空間角的求法

課前必備知識

課標要求

1.能運用幾何法和空間向量法求空間角.2.體會向量法在研究立體幾何中的工具性作用.

知識梳理

1.兩條異面直線所成的角

(1)定義：設小。是兩條異面直線，過空間任一點。作直線b'//b,則"與。'所

成的一銳角或直角一叫做a與b所成的角.

(2)范圍：兩異面直線所成角用的取值范圍為(0,4.

(3)向量求法：設直線所成的角為仇a,力的方向向量為a,b,則有cos0=__差漓

2.直線與平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面.上的射影所成的角.

(2)范圍：直線與平面所成角o的取值范圍是.

①直線垂直于平面，則它們所成的角為90。：

②直線和平面平行，或在平面內，則它們所成的角為0。：

③直線與平面斜交，它們所成的角為幽.

(3)向量求法：設直線1的方向向最為。，平面的法向最為小直線與平面所成的角為外

。與〃的夾角為仇

則有sin3=|cos<a,u}|=_投卜_.

3.二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面

角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.

(2)二面角的平面角：由二面角的棱上一點，分別在二面角的兩個面內作棱的垂線所構

成的角；二面角的取值范圍為［0,捫.

(3)二面角的向量求法:

①若AB,CD分別是二面角的兩個面內與棱/垂直的異面直線，則二面角的大小

就是向量息與劭的夾角(如圖I).

②設小，〃2分別是二面角a-1-p的兩個面a,p的法向量，則向量川與〃2的夾角(或其

補角)的大小就是二面角的平面角的大小(如圖2、

設二面角的大小為9,〈川，〃2〉=仇則

|cos^|=|cos加|=—特俄〉.

再結合圖形，確定0是銳角還是鈍角，從而確定cos。的符號.

4.平面與平面的夾角

如圖，平面a與平面相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90。的二

面角稱為平面a與平面外的夾角.

若平面a,4的法向量分別是川和〃2,則平面a與平面少的夾角即為向量用和〃2的夾

角或其補角.設平面a與平面”的夾角為仇則cos9=|cos(小〃2〉尸器符

課前訓練

1.設/是平面。的如線，且/與平面a所成的角為0,若/的方向向量為。，平面。的

法向量為〃，則下列結論正確的是()

A.cos8=：：iB.cos

MilmHIM

C-sm?！ù―.sm。一⑷網(wǎng)

2.已知4(1,0,0),B(0,I,0),C(0,0,1),則下列向量是平面ABC法向量的是()

A.(-1,1,1)B.(1,一1,1)

(—也_亞-AD也近-A

c393'3〉u?i3，3，3'

3.直三棱柱A8C-ABG中，底面△ABC是等腰直角三角形，NB4C=90。，AB=AC

=2,側棱長為2,。為氏B上的點，若直線4c與直線OG所成角的余弦值為嚕，則

=()

A.1B.eq

C.eqD.eq

4.(2025?湖北高三校聯(lián)考)已知圓臺上、卜底面的半徑之比為1:2,母線與底面所成的

3

角的正弦值為與，圓臺體積為14兀，則該圓臺的側面面積為()

A.30冗B.187r

C.15兀D.9兀

5.如圖，二面角a-//的大小是60。，線段4Bua.BE/,AB與/所成的角為30。，則直線AB

與平面B所成角的正弦值是.

課堂核心考點

考點1異面直線所成角的求法

【例1】(1)如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A.B^D］中,E是棱CC.的中點,

產(chǎn)在棱A。上，且#=派(0?1),若異面直線。力和AF所成角的余弦值為需，則，=

(2)如圖，在直三棱柱43cAi81cl中，△A6c是直角三角形，且/W=3C=AAi，D為

棱BiG的中點，點E在棱4C上，且BC=4BE,則異面直線ACH。后所成角的余弦值是

⑴構建法求異面直線所成角，關鍵是將異面直線中的一條或兩條“平行移動”，構建異面直

線所成的角，然后通過解三角形求解.

(2)用向量法求異面直線所成角的一般步驟：

①選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標系；

②確定異面直線上兩個點的坐標，從而確定異面直線的方向向量；

③利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值：

④兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值，同時?定要注意兩異面

直線所成角的范圍是(0,勺.

變式探究

1.在空間四邊形ABCO中，AD=2,BC=2小,E,P分別是48,CO的中點，EF=。

則異面直線AD與8c所成角的大小為.

2.如圖，在平行六面體用Ci。中，以頂點A為端點的三條棱長均為6,且它們彼

此的夾角都是60。，則直線BD^與AC所成角的余弦值為.

考點2直線與平面所成角的求法

【例2】(2025?黑龍江哈爾濱?？?如圖，在多面體4BCOE/中，四邊形ABC。是正方

形，BF=DE,8/〃。E,M是AE的中點.

(I)求證：EC〃平面EOM.

(2)若。￡!_平面ABCD,AB=4,BM1CF,點P為線段CE上一點，且辦=g受，求直

線PM與平面AEb所成角的正弦值.

(I)利用定義法求線面角的一般步驟

①找出斜線在平面內的投影，或根據(jù)題目條件通過作輔助線找到投影，找到所求角.

②根據(jù)幾何條件計算所求角所在三角形的各邊長.

③根據(jù)解三角形的方法計算所求角的三角函數(shù)值.

(2)利用向量法求線面角的方法

①分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角

(或其補角).

②通過平面的法向審來求，即求出斜線的方向向鼠與平面的法向量所夾的銳角，取其余

角就是斜線和平面所成的角.

變式探究

3.如圖，三棱臺A8C4SG中，AB=BC=28iG=2,。是AC的中點，E是棱BC上

的動點.

(1)試確定點￡的位置，使AB1〃平面?！闓：

(2)已知CGJ_平面ABC,設直線BC\與平面DECi所成的角為仇試在(1)

的條件下，求cos0的最小值.

考點3求二面角

【例3】在四棱錐尸-ABC。中,NABC=NCOA=90。，ZBAD=I2O°,AB=AD=2,

點七為PC的中點.

(I)求證：BE〃平面以D

(2)已知~。=尸。=2小，平面尸COJ■平面ABCD,求二面角B-CP-。的余弦值.

(1)構建法求作二面角的平面角

①“找”：由二面角平面角的定義確定二面角的平面角.

②“線”：由二面角的一個面內一點作另一個平面的或線，過垂足作楂的垂線，連接兩個

垂足即得二面角的平面角或其補角.

③“面”(垂面法)：過棱上一點作(證)棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面的交

線所成的角即是二面角的平面角.

(2)應用向量法計算二面角大小的常用方法

①找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的

法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小.

②我與校垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起

點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.

變式探究

4.(2025?四川成都階段考)如圖，四棱錐尸-AB