2026屆遼寧省大連海灣高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.2．曲線在處的切線的傾斜角是（）A. B.C. D.3．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．我們通常稱離心率是的橢圓為“黃金橢圓”．如圖，已知橢圓，，，，分別為左、右、上、下頂點(diǎn)，，分別為左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，下列條件中能使橢圓為“黃金橢圓”的是（）A. B.C.軸，且 D.四邊形的一個(gè)內(nèi)角為5．已知a，b是互不重合直線，，是互不重合的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，則6．已知遞增等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，則與的關(guān)系是（）A. B.C. D.7．在如圖所示的莖葉圖中，若甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為16，則乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）A.12 B.10C.8 D.68．若定義在R上的函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A. B.C. D.9．橢圓與(0<k<9)的（）A.長(zhǎng)軸的長(zhǎng)相等B.短軸的長(zhǎng)相等C.離心率相等D.焦距相等10．已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實(shí)數(shù)n的值是（）A. B.C. D.11．點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知雙曲線C的離心率為，，是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，，若△的面積為，則雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A.1 B.2C.4 D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有一組數(shù)據(jù)：，其平均數(shù)是，則其方差是________.14．已知在時(shí)有極值0，則的值為____15．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)m的值是___________.16．已知向量，，，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=2，E，F(xiàn)分別為AD和PB的中點(diǎn).請(qǐng)用空間向量知識(shí)解答下列問(wèn)題：（1）求證：EF//平面PDC；（2）求平面EFC與平面PBD夾角的余弦值.18．（12分）自我國(guó)爆發(fā)新冠肺炎疫情以來(lái)，各地醫(yī)療單位都加緊了醫(yī)療用品的生產(chǎn)．某醫(yī)療器械廠統(tǒng)計(jì)了口罩生產(chǎn)車間每名工人的生產(chǎn)速度，并將所得數(shù)據(jù)分成五組并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．已知前四組的頻率成等差數(shù)列，第五組與第二組的頻率相等（1）估計(jì)口罩生產(chǎn)車間工人生產(chǎn)速度的中位數(shù)（結(jié)果寫成分?jǐn)?shù)的形式）；（2）為了解該車間工人生產(chǎn)速度是否與他們的工作經(jīng)驗(yàn)有關(guān)，現(xiàn)從車間所有工人中隨機(jī)抽樣調(diào)查了5名工人的生產(chǎn)速度以及他們的工齡（參加工作的年限），數(shù)據(jù)如下表：工齡x（單位：年）4681012生產(chǎn)速度y（單位：件/小時(shí)）4257626267根據(jù)上述數(shù)據(jù)求每名工人的生產(chǎn)速度y關(guān)于他的工齡x的回歸方程，并據(jù)此估計(jì)該車間某位有16年工齡的工人的生產(chǎn)速度附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式為：，19．（12分）已知在公差不為0的等差數(shù)列中，，且構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列___________，求數(shù)列的前項(xiàng)和請(qǐng)?jiān)冖伲虎?；③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成解答20．（12分）設(shè)圓的圓心為﹐直線l過(guò)點(diǎn)且與x軸不重合，直線l交圓于A，B兩點(diǎn).過(guò)作的平行線交于點(diǎn)P.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E，直線l交E于M，N兩點(diǎn)，C在線段上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于C的對(duì)稱點(diǎn)為Q，求四邊形面積的取值范圍；21．（12分）某城市一入城交通路段限速60公里/小時(shí)，現(xiàn)對(duì)某時(shí)段通過(guò)該交通路段的n輛小汽車車速進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并繪制成頻率分布直方圖（如圖）.若這n輛小汽車中，速度在50~60公里小時(shí)之間的車輛有200輛.（1）求n的值；（2）估計(jì)這n輛小汽車車速的中位數(shù)；（3）根據(jù)交通法規(guī)定，小車超速在規(guī)定時(shí)速10%以內(nèi)（含10%）不罰款，超過(guò)時(shí)速規(guī)定10%以上，需要罰款.試根據(jù)頻率分布直方圖，以頻率作為概率的估計(jì)值，估計(jì)某輛小汽車在該時(shí)段通過(guò)該路段時(shí)被罰款的概率.22．（10分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在有解，進(jìn)而求函數(shù)的最值，即可求出的范圍.【詳解】∵，∴，若在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則有解，故，令，則在單調(diào)遞增，，故.故選：D.2、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求出并借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.【詳解】由求導(dǎo)得：，則有，因此，曲線在處的切線的斜率為，所以曲線在處切線的傾斜角是.故選：D3、B【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵，∴“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4、B【解析】先求出橢圓的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)于A，根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)求出離心率判斷A；對(duì)于B，根據(jù)勾股定理以及離心率公式判斷B；根據(jù)結(jié)合斜率公式以及離心率公式判斷C；由四邊形的一個(gè)內(nèi)角為,即即三角形是等邊三角形，得到，結(jié)合離心率公式判斷D.【詳解】∵橢圓∴對(duì)于A，若，則，∴，∴，不滿足條件，故A不符合條件；對(duì)于B，，∴∴，∴∴，解得或（舍去），故B符合條件；對(duì)于C，軸，且，∴∵∴，解得∵，∴∴，不滿足題意，故C不符合條件；對(duì)于D，四邊形的一個(gè)內(nèi)角為,即即三角形是等邊三角形，∴∴，解得∴，故D不符合條件故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓離心率，涉及了勾股定理，斜率公式等的應(yīng)用，充分利用建立的等式是解題關(guān)鍵.5、B【解析】根據(jù)線線，線面，面面位置關(guān)系的判定方法即可逐項(xiàng)判斷.【詳解】A：若，，則或a，故A錯(cuò)誤；B：若，，則a⊥β，又，則a⊥b，故B正確；C：若，，則或α與β相交，故C錯(cuò)誤；D：若，，，則不能判斷α與β是否垂直，故D錯(cuò)誤.故選：B.6、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知列式求得，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，所以，又，所以，所以，，所以即故選：D7、A【解析】根據(jù)眾數(shù)的概念，求得的值，再根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為16，得，所以乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為故選：A.8、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意，求得其單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞減；又，故可得，則，即，解得，故不等式解集為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，以及利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，屬中檔題.9、D【解析】根據(jù)橢圓方程求得兩個(gè)橢圓的，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】橢圓與(0<k<9)的焦點(diǎn)分別在x軸和y軸上，前者a2＝25，b2＝9，則c2＝16，后者a2＝25－k，b2＝9－k，則顯然只有D正確故選：D10、C【解析】首先根據(jù)拋物線焦半徑公式得到，從而得到，再根據(jù)曲線的一條漸近線與直線AM平行，斜率相等求解即可.【詳解】由題知：，解得，拋物線.雙曲線的左頂點(diǎn)為，，因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線平行，所以，解得.故選：C11、A【解析】由，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最值【詳解】設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，則又因?yàn)椋?，所以，則故選：A12、C【解析】由已知條件可得，，，再由余弦定理得，進(jìn)而求其正弦值，最后利用三角形面積公式列方程求參數(shù)a，即可知雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng).【詳解】由題意知，點(diǎn)P在右支上，則，又，∴，，又，∴，則在△中，，∴，故，解得，∴實(shí)軸長(zhǎng)為，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】先按照平均數(shù)算出a，再按照方差的定義計(jì)算即可?！驹斀狻俊撸?，方差，故答案為：2.14、11【解析】由題知，且，所以，得或，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增無(wú)極值，舍去②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn)，符合題意，∴15、【解析】結(jié)合已知條件和空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故答案為：.16、2【解析】由空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，，所以?故答案為：2.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出平面的法向量，再求出，判斷是否與法垂直即可，（2）分別求出平面EFC與平面PBD的法向量，利用向量夾角公式求解即可【小問(wèn)1詳解】因PD⊥底面ABCD，平面，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AD和PB的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?所以平面，所以平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋?因?yàn)槠矫?，所以EF//平面PDC；【小問(wèn)2詳解】設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，所以，令，則，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?所以，令，則，設(shè)平面EFC與平面PBD夾角為，，則，所以平面EFC與平面PBD夾角的余弦值為18、（1）（2）80件/小時(shí)【解析】（1）先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和頻率分布直方圖各矩形的面積之和為1求出各組頻率，再利用頻率分布直方圖求中位數(shù)；（2）先求出、，利用最小二乘法求出回歸直線方程，再進(jìn)行預(yù)測(cè)其生產(chǎn)速度.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)前4組的頻率分別為，，，，公差為，由頻率分布直方圖，得，即，解得，則，，所以中位數(shù)為.【小問(wèn)2詳解】解：由題意，得，，由所給公式，得，，所以回歸直線方程為，則當(dāng)時(shí)，，即估計(jì)該車間某位有16年工齡的工人的生產(chǎn)速度為80件/小時(shí).19、（1），（2）答案見解析【解析】（1）設(shè)的公差為，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到，即可求，從而求出的通項(xiàng)公式，所以，即可求出等比數(shù)列的公比，從而求出的通項(xiàng)公式；（2）若選①：則，利用裂項(xiàng)相消法求和即可；若選②：則，根據(jù)等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得；若選③：則利用分組求和法求和即可；【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)的公差為，成等比數(shù)列，，，解得或，，，即，，的公比，，【小問(wèn)2詳解】解：若選①：則，；若選②：則，；若選③：則，.20、（1）（2）【解析】（1）由得，，再由，可得的軌跡方程；（2）設(shè)四邊形的面積為，，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入，整理后再利用函數(shù)單調(diào)性可得答案.【小問(wèn)1詳解】（1）圓的圓心為，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，又，且，，所以的軌跡方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)四邊形面積為，則，可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程化簡(jiǎn)得，>0恒成立.設(shè)，則，=，令，則，在上單調(diào)遞增，，即四邊形面積的取值范圍.21、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合頻率與頻數(shù)的關(guān)系，即可求解（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合中位數(shù)公式，即可求解（3）在這500輛小車中，有40輛超速，再結(jié)合古典概型的概率公式，即可求解【小問(wèn)1詳解】解：由直方圖可知，速度在公里小時(shí)之間的頻率為，所以，解得【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)這輛小汽車車速的中位數(shù)為，則，解得小問(wèn)3