函數(shù)的基本性質（復習用）

課題

1.了解函數(shù)單調性的概念，掌握判斷i些簡單函數(shù)單調性的方法；理解函數(shù)最大值、最小

值的概念；

2.能利用函數(shù)的單調性分析解決某些問題（如比較大小，求函數(shù)的最值等）；

教學目標

3.理解奇函數(shù)偶函數(shù)的概念，掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法；

4.能利用函數(shù)的奇偶性和單調性分析、解決比較簡單的問題；

5.學會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質。

【知識點梳理】

?、函數(shù)的單調性

1.單調函數(shù)的定義

（1）增函數(shù)：一般地，設函數(shù)/（X）的定義域為/:如果對于屬于/內某個區(qū)間上的任意兩個自變

量的值不、當王＜時都有了（王）＜/（工2），那么就說/（X）在這個區(qū)間上是增函數(shù)。

（2）減函數(shù)：如果對于屬于I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值不、/，當內＜X2時都有

/（r,）＞/（r2）,那么就說,（丫）在這個區(qū)間上是減函數(shù).

（3）單調性：如果函數(shù)），=/*）在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)。那么就說函數(shù)y=在這一

區(qū)間具有（嚴格的）單調性，這一區(qū)間叫做），=/（幻的單調區(qū)間。

2、單調性的判定方法

（1）定義法

①任取X],刈金。，且X|＜￥2；

0作差府。一段2）；

③變形（通常是因式分解和配方）；

④定號（即判斷差/UD-AX2）的正負）；

③下結論（即指出函數(shù)貝x）在給定的區(qū)間D上的單調性）。

（2）圖像法：從左往右，圖像上升即為增函數(shù)，從左往右，圖像下降即為減函數(shù)。

（3）復合函數(shù)的單調性的判斷：

當內外層函數(shù)的單調性相同時則復合函數(shù)為增函數(shù)；當內外層函數(shù)的單調性相反時則復合函數(shù)

為增減函數(shù)。也就是說：同增異減（類似于“負負得正）

（4）在公共定義城內：

增函數(shù)/。）+增函數(shù)g（x）是增函數(shù)；減函數(shù)/（X）+減函數(shù)g（x）是減函數(shù)；

增函數(shù)/（x）-減函數(shù)g（x）是增函數(shù)；減函數(shù)/（用—增函數(shù)g（x）是減函數(shù)。

二、函數(shù)的奇偶性

I.奇偶性的定義：

（I）偶函數(shù)：一般地，如果對于函數(shù)/（X）的定義域內任意一個工，都有/（-x）=/（x）,那么函數(shù)

/*）就叫做偶函數(shù)。

（2）奇函數(shù)：一般地，如果對于函數(shù)/（?的定義域內任意一個X,都有/（一工）=一/3）,那么函

數(shù)/（用就叫做奇函數(shù)。

（3）奇偶性：如果函數(shù)/（x）是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說函數(shù)/（x）具有奇偶性。

補充說明：從函數(shù)奇偶性的定義可以看出，具有奇偶性的函數(shù)：

①其定義域關于原點對稱；

②/（-X）=f（x）或f（-x）=-f（x）必有一成立。

判斷某一函數(shù)的奇偶性時，首先看其定義域是否關于原點對稱，若對稱，再計算f（-x）,看是等于

/（外還是等于-/Cr）,然后下結論；若定義域關于原點不對稱，則函數(shù)沒有奇偶性。

③無奇偶性的函數(shù)是非奇非偶函數(shù)。

④函數(shù)/（幻=0既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)。

⑤奇函數(shù)的圖象關于原點對稱；偶函數(shù)的圖象關于,，軸對稱。

⑥奇函數(shù)若在x=（）時有定義，則/（0）=0.

2、函數(shù)的奇偶性判定方法

（1）定義法

（2）圖像法

（3）性質法

三、函數(shù)的最值

<1）定義：

最大值：一般地，設函數(shù)）可口）的定義域為/，如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意的都

有7U）WM；②存在其￡/，使得/Uo）=M。那么，稱M是函數(shù)）y/（x）的最大值。

最小值：一般地，設函數(shù)產次工）的定義域為/，如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意的都

有/U）2M；②存在出￡/，使得/Uo）=M,那么，稱M是函數(shù)），可a）的最大值。

注意：

①函數(shù)最大（?。┦紫葢撌悄骋粋€函數(shù)值，即存在使得/Uo）=M；

②函數(shù)最大（?。撌撬泻瘮?shù)值中最大（小）的，即對于任意的x￡/，都有凡DWM（fix）

2M）。

（2）利用函數(shù)單調性判斷出數(shù)的最大（?。┲档姆椒ǎ?/p>

①利用二次函數(shù)的性質（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲?；

②利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；

③利用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担?/p>

如果函數(shù)產/U）在區(qū)間m，加上單調遞增，在區(qū)間附，c］上單調遞減則函數(shù)尸鞏r）在尸力處有最大

值的）;

如果函數(shù)產/"）在區(qū)間m，可上單調遞減，在區(qū)間附，上單調遞增則函數(shù)）$幻在產力處有最小

值加）；

四、函數(shù)的周期性

（1）定義：如果存在一個非零常數(shù)T,使得對于函數(shù)定義域內的任意心都有兒1+7>凡1）,則

稱;U）為周期函數(shù)：

（2）性質：①/（x+7>yu）常常寫作/（x+LT）=/（x—LT）,若7U）的周期中，存在一個最小的正數(shù)，

22

則稱它為凡。的最小正周期；②若周期函數(shù)人大）的周期為T,則八3幻（3X0）是周期函數(shù)，且周期

【典型例題】

一、函數(shù)的單調性

例1.

⑴設函如*）=（2。-l）x+b是R上的減函數(shù)，則a的范圍為（）

、1n.1In1

A.aN—B.aW—C.ci>—D.ci<一

⑵函數(shù)y=%2+笈+C(XG[0.-KO))是單調函數(shù)的充要條件是()

A.b>0B.b<0C.b>0D.b<0

⑶已知/(?在區(qū)間(一8,+8)上是減函數(shù),。，〃￡氏且。+/?<(),則下列表達正確的是()

A./⑷+f(b)<-[/(?)4-/0)]B./⑷+f(b)</(-〃)+f(-b)

c./(。)+f(b)>—"(〃)+f(b)]D.f(a)+f(b)>f(-a)+f(—b)

（4）如右圖是定義在閉區(qū)間上的函數(shù)），=/（x）的圖象，該函

數(shù)的單調增區(qū)間為

例2.而山下列函數(shù)圖象并寫出函數(shù)的單調區(qū)間

（1）），=一/+2|工|+1（2）y=|-x2+2x4-31

例3.根據(jù)函數(shù)單調性的定義,證明函數(shù)在（-8,+8）上是減函數(shù).

例4.設/0)是定義在R上的函數(shù)，對〃2、〃￡/?恒有/(加+〃)=/(〃。?/5),且當火>0時,

0</(x)<1。

(I)求證：/(0)=1；(2)證明：時恒有/*)>0；

(3)求證：/*)在R上是減函數(shù)；(4)若/(力/(2-工)>1,求工的范圍。

二、奇偶性

例6.判斷下列函數(shù)的奇偶性:

(l)/(x)=|x+l|-|x-l|；(2)/(x)

Ml-幻U<0),

(3)fM=(4)fM=-

\x+2\-2X(l+X)(A>0).

點評：判斷函數(shù)的奇偶性是比較基本的問題，難度不大，解決問題時應先考察函數(shù)的定義域,

若函數(shù)的解析式能化簡，一般應考慮先化簡，但化簡必須是等價變換過程(要保證定義域不變)。

例7.設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若當xNO時，f(A)=log3(1+x),則/(-2)=<

例8.已知/"）是奇函數(shù)，當工￡（0,I）時，/（x）=lg—,那么當（—1,0）時，/⑴

1+x

的表達式是.

例9.若奇函數(shù)/（幻是定義在（-1,I）上的增函數(shù)，滿足/（。-2）+/（/-4）＜0,試求a的取值

范圍

例10.（普寧市城東中學09）已知奇函數(shù)/（幻是定義在（-2,2）上的減函數(shù)，若

+/（2^-1）＞0,求實數(shù)〃？的取值范圍。

三、周期性

例11.已知函數(shù))，=/(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期7=5,函數(shù))，=/。)(一14］41)是奇

函數(shù)?又知)，=/*)在［0,1］上是一次函數(shù)，在［1,4］上是二次函數(shù)，且在x=2時函數(shù)取得最小值-5。

①證明：/(1)+/(4)=0：

②求)，=/(x),xe［l,4］的解析式；

③求＞=在［4,9］上的解析式。

補充：函數(shù)的性質綜合題(單調性、奇偶性和周期性)

1-Lr

1.已知/(x)=log4——-(其中。＞0且。01)

1-X

(1)求f(x)的定義域

(2)判斷f(x)的奇偶性

(3)函數(shù)f(x)的零點是否存在？若存在，試求出其零點；若不存在，請說明理由。

7

2.已知函數(shù)/(x)=x+一)￡(0,2)

X

(1)求證函數(shù)在(0,、歷)上單調遞減；

(2)函數(shù)/(幻在(五,2)上單調性如何？試結合(1)進行分析;

(3)利用(1)、(2)的結論，試求出函數(shù)/(幻在(0,2)上的最小值。

3.已知函數(shù)/(X)在R上是增函數(shù)，且對任意的x,y都滿足/3+),)=/?+/(>，)J⑵=1

(1)求f(l求f⑷的值;

(2)g/(x)+/(2x-l)<2,求x的取值范圍。

2

4.已知函數(shù)/(幻=不一+攵是奇函數(shù)

(1)求實數(shù)k的值；

(2)判斷f(x)在(0,+8)上的單調性，并給予證明；

(3)當4為何值時,關于方程/*)=n在［1,2］上有實數(shù)解?

5.某化工廠生產的某種化工產品，當年產量在150噸至250噸之間時，其生產的總成本y(萬元)

與年產量X(噸)之間的函數(shù)關系式近似的表示為)'=云-30/+4000

(1)每噸平均出廠價為16萬元，年產量為多少噸時，可獲得最大利潤？并求出最大利潤；

(2)年產量為多少噸時，每噸的平均成本最低？并求出最低成本。

(參考：函數(shù)y=x+—(a>0)在區(qū)間(0,&］上是減函數(shù)，在區(qū)間右,+8)上是增函數(shù))

x

6.(番實高一級期中考試)設函數(shù)/(x)=/-(k-\)a-\a>。且。*1)是定義域為R的奇函數(shù)

(1)求k值；

(2)若O<a<l,指出函數(shù)/(大)的單調性，并求使不等式/(/+儀)+/(4-不)<0恒成立的實數(shù)t

滿足的條件；

(3)若/⑴=3,且8(%)=42、+。-2<2叫/'3在［1,+00),上的最小值為-2,求m的值。

7.函數(shù)/(x)="當是定義在(-1,1)上的奇函數(shù)，且/(，)=2

1+x25

(1)求f(x)的解析式；

(2)證明函數(shù)/(x)在上是增函數(shù)；

(3)解不等式：/(/-1)+/(/)<0

【鞏固練習】

一、選擇題

I.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的是

A.y=x+lB.y=x3C.y=—￡).y=logx

x3

2.在區(qū)間(-8,0)上為增函數(shù)的是()

X

A.y=1B.y=+2

\-x

C.y=-xz-2x-\D.y=l+

3.函數(shù))，=x2+〃x+c(xw(_8,l))是單調函數(shù)時，人的取值范圍

A.Z?>-2B.b<-2C.b>-2D.b<-2

4.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，則下列各點中，不在函數(shù)y=f(x)圖象上的點是()

A.(-a,f(a))B.(-a,f(-a))

C.(-a,-f(-a))D.(a,f(-a))

5.若奇函數(shù)f(x)在[a,b]上是增函數(shù)，且最小值為1,則f(x)在[-b,-a]上是()

A.增函數(shù)且最小值是-1B.增函數(shù)目最大值是-1

C.減函數(shù)且最小值是-1D.減函數(shù)且最大值是-1

6.設/(X)=(〃L1)/+2/世+3為偶函數(shù)，則f(x)在區(qū)間(-5,-2)上是()

A.增函數(shù)B.減函數(shù)

C.不具有單調性D.單調性由m確定

7.已知R上的奇函數(shù)在(7,0)上單調遞增，且/(-2)=0,則不等式/*)<(冊解集為()

A.[-2,2]B.(-x,-2]u[0,2]C.(-oo,-2]u[2,+oo)D[-2,0]D[2,+OO)

二、填空題

4

8.以下五個函數(shù)：(1)>'=—(x0)；(2)y=x+i；(3)y=2'；(4)y=log2x；

x

2

(5)y=log2(x+Vx+l),其中奇函數(shù)是,偶函數(shù)是,非奇非偶函數(shù)是

9.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=x2-2x-3,則當xvO時，f(x)=

10.定義在[-1,1]上的函數(shù)y=f(x)是減函數(shù)，且是奇函數(shù)，若/(。2-。-1)+/(4。-5)>0,則

實數(shù)a的取值范圍是o

11.已知/*)二」一+。是奇函數(shù)，則常數(shù)a=_______,

3r-1

12.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：/*+2)=/*),且在區(qū)間［-1,0］上是增函數(shù)

下列關于f(x)的判斷，正確的有

①f(x)是周期函數(shù)；②f(x)的圖像關于直線x=l對稱；③f(x)在。1］上是增函數(shù)：④f(x)在［1,2］

上是減函數(shù);⑤f⑵=f(0)

三、解答題

13.若f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，它們有相同的定義域，且/*)+g(x)=」一,求f(x),

x-\

g(x)的表達式。

14.已知函數(shù)/(x)的定義域為(一1,1),且同時滿足下列條件：(1)