.x*0,所以f(%)的定義域是(-8,0)U(0,+8)關(guān)于

原點(diǎn)對(duì)稱，

因?yàn)?'(%)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(%)是奇函數(shù)，

，I)=(m_盤)(m-缶)=g-給(m-焉)=-fW=-(m-0(m_品),

所以巾一京=-(m-春)=-m+*p所以2巾=等=2,機(jī)=1.

故選：A.

7.B

【分析】借助指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即可得.

【詳解】由XEXyin，=代，xy=e,

則In(xmxpny)=|n2X+|n2y=g五=In(XY)=InX+\nY=Ine=1,

所以(】nX+In/)2=：+2\nX\nY=1,則InXlnY=%

貝iJln(xEyylnX)=21nxinF=；,所以Xln/nx=W

答案第3頁，共15頁

故選：B.

8.B

【分析】首先根據(jù)其對(duì)稱性和周期性得/(x)=sin(2x+9,再根據(jù)拉伸得g(x)=sin卜+9,

最后求出其單調(diào)區(qū)間，根據(jù)集合包含關(guān)系即可得到答案.

【詳解】/.?>-.

2623

又f(9=f管)=-/()與冶建

7Tf2n

/.X=三=卷是函數(shù)的一條對(duì)稱軸.

同理得償,0)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，

??771n_nnT

所以工,。)和4=工是同一周期內(nèi)相鄰的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸，得7=7T.

/.co=2,9=；，所以/(x)=sin卜x+g).

，g(X)=sin(x+衛(wèi))，令2krr—三4x十三42kn十三,〃WZ,

解得—<x<2kn4-kWZ,

2/CTT—66

它在［2k"*2kjr+1(kGZ)上單調(diào)遞增,

故5］斗翌］?

所以￡的最大值為g

6

故選：B

9.ABD

【分析】對(duì)于A：利用余弦的倍角公式可得答案；對(duì)于B：利用正切的誘導(dǎo)公式可得答案；

對(duì)于C：利用正弦的誘導(dǎo)公式與倍角公式化簡(jiǎn)可得答案；對(duì)于D：利用正切的和角公式可得

答案.

【詳解】對(duì)于A：2cos?15°—1=cos(2x15°)=cos300=g,故A正確；

對(duì)于B：yxtan210°=yxtan(180°+30°)=yxtan30°=yx^=1,故B正確；

對(duì)于C：sin300sin22.5osin67.5°=sin30°sin22.5°sin(90,-22.5°)，

答案第4頁，共15頁

=sin3(Tsin22.5。8s22.5。4嗎加45。=今故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D：由兩角和的正切公式：tan(4+B)=黑黑

代入4=48°,B=72°,

則:魯黑X=tan(48。+72。)=tanl2(T=-tan6。。=一后故D正確.

故選：ABD

10.BD

【分析】對(duì)于A：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得答案；對(duì)于B：換元令￡=?>1，轉(zhuǎn)化成關(guān)于

￡的不等式判斷即可；對(duì)于C：舉反例即可；對(duì)于D：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得答案.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由于0<cV1,指數(shù)函數(shù)y=d是減函數(shù)，

給定Q>b>1,有c。<故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：令t=f>1,則不等式ab。>ba?？苫癁閠>tc=>t(l-產(chǎn)-1)>0.

b

因?yàn)閠>1且Ovcvl(即c-1<0),<1,

所以￡>/恒成立，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)a=4,b=2,c=g時(shí)，

a\ogb=41ogi2=-4,b\oga=21ogi4=—4,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

c22c

b

對(duì)于選項(xiàng)D：alogca<blog*等價(jià)于logc。。<logcf?

由a>b>1,可得a。>ab>bb>1,

又因?yàn)?VcV1,對(duì)數(shù)函數(shù)y=logcx是減函數(shù)，

所以logc@a<log*,故選項(xiàng)D正確.

故選：BD

11.BD

【分析】求出/'(%)的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，對(duì)Q,b在取不同符號(hào)的值的情況下〃外可能的圖象進(jìn)

行分類討論，選出符合題意的圖象.

【詳解】令/(“)=o,得工=95，

f'W=2ax-^=^^,令/'yo,得％=強(qiáng)，

若a>0,b>0,則3匚可<0,且不>0時(shí)，fQ)>0恒成立，

答案第5頁，共15頁

XE(—8,O)時(shí)，f(x)<0,f(x)遞減,XG(0,r(x)<0,/(%)遞減，

xE(1^,+8),ff(x)>0,/(%)遞增，故D正確；

若Q<O,b>o,則口5>o,且％VO時(shí)，f(x)VO恒成立，

%W(-8,覆)時(shí),f,(x)>0,/(%)遞增,%七唱,0)時(shí),f，(x)<0,f(%)遞減,

%W(0,十8)時(shí)，/(%)<。，/1(x)遞減，故B正確；

若a>0,b<0,則口5>0，且％V0時(shí)，f(x)>0恒成立，

%€(-8船)時(shí),f，M<0,/(x)遞減，%€(糯,0)時(shí),f(x)>0,f(%)遞增,

%W(0+8)時(shí),r(x)<0,f(%)遞增,故C錯(cuò)誤；

若avo,b<0,<0,且％>0時(shí)，f(%)VO恒成立，

%￡(-8,0)時(shí)，f(x)>0,/(%)遞增，xe(0,^￡),//(x)>0,/(%)遞增，

%￡(循,+8)，frM<o,/(X)遞減，故A錯(cuò)誤;

綜上，A,C錯(cuò)誤，B.D正確.

故選：BD.

12.80

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式計(jì)算得出廠=2,再代入計(jì)算求解.

【詳解】(2%-4)5的展開式中的通項(xiàng)公式為7；+]=C?：-y)rx(2x)5-r=cj(-iyX

25-rx54,

234

所以當(dāng)r=2時(shí)，T3=Ci(-l)x2x,

”的系數(shù)為此(-1)2x23=80.

故答案為：80.

13.(1,2)

【分析】利用正弦定理與和差角公式，推出b=2cos4再通過判斷角4的取值范圍來確定b

的取值范圍.

【詳解】由a=l,bcosA=1+cosB得，bcosA=a+acosB,

由正弦定理可得sinBcosA=sinA+sinAcosB,即sin(8-A)=sinA,

所以8-4=4或3—4+力=TT(舍去)，所以3=24

答案第6頁，共15頁

由正弦定理得，8=竺等二經(jīng)哼=2cos4

Sin4s\nA

fO</I<TT(0<21<7T

而］OVBVTT,RN0<2A<n,所以0<4<今

(0<C<TT(0<7T-3i4<7T

所以］<cos/l<1,所以b=2cos4E(1,2).

所以b的取值范圍為(1,2).

14.a+8)

【分析】由題意可得(a—?)(Q—?)VO,令9。)=竽/(%)=￥，函數(shù)y=g(x)和函

數(shù)y=/i(x)的圖象，一個(gè)在直線y=a上方，一個(gè)在直線y=a下方，等價(jià)于一個(gè)函數(shù)的最小

值大于另一個(gè)函數(shù)的最大值，即可得出答案.

【詳解】函數(shù)f(%)的定義域?yàn)?0,+8),

由/(%)<0,得(ax-me，)(ax-InX)<0,所以(a-笠-)(a-卓)V0，

令加)=竽皈)=噌，

由題意知，函數(shù)y=g(x)和函數(shù)y=h(幻的圖象，一個(gè)在直線y=Q上方，一個(gè)在直y=Q下

方，等價(jià)于一個(gè)函數(shù)的最小值大于另一個(gè)函數(shù)的最大值，

由9(%)二等(％>0)，得。'(幻=2^，

所以當(dāng)％e(0,e)時(shí)，g'a)>0,ga)單調(diào)遞增，

當(dāng)％G(e,+8)時(shí)，g'M<0,g(x)單調(diào)遞減，

所以gG)max=g(e)=年=3g(%)沒有最小值,

由九(%)=竽。>0),得九，Q)=*U貯=巴簾2,

當(dāng)m<0時(shí)，在％e(0,1)上。(%)>0,九(%)單調(diào)遞增,

在xe(1,十口)上川(%)<0,Mx)單調(diào)遞減，

所以M%)有最大值，無最小值，不合題意，

當(dāng)m>。時(shí),在文€(0,1)上"(幻<0,九(%)單調(diào)遞減，

在為6(1,+8)上*(幻>0,九(%)單調(diào)遞增，

所以九(x)min=h(1)=me,

所以九(1)>g(e)即me>%

答案第7頁，共15頁

所以m>*,即m的取值范圍為(*,+8).

故答案為：(*,+8).

【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，其中涉及到利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問

題，難度較大.構(gòu)造函數(shù)是求解導(dǎo)數(shù)問題的常用方法.

15.(1)y

喈

(3殍

【分析】(I)利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換可求得cos8=-5可求解；

(2)由題意得，計(jì)算可求解；

(3)由已知可得的=；而+?萬?，平方可得16=a2-3ac+9c2,又由余弦定理可得16=

a2+c2+ac,計(jì)算可得^BMC的面積.

【詳解】(1)因?yàn)?2c+d)cosB+bcosA=0,由正弦定理可得(2sinC+sinA)cosB4-

sinBcosA=0,

所以2sinCcos8+sinAcosB+sinFcos/4=0,所以2sinCcosB+sin(/l+B)=0,

所以2sinCcos8+sinC=0,因?yàn)?<C<IT,所以sinC工0,

所以cos8=一支又0V5Vn,8=g：

(2)若8M是々18C的角平分線，又SM8C=SMBM+^ACBM?

所以3acsinz.ABC=|cxBMsinz.ABM4-xBMsin乙CBM,

所以TacsinzABC=[cxBMsin/4BM+[axBMsinz<5M,又a=4,c=5,

所以4x5x苧=5xBMx苧+4x8Mx4,解得BM=爭(zhēng)

(3)因?yàn)樽?3而?，所以府=：正二：(前一瓦T),

所以麗=前+祠=而+]甌一而)=^BC+^BA,

所以的2=2_玩2+三玩.而+2麗2,

16816

所以I?=—a24--xaxcxcos^ABC+—c2,所以16=a2—3ac+9c2,

16816

由余弦定埋可得b?=a24-c2—Zaccosz.ABC,又b=4,

答案第8頁，共15頁

所以16=a?+。2+°C,解得c=靠,a=%

=x

所以SMCM4SMBC=4x2QCsinzJlBC="X-X^=X-T=X^-=

所以△BMC的面枳為竽.

16.(1)證明見解析

(2)存在，點(diǎn)N為CO的中點(diǎn)

【分析】(I)取線段4必的中點(diǎn)P,連接PM,PD,利用已知可證四邊形為平行四邊

形，進(jìn)而可得MNIIPD,可證結(jié)論；

(2)在平面中，作為01力B于O,可證0Q1CB,分別以0。，0B,西的方向?yàn)?/p>

x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面力的一個(gè)法向量為西，平

面的一個(gè)法向量為芯，利用向量法可求得Q,可得結(jié)論.

【詳解】(1)取線段44］的中點(diǎn)P,連接PM,PD,

因?yàn)镸P為梯形的中位線，所以MP二竺要生=3,

又因?yàn)镚V=1,所以O(shè)N=3,

因?yàn)镈NIIAB,PMWAB,且MP=ON=3,所以PM||DN,PM=DN,

所以四邊形MNDP為平行四邊形，

所以MNIIPD,又因?yàn)镸NZ平面力。24，PDu平面ADDiAi，

所以MNII平面/

(2)在平面中，作&0J.4B于O,

因?yàn)槠矫鏋?8141平面ABCD,且平面C平面力BCD=AB,

所以力i。_L平面A4CO,

在正方形ABC。中，過。作4。的平行線交CQ于點(diǎn)Q,則。Q108,

分別以兩，0B,西的方向?yàn)閤軸、)，軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪危?a=2,4B=4,所以力。=1,

乂因?yàn)锳%=BBi=V5,所以A1。=2,

答案第9頁，共15頁

則力(0,-LO)，41(0,0,2),D(4,-l,0),8式0,2,2),5(0,3,0；.,設(shè)N(4,a,0)(—lWQW3),標(biāo)=

(0,1,2),所以而=(4,0,0),

設(shè)平面NOD14］的法向量為汨=（x】,％,zi）,

近?AA=0%+2zi=0

所以1,則

五?而=0.4%i=0

令為=1,所以。=(0,-2,1),

又閃為M為88］的中點(diǎn)

所以所以麗=（0,_右1）,麗=（4,a—3,0）,

z

設(shè)平面BWN的法向量為芯=（x2,y2i2）?

所以但闿=°,貝0-濁+Z2=。，

n2?BN=0（.412+（a—3）y2=0

令%2=3-a,所以設(shè)=（3-a,4,2）,

又因?yàn)槠矫媾c平面MN4夾角的余弦值為唱,

所以|吾昌|二嚕，整理得Rd6=嚕,

1|?111?2|110V5x7（3-a）2+2O10

所以十—6a+5=0,解得a=1或a=5,

又因?yàn)橐籰WaW3,所以2=1,

所以存在，點(diǎn)N為C。的中點(diǎn).

17.（?。?1

潸

【分析】（1）由條件得c=l,將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，結(jié)合C2=Q2一爐，即可求得。2,墳的值，

即可得答案.

（2）由題意直線/的斜率不為0,設(shè)其方程為無=my+l,與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可

得為+'2，力%表達(dá)式，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，可得|4B|的表達(dá)式，求出尸點(diǎn)坐標(biāo)，即可得|PQ|的

表達(dá)式，代入所求，利用換元法，結(jié)合基本不等式，即可得答案.

【詳解】（1）因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)為吊（一1,0），所以c=l,

由點(diǎn)仔1）在橢圓￡：!+'=l（a>b>0）上,

代入可得—+a=1,

又c2=a2—b2=1,與上式聯(lián)立可得a?=3,4=2,

答案第10頁，共15頁

所以橢圓E的方程為：9+1=1

(2)當(dāng)直線/的斜率為。時(shí)，線段4B的垂直平分線為戶0,與％=-2不相交，不符合題意,

故直線/的斜率不為0,設(shè)其方程為%=my+1,AQi，兌),8(%2，%)，

X=my+1

{述+y2_],可得(27712+3)y2+4my—4=0,

△=(4m)2—4x(2m2+3)x(-4)=48TH2+48>0?

4m-4

%+%=一赤7，%乃二布布’

2

則|48|=+m21yl-y2|=V1+m.J(yi+丫2尸一4yly2

I16m2+*_=46面7.空亙=4逐(病+1)

1(2而+3)2十2m2+32m2+32mz+3'

T771+722m,13

乂%=丁=一赤r%=myp+i=^7r

由PQJ./nJ得，直線PQ的斜率為一m,

所以|PQ|=71+7叫々-孫|=弋1+/?卜2-艱J=&+?於?黑

所以幽-一逸*4m2+9

見以向-4同源+1)一行X胃嬴'

2m2+3

令71+m2=3貝Ijt>1,所以?^2=t2-1

代入上式可得，器=裊?號(hào)x(4t+抽裊2后=皚

當(dāng)且僅當(dāng)4t=：,即t=4時(shí)取等號(hào)，此時(shí)m=±g

答案第11頁，共15頁

(2)以=孑+gx(k=1,2......n)

⑶證明見解析

【分析】(1)設(shè)“甲第i次在A處投進(jìn)”為事件4,“甲第i次在B處投進(jìn)“為事件B”i=l,2,

依題意,X2的可能取值為0,2,3,4,根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式分別求解隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)

的概率即可得分布列，從而得數(shù)學(xué)期望：

(2)當(dāng)2$*$九時(shí)，甲第k次在A處投籃分兩種情形：①笫九一1次在4處投籃口投進(jìn)；

②第k-1次在B處投籃且未投進(jìn).分別確定概率，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系得等比數(shù)列｛。比-|｝,

根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解｛耿｝的通項(xiàng)公式即可：

(3)第k次在力處投籃的概率為父，在8處投籃的概率為1-和，記第k次得分2,則藐的可

能取值為0,2,3,分別求解概率即可計(jì)算數(shù)學(xué)期望E(4)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)證明結(jié)論

即可.

【詳解】(1)設(shè)“甲第i次在4處投進(jìn)“為事件4，“甲第i次在B處投進(jìn)”為事件以，

i=l,2,依題意，X2的可能取值為0,2,3,4.

P(X2=0)=P(^)=(l-|)x(1-1)=|,

P(XZ=2)=p(a國(guó)=|x(l-|)=A,

P(X?=3)=P(44)=(Dx；3

\Ox4O

P(X2=4)=PGM2)=卜合崇

所以X2的概率分布為

X?0234

1619

P

525525

￡。2)="0+￡*2+打3+女乂4=:(分).

(2)當(dāng)時(shí)，甲第k次在力處投籃分兩種情形:

①第k-1次在A處投籃且投進(jìn)，這種情形概率為縱.1x

②第k-1次在8處投籃且未投進(jìn)，這種情形概率為(1-以_】)x(1-

所以以=ak_1x|+(1-flfc-i)x=看以一1

答案第12頁，共15頁

故以一滬裔（以-1一）

因?yàn)閷?duì)C，

所以｛。女一尋是以g為首項(xiàng)：2為公比的等比數(shù)列?

所以以弋=松㈤I,

即以二9+/仁）,"=1,2,...?n.

（3）因?yàn)榈趉次在A處投籃的概率為以，在B處投籃的概率為1-以，

記第k次得分心,則藐的可能取值為0,2,3,

戶&=2）=|?？?/p>

P&=3)=31-%)，

P&=°)=(1一：)縱+(1一：)(1一Q")=：一看以，

所以E&)=2x|%+3x*1-%)=|一0Qk=3—卷X仁)，

因?yàn)橹?￡薪，

”=1

所以E(X〃)=￡nE&)=n￡J??2x/(1S\f)c-ll

k=lk=lI'15\W/

_42-閡”_444/l\n

一三九一五乂不一一三九一方+行X(jJ,

10

因?yàn)?X島)

所以以4)>"-捺

19.(1)最小值為2,無最大值；

⑵（-1，等）;

（3）答案見解析.

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)工具研究得到函數(shù)的單調(diào)性即可求解;

（2）利用導(dǎo)數(shù)工具研究求出函數(shù)g（x）的單調(diào)性和最值以及端點(diǎn)值。（-2兀）和儀2兀）即可得解.

(3)先求出y=g(x)+?nf(x),再求導(dǎo)數(shù)y'=(2x-2sinx)(3+m),再分別討論mN0和

m<0,y'的正負(fù)，從而得到y(tǒng)的單調(diào)性.

【詳解】(1)vf(x)=x2+2cosx,???f'(x)=2x-2sinx,

答案第13頁，共15頁

設(shè)九(%)=f'(x)，：?hrM=2-2cosx,

cosxG[-1,1],2-