河南省南陽市南陽六校2025-2026學年高二上學期10月期中考試

數學試題

一、單選題

1.己知直線斜率為-立，則直線的傾斜角為（）

3

5兀-27r「，兀一冗

A.—B.—C.—D.一

6336

2.下列雙曲線中，焦點在軸上且漸近線方程為），=±2、的是

2222

A.x2-^-=lB.—-y2=lC.--x2=\D.y2--=\

44'44

3.記橢圓CC工+），2=1,雙曲線G：二-4=1的離心率分別為q,e2,若與=&q，則加=（）

2m311

A.1B.2C.4D.5

4.點尸（-1,2）關于直線x-y-1=0的對稱點為（）

A.（3,-2）B.（2,-2）C.（3,-1）D.（2,-1）

5.已知P為拋物線W=4），上的任意一點，尸為拋物線的焦點，點M（2,3）,則1PM+|P目的最小值為（）

A.3B.V13C.4D.3&

6.已知圓。:/+）,2-6），-〃?+7=0與直線/：x+Gy—6=（）相交于A8兩點，若△A8C為正三角形，則

實數/〃的值為（）

A.2B.-2C.3D.-3

7.已知圓O：X2+/=9,直線/：），=-1,將圓0在/下方的部分沿著/向上翻折，如圖，若直線x-y+〃?=0

與折疊后得到的兩段弧恰有4個交點，則〃?的值可以是（）

22

8.已知雙曲線1-：=1的左、右焦點分別為乙，吊，點尸在雙曲線的右支上且位于第一?象限，若直線PK

的斜率為石，則△尸耳鳥的內切圓面積為（）

A.兀B.27cC.3兀D.4兀

二、多選題

9.下列說法中正確的是（）

A.若直線的斜率3—1』，則傾斜角匹u年，兀）

B.過點（T2）且與直線x+3y-l=0垂直的直線方程為3x-），+l=0

C.過任意兩點6（5,兇），鳥（馬，%）的直線都可以用方程忙"=二三表示

）’2一）1X2~A

D.直角坐標系宜川內的任意直線都可以用方程A.x+By+C=0（A2+公工0）表示

1（）.橢圓的光學性質：從橢圓的一個焦點射出的光線，經該橢圓反射后，反射光線經過另一個焦點.已知橢

圓的左、右焦點分別為K，打，且田國=2c（c>0）,一條光線從6出發(fā)，經過橢圓的若干次反射，第二次

經過點為時光線走過的路程為8c則該橢圓的離心率可能為（）

1_23

A.B.C.D.

454

11.已知拋物線C：）戶=4%的焦點為尸，若過點尸的直線與C交于A8兩點，且A在第一象限，。為坐標

原點，則下列說法正確的是（）

A.VAO8面積的最小值為2

B.當直線A5的傾斜角為60。時，比目=6忸同

C.線段46的中點用到C的準線的距離等于

D.在x軸上存在一點N,使直線AN與/3N的斜率之和為定值

三、填空題

12.若上+工=|表示焦點在），軸上的雙曲線，則實數女的取值范圍是___.

k-4Z+1

13.已知橢圓的左、右頂點分別為A,B,過樨圓上除A,8外任意一點P向工軸作垂線,

閘「J

垂足為Q，若則橢圓的焦距為

\AQ\-\BQ\4

14.己知P是直線/：3x+4y-8=0上一動點，過點尸作圓C（x+2『=3的兩條切線尸M,PN,

切點分別為M,N,則NMPN的最大值為.

四、解答題

15.設直線x+2y-5=0與3工一)，-1=()交于點「，已知直線/過點P.

⑴若/與直線3x+.y+7=0平行，求/的方程；

(2)若/在x軸和)，軸上的截距互為相反數，求/的方程.

16.已知點。(0,0),A(7,-l),*0,6),△048的外接圓為圓C

(1)求圓。的方程；

⑵設△QA8的A8邊上的高所在的直線為/,求/被圓C所截得的弦長.

17.已知橢圓C：]+￡=1(。＞力＞。)的離心率右二弓，以C的四個頂點為頂點的四邊形的面積為8&.

(1)求C的方程；

(2)若直線/:2X-y+1=0交橢圓C于M,N兩點，求\MN\.

18.已知直線/：工-2)，+2=0與拋物線0：丁=2〃X(〃＞。)相切于點已

⑴求C的方程以及點尸的坐標.

(2)過點。的動直線L與C交于A,8兩點(均不與點P重合)，A8的中點為M.

(i)當月W〃x軸時，求L的方程；

(ii)設直線%,PB的斜率分別為占，3，證明：尤?心為定值.

19.已知雙曲線C：※—*_=l(a：＞0/＞0)的右焦點為尸(4,0),漸近線方程為)，=士6》.

⑴求C的方程.

⑵若動直線/過點R且與。交于M,N兩點(M在第一象限，N在第四象限)，過點M作直線x=l的垂線,

垂足為D.

(i)證明：直線。N恒過點停0卜

(i：)設。為坐標原點，△ODN的面積為5,求S的最小值.

題號12345678910

答案ACBACABCADBCD

題號11

答案ACD

1.A

根據傾斜角和斜率的關系求得正確答案.

【詳解】設傾斜角為。，依題意tana=-且，

3

由于0￡。＜兀，所以a=學.

6

故選：A

2.C

【詳解】試題分析：焦點在y軸上的是C和D,漸近線方程為)=±二工，故選C.

b

考點：1.雙曲線的標準方程；2.雙曲線的簡單幾何性質.

3.B

由橢圓和雙曲線離心率計算公式即可求解.

【詳解】由題意知/=4，e}=—,

2rn

因為6=#勺，

所以耳=5e；,

即解得機=2.

m2

故選：B

4.A

胃I…

設對稱點為Q(x,y),由,即可求解.

業(yè)一2_1=0,

22

【詳解】設點P(T2)關于直線X-)，-1=。的對稱點為Q(.%y),

y-2

-----1=-1

x+1

則

d-二1=0

22

x=3/、

解得《"_2,即。GT.

故選：A

5.C

過點P作拋物線準線/的垂線段，垂足為Q,過點M作垂足為N,由拋物線定義得到

|=|+1尸Q|習MN即可求解.

【詳解】由題意知拋物線的焦點為尸(01)，準線，的方程為y=-L

如圖，過點P作拋物線準線/的垂線段，垂足為Q，過點M作垂足為N.

由拋物線的定義得|P尸|=|P。，

所以歸M|+|/￥j=pM|+|P02Mv|,當M,P,N三點共線時取等號，

故|PM|+|PF|的最小值為|MN|=3+1=4.

故選：C

6.A

由為正三角形，得到圓心C到直線/的距離1=正八即可求解.

2

【詳解】圓C：x2+y2-6y—加+7=0,

即f+()，-3)2=/〃+2,圓心為(0,3),半徑廠=而適，

因為圓C與/:x+6y-6=0相交于A8兩點，且aABC為正三角形,

所以圓心c到直線/的距離〃=色二旦=3叵=6，,1=昱

717322

則/?=2=,解得〃?=2.

故選：A

7.B

根據直線與圓的位置關系，結合圖象，利用點到直線的距離公式，可得答案.

【詳解】由題意知圓。與/交于5,C兩點，且網-2立,-1）,C（2?-1）,

當直線x-y+〃?=O過點4-2夜,-1）時，得〃?=—1+2正，

由對稱性可知，折疊后的弧BC對應的圓的方程為f+（y+2『=9,

當工-），+m=。與劣弧8C相切時，有加雉=3,所以〃?=3應-2,其中〃?=-3&-2舍去，

72

結合圖形可知，當-1+2&<〃?<3a-2時，直線x-），+，〃=0與兩段弧恰有4個交點.結合選項知B符合題

意.

故選:B.

8.C

設圓C與線段尸耳，PF2,片鳥分別相切于點O,EG,由忻G|一怩G|=6,確定G（3、o）,進而確定直線CB的

方程，得到。（3,6）,即可求解.

【詳解】由題意知￡（<0）,［（4,0）,|?制一|%|=6.

如圖，設圓C與線段P片,PF2,6居分別相切于點段EG,則1Pq=|P￡|,|耳D|=|￡G|,|￡，=出耳,

所以忻q—優(yōu)6=歸。一怩耳=|丹；卜歸用=6,

所以G（3.0）,從而可知內切圓的圓心C在直線x=3上.

因為尸F(xiàn)2的斜率為石，所以傾斜角為6（）。，

因為是/P乙人的平分線.

所以直線的傾斜角為120。，方程為），=-G（X-4）,將x=3代入，得C（3,G）,

所以|CG|=G,即圓C的半徑為名,得圓C的面積為3兀.

故選：C

9.AD

由斜率與傾斜角的關系可判斷A,由垂直關系可判斷B,由特殊位置可判斷C,由一般方程概念可判斷D.

【詳解】解析對于A,由條件可知tanOe[T,l],乂0目0,兀），

當tan，時，與.兀，

當lan￡?O』時，6c0（，A正確；

對于B,直線x+3y-1=0的斜率為-：，其垂線的斜率為3,

所以過點（-】，2）且與直線x+3），-1=0垂直的直線方程為廣2=3（x+l）,

即3x-y+5=0,故B錯誤；

對于C,當直線[鳥垂直于坐標軸時，不能用方程三立=三土表示，故C錯誤；

32%%

對于D,任何直線的方程都有一般式，故D正確.

故選：AD

10.BCD

根據橢圓長軸與短軸以及其定義，可得答案.

【詳解】設橢圓的長軸長為

①若光線從5沿長軸向左射出，則第二次經過尸2時，光走過的路程為2a+2（a-c）,所以公-2r=&?，得

—c=一2?

a5'

「I

②若光線從6沿長軸向右射出，則第二次經過招時，光走過的路程為2〃，所以2〃=&-，得上=；;

a4

7

③若光線從片沿其他方向射出，則第二次經過招時，光走過的路程為6〃，所以6a=8c,得￡c==.

a4

故選：BCD.

11.ACD

直線A8的方程為x=m），+l,A（w，y）,8（孫必），聯(lián)立拋物線方程，得到）1+片=4機，,為=-4,由

2的8=夕。尸|心1-必|可判斷A,由焦點弦長公式可判斷B,由弦長公式可判斷C,由斜率公式結合韋達定

理得到可判斷D.

-4W2/+(1-/)2，

【詳解】由題意知尸（1,0）,設直線A8的方程為.”〃少+1,A&,y）,8（&,），2）,

x=my+1,

聯(lián)立直線與拋物線的方程，得

y2=4x,

消去x整理得），2一4四，-4=（）,則y+M=4〃L=-4.

對于A，S"=*叩…|=屈手邈=2"*

故〃7=0時，VAO8的面枳取得最小值，為2,故A止確；

對于B,當直線A8的傾斜角為60。時，直線A8的方程為），=6（工-1）,

將丫=6（工一1）代入/二標，得3f—10x+3=0,解得％=3,x2=1,

所以|AF|=X+1=4,忸月=々+1=；所以|4同=3忸F|,故B錯誤；

對于C,由題意知C的準線方程為x=-1,由前面的分析，知X+%=4〃?，X%=Y，

22

所以+-y2\=，（以m）[（y+%）2-4y%]=4（1+tn）,

2

又看+X2=myt+I+my2+1=4m+2,

所以與歪+1=2病+2=g|AB|,故C正確；

對干D,由前面的分析,知寸+[=46,）1%=-4,

設w(r,o),

則…“喙+畀-+小"靠靠*右

-8w+4w(l-/)-4m(l+/)

-4m2+4m2(1-7)+(!-；)2-4zn2/+(l-/)2，

所以當f=-l時，L+%，為定值0,即存在N（-l,0）,使L+L為定值，故D正確.

故選：ACD

12.(-1,4)

攵一4<0

由焦點在y軸上，得到舊>0,求解即可.

女-4<0

【詳解】由題意得

&+1>0

解得-1<k<4.

故答案為：（—14）

13.

由題意設出點的坐標，根據兩點距離公式，整理等式，結合橢圓方程，求得參數，易得答案.

【詳解】由題意知4（—。,0）,8（”,0）,

設P（x,y）,則|PQ「='2,|4。.忸@=（工+初4-力=/_工2,

所以照整理得￡+鴛=1，對照橢圓方程可知3=1，

\AQ\-\BQ\a--x24a2a2a'

所以/=4,故橢圓的焦距為2及2_]=26?

故答案為：26

14.—

3

根據直線與圓的位置關系，結合圓切線的性質以及勾股定理.，可得答案.

【詳解】由題意，得圓C（工+27+（），-1『=3的圓心。（-2,1）到直線/：3K4），-8=0的距離

|3x(-2)+4xl-8|

=2>>/3=r,

V32+42

所以/與圓c相離，如圖，可知當/MPN取得最大值時，|PC|取最小值，|pq的最小值為點c到/的距離,

即因=d=2,

此時sin4Mpe=’所以NMPC=,故/M/W的最大值為f

|PC|-T

15.（l）3x+y-5=0

（2）y=2xngx-y+l=0.

（1）聯(lián)立直線方程，求得交點，根據直線平行，建立方程，可得答案；

（2）利用截距的定義，分類討論，建立方程，可得答案.

x+2y-5=0,fx=1,/、

【詳解】（1）聯(lián)立得，,?八，解得即Pl,2.

若］與直線3x+y+7=O平行，則/的斜率攵=-3,

所以/的方程為）」2=-3（工-1）,即3x+y-5=0.

（2）若/經過坐標原點，設/：，代入尸點坐標，解得攵=2,

所以,的方程為y=2x.

若:不經過坐標原點，設/：-+^-=1,

a-a

12

代入。點坐標，得一-*=1,解得。=-1,

aa

所以/的方程為y-x=i,即x-y+i=o.

所以/的方程為y=2x或x—），+i=o.

16.（l）（x-4）2+（y-3）2=25

Q）7夜

（1）利用待定系數法，設出圓的一般式方程，代入已知點，可得答案.

（2）由已知點求得直線方程，利用點到直線方程以及弦長公式：可得答案.

【詳解】（1）設圓C的方程為f+V+ox+Ey+尸=（）,

將。（0,0）,A（7,—l）,"（0,6）三點的坐標代入，

|F=0,D=-8,

得?50+7。-月+產=0,解得，E=-6,

36+6￡+”=0,F=0,

故圓C的方程為x2+y2—8x—6y=0,即(工一4『+(>?-3)2=25.

(2)由題意得心8="匕4=-1，與A8垂直的高線/的斜率為1,

“0-7

又/過0(0,0),所以/：產匕

圓C的圓心C(4,3)到/的距離1=仁=等,

則/被圓C截得的弦長為2小25弓=70.

17⑴/%

(2)回

1x2ax2b=80

2

(1)由條件得到e*乎

,求解即可:

a2=b2+c2

(2)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，由弦長公式即可求解.

【詳解】(1)設C的半焦距為c(c>0).

-x2ax2b=Sy/2

2

由題意得上?二日

a2=b2+c2

的方程為《+《=1.

84

(2)設NG，%).

x2y2.

聯(lián)立，得J-8-+--4-=1.化簡得9/+8x-6=0,

2x-y+l=0,

..再+X,

22

=Vl+2|x1-X2|=\/5-+X2）-4X（X2=—.

18.（l）/=2.r,P（2,2）

⑵⑴x-2,y-3=0；（ii）證明見解析

（1）聯(lián)立方程，根據直線與曲線相切，可知方程根的個數，利用一元二次方程根的判別式，可得參數值，

從而可得答案.

（2）（i）由題意設出直線方程，聯(lián)立方程，再根據一元二次方程根的判別式，可得答案；（ii）根據一元二

次方程，根與系數關系，整理算式，建立方程，可得答案.

x-2y+2=0,..

【詳解】⑴由2；可得/-4〃），+4〃=0（*）,

[y~=2內，

由題意知A=I6p2一16〃=0,解得〃=1（〃=。舍去），

所以。的方程為V=2x.

將P=1代入（*）式可得丁-4），+4=0,解得了=2,

將P=2代入C的方程可得：x=2,即P（2,2）.

（2）（i）易知A的斜率存在且不為0,設x="?（y+2）-1（〃?工0）,

與C的方程聯(lián)立，得），2一2〃?〉-4〃?+2=0.

由A=4＞-4（2—4〃2）＞0及點尸不在L上，得〃?＜一“一2或&-2V機或機＞“

設A（x[，y）,8（七，X），則y+是=2加，）1%=2-4”?.

當PM/次軸時，上尹一2,即〃=2,滿足題意，

所以L的方程為工一2），-3=0.

（ii）由（i）可得％+w+）'2）+4"—2=2〃5+42.