第04講第四章三角函數(shù)（章節(jié)綜合檢測）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．（2023春·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）已知角的終邊與單位圓的交點為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義結(jié)合題意直接求解即可【詳解】因為角的終邊與單位圓的交點為，所以，故選：B2．（2023春·新疆·高一?？计谥校┗癁榛《仁牵?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角度數(shù)與弧度數(shù)的互化公式可求出結(jié)果.【詳解】因為弧度，所以弧度，所以弧度.故選：B.3．（2023春·廣東佛山·高一北滘中學(xué)?？茧A段練習(xí)）的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】運用誘導(dǎo)公式，逆用兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：A4．（2023秋·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，由齊次式的求解方法求解．【詳解】.故選：D.5．（2023秋·黑龍江大慶·高二大慶市東風(fēng)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平方關(guān)系求得，再由商數(shù)關(guān)系求得，最后由二倍角公式求得答案.【詳解】因為，，所以，，由同角三角函數(shù)的關(guān)系，得．因此．故選：D.6．（2023秋·江西·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）《夢溪筆談》是我國科技史上的杰作，其中收錄了扇形弧長的近似計算公式：.如圖，公式中“弦”是指扇形中所對弦的長，“矢”是指所在圓的半徑與圓心到弦的距離之差，“徑”是指扇形所在圓的直徑.若扇形的面積為，扇形的半徑為4，利用上面公式，求得該扇形的弧長的近似值為（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】先求得扇形的圓心角，然后求得，再利用扇形弧長的近似計算公式求得正確答案.【詳解】設(shè)該扇形的圓心角為，由扇形面積公式得，所以，取的中點，連接，交于點，則，則，，，所以扇形的弧長的近似值為.故選：D

7．（2023秋·福建福州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）若定義在上的函數(shù)的圖象在區(qū)間上恰有5條對稱軸，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的對稱軸方程為，，原題等價于有5個整數(shù)k符合，解不等式即得解.【詳解】由已知，，令，，得，，依題意知，有5個整數(shù)k滿足，即，所以，則，故，故選：A．8．（2023春·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（，，）在區(qū)間上單調(diào)，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將化成的形式，根據(jù)單調(diào)性及周期性得到的取值范圍，根據(jù)等式關(guān)系得到各參數(shù)的關(guān)系，最后利用輔助角公式中的關(guān)系得到關(guān)于的不等式，解出不等式即可.【詳解】，，，在區(qū)間單調(diào)，，，，，，，，，，，，，，，，.故選：A.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9．（2023秋·河北衡水·高三河北武強(qiáng)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)（），下列結(jié)論錯誤的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱【答案】BC【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】因為，所以的最小正周期為，故A正確；當(dāng)時，，的圖象不關(guān)于點對稱，故B錯誤；當(dāng)時，，因為在上不單調(diào)，所以函數(shù)在區(qū)間上不是減函數(shù)，故C錯誤；當(dāng)時，為最大值，的圖象關(guān)于對稱，故D正確．故選：BC．10．（2023秋·高一課時練習(xí)）（多選）如果由函數(shù)的圖象變換得到函數(shù)的圖象，那么下列變換正確的是（）A．圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍B．圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的一半C．向左平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半，縱坐標(biāo)不變D．將圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半，縱坐標(biāo)不變，再將所得圖象向左平移個單位長度【答案】CD【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換關(guān)系求解即可.【詳解】函數(shù),函數(shù),函數(shù)圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到的圖象，故A不正確；函數(shù)圖象上所有點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的一半，得到的圖象，故B不正確；將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，再將所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，故C正確；將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的一半，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，再將圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，故D正確；故選:D.11．（2023春·福建漳州·高一?？计谥校┤鐖D（1），筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中仍得到使用.如圖（2），一個筒車按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)，筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：m）（在水下則為負(fù)數(shù)）、與時間（單位：s）之間的關(guān)系是，則下列說法正確的是（

）

A．筒車的半徑為3m，旋轉(zhuǎn)一周用時30sB．筒車的軸心距離水面的高度為C．時，盛水筒處于向上運動狀態(tài)D．盛水筒出水后至少經(jīng)過20s才可以達(dá)到最高點【答案】BD【分析】根據(jù)振幅和最小正周期可確定A錯誤；利用可知B正確；根據(jù)正弦型函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可知C錯誤；令，由正弦型函數(shù)的值可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到，知D正確.【詳解】對于A，的振幅為筒車的半徑，筒車的半徑為；的最小正周期，旋轉(zhuǎn)一周用時，A錯誤；對于B，，筒車的半徑，筒車的軸心距離水面的高度為，B正確；對于C，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，盛水筒處于處于向下運動的狀態(tài)，C錯誤；對于D，令，，，解得：，又，當(dāng)時，，即盛水筒出水后至少經(jīng)過才可以達(dá)到最高點，D正確.故選：BD.12．（2023春·湖南邵陽·高一統(tǒng)考期末）黃金三角形有兩種，一種是頂角為的等腰三角形，另一種是頂角為的等腰三角形.已知在頂角為的黃金三角形中，角對應(yīng)邊與角對應(yīng)邊的比值為，這個值被稱為黃金比例.若，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】依題意可得，再利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式一一計算可得.【詳解】依題意，得，故D正確；對于A：，故A正確；對于B：由，所以，所以，故B錯誤；對于C：由，解得或（舍去），故C正確；對于D：故選：ACD．三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2023秋·高一課時練習(xí)）不等式，的解集為.【答案】【分析】結(jié)合正弦函數(shù)圖象可得結(jié)果.【詳解】作出在上的圖象如圖所示，

由圖象可知：不等式的解集為.故答案為：.14．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）寫出函數(shù)，的一個單調(diào)遞增區(qū)間為.【答案】，或，等【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間公式得出結(jié)果.【詳解】因為，所以為偶函數(shù)，由，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由對稱性可知在上單調(diào)遞增.故答案為：，或，等.15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最大值是．【答案】【分析】由輔助角公式及角的范圍即可求解.【詳解】,當(dāng)時,,當(dāng)時,有最大值,且最大值為.故答案為:16．（2023春·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？紝ｎ}練習(xí)）若函數(shù)對定義域內(nèi)任意實數(shù)x均滿足，其中，則稱是“等值函數(shù)”．若函數(shù)（a＞0）是“2等值函數(shù)”，則實數(shù)a＝，函數(shù)在區(qū)間上零點個數(shù)為【答案】2【分析】根據(jù)是“2等值函數(shù)”，則對恒成立，列式可求得，的最小正周期為8，結(jié)合圖象確定與的交點個數(shù)，即可得出答案.【詳解】是“2等值函數(shù)”，對恒成立，，不恒為，又.的最小正周期為8，把視為第一個周期，則區(qū)間包含個周期，且每個周期內(nèi)與的交點均在前半個周期內(nèi)，如圖，

故函數(shù)在區(qū)間上共有253×2＝506個零點．故答案為：2，506．四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2023秋·黑龍江鶴崗·高三鶴崗一中校考開學(xué)考試）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)(2)【分析】（1）將和用和差角公式展開，化簡后，可用輔助角公式合成形式的函數(shù)，即可利用周期公式求解周期（2）利用整體法即可求解單調(diào)區(qū)間．【詳解】（1）因為，，所以，所以的最小正周期是；（2）令,解得，令，則由于，所以的減區(qū)間為18．（2023秋·浙江·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示.

(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)，且方程有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）先根據(jù)圖像求出函數(shù)解析式，然后按求單調(diào)區(qū)間的步驟求解即可；（2）利用函數(shù)與方程的有關(guān)知識即可求解.【詳解】（1）由題圖知，，，，所以，所以，又，所以，又，則，故.令，，解得，，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）因為，所以，設(shè)，，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：

根據(jù)圖像知：當(dāng)時，滿足題意.19．（2023春·陜西渭南·高一?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)作出在上的圖象（先列表格，再畫圖）；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)圖象見解析(2)，【分析】（1）利用五點法進(jìn)行列表作圖即可．（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象平移變換求出的解析式，利用單調(diào)性進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）列表如下：012001作出在上的圖象，如圖所示：

（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象，即，由，，得，，即，，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，．20．（2023秋·高一課時練習(xí)）已知某海濱浴場海浪的高度（米）是時間（，單位：時）的函數(shù)，記作：，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：（時）03691215182124（米）1.51.00.51.01.51.00.50.991.5經(jīng)長期觀察，的曲線可近似地看成是函數(shù)的圖象.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)的最小正周期，振幅及函數(shù)解析式；(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)（1）中的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的10：00至20：00之間，有多少時間可供沖浪者進(jìn)行運動？【答案】(1)，，(2)5個小時【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)知，然后利用周期公式可求出，再由，和，，可求出，從而可求出解析式，（2）利用余弦函數(shù)的性質(zhì)解即可得答案.【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)知，所以.由，，得.由，，得，故，，所以函數(shù)解析式為：.（2）由題意知，當(dāng)時才可對沖浪者開放，所以，所以，所以，，即，.又因為，故可令得，或，或.所以在規(guī)定時間10：00至20：00之間，有5個小時可供沖浪者活動，即上午10：00至下午3：00.21．（2023春·山東淄博·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期；(2)當(dāng)時，求的最大值和最小值，以及相應(yīng)的值；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)時，，時．(3)【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡，即可由周期公式求解，（2）根據(jù)得，即可由正弦函數(shù)的性質(zhì)求解，（3）根據(jù)同角關(guān)系以及和差角公式即可求解.【詳解】（1）故周期為（2）當(dāng)即時，，此時當(dāng)即時，此時．（3），故22．（2023秋·遼寧沈陽·高三沈陽市第一二〇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).從下面的兩個條件中任選其中一個：①將函數(shù)圖象上的點橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，再向左平移個單位，可以得到函數(shù)的圖象；②若，且的最小值為.求解下列問題：(1)求的表達(dá)式并求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)已知，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）若選條件①，根據(jù)降冪公式結(jié)合三角函數(shù)圖