專題01集合14大重點(diǎn)題型（期中專項(xiàng)訓(xùn)練）

【人教A版】

唯^集合概念的理辭

1.（24-25高一上?四川南充?期中）下列選項(xiàng)中，能夠構(gòu)成集合的是（）

A.南充高中高2024級(jí)個(gè)子較高的學(xué)生B.高中數(shù)學(xué)人教力版必修第一冊(cè)中的難題

C.關(guān)于％的方程/-1=0的所有實(shí)根D.無限接近于TT的所有實(shí)數(shù)

【答案】C

【解題思路】根據(jù)集合中的元素滿足的特征即可求解.

【解答過程】對(duì)于A,個(gè)子較高，概念模糊，不符合集合中的元素確定性，故A錯(cuò)誤,

對(duì)于B,難題，概念模糊，不符合集合中的元素確定性，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,d一1=0的根為*=±1,故集合為C正確，

對(duì)干D、無限接近于e概念模糊.不符合集合中的元素確定性,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.（24-25高一上?湖北?期中）下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（）

A.中國(guó)古代四大發(fā)明B.所有無理數(shù)

C.2024年高考數(shù)學(xué)難題D.小于7T的正整數(shù)

【答案】C

【解題思路】根據(jù)題意利用集合中元素具有確定性的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷可得結(jié)論.

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【解答過程】對(duì)于A,中國(guó)占代四大發(fā)明是指造紙術(shù)、指南針、火藥、印刷術(shù)，滿足集合定義，即A能構(gòu)成

集合；

對(duì)于B,所有無理數(shù)定義明確，即B能構(gòu)成集合；

對(duì)于C,2024年高考數(shù)學(xué)難題定義不明確不具有確定性，不符合集合的定義，即C構(gòu)不成集合；

對(duì)于D,小于IT的正整數(shù)只有1,2,3,具有確定性，滿足集合定義，即D能構(gòu)成集合.

故選：C.

3.（24-25高一上?上海?期中）下列所給對(duì)象不能組成集合的是.

（1）高一數(shù)學(xué)課本中所有的難題；

（2）某班16歲以下的學(xué)生：

（3）某中學(xué)的大個(gè)子；

（4）某學(xué)校身高超過1.80米的學(xué)生.

【答案】（1）＜3）

【解題思路】結(jié)合集合中元素的“確定性”、“互異性''逐一分析即可.

【解答過程】“難題”沒有判斷標(biāo)準(zhǔn)，無法判斷一道題是否屬于難題，不滿足集合中元素的“確定性”，故（1）

不能組成集合；

某班16歲以下的學(xué)生可以組成一個(gè)集合，16及16歲以上的學(xué)生則不在集合內(nèi)，滿足集合中元素的“確定性”,

旦每個(gè)學(xué)生都不一樣，滿足集合中元素的“互異性”，故（2）可以組成集合；

“大個(gè)子''沒有判斷標(biāo)準(zhǔn)，不知身高多少才能稱為大個(gè)子，不滿足集合中元素的“確定性”，故（3）不能組成

集合；

某學(xué)校身高超過1.80米的學(xué)生可以組成一個(gè)集合，身高等于或低于1.80米的學(xué)生則不再集合內(nèi)，滿足集合

中元素的“確定性''，且每個(gè)學(xué)生都不一樣，滿足集合中元素的“互異性”，故（4）可以組成集合；

故答案為：（1）（3）.

4.（24-25高一上?上海?課后作業(yè)）判斷下列各組對(duì)象是否能組成集合.若能組成集合，判斷組成的集合是

有限集、無限集還是空集；若不能組成集合，請(qǐng)說明理由.

⑴所有大于0且小于25的偶數(shù)：

（2）不等式的解集：

（3）兩條平行直線的交點(diǎn)：

（4）古今中外的所有偉大的人.

【答案】（1）能組成集合，為有限集

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（2）能組成集合，為無限集

（3）能組成集合，為0

（4）不能組成集合，理由見解析

【解題思路】根據(jù)對(duì)象是否確定判斷能否構(gòu)成集合，由元素的個(gè)數(shù)判斷集合類型.

【解答過程】（1）所給對(duì)象確定，能組成集合，為有限集.

（2）所給對(duì)象確定，能組成集合，為無限集.

（3）所給對(duì)象確定，能組成集合，為空集.

（4）所給對(duì)象不確定，不能組成集合.

5.（24-25高一上?上海?課堂例題）判斷下列各組對(duì)象是否能組成集合.若能組成集合，判斷組成的集合是

有限集、無限集還是空集；如果不能組成集合，請(qǐng)說明理由.

（1）我國(guó)現(xiàn)在的直轄市：

（2）比較小的自然數(shù)的全體；

（3）數(shù)軸上到坐標(biāo)原點(diǎn)距離是2的點(diǎn)的全體；

（4）比2小的質(zhì)數(shù).

【答案】（1）能組成集合，為有限集

（2）不能組成集合，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)不明確

（3）能組成集合，為有限集，其中有2個(gè)元素

（4）能組成集合，為空集

【解題思路】（1）根據(jù)集合的定義判斷；

（2）根據(jù)集合的定義判斷；

（3）根據(jù)集合的定義判斷；

（4）根據(jù)集合的定義判斷.

【解答過程】（1）我國(guó)現(xiàn)在的直轄市只有4個(gè)，能組成集合，是有限集；

（2）“比較小的自然數(shù)”這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不明確，不能組成集合；

（3）數(shù)軸上到坐標(biāo)原點(diǎn)距離是2的點(diǎn)只有2和-2兩個(gè)，能組成集合，是有限集；

（4）沒有比2小的質(zhì)數(shù)，因此能組成集合，是空集.

題型2―削岫提春

6.（24-25高一上?天津東麗?期中）下列關(guān)系中，正確的是（）

A.2CNB.KCQ

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C.0CND.-3GZ

【答案】A

【解題思路】根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷.

【解答過程】A,2是自然數(shù)，故A正確；B,n是無理數(shù)，不是有理數(shù)，故B錯(cuò)誤；

C,0是自然數(shù)，故C錯(cuò)誤；D,:是分?jǐn)?shù)，不是整數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

7.（24-25高一上?天津南開?期中）給出下列關(guān)系：①|(zhì)一2|WN*；②0￡Z；③&€Q；@-（6R；⑤1.21GQ.

其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解題思路】依次判斷出各數(shù)所屬于的數(shù)域范圍，再利用元素與集合的關(guān)系判定即可.

【解答過程】對(duì)于命題①，|-2|=2GN\所以命題①錯(cuò)誤，

對(duì)于命題②，OEZ,所以命題②錯(cuò)誤，

對(duì)于命題③，因?yàn)閍是無理數(shù)，魚￡Q,所以命題③錯(cuò)誤，

對(duì)于命題④，因?yàn)橐唬╓R,所以命題④正確，

對(duì)于命題⑤，因?yàn)?.2i是無限循環(huán)小數(shù)，是有理數(shù)，即1.2i€Q,所以命題⑤正確，

故選：C.

8.（24-25高一上?上海浦東新?期中）用味”和表示，1N.

【答案】e

【解題思路】根據(jù)元素與集合之間的關(guān)系解題.

【解答過程】N為自然數(shù)集，則16N.

故答案為：€.

9.（24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）設(shè)集合力={。,松}中的所有元素均為整數(shù).

（1）若a=0,求集合力：

（2）試判斷4是不是集合力中的元素，并證明結(jié)論.

【答案】（1）4={0,1}

（2）不是，證明見解析

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【解題思路】(1)根據(jù)題意代入a=0即可得結(jié)果;

(2)假設(shè)成立，分。=4或尹=4,代入檢驗(yàn)即可得出矛盾，進(jìn)而分析說明.

3+a

【解答過程】(1)若a=0,則充=1￡Z,所以集合4={0,1}.

J十U

(2)4不是集合力中的元素，理由如下：

若4€力，則有a=4或F=4;

3+a

當(dāng)a=4時(shí)，W=_；cz,不滿足題意；

3+47

當(dāng)^=4時(shí)，解得Q=—gcZ,不滿足題意；

綜上所述，4不是集合A中的元素.

10.(24-25高一上?上海嘉定?階段練習(xí))已知M是滿足下列條件的集合：①OEM,IEM：②若x,yEM,

則％-yEM：③若XWMH.XHO,X6M.

(1)判斷是否正確，并說明理由：

(2)證明：若x,yeM,則x+y€M；

(3)證明：若'EM,則/EM.

【答案】(1耳€河正確，理由見解析

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【解題思路】(1)根據(jù)集合M的條件，先根據(jù)①②得—1EM,2GM,進(jìn)而有③可得；

(2)先由①②得一yWM,進(jìn)而可得x-(-y)=x+y￡M；

(3)先證％—1WM,可得進(jìn)而得X(X-1)WM,再結(jié)合％WM可證.

【解答過程】(1)正確，理由如下：

由①知OEM,1GM,由②可得0-1=-1WM,l-(-l)=2GM,

由③可得M.

(2)證明：由①知OWM,由題意yWM,

所以由②可知0-y=-yeM,又xeM,所以x-(-y)=x+yeM印證.

(3)證明：x6M,由②可知x-lWM,由③可知M,M,

Xx-1

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所以L-’WM,即下工6M,所以

xx-1x（x-l）

由（2）結(jié)論可知-1）+%eM,EPx2eM,即證.

題型3>元素與集合關(guān)系中的參數(shù)問題

11.（24-25高一上?重慶渝北期中）已知集合力={2,3,2a},若10€力，則a的值為（）

A.10B.2C.-5D.5

【答案】D

【解題思路】根據(jù)集合與元素的包含關(guān)系求解即可.

【解答過程】因?yàn)榧?={2,3,2a},10W4

所以2a=10,解得a=5,

故選：D.

12.（24-25高一上?河南洛陽?期中）已知集合4={l,a+9,。2+Q},若6W4則a=（）

A.-2或3B.-3或2C.2D.-3

【答案】C

【解題思路】分a+9=6和M+Q=6兩種情況討論，注意集合中元素的互異性.

【解答過程】因?yàn)锳={1,Q+9,Q2+Q},6W4

當(dāng)a+9=6時(shí)，則a=-3,此時(shí)原+。=6,不符題意：

當(dāng)"+。=6時(shí)，解得a=2或Q=-3（舍去），

若a=2,則力={1,11,6},符合題意,

綜上所述，Q=2.

故選：C.

13.（24-25高一上?湖北?期中）已知集合4={1,2,3）,8=2},若2-m€4,則實(shí)數(shù)m=

【答案】0

【解題思路】由已知集合/I的元素，分類討論求參數(shù)m值，再根據(jù)集合的性質(zhì)確定m的值.

【解答過程】若2-血=1,則m=l,此時(shí)集合8違背互異性，不符合要求：

若2-m=2,則m=0,此時(shí)8={1,0,2},符合要求；

若2-血=3,則此時(shí)復(fù)合8違背互異性，不符合要求：

綜上所述，機(jī)=0.

故答案為：0.

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14.(24-25高一?江蘇?課后作業(yè))已知集合力中有三個(gè)元素：Q-3,2a-l,a2+l,集合B中也有三個(gè)元

素：0,1,x.

⑴若一3€4求實(shí)數(shù)a的值;

(2)若VeB求實(shí)數(shù)x的值.

【答案】(l)a的值為?；?1

(2次的值為一1

【解題思路】(1)若一364則°-3=-3或2a-1=一3,再結(jié)合集合中元素的互異性，能求出Q的值.

(2)當(dāng)工取()，1,-1時(shí)，都有必€心集合中的元素都有互異性，由此能求出實(shí)數(shù)x的值.

【解答過程】(1)集合力中有三個(gè)元素：。-3,2a-l,a2+l.一3W4

???a-3=-3或2a-1=-3,

解得a=0或a=-1,

當(dāng)a=0時(shí)，A={-3,-1,1)>成立：

當(dāng)。二-1時(shí)，A={-4,-3,2],成立.

??.a的值為0或一L

(2)集合8中也有三個(gè)元素：0,1,x,X2GF,

當(dāng)%取0,1,-1時(shí)，都有好€以

???集合中的元素都有互異性，,%手。，%*1,

x=--1.

實(shí)數(shù)%的值為-1.

15.(24-25高一上?四川內(nèi)江?期中)已知集合4={x\ax2+2x4-1=0,aeR,xeR}.

⑴若1”,求a的值；

(2)若力中只有一個(gè)元素，求Q的取值范圍；

(3)若力中至多有一個(gè)元素，求Q的取值范圍.

【答案】(1)。二-3

(2)。=0或。=1時(shí)，

(3){a|a=0或a>1}

【解題思路】(1)將％=1代入方程中即可求解?，

(2)(3)將問題轉(zhuǎn)化為：關(guān)于x的方程以2+2%+1=0解的問題，分類討論二次項(xiàng)系數(shù)a的值，結(jié)合二次

方程根與判別式的關(guān)系，即可得到答案.

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【解答過程】（1）由于1￡力，所以x=1是ad+2%+1=0的實(shí)數(shù)根，故。+2+1=0,故Q=-3

（2）當(dāng)Q=0時(shí)，原方程變?yōu)?x+l=0,此時(shí)％=-5符合題意；

當(dāng)。工0時(shí)，方程ax?+2x+1=0為一元二次方程，△=4-4a=0,即a=l時(shí)，原方程的解為工=一1,

符合題意.

故當(dāng)a=0或Q=1時(shí)，原方程只有一個(gè)解，此時(shí)4只有一個(gè)元素.

（3）若A中最多有一個(gè)元素，貝必中可能無任何元素，或者只有一個(gè)元素，

由（1）知當(dāng)。=0時(shí)只有一個(gè)元素，

當(dāng)aw0時(shí)，方程a/+2%+2=。為一元二次方程，A=4-4a<0,即a>l時(shí)，4為空集；

△=0,即a=l時(shí)，方程有兩個(gè)相等的根，力中有一個(gè)元素.

A中最多有一個(gè)元素，{3。=0或。工1}.

題型4>集合中元素的個(gè)數(shù)問題P]

16.（24-25高一上?福建福州?期中）已知集合4={1,2,3},={3,5},則。={x|x=2Q—b,Q64匕€B}

中的元素個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解題思路】利用集合中元素的互異性，對(duì)a,b的取值進(jìn)行分類討論即可.

【解答過程】由題意，x=2a-b.

當(dāng)a=l,b=3時(shí)，x=2a-b=-1,

當(dāng)a=l,b=5時(shí)，x=2a—b=-3,

當(dāng)a=2,b=3時(shí)，x=2a—b=I,

當(dāng)a=2,b=5時(shí)，x=2a—b=-1,

當(dāng)a=3,b=3時(shí)、x=2a—b=3,

當(dāng)a=3,b=5H、J,x=2a—b=1,

由集合中元素滿足互異性，所以。={-3,-1,1,3}.

故選:B.

17.（24-25高一上?四川達(dá)州?期中）如果集合力=-4%+2=0}中只有一個(gè)元素,則實(shí)數(shù)〃?的值

為（）

A.1B.2C.0或2D.1或2

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【答案】C

【解題思路】分兩種情況討論集合中方程根的情況，從而確定實(shí)數(shù)〃，的值.

【解答過程】當(dāng)m=0時(shí)，方程變?yōu)橐?x+2=0,解得％=%滿足集合{%|血%2-4%+2=0}有且只有一個(gè)元

素.

當(dāng)7nH0時(shí)，方程-4工+2=0是一元二次方程.

因?yàn)榧蟵MmY-4%+2=。}有且只有一個(gè)無索，

所以△=(—4)2—4znx2=16—87/1.解得m=2.

綜上，實(shí)數(shù)m的值為0或2.

故選：C.

18.(24-25高一上?湖南邵陽?期中)已知集合力={%|52+4%+1=0,。wR},若A中只有一個(gè)元素，則a

的值構(gòu)成的集合為.

【答案】{0,4}

【解題思路】根據(jù)題意分情況討論卻可求得結(jié)果，當(dāng)Q=0時(shí)，滿足題意；QW0時(shí)，只需讓判別式等于零即

可.

【解答過程】當(dāng)a=0時(shí)，4=+1=0解得％=-4,滿足題意；

當(dāng)aHO時(shí)，此時(shí)A=42—4Q=0,解得a=4,

所以a的值構(gòu)成的集合為{0,4}.

故答案為：{0,4}.

19.(24-25高一上?江蘇連云港,期中)已知集合力={xlad+2x+1=0,awR}.

(1)若力中只有一個(gè)元素，求a的他；

(2)若/中至少有一個(gè)元素，求Q的取值范圍.

【答案】(l)a=0或Q=1

(2){a|a<1}

【解題思路】(1)針對(duì)a=0和aH0兩種情況分類討論，再轉(zhuǎn)化為一元一次方程和一元二次方程分別得出a

的值即可

(2)確定4中有兩個(gè)元素，可轉(zhuǎn)化為一元二次方程兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根進(jìn)行求解，再結(jié)合第一問一個(gè)元素

的情況即可得出a的取值范圍

【解答過程】(1)由題意，當(dāng)a=0時(shí)，2%+1=0,得％=-〈，集合力只有一個(gè)元素，滿足條件：當(dāng)QW0

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時(shí)，

a%2+2%+1=0為一元二次方程，A=4-4a=0,得Q=1,集合力只有一個(gè)元素％=-1,

.?.A中只有一個(gè)元素時(shí)a=0或a=1.

（2）由片中至少有一個(gè)元素包含兩種情況，一個(gè)元素和兩個(gè)元素，力中有兩個(gè)元素時(shí)，QH0并且

△=4-4a>0,得QV1且a00,再結(jié)合力中一個(gè)元素的情況，

???。的取值范圍為M|aW11.

20.（24-25高一上?上海?期中）設(shè)數(shù)集4由實(shí)數(shù)構(gòu)成，且滿足：若XE4（不工1且XH0）,則4￡A

l-x

（1）若2W4則/中至少還有幾個(gè)元素？

（2）集合力是否為雙元素集合？請(qǐng)說明理由；

（3）著力中元素個(gè)數(shù)不超過8,所有元素的和為藍(lán)，且力中有一個(gè)元素的平方等于所有元素的積，求集合力

中的元素.

【答案】（1）兩個(gè)；

（2）不是，理由見解析;

（3沙2,—1,—

【解題思路】（1）利用給定的定義，依次計(jì)算即得.

（2）由％W4求得力中其它元素，再判斷不相等即可.

（3）由（2）中信息，可得x64m￡4再結(jié)合已知列出方程求解即得.

【解答過程】（1）由2W4得匕二一1€4則^^二：￡人因此工二2€4

IV1-（-1）21—

所以力中至少還有兩個(gè)元素為-1,1.

（2）不是雙元素集合.理由如下：

-

由xW4,得l-x￡A，則1~—n—=—x—?6A?

1—X

而且XHO,x2-x+l=（^-1）2+1>0,即％2一%+1=0,x（l-X）*1,

于是工工占，由％2一2%+1工一2得。一1）2A一刈則白。?，

因此集合4中至少有3個(gè)元素，所以集合力不是雙元素集合.

（3）由（2）知/中有三個(gè)元素為％、―-、0（工,1且0）,且?匚=-1,

l-xxl-xX

依題意，力中除上述3個(gè)元素外，還有其它元素，設(shè)力中有一個(gè)元素為m,

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^(,11_.m-1_.n17i—l-

貝---EA,----6A,Kzn---------——1,

l-ml-mm

于是力中的元素為即占科士，等且集合，中所有元素之積為1,

由A中有一個(gè)元素的平方等于所有元素的積，設(shè)(￡)2=1或(?)2=1,解得％=2或%=

此時(shí)2￡4—1EA,依題意，：+2—1+mH---I-——■=77,

221—mm3

整理得67n3-19m2+m+6=0,即(m-3)(2m+l)(3m-2)=0,解得m=-g或3或j

所以集合A中的兀素為2,—1,-j,3,j.

題型5、有限集合子集［真子集的確定可

21.(24-25高一上?河南?期中)設(shè)集合4={1,2,3,459},B={x\x€4々6Z},則B的非空子集個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.7D.8

【答案】C

【解題思路】根據(jù)集合B的含義得到集合B的元素，然后求非空子集個(gè)數(shù)即可

【解答過程】要使XW4々EZ,則％=1,4,9,故B中含有三個(gè)元素，

所以8的非空子集有{1},{4},{9},{1,4},{1,9},{4,9},{1,4,9}共7個(gè).

故選：C.

22.(24-25高一上?山東泰安期中)已知集合4={1,2,3},8={3,5},則C=以優(yōu)=2a+瓦。WWB}

的子集個(gè)數(shù)為()

A.8B.16C.32D.64

【答案】B

【解題思路】先根據(jù)題意求出集合C,然后利用公式可求出其子集的個(gè)數(shù).

【解答過程】因?yàn)?={1,2,3},8={3,5},X=2a+b,aeA,beBf

所以當(dāng)Q=l,b=3時(shí)，x=2xl+3=5,

當(dāng)a=l,b=5時(shí)，x=2xl+5=7,

當(dāng)a=2,b=3時(shí)，x=2x2+3=7,

當(dāng)a=2,b=5時(shí)，％=2x2+5=9,

當(dāng)a=3,b=3時(shí)，%=2x3+3=9,

當(dāng)a=3,b=5時(shí)，x=2x3+5=ll,

所以［5,7,9,11),

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所以集合。的子集個(gè)數(shù)為2,=16.

故選：B.

23.(24-25高一上?廣東江門,期中)集合4={0,20,27}的非空子集的個(gè)數(shù)為.

【答案】7

【解題思路】利用集合中的元素個(gè)數(shù)即可求得對(duì)應(yīng)集合的子集個(gè)數(shù)，再去除空集即可得出結(jié)果.

【解答過程】易知集合中有3個(gè)元素，根據(jù)元素個(gè)數(shù)與子集個(gè)數(shù)之間的關(guān)系可得，集合的非空子集的個(gè)數(shù)為

23-1=7個(gè).

故答案為：7.

24.(24-25高一上?廣西南寧,期中)寫的集合A={a,b,c}的所有子集和真子集.

【答案】答案見解析

【解題思路】借助子集的概念與真了集的概念逐項(xiàng)列出即可得.

【解答過程】A={a,b,c}的子集有：

0、{a}、、{c}、{a,b],{a,c}、{b,c}>[a,b,c)；

A={Q,瓦c}的真子集有：

0、{a}、、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c).

25.(23-24高一上?吉林四平?階段練習(xí))己知集合P={%GR|x2-3x+b=0],(2={xGR\(x+l)(x2+

3x-4)=0}.

(1)若》=4,存在集合M使得P為M的真子集且M為Q的真子集，求這樣的集合M；

(2)若集合P是集合Q的?個(gè)子集，求b的取值范圍.

【答案】(1){-4},{—1},{1},{-4,一1},{-4,1},{-1,1}

(2)怦*}

【解題思路】(1)確定P=0,并求出集合Q,寫出Q的真子集即得；

(2)分類討論，P=0時(shí)滿足題意，PW0時(shí)，由集合Q中的元素屬于集合P,分別代入求出參數(shù)b,得集合P

檢驗(yàn)即可.

【解答過程】(1)當(dāng)b=4時(shí)，方程%2-3%+b=0的根的判別式A=(-3)2-4xlx4<0,所以P=0.

又Q=卜WR|(x+l)(x2+3x_4)=0}={-4,-14}?故PQQ.

由已知，得M應(yīng)是一個(gè)非空集合，且是Q的一個(gè)真子集，

用列舉法可得這樣的集合M共有6個(gè)，分別為{-4},{一1},{1},{-4,一1},{-4,1},{-1,1}.

(2)當(dāng)P=0時(shí)，P是Q的一個(gè)子集，此時(shí)對(duì)于方程/3xIb=O,

12/36

有所以

A=9-4b<0,4

當(dāng)PH0時(shí)，因?yàn)镼={-4,-1,1},所以當(dāng)一1WP時(shí)，

（―I）2—3x（―1）+6=0,即。=—4,此時(shí)P=[x\x2—3x-4=0}={4,—1）,

因?yàn)?WQ,所以P不是Q的子集；

同理當(dāng)一46P時(shí),b=-28,P={7,-4},也不是Q的子集；

當(dāng)時(shí)，匕=2,"={1,2},也不是Q的子集.

綜上，滿足條件的帥取值范圍是{中>廿

題型6'jll山

26.（24-25高一上?廣西南寧?期口）已知集合4={洌1式無42],B={x\x>0],則4與8的關(guān)系是（）

X.AQBB.438C.A=BD.無法確認(rèn)

【答案】A

【解題思路】由集合間的基本關(guān)系判斷即可.

【解答過程】集合A={x|l<x<2）,B={x\x>0],

所以八GB,

故選：A.

27.（24-25高一上?福建?期中）集合M={x\x=7k—2,kEN},P={x\x=7n+5,neN},S=[x\x=14m+

5,沈€明的關(guān)系是（）

A.SQPQMB.S=PQMC.SQP=MD.P=MQS

【答案】A

【解題思路】根據(jù)集合包含關(guān)系的定義和集合相等的定義判斷即可.

【解答過程】根據(jù)集合的概念可知集合M表示所有被7除余5的數(shù)以及-2所構(gòu)成的集合，

集合P表示所有被7除余5的數(shù)所構(gòu)成的集合，

所以PcM,

集合S表示所有被14除余5的數(shù)所構(gòu)成的集合，

任取aWS,則a=14m+5=7?[2m）+5,m￡N,所以aWP,SQP,

又12EP,12CS,所以SHP,

綜上SGPGM,

故選：A.

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28.（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）給出下列關(guān)系式，其中正確的是（填序號(hào)）.

①0G{a}：②QG{Q}；③{a}G{Q}：?{a}€⑤0G{{a},。}.

【答案】①③⑤

【解題思路】利用空集的性質(zhì)判斷①，⑤，利用元素和集合的關(guān)系判斷②，利用集合和集合的關(guān)系判斷④,

利用子集的性質(zhì)判斷③即可.

【解答過程】因?yàn)榭占侨魏渭系淖蛹寓?，⑤正確，

由元素和集合的關(guān)系得Q￡{a}，故②錯(cuò)誤，

一個(gè)集合是自身的子集，故③正確，

由集合和集合的關(guān)系得{a}1{a,b},故④錯(cuò)誤.

故答案為：①③⑤.

29.（24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）指出下列各對(duì)集合之間的關(guān)系：

（IM={-1，1}，口={（T，-1），（-14）,（1,-1）,（1」）};

（2）A={x|-lV%<4},B={x\x-5<0}；

（3）M={x\x=2n-l,nGN*},N={x\x=2n+l,nGN*）.

【答案】（1）4與8之間無包含關(guān)系.

⑵口.

⑶咚M.

【解題思路】（1）利用集合的元素類型判斷集合4B的包含關(guān)系.

（2）利用不等式解集判斷集合4B的包含關(guān)系.

（3）利用列舉法判斷集合MN的包含關(guān)系.

【解答過程】（1）集合力的元素是數(shù)，集合8的元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)，所以力與8之間無包含關(guān)系.

（2）集合8={x|%V5},用數(shù)軸表示集合力，B,如圖所示，

由圖知力￡8.

B

A|,

-1045x

（3）由列舉法，M={1,3,5,7,???},N={3,5,797,

所以N￡M.

14/36

30.(24-25高一下?全國(guó)?課后作業(yè))指出下列各對(duì)?集合之間的關(guān)系：

⑴A={(-1,1)},B={(-1,--1),(1,1)}；

(2)/1=(-1,4),B=(-co,5)；

(3乂={Yx是等腰三角形},B={劃不是等邊三角形}.

【答案】(1)4GB

(2)AcB

⑶BcA

【解題思路】根據(jù)子集和真子集的定義，結(jié)合已知中給定集合，逐一分析，可得結(jié)論.

【解答過程】(1)4中唯一元素(一1,1)GB，

又1,-1)WB,(-1,-1)CA,

所以AcB；

(2)???/!=(-1,4),D=(-oo,5)

4的元素都是8的元素，而B的元素-5不是4的元素，

所以4cB；

(3)?.?4={Rx是等腰三角形},8二{幻％是等邊三角形},

又..?為等邊三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等邊三角形；

所以BcA.

題型建翡躡卷

31.(24-25高一上?安徽?期中)已知集合力={-2,2},B={-2,-1,Q+3},且4G8,則實(shí)數(shù)。的值為()

A.-5B.-4C.-1D.1

【答案】C

【解題思路】根據(jù)集合與集合間的關(guān)系列方程求解實(shí)數(shù)a的值即可.

【解答過程】已知集合4={-2,2},B=[-2,-l,a+3),且71GB,

所以a+3=2,所以a=-1.

故選：C.

32.(24-25高一上?貴州貴陽?期中)已知集合4={l,a.b},B={a2,a,ab},若4=B,則出025+爐024=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

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【解題思路】由集合相等可得元素完全相等，得到{:;二;或又由元素的互異性即可求得結(jié)果.

【解答過程】由題意4=8可知，兩集合元素全部相等，得到{：：：；或

又根據(jù)集合互異性，可知ao1,解得a=1舍去，

所以解得{.蠢^，所以。2025+房。24=(_1)2025+()2024=_L

故選：A.

33.(24-25高一上?廣東湛江期中)已知集合4={x|0<%<a},F={x|0<x<2},若則實(shí)數(shù)a

的取值范圍為.

【答案】[2,+8)

【解題思路】根據(jù)集合的包含關(guān)系，利用數(shù)軸分析，即可求得結(jié)果.

【解答過程】因?yàn)锽G4A={x\0<x<a],B={x\0<x<2],所以利用數(shù)軸分析法，可知口N2.

B~~[A

bbA

02aX

故答案為：[2,+8).

34.(24-25高一上?上海?期中)已知全集

U=R,/I=(-co,-1]u[8,+co),B={x\-2-2m<x<-14-m},且BcA,求〃?的取值范圍.

【答案】m<0

【解題思路】分8=0和BW0兩種情況，得到不等式，求出答案.

(解答過程】8={xl-2-2m<x<-1+m},BQA,/I=(-oo,-1]u[8,+oo),

①8=0時(shí)，—2m—-解得mV—g,

②8H0時(shí)，—2m—2<m—1<-1或8<—2m—2<m—1,

解得：—；WmW0

J

綜上，mV-:或一gWmW0.

所以機(jī)的取值范圍是mW0.

35.(24-25高一上?四川瀘州?期中)已知集合力={%,+：=5},B={x|(a—l)x24-ax4-a-l=0).

(1)若8中恰有一個(gè)元素，用列舉法表示a的值構(gòu)成的集合；

(2)若8G4求a的取值范圍.

16/36

【答案】⑴{1,2,|}

(2)(-8,才U(2,+8)

【解題思路】(1)分。-1=0與Q-lH0兩種情況討論，當(dāng)Q-1H0時(shí)△=(),即可求出參數(shù)的值：

(2)首先解方程求出集合4再分8=0、1€8、4E8三種情況討論，分別求出參數(shù)Q的范圍(值)，即可

得解.

【解答過程】(1)若Q—1=O,即Q=l,則8={0},符合題意.

若a-lHO,即QH1,則由B中恰有一個(gè)元素，得A=a?一4(Q-1)2=o,

解得Q=2或Q=

綜二所述，。的值構(gòu)成的集合為{12身.

(2)由％+：=5,解得％=1或工=4,則4={1,4}.

若6=0,符合8cA,則[21，八解得Q<:或Q>2.

若1￡B,則3a-2=0,解得Q=g則8={1},符合8GA.

若4CB則21a-17=0,解得a=吳則8={吟},不符合B5.

綜上所述，a的取值范圍為(一u(2,+8).

題型8>空集的性質(zhì)及應(yīng)用P]

36.(24-25高一上?重慶?期中)下列關(guān)于0與。說法不正確的是()

A.0e0B.0e{0}

C.{0}=0D.{0}30

【答案】c

【解題思路】根據(jù)。的定義與性質(zhì)結(jié)合元素與集合的關(guān)系逐項(xiàng)分析判斷.

【解答過程】因?yàn)椤Ｊ遣缓魏卧氐募?，故A正確，C不正確：

對(duì)于選項(xiàng)B：0G{0},故B正確：

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?是任何集合的子集，所以{0}二0,故D正確；

故選：C.

37.(24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè))下列四個(gè)集合中是空集的是()

A.(0)B.(xC〃氏2|1=0)

17/36

C.{x|x<4,或x>8}D.{x\x2+2x+1=0}

【答案】B

【解題思路】根據(jù)空集的定義進(jìn)行判斷可得答案.

【解答過程】對(duì)于A,{0}不是空集，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,d+i=o無解，所以集合{%6卬X2+1=0}是空集，故B正確；

對(duì)于C,集合或8}不是空集，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,集合{%|%2+2%+1=0}={-1}不是空集，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

38.(24-25高?上?上海浦東新?期中)關(guān)于x的不等式zn(x+3)V%+7九解集為空集，則實(shí)數(shù)用的值

為.

【答案】1

【解題思路】不等式化為(m-lA<-27n,然后對(duì)系數(shù)進(jìn)行分類討論可得.

【解答過程】m(x+3)Vx+m可化為(m-l)x<-2m,

若m=1,不等式為0<-2,不成立，不等式解集為空集，

若仇>1,不等式的解為XV—當(dāng)，

nt-l

若執(zhí)<1,不等式的解為:

m—1

綜上，m=1,

故答案為：1.

39.(24-25高一上?全國(guó)?課后作業(yè))已知集合A=[x\a-l<x<2a+l},B={x|0<%<1],若4為空

集，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】Q2；

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用空集的意義列式作答；

【解答過程】因人=(x\a-1.<x<2a+1}是空集，則2Q+1&a-1,解得aS-2,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<-2.

40.(24-25高一上?上海?階段練習(xí))已知：集合A={MX2-2x-a=0,%WR},B=[x\x2-4x+a+6=

0,xeR}.

(1)若/=8=0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若力和8有且只有一個(gè)是0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

18/36

【答案】（1）—2<a<—1：

（2）a<-2或a>-1.

【解題思路】（1）（2）根據(jù)給定條件，利用空集的意義，結(jié)合一元二次方程判別式列出不等式組并求解即

得.

【解答過程】（1）由4=8=0,得。解得一2<。<一1,

（八2—1O—"Q十。）<U

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是一2<Q1.

（2）由力和8有且只有一個(gè)是0,得A=。且3*?；蛄。且B=0,

則有1A1A1A解得。三一2或。之一1,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a<-2或a>-1.

題型9、交集：并集：補(bǔ)集運(yùn)算

41.（24-25高?上?福建三明期中）已知集合4一{x|-2<%<1},S—{刃-1Wx<2},則4CE-（）

A.{x\-2<x<2}B.{x\-l<X<1}

C.W-l<x<1}D.{x\-l<x<2}

【答案】B

【解答過程】根據(jù)條件，利用集合的運(yùn)算，即可求解.

【解題思路】因?yàn)槿?[x\-2<x<1],B={x|-l<x<2},

所以4n5={x|-1<x<1},

故選：B.

42.（24-25高一上?吉林?期中）己知全集〃={0,1,234,5）,4二{2,4},則=（）

A.{1,3,5}B.{0,135}C.{2,4}D.{0,2,4}

【答案】B

【解題思路】根據(jù)條件，利用集合的運(yùn)算，即可求解.

【解答過程】因?yàn)槿?{0,123,4,5},集合4={2,4},

所以QM={0,135）,

故選：B.

43.（24-25高一上?天津津南?期中）已知集合4={1,2。},B={a,b},若/n8={|j,則/UB=.

【答案】[1，5，-3}

19/36

【解題思路】根據(jù)交集的定義求得應(yīng)匕，然后利用并集的定義求出答案.

【解答過程】集合4={1,2。},B={a.b),

若=則2a=5，解得Q=-3,所以b=

<07OO

,,"U8=[1,^-3).

故答案為：{13,—3).

44.(24-25高一上?天津?期中)已知集合力={x|2-a工工工2+Q},5={x|xW1或％:>6}.

(1)當(dāng)a=4時(shí)，求AnB和CR8；

(2)若AnCRB=4求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)4CB={M-2WXW1},CR^={X|1<X<6}；

(2)a<l.

【解題思路】(1)應(yīng)用集合的交補(bǔ)運(yùn)算求集合；

(2)根據(jù)題設(shè)有4GCR8,討論4=0、4。。列不等式求參數(shù)范圍.

【解答過程】(1)由題設(shè)力={%|-2工x46},8={x|x41或x>6},

則4n8={R-2工x工1},CR8={x|l<x<6}：

(2)由CR8={X|1VXW6},且AnCRB=4貝必￡CRB,

當(dāng)力=0時(shí)，2-a>2+a,即a<0：

2—a<2+a

當(dāng)力工。時(shí)，2-Q>1，即0Wa<l；

2+a<6

所以a<1.

45.(24-25高一上?浙江杭州?期中)已知集合U=[0,+8),4={x|-2<x<3},B=(x\a-1<x<2a}.

(I)若a=3,求AUB,C〃B：

(2)若8GA,求a的取值范圍.

【答案】(1)AU3={川一2VXV6},CyB={x\0<x<2或xN6}

3

(2)。<-

【解題思路】(1)根據(jù)集合并集以及補(bǔ)集的定義求解即可：

(2)分B=0和B*。求解即可.

20/36

【解答過程】(1)若Q=3,則8={%|2V%V6},

所以AU8={x|-2<x<6},G/B={x|0<x<2或%>6］；

(2)若8￡4①當(dāng)8=0時(shí)，a-l>2a,解得。工一1；

a—1<2a

②當(dāng)BH。時(shí)，Q—1*2,解得一1<a<1,

2a<3

綜上，a

所以Q的取值范圍為aW|.

題型10交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算

46.(24-25高一上?山東濟(jì)寧?期中)已知集合4={%忱V1},B={-2,-1,0,1,2,3},則(CR4)CB=()

A.{-2,—1,0,1,2}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3}D.{2,3}

【答案】C

【解題思路】利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合(C/)nB.

【解答過程】因?yàn)榧?={川無<1},B={-2,-1,0,1,2,3},WiJC/e/1={x\x>1),

因此，(CM)CB={1,2,3}.

故選：C.

47.(24?25高一上?貴州遵義期中)若全集U={123,4,5},設(shè)集合力={1,3},4={2,3,4}.則An(Q8)=

()

A.{1}B.{3}C.{1,3}D.{1,3,5}

【答案】A

【解題思路】根據(jù)補(bǔ)集和交集的定義可求得集合力n(QB).

【解答過程】因?yàn)槿?{1,2,3,4,5},4={1,3},8={2,3,4},

則SB={1,5},故4n(Q8)={l}.

故選：A.

48.(24-25高一上?上海?期中)設(shè)全集U={0,1,2,3,4},集合(=[1,2},B={1,3},則AUCyB=,

【答案】{0,124}

【解題思路】利用集合的運(yùn)算法則求解即可.

【解答過程】由題可知,Q8={0,2,4},所以AUQB={0,1,2,4},

故答案為:{0,1,2,4}.

21/36

49.(24-25高一上?湖南懷化?期中)設(shè)全集U=R,集合A={x[x3或%>5},B={x\-2<x<10}.

(1)求力口8和力08.

⑵求(QA)rBCR(4CB)和CR(4UB).

【答案】(l)4n8={x|5〈無V10},AUB=(x\x<-3或x2}.

⑵(CM)nB={x\-2<x<5},CRG4AS)={x\xW5或xN10},CR(/Ik)B)={x\-3<x<-2]

【解題思路】(1)利用集合的交并集運(yùn)算即可得解；

(2)利用集合的混合運(yùn)算即可得解.

【解答過程】(1)因?yàn)榱?[x\x<-3或%>5},B={x|-2<A<10},

所以An8={x|5<x<10},A\JB=[x\x<-3或不>-2}.

(2)因?yàn)閁=R,4={x\x<-3或x>5},

所以={x|-3<x<5),又B=[x\-2<x<10},

所以(QA)nZ?=(x\-2<x<5},

由(1)知An8={x\5<x<10),4UB={x\x<-3或x>-2},

所以CR(AQB)=(x\x45或％N10},CRG4U5)={x|-3<x<-2}.

50.(24-25高一上?天津?期中)已知全集〃=R,集合4={汨-1K%W4},8={x|x<1或%>5}.

(1)求4UB；

⑵求(GM)U8；

(3)求(GM)n(Q8).

【答案】(1){0％W4或%>5}：

(2){x\xV1或%>4)；

(3){x|4<x<5).

【解題思路】(1)根據(jù)并集的概念求解；

(2)先利用補(bǔ)集的概念求出Q4再利用并集的概念求解；

(3)先利用補(bǔ)集的概念求出QAQ從再利用交集的概念求解.

【解答過程】(1)?.?集合4={用-14%44},