專題2.2函數(shù)的表示法

教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點

c函數(shù)的二種表小方法

一函數(shù)的圖象

知識清單

j幾類常見函數(shù)（拓展）

J函數(shù)圖象的變換（拓展）

利用表格表示函數(shù)

實際問題中的圖象題

函數(shù)圖象的識別

畫出具體函數(shù)的圖象

由函數(shù)圖象確定解析式

函數(shù)的表示法-分段函數(shù)求值問題

________________________________________________Z

分段函數(shù)值域或最值問題

題型精講

解分段不等式

雙絕對值函數(shù)的圖象及應(yīng)用（拓展）

待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式

換元法求函數(shù)的解析式

配湊法求函數(shù)的解析式

方程組法求函數(shù)的解析式

賦值法求函數(shù)的解析式

「練基礎(chǔ)

強化訓(xùn)練一練提升

V---：------

-練創(chuàng)新

「教學(xué)目標(biāo)、救學(xué)重難點］

1.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示

教學(xué)目標(biāo)函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用.

2,通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.

1.重點

(1)掌握各種求函數(shù)解析式的方法；

(2)分段函數(shù)的實際應(yīng)用.

教學(xué)重難點

難點：

(1)求函數(shù)的解析式：

(2)分段函數(shù)的圖象及實際應(yīng)用.

知識清單

知識點01函數(shù)的三種表示方法(重難)

1.函數(shù)的三種表示方法

表示法含義定義域值域示例

用含自變量的使解析式有意義因變量y的取y=2025

解析式表示兩的自變量x取值值范圍定義域：

解析法個變量之間函的集合

[2025,同，

數(shù)關(guān)系的方法

值域：[0,+8)

列出表格來表表格中自變量上表格中相應(yīng)y

Xi2

示兩個變量之取值的集合取值的集合

V510

列表法間函數(shù)關(guān)系的

定義域：{1,2},

方法

值域:{5,10}

用圖象表示兩圖象在工軸上的圖象在y軸上

個變量之間函投影對應(yīng)的X取的投影對應(yīng)的

數(shù)關(guān)系的方法值的集合)’取值的集合

圖象法0|12X

定義域：{1,2}

值域：{5,1C)}

2.三種表示法的優(yōu)缺點

表示法優(yōu)點缺點

解析法(1)對應(yīng)關(guān)系簡明、全面；不夠直觀，而且并不是所有的函數(shù)

(2)可以通過解析式求出任意一個自變量都能用解析式來表示

的值所對應(yīng)的函數(shù)值

不需要計算就可以看出與自變量的值相對只能衣示出自變量取較少的有限

列表法

應(yīng)的函數(shù)值值時的對應(yīng)關(guān)系

(1)能直觀表示隨著自變量的變化相應(yīng)函只能近似地求出自變量所對應(yīng)的

圖象法數(shù)值的變化趨勢；函數(shù)值，有時誤差較大

(2)便于研究函數(shù)的某些性質(zhì)

【即學(xué)即練】

1.124-25湖南長沙雅禮中學(xué)高一上周測)寫出下列函數(shù)的定義域、值域:

(l)f(x)=3x+5；

(2)/(x)的圖象如圖；

⑶八”與x的對應(yīng)關(guān)系如下表:

X12345678

小)182764125316343512

【分析】(1)由一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得至答案；

(2)由函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，即可求解；

(3)根據(jù)表格中函數(shù)的表示方法，即可求解.

【解析】(1)由一次函數(shù)/(x)=3x+5的性質(zhì)，可得函數(shù)/")的定義域為R,值域為R.

(2)由函數(shù)/(力圖象，可得函數(shù)/(*)的定義域為值域為也也］.

(3)根據(jù)函數(shù)/(x)對應(yīng)的表格中的數(shù)據(jù),可得/(x)的定義域為{123,4,5,6,7,8},值域為

{1,8,27,64,125,316,,343,512).

知識點02函數(shù)的圖象［重點)

一般地，將函數(shù)y=/(幻,X￡A中的自變最X和對應(yīng)的函數(shù)值y分別看成平面直角坐標(biāo)系中點的橫坐

標(biāo)與縱坐標(biāo)，則滿足條件的點(x,y)組成的集合F稱為函數(shù)的圖象，即F—{(乂y=.這就是

說，如果尸是函數(shù)y=/(x)的圖象則圖象上任意一點的坐標(biāo)(占)，)都滿足函數(shù)關(guān)系y=/(x)；反之,滿足函

數(shù)關(guān)系y=fM的點），）都在函數(shù)圖象尸上.

【方法探究】

如何判斷一個圖形是不是一個函數(shù)的圖象？

根據(jù)函數(shù)的概念，在定義域內(nèi)，對任意一個x的值，都有唯一的y值與之對應(yīng)，因此，如果圖形與任一條垂直

于工軸的直線至多有?個交點，則此圖形是?個函數(shù)的圖象;如昊圖形與某條垂直于x軸的直線有兩個或兩

個以上的交點，則此圖形不是函數(shù)的圖象:如圖（1）是函數(shù)的圖象，圖（2）不是函數(shù)的圖象.

2.利用描點法作函數(shù)的圖象

描點法作函數(shù)圖象的三個步驟（注意函數(shù)的定義域）

【即學(xué)即練】

1.（多選）（24-25高一上?廣西柳州?期末）對某智能手機進(jìn)行游戲續(xù)航能力測試（測試6小時結(jié)束），得到

了剩余電量）'（單位：百分比）與測試時間/（單位：h）的函數(shù)圖象如圖所示，則下列判斷中正確的有（）

A.測試結(jié)束時，該手機剩余電量為85%

B.該手機在5h時電量為0

C.該手機在Oh?3h內(nèi)電量下絳的速度比3h~5h內(nèi)下降的速度更快

D.該手機在5h~6h進(jìn)行了充電操作

【答案】ACD

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的意義逐一分析每個選項即可.

【解析】A選項，充電結(jié)束時，由圖象可知，電量是85%,A選項正確;

B選項，由圖象，5h時刻，電量剩余為30%,B選項錯誤;

C選項，由圖象，Oh~3h內(nèi)電量下降的速度平均為100%；50%=16.7%/h,

50%—30%

3h~5h內(nèi)下降的速度平均為二y—?10%/h,前者更快，C選項正確;

D選項，由于5h~6h期間電量上漲，可知進(jìn)行了充電操作，D選項正確.

故選：ACD

2.（24-25高一_L?全國?課前預(yù)習(xí)）作出下列函數(shù)的圖象:

（l）y=1-%（xeZ）；

（2）y=x*2-4%+3,x6[1,3].

【分析】（1）（2）利用給定條件描點作圖即可.

【解析】（1）

?恩

1

~O\x

因為x€Z,所以圖象為直線y=1-工上的孤立點，其圖象如圖所示.

（2）

當(dāng)x=1或工=3時，y=0；

當(dāng)x=2時，y=-1,其圖象如圖所示.

知識點（）3幾類常見函數(shù)（拓展）

1.分段函數(shù)

⑴定義:如果一個函數(shù)在其定義域內(nèi)對于自變量的不同取值范圍，有不同的對段逸，則稱其為分段函數(shù).

[4x,x>0,

如/⑴=3一…x<0便是分段函數(shù)

（2）定義域、值域:分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的正集;分段函數(shù)的值域是各段函數(shù)值域的姬

（3）圖象:分段函數(shù)有幾段，它的圖象就由幾部分組成.在同一直角坐標(biāo)系中，根據(jù)每段的定義范圍和表達(dá)式

依次畫出圖象（要注意每段圖象的端點是空心還是實心）,組合到一起就得到了整個分段函數(shù)的圖象.例如

2x,x>0,

的圖象,如圖所示:

x-1,-1<x<0

3.取整函數(shù)

⑴定義:取整函數(shù)為y=［x］，其中［x］表示不超過x的最大整數(shù).又稱高斯取整函數(shù)或高斯函數(shù)

⑵定義域、值域:定義域為R,值域為Z.

⑶圖象:取整函數(shù)是一個分段函數(shù)，解析式為

4.雙絕對值函數(shù)

U）定義:若函數(shù)/（X）的解析式中有兩個關(guān)于自變量x的絕對值式子，則稱這類函數(shù)為雙絕對值函數(shù)。

12）圖象:雙絕對值函數(shù)?般先去絕對值，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再研究其圖象，其圖象?般為若干條線段、

射線或曲線所圍成的圖形.

【即學(xué)即練】

1.（24-25高一上?北京?期中）函數(shù)=的圖象不可能是（）

【答案】A

【分析】對?。進(jìn)行分類討論，由此確定正確答案.

【解析】當(dāng)。=0時，=；對應(yīng)圖象是B選項.

當(dāng)時，對應(yīng)圖象是D選項.

當(dāng)”0時,/（X）在（-O0⑼，（0,技）上單調(diào)遞減,

對應(yīng)圖象是C選項.

所以不可能的是A選項.故選：A

2.（2025高三?全國?專題練習(xí)）設(shè)xeR,用國表示不超過x的最大整數(shù)，例如[-3.5]=-4,[2J=2.函

數(shù)產(chǎn)區(qū)被稱為“取整函數(shù)”，也被稱為“高斯函數(shù)”.已知函數(shù)/（力=大-3，則/（x）的值域為

【答案】[0,1)

【分析】解法一：可結(jié)合新定義分工是整數(shù)和X不是整數(shù)兩種情況進(jìn)行討論即可得答案；

解答二:由新定義可知區(qū)《4〈岡+1,則函數(shù)/(x)=x-[W的值域可直接求得.

【解析】解法一：當(dāng)X是整數(shù)時,f(x)=x-[x]=0,當(dāng)X不是整數(shù)時，/(X)=X-[X]G(0,1),所以/])

的值域為[0,1).

解法二:因為國<x<[x]+l,所以0<x—[同<1,所以函數(shù)/(力=工一㈤的值域是[0,1).

3.(2024?四川成都聯(lián)考)已知函數(shù)/(x)=|x+l|+2|x-2|.

(1)畫出y=f(x)的圖象;

⑵求不等式的解集.

【分析】(1)對工分類討論，去掉絕對值號即可求解；

(2)由函數(shù)的圖象向左平移2個單位長度后得到函數(shù)y=/Cr+2)的圖象，從圖象即可得出不等

式fa+2)>”r)的解集.

-3%+3,x$-1

【解析】(1)由題得，/(A)=|X+1|+2|X-2|=--A-+5,-1<X<2.

3x-3,x>2

函數(shù)y=/("的圖象為:

(2)函數(shù)y=fW的圖象向左平移2個單位長度后得到函數(shù)y=/3+2)的圖象，)，=/(x)的圖象與

)，=/(x+2)的圖象如圖所示.

當(dāng)1e(0,2)時，由/*+2)=/(x)解得，A-=l.由圖象可知不等式〃x+2)>/(x)的解集為(g,+x)).

知識點04函數(shù)圖象的變換(拓展)

1.函數(shù)圖象的平移變換

①y=/(x)向右平移。個單位y=f(x-a)

@y=/(x)二左了立出位一>y=/(x+Q)

③)，=向—1)個核>y=f(x)+k

④y=/(x)向下平移MQ0)個單位y=f(x)-k

【規(guī)律總結(jié)】

(1)上述規(guī)律可簡記為：左加右減，上加下減.

(2)左右平移只能單獨一個X加或者減，注意當(dāng)X前系數(shù)不為1,需將系數(shù)提取到外面.

2.函數(shù)圖象的對稱變換

(1)y=/(x)的圖象關(guān);工軸對稱>),=-/(%)的圖象：

⑵)，=f(x)的圖象關(guān)于、細(xì)對.稱*y=/(-X)的圖象；

(3)y=/(x)的圖象關(guān)廣原,點對稱>y=-/(-X)的圖象;

3.函數(shù)圖象的翻折變換(絕對值變換)

(i)y=/(x)的圖象一旦上~~>y=lf*)l的圖象；

下翻上

(口訣；以X軸為界，保留X軸上方的圖象；將X軸下方的圖象翻折到X軸上方)

⑵y=/(x)的圖象——楚—>y=/(UI)的圖象.

右翻左

(口訣；以y軸為界，去掉y軸左側(cè)的圖象，保留)'軸右側(cè)的圖象：將，'軸右側(cè)圖象翻折到y(tǒng)軸左側(cè)；

本質(zhì)是個偶函數(shù))

【規(guī)律總結(jié)】

上述規(guī)律可簡記為：自變量加絕對值，右往左翻；函數(shù)值加絕對值，下往上翻.

【即學(xué)即用】

I.求作)，="+3犬一4|的圖象.

【解析】作出二次函數(shù)y=x2+3x-4的圖象如圖(1),將X軸下方的部分翻折到x軸上方即得所求函數(shù)圖

象如圖(2).

2.[24-25高一上?四川成都?開學(xué)考試)已知/(幻=3/-4%,請作出/(|幻),|/(x)|,/(x-1)的圖象，并

說說你是怎么作出的.

【分析】利用函數(shù)八刈利用變換法作出圖象，并敘述作圖過程.

【解析】當(dāng)xNO時,/(|X|)=/(J),此時八次|)的圖象為函數(shù)〃幻圖象在y軸及右側(cè)圖象，

當(dāng)H<0時，f(\x\)=f(-x),此時f(I劃)的圖象為函數(shù)/(A)在y軸右側(cè)圖象關(guān)于y軸對稱而得，

函數(shù)/(IM)的圖象，如圖，

當(dāng)f(x)20時，|/(r)|=/(r)，此時|/(.r)I的圖象為函數(shù)/(x)圖象在x軸及上方圖象，

當(dāng)f(x)<0時，|/(x)|=-/W，此時IfMI的圖象為函數(shù)/0)在“軸下方圖象關(guān)于x對稱而得,

函數(shù)1/3)1的圖象，如圖：

函數(shù)/(X-1)的圖象是將函數(shù)八幻圖象向右平移1個單位而得，如圖.

題型精講

題型01利用表格表示函數(shù)

【典例】(24-25高三上?湖南長沙?階段練習(xí))對于函數(shù)y=/(x),部分工與y的對應(yīng)關(guān)系如卜.表:

X1234567

y7458134

則值為()

A.1B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)表格先求/(I),再求/(/(I))的值.

【解析】由表格可得，/'。)=7,

所以“—(1))=/(7)=4.

故選:C.

方法技巧

利用表格表示函數(shù)

(1)表格型求函數(shù)值，可利用表格直接求出函數(shù)值；

(2)利用表格數(shù)據(jù)確定函數(shù)解析式時，可先用待定系數(shù)法設(shè)出函數(shù)，再將表格中的數(shù)據(jù)代入確定待定系

數(shù).

【變式1-1](24-25高一上?湖南長沙?期末)已知函數(shù)1x),g(x)分別由下表給出:則f[g(2)]的值是()

X123

./(V)131

g(x)321

A.IB.2C.3D.I和2

【答案】C

【分析】根據(jù)表中自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，先求得g(2)=2,再求。g(2)]即得.

【解析】由表可知：g⑵=2,則f[g(2)]=f(2)=3.

故選：C.

【變式1-2](24-25高一上?廣東佛山?期中)已知函數(shù)/(刈、履工)列表法表示如下，則下列說法正確的是

()

X1234

“力2341

X1234

g(x)2413

A./(/(1))=4B.g(g⑴)=1

C./(g⑴)=3D.8(/。))=2

【答案】C

【分析】結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)，代人即可得到正確答案.

【解析】由表格得"1)=2,/(2)=3,g(\)=2,g(2)=4,

則f(/⑴)=/(2)=3,g(/⑴)=g(2)=4,

/(g(l))=/(2)=3,g(g(l))=晨2)=4,

因此，只有C選項正確.

故選：C.

【變式1-3］根據(jù)列表中的數(shù)據(jù)選擇合適的模型，則函數(shù)/(工)=

X1246

/(X)631.51

【答案】-

x

【分析】根據(jù)定義域和值域直接構(gòu)造函數(shù)即可.

【解析】???/(X)的定義域包含數(shù)集",2,4,6},值域包含數(shù)集{6,3,1.5,1},

對于每一組數(shù)據(jù)，都有4(力=6,

???可令〃切=2,代入均滿足題意.

X

題型02實際問題中的圖象題

【典例】水以恒速注入下圖所示容器中，則水的高度/?與時間，滿足的函數(shù)圖象是()

【分析】根據(jù)容器的特征，結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)和題意知，容器的底面積越大水的高度變化慢、反之變化得

快，再由圖象越平緩就是變化越慢、圖象陡就是變化快來判斷.結(jié)合函數(shù)圖象分析判別可得結(jié)論.

【解析】此容器從卜.往上口徑先由大變小，再由小變大，故等速注入液體其高度增加變化率先由慢變快，

再由快變慢，

A、B、C選項中：函數(shù)圖象中高度變化率分別是先快后慢、先慢后快、勻速的增加，與題干不符，故排

D選項：當(dāng)注水開始時，函數(shù)圖象中高度變化率是先由慢變快，再由快變慢，符合題意;

故選：D.

方法技巧

實際問題中的圖象題求解策略

（1）解答這類問題，要先明確考點，再聚焦圖象，關(guān)注標(biāo)題、坐標(biāo)軸、圖例等關(guān)鍵信息，定位與選項相關(guān)

的圖象細(xì)節(jié).

（2）對比選項與圖象信息，排除明顯矛盾項.結(jié)合所學(xué)知識分析圖象所反映的規(guī)律或關(guān)系，驗證剩余選項

是否符合.

（3）要注意數(shù)據(jù)單位、趨勢變化等細(xì)節(jié)，避免因誤讀圖象細(xì)節(jié)常錯，最終鎖定符合圖象邏輯的選項.

【變式2-1】一列快車從甲地駛往乙地，一列特快車從乙地駛往甲地，快車的速度為100千米/小時，特快車

的速度為150千米/小時，甲乙兩地之間的距離為1000千米，兩車同時出發(fā)，則圖中折線大致表示兩車之間

的距離），（千米）與快車行駛時間/（小時）之間的函數(shù)圖象是（）

D.

【脩析】當(dāng)兩車同時相向出發(fā)時，相遇時間”1000+（100+150）=4小時,

此時兩車距離為0,快車行駛時間為4小時，故排除B選項;

相遇時，快車已經(jīng)行駛的路程為100x4=400千米，

還需要行駛（1000-400）+100=6小時才能到達(dá)乙地，故排除A選項;

特快車相遇時己經(jīng)行駛的路程為150x4=600千米，

只需要再行駛（1000-600）+150=?小時才能到達(dá)甲地，

所以當(dāng)特快車停止行駛時，快車式在行駛，此時直線的傾斜程度要變小一些，故排除D選項.

故選：C.

【變式2-2］（多選）（24-25高一上?廣西柳州?期末）對某智能手機進(jìn)行游戲續(xù)航能力測試（測試6小時

結(jié)束），得到了剩余電量（單位：百分比）與測試時間，（單位：h）的函數(shù)圖象如圖所示，則下列判斷

中正確的有（）

A.測試結(jié)束時，該手機剩余電量為85%

B.該手機在5h時電量為0

C.該手機在Oh?3h內(nèi)電量下絳的速度比3h~5h內(nèi)下降的速度更快

D.該手機在5h?6h進(jìn)行了充電操作

【答案】ACD

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的意義逐一分析每個選項即可.

【解析】A選項，充電結(jié)束時，由圖象可知，電量是85%，A選項正確;

B選項，由圖象，5h時刻，電量剩余為30%,B選項錯誤;

C選項，由圖象，Oh~3h內(nèi)電量下降的速度平均為100%；50%「16.7%/h,

3h~5h內(nèi)下降的速度平均為空善印。％人前者更快，C選項正確,

D選項，由于5h~6h期間電量上漲，可知進(jìn)行了充電操作，D選項正確.

故選：ACD

題型03函數(shù)圖象的識別

)

【知識點】函數(shù)圖象的識別、函數(shù)圖象的應(yīng)用

【分析】根據(jù)困數(shù)解析式應(yīng)用定義域排除C,應(yīng)用零點排除D,根據(jù)困數(shù)值為非負(fù)排除A.

【解析】由于工-3/0,得.3,所以g(x)的定義域是{小工3},由此排除C選項：

)，=g(x)與大軸交點為卜|,0),排除D選項：

g(*)=|三3|函數(shù)值為非負(fù)數(shù)，所以排除A；所以正確的選項為氏

故選：B.

【典例2](23-24高一上.貴州遵義.階段練習(xí))函數(shù)■目的大致圖象是()

A

【知識點】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、函數(shù)圖象的識別

【分析】將函數(shù)/(1)=戈+且轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再選擇圖象即可.

【解析】/(x)=x+?=[]；*＞：，結(jié)合圖形可知C適合題意.

故選：C.

方法技巧

辨識函數(shù)圖象的五種策略

從函數(shù)的特征點，排除不符合要求的困象

【變式3?1］（23-24高一上?遼寧遼陽?期中）函數(shù)/（司=卜-1|+1的部分圖象大致是（）

【知識點】函數(shù)圖象的識別、圖象法表示函數(shù)

【分析】將函數(shù)寫成分段函數(shù)，再根據(jù)特殊值判斷即可.

vr>］

【解析】因為/（x）=|x—1|+1=；■月./⑴=”+

2—X,X<1

/（0）=|0-1|+1=2,故符合題意的只有A.

故選：A

【變式3-2］（24-25高一上.河南省直轄縣級單位.開學(xué)考試）已知函數(shù)）和）'=-：（&/（））,它們

在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是（）

【答案】B

【分析】首先根據(jù)直線過定點排除選項，再根據(jù)直線斜率確定人的范圍，進(jìn)而判斷選項即可.

【解析】由于廣攵(1-1)恒過點(1,0),故排除A、D選項；

又觀察B,C選項中的y隨x的增大而增大，即%>0,

所以),=一人代工0)經(jīng)過二、四象限，故C不符合要求，B選項符合要求.

故選:B.

題型04畫出具體函數(shù)的圖象

【典例1】給定函數(shù)/(X)=X+1,g(x)=(x+l)2,R.

(1)在同一坐標(biāo)系中畫出/CD,g(x)的圖象；

(2)VXGR,用M(x)表示f(x),g(x)中的最大者,記為M(x)=max{/(x),g(x)}.例如,當(dāng)x=2時,

M(2)=max{/(2),g(2)}=max{3,9}=9,請分別用圖象法和解析法表示函數(shù)M(x).

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)f(x),g(x)的解析式即可作出圖象.

(2)由(1)中圖象，結(jié)合M*)的定義作出圖象并求出函數(shù)解析式.

【解析】⑴畫出函數(shù)f(")=x+l,g(?=1+1)2的圖象,如圖:

(2)結(jié)合(1)中圖象及M(x)的定義，用圖象法表示M"),如圖:

由（X+1）2=X+1,得x=-l或x=0,

當(dāng)HW-1或x>0時、（x+1）2>x+l,當(dāng)一IvxWO時，（X+1）2<JT+1,

(X+1)2,X4-1

所以函數(shù)M(x)的解析式為M(x)=r+l,T<xKO.

(X+1)2,X>O

【典例2](23-24面一上?廣東中山?階段練習(xí))已知/(x)=f—2|x|+2.

⑴畫出，(x)的圖象;

(2)根據(jù)圖象寫出的值域.

【分析】(I)分類討論去絕對值可得/(?=]；二產(chǎn)丫”：。，根據(jù)分段函數(shù)結(jié)合二次函數(shù)作11；圖象;

X2+2X+2^<0

(2)利用配方法結(jié)合圖象運算求解.

-)

【解析】(1)???/。)=/一2田+2=「―則/U)的圖象如圖所示：

JT+2X+2KVO

\一“，尸/

\：：AxE。*.

\：25/

\：Aj/

Z\：Zl\\/

(2)/(X)=X2-2|X|+2=(|X|-1)2+1>1,當(dāng)且僅當(dāng)|X|=1,即工=±1時等號成立

結(jié)合圖象可得/&)的值域為口,田)

方法技巧

作函數(shù)圖象的三種常用方法

當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)

直接王一是熟悉的基本初等函數(shù)時，就可根據(jù)

I|這些函數(shù)的特征直接作出___________

——J含有絕對值符號的函數(shù)，可脫掉絕對

轉(zhuǎn)化法口值符號，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來函圖象

r—J——|若函數(shù)圖象可由某個基本初等函數(shù)的

圖象變一圖象經(jīng)過平移、物折、對稱得到，可利

換法|用圖象變換作出，但要注意變換順序

【變式4工】(24-25高一上?上海,隨堂練習(xí))畫出函數(shù)y=f-2區(qū)的大致圖象.

【分析】根據(jù)絕對值性質(zhì)去絕對值，再根據(jù)二次函數(shù)圖象畫出圖象即可.

X2-2X(X>0)

【解析】由題意知

x2+2.r(x<0)

結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)圖象如下:

【變式4?2](24-25高一上?山東濟(jì)南?階段練習(xí))已知函數(shù)/'(幻=[一?：『':

A-ZA,A21

⑴求/(/(一3))；

(2)畫出函數(shù)的圖象;

⑶若/")=3,求x的值.

【分析】(I)代入求解，先求出/(-3)=7,從而得到/[/(-3)]=/⑺=35：

(2)描點，連線，畫出函數(shù)圖象；

(3)分8,1)和“?1,+8)兩種情況，得到方程，求出答案.

【解析】(I).-./(-3)=-2x(-3)+l=7.

又..7>1,/[/(-3)]=/(7)=7--2x7=35,

(2)當(dāng)x<l時，函數(shù)圖象為射線，其中/(O)=1J⑴=7,

當(dāng)工之1時，/(A)=X2-2X,圖象為拋物線的一部分，其中"2)=0.

圖象如圖所示：

（3）當(dāng)時，W/（A-）=-2A-+1=3,解得％=一1,符合;

當(dāng)xe[l,+8）時，有/（x）=d_2x=3,解得x=3或x=-l,

但H=-1史[1,+8）,故舍去，所以/的值為3,

綜卜所述：%的值為-1或3.

題型05由函數(shù)圖象確定解析式

【典例】（23-24高一上?福建廈門?期中）如圖所示，其對應(yīng)的函數(shù)解析式可能是（）.

B-/Cv)=uh

C./（x）=~rD./(?=」

I-X*

【答案】B

【知識點】根據(jù)函數(shù)圖象選擇解析式、具體函數(shù)的定義域、函數(shù)圖象的識別

【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，由函數(shù)定義域及函數(shù)值的情況判斷作答.

【解析】由圖象知，函數(shù)定義域為{xeRIx工±1},而函數(shù)/（幻=定義域為“WR|XH1},A不是;

U-1I

函數(shù)/⑺二三的定義域為R'D不是;

八用=占<0,?。?舟

由圖象知，在4>1的鄰近區(qū)域內(nèi)，函數(shù)值為正，而當(dāng)x>l時,>0,C不

是，B可能是.

故選:B

方法技巧

由函數(shù)圖象確定解析式的策略

⑴確定函數(shù)類型（如一次、二次、反比例函數(shù)等等）；

（2）戊出圖象上關(guān)鍵點（頂點、交點、特殊點）；

（3）設(shè)解析式通式，代入點坐標(biāo)列方程（組）；

（4）求解方程得系數(shù)，確定解析式.

【變式5-1]（24-25高一上?江西擾州?階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的

性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征.我們從這個商標(biāo)人中抽象出一個圖象如圖，其

B-f(x)=m

D?小)F

【答案】B

【分析】由圖象如函數(shù)的定義域排除選項A、D,再根據(jù)/（O）=1不成立排除選項C,即可得正確選項.

【解析】因為函數(shù)〃X）二圖的定義域為"以01},

函數(shù)/（"=*的定義域為R，

函數(shù)〃"二高|與/（x）="的定義域均為{工次工±1},

由圖知/（工）的定義域為{x|x#±l}.排除選項A、D.

對于=1T，當(dāng)x=。時，f（O）=T，不符合圖象/（。）=1，所以排除選項C.

X—1

故選:B.

【變式5?2】（23-24高一上?江蘇常州?期中）在數(shù)學(xué)中，常用函數(shù)圖象來研究函數(shù)性質(zhì)，也常，書函數(shù)解析

式來分析函數(shù)圖象的特征.已知函數(shù)/（”的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)定義域排除B，取特殊值排除C,根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除D,得到答案.

【解析】/(?=二函數(shù)的定義域為R，不符合函數(shù)圖象，排除B；

當(dāng)工〉1時，/(幻=芹7<°，不符合函數(shù)圖象，排除C：

/(x)=^=f(-x],故函數(shù)為偶函數(shù)，不符合函數(shù)圖象，排除D.

x~-\

故選:A.

題型06分段函數(shù)求值問題

兇-2,小1

【典例1](24-25高一下?安徽阜陽?階段練習(xí))設(shè)八幻=1)

9n25

A.1C.D.—

B-U541

【答案】B

【分析】利用分段函數(shù)的性質(zhì)代入求解即可.

吁2加1

13

【解析】因為/")=1,,?所以f(R=2

22

l\+x211

31_1_4

則2rTT?--9故B正確.

1+(-5)1+彳

故選:B

-x-4,x<0

【典例2](24-25高一上?湖南永州?期末)設(shè)/(')=，1八，若/(陽+1)=2,貝()

x+—,x>0

x

A.0或-7B.2或5C.1或一7D.5

【答案】A

【分析】需要分情況討論〃7+1的取值范圍，當(dāng)〃7+1W0時，代入/(x)=-X-4求解；當(dāng)初+1>0時，代入

/(?=x+1求解.

X

【解析】當(dāng)加+14(),即〃區(qū)一1時：/(〃?+1)=—(加+1)-4=2,解得根=一7；

當(dāng)"2+1>0,即〃7>-1時：/(〃7+1)=(〃?+1)+—--=2,

"1+1

設(shè)力?+1=/(/>0)>則/+-=2,

t

/+-=2=>/2+1=2/=>/2—2/+1=()=>/=!,即，〃+1=1,解得〃?=0.

t

綜上所得，機=0或m=-7.

故選：A.

方法技巧

分段函數(shù)求值的方法

對于分段函數(shù)求值問題，先確定所求函數(shù)值變量屬于哪一個區(qū)間，然后代入該段區(qū)間所對應(yīng)的解析

式求值，對于復(fù)合函數(shù)的求值問題，則應(yīng)由里到外依次求值.

【變式6-1](24-25高二上?安徽?期末)己知函數(shù)/3=匕12：：°八，則/⑺=()

/(x-3),x>0

A.-1B.2C.5D.9

【答案】B

【分析】根據(jù)題中分段函數(shù)解析式運算求解即可.

【解析】因為=

/(A-3),X>0

所以/(7)=/(7_3)=/(4)=/(4_3)=/(l)=/(l_3)=/(_2)=(_2)2_2=2.

故選：B.

r^4-rr<()

，則/(/(一2))=______,若

{-x,x>0

《)=一；,則〃=_______.

4

【答案】一24或;

【分析】依次判斷代入計算即得函數(shù)值；分段解方程得〃值.

r24-YJ<0

[，八一2)=(—2>+(—2)=2,

{-x,x>0

所以/(/(一2))=/(2)=-2；

當(dāng)〃<()時，a2+a=--,HP(6/+-)2=0,解得〃=-?-,則4=一,，

4222

當(dāng)〃>0時，-a=--,解得〃=',貝=

444

所以4=或4=].

24

故答案為：-2;-；或;

【變式6?3】(2024.江西上饒.一模)設(shè)/")=[尹;若/(〃。=/(加+1),則陽=()

I>1

A1D

A.2c?i-A

【答案】C

【分析】分0<"2<1和mN1兩種情況解方程〃〃。=/(〃?+1)即可求解.

【解析】由題意可知〃0(),

當(dāng)0<〃7<1時，ni+\>1,所以由/(〃?)=/'(〃z+1)得4m=3m=m=§

當(dāng)〃時，所以由外加)=〃6+1)得3(〃L1)=3〃Z,無解.

綜上,m=—.故選：C.

題型07分段函數(shù)的值域或最值問題

【典例】(23-24高一上?河南南陽?期末)函數(shù)〃”二/?。?,0干工3的值域為()

[x+3,-3<x<0

A.[-1,+^°)B.[3,-KC)C.[—1,0]D.[-1,3]

【答案】D

【分析】法一，根據(jù)題意，分別求出當(dāng)04x43時與當(dāng)-3W*<0時的最值，即可得到分段函數(shù)的值域；

法二，畫出/(x)的草圖，數(shù)形結(jié)合可求出值域；

【解析】法一：因為)，=/-4工+3=(1—2『一1且0<x?3,

所以當(dāng)x=2時，ymin=-1,當(dāng)x=0時，％ax=3；

當(dāng)-3Wx<0時，0<x+3<3,

所以函數(shù)/(力=『?。?,0343的最小值為最大值為3,故函數(shù)/*)的值域為[7,3].

A+3,-3<X<0

法二：畫出的草圖，如圖所示，由圖象可知函數(shù)的最小值為-1,最大值為3,故函數(shù)/*)的值

域為[T3].

方法技巧

分段函數(shù)的值域或最值問題

對于分段函數(shù)的值域或最值問題，還是應(yīng)遵循“各個擊破''的原則，即求出每一段解析式對應(yīng)的函數(shù)取

值范圍或最值，再綜合起來考慮其在整個定義域內(nèi)的取值范圍(即得值域)或最值.

(

r24.r(J<r<c7

【變式7?1】(24-25高一上?四川內(nèi)江?期中)函數(shù)<c'°r，則該函數(shù)值域為________.

-2x+8,.r>2

【答案】(一力,6)

【分析】分段求值域，再取并集即可求解?.

【解析】當(dāng)0<x<2時，二次函數(shù)對稱軸是x=-且開口向上，

此時外外在(0,2)上單調(diào)遞增“工)=/+4=1+；]一；￡(0,6)；

當(dāng)"2時，/(x)=-2x+8<-2x2+8=4,即

(0,6)u(-co,4]=(^o,6)

所以/(工)=,1<"：2得值域為(y,6).

-2x+8,x>2

/、{a,a<b

【變式7-2](24-25高一上?上海長寧?期末)己知min〃回=<,，則函數(shù)

b,a>b

f(x)=min{x+l,-x2-4x-5|的值域為.

【答案】(9,一1]

【知識點】函數(shù)圖象的應(yīng)用、分段函數(shù)的值域或最值、函數(shù)新定義

【分析】令x+l=-f一4x-5找到關(guān)鍵點坐標(biāo)，作出函數(shù)大致圖象，由函數(shù)圖象可以得到函數(shù)值域.

【解析】令x+1=—/一4工一5，解得x=-2,x=-3,

函數(shù)大致圖象如下：

由圖可知，函數(shù)/（x）4T,

故答案為：

題型08解分段不等式

,.i,|xl＜1「n

【典例】（2024.北京東城?二模）設(shè)函數(shù)”力="1＞],則/[/匕[|=,不等式〃*）＜/（2幻的解

集是.

【答案】1一:卜會

【分析】根據(jù)題中分段函數(shù)解析式直接代入即可求/;分|2聞＜1、和國之1三種情況，結(jié)合

題中函數(shù)解析式分析求解.

【解析】由題意可知：⑴=1;

因為/（x）＜/（2x）,

當(dāng)|2吊＜1,即一;時，則可得Ivl,不合題意；

當(dāng)1篇,即K《一1，一3。3」卜匕可得1＜（2、）:

解得或…g,所以％{_[,一￡）《；,]}

當(dāng)國之1,即XN1或1時，則|2可=2國22＞1,可得（a/=4/,符合題意；

綜上所述：不等式〃幻＜/（2x）的解集是1-.

方法技巧

解分段不等式的策略

對干與分段函數(shù)有美的不等式問題,應(yīng)結(jié)合各段解析式列出不同的不等式絹.再取各不等式組解集的

并集.

Ijr—4Y+6V>()

【變式8?1】(23-24高一上?安徽.期中)設(shè)函數(shù)=</']，則不等式/(力>3的解集是

[x+6,x<0

()

A.(-3,1)B.(―

C.(TO)U(1,3)D.(Y,-3)J(1,3)

【答案】A

【分析】利用分段函數(shù)解析式，分類討論可將不等式