上海市交通大學(xué)附屬中學(xué)嘉定分校2026屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù).一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為4天，那么感染人數(shù)超過1000人大約需要（）（初始感染者傳染個(gè)人為第一輪傳染，這個(gè)人每人再傳染個(gè)人為第二輪傳染）A.20天 B.24天C.28天 D.32天2．在正方體中，分別是線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離是（）A. B.C. D.3．有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為A. B.C. D.4．在等差數(shù)列中，，且，，，構(gòu)成等比數(shù)列，則公差（）A.0或2 B.2C.0 D.0或5．若命題為“，”，則為（）A.， B.，C.， D.，6．?dāng)?shù)列滿足，，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和為（）A.25 B.26C.27 D.287．將一枚骰子先后拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，則直線到原點(diǎn)的距離不超過1的概率是（）A. B.C. D.8．觀察數(shù)列，（），，（）的特點(diǎn)，則括號(hào)中應(yīng)填入的適當(dāng)?shù)臄?shù)為（）A. B.C. D.9．已知滿約束條件，則的最大值為（）A.0 B.1C.2 D.310．已知數(shù)列中，，則（）A.2 B.C. D.11．“”是“直線與直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．拋物線上的一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則函數(shù)在上的最大值為_______14．拋物線（）上的一點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離______.15．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員5場(chǎng)比賽得分的莖葉圖如圖所示，已知甲得分的極差為32，乙得分的平均值為24，則甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______.16．直線過拋物線的焦點(diǎn)F，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別為線段、的中點(diǎn).（1）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（2）求直線到平面的距離.18．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知橢圓的焦距為，左、右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上一點(diǎn)，且軸，，為垂足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)的直線（斜率不為）與橢圓交于兩點(diǎn)，為軸正半軸上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)20．（12分）寫出下列命題的逆命題、否命題以及逆否命題：（1）若，則；（2）已知為實(shí)數(shù)，若，則21．（12分）已知圓與x軸交于A，B兩點(diǎn)，P是該圓上任意一點(diǎn)，AP，PB的延長(zhǎng)線分別交直線于M，N兩點(diǎn).（1）若弦AP長(zhǎng)為2，求直線PB的方程；（2）以線段MN為直徑作圓C，當(dāng)圓C面積最小時(shí)，求此時(shí)圓C的方程.22．（10分）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)題意列出方程，利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算n輪傳染后感染的總?cè)藬?shù)，得到指數(shù)方程，求得近似解，然后可得需要的天數(shù).【詳解】感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染,則每輪新增感染人數(shù)為，經(jīng)過n輪傳染，總共感染人數(shù)為：即，解得，所以感染人數(shù)由1個(gè)初始感染者增加到1000人大約需要24天，故選：B【點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)該要分類討論，有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過程2、A【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，然后，列出計(jì)算公式進(jìn)行求解即可【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，所以，所以，則點(diǎn)到直線的距離故選：A3、A【解析】每個(gè)同學(xué)參加的情形都有3種，故兩個(gè)同學(xué)參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A4、A【解析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程，可解得公差d得選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，，且，，，構(gòu)成等比數(shù)列，所以，即，所以，解得或，故選：A.5、B【解析】特稱命題的否定是全稱命題，把存在改為任意，把結(jié)論否定.【詳解】“，”的否命題為“，”，故選：B6、C【解析】根據(jù)通項(xiàng)公式及求出，從而求出前8項(xiàng)和.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和為.故選：C7、C【解析】先由條件得出a，b滿足，得出滿足的基本事件數(shù)，再求出總的基本事件數(shù)，從而可得答案.【詳解】直線到原點(diǎn)的距離不超過1，則所以當(dāng)時(shí)，可以為5，6當(dāng)時(shí)，可以為4，5，6當(dāng)時(shí)，可以為4，5，6當(dāng)時(shí)，可以為2，3，4，5，6當(dāng)時(shí)，可以為1，2，3，4，5，6當(dāng)時(shí)，可以為1，2，3，4，5，6滿足的共有25種結(jié)果.將一枚骰子先后拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，共有種結(jié)果所以滿足條件的概率為故選：C8、D【解析】利用觀察法可得，即得.【詳解】由題可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∴.故選：D9、B【解析】作出給定不等式表示的平面區(qū)域，再借助幾何意義即可求出的最大值.【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影，其中，，目標(biāo)函數(shù)，即表示斜率為2，縱截距為的平行直線系，作出直線，平移直線到直線，使其過點(diǎn)A時(shí)，的縱截距最小，最大，則，所以的最大值為1.故選：B10、A【解析】根據(jù)數(shù)列的周期性即可求解.【詳解】由得,顯然該數(shù)列中的數(shù)從開始循環(huán),數(shù)列的周期是，所以.故選：A.11、A【解析】求出兩直線垂直的充要條件后再根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】由,得,即或所以,反之,則不然所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選:A12、C【解析】由點(diǎn)的坐標(biāo)求得參數(shù)，再由焦半徑公式得結(jié)論【詳解】由題意，解得，所以，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性求出的單調(diào)性，比較極小值與兩端點(diǎn)，的大小求出在上的最大值.【詳解】因?yàn)?，則，令，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.令，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值也是函數(shù)的最小值.，兩端點(diǎn)為，，即最大值為.故答案為：.14、【解析】將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程中可求得拋物線的方程，從而可得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出【詳解】解：為拋物線上一點(diǎn)，即有，，拋物線的方程為，焦點(diǎn)為，即有.故答案為：5.15、【解析】先由極差以及平均數(shù)得出，進(jìn)而得出中位數(shù).【詳解】由可得，，，因?yàn)橐业梅值钠骄禐?4，所以，所以甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是.故答案為：16、8【解析】由題意，求出，然后聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理及即可求解.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又直線過拋物線的焦點(diǎn)F，所以，拋物線的方程為，由，得，所以，所以.故答案為：8.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面所成銳二面角的余弦值；（2）證明出平面，利用空間向量法可求得直線到平面的距離.【小問1詳解】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，易知平面的一個(gè)法向量為，，因此，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【小問2詳解】解：，則，所以，，因?yàn)槠矫妫?，平面，，所以，直線到平面的距離為.18、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求得，分、兩種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）利用參變量分離法可得出對(duì)任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?因?yàn)?，由，可?①當(dāng)時(shí)，由可得，由可得.此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】解：當(dāng)且時(shí)，由，可得，令，其中，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，.19、（1）（2）【解析】（1）利用△∽△構(gòu)造齊次方程，求出離心率，再利用焦距即可求出橢圓方程；（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理求出和，利用幾何關(guān)系可知，即可得，將韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)即可求得點(diǎn)坐標(biāo).【小問1詳解】∵橢圓的焦距為，∴，即，軸，∴，則,由，，則△∽△，∴，即，整理得，即，解得或（舍去）∴，∴，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，且，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，，則，，∵，∴，∴,∴，∴，即.20、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）（2）根據(jù)逆命題、否命題以及逆否命題的定義作答即可；【小問1詳解】解：逆命題：若，則；否命題：若，則；逆否命題：若，則【小問2詳解】解：逆命題：已知為實(shí)數(shù)，若，則；否命題：已知為實(shí)數(shù)，若或，則；逆否命題：已知實(shí)數(shù)，若，則或21、（1）或；（2）.【解析】（1）根據(jù)圓的直徑的性質(zhì)，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】在方程中，令，解得，或，因?yàn)锳P，PB的延長(zhǎng)線分別交直線于M，N兩點(diǎn)，所以，圓心在x軸上，所以，因?yàn)椋?，所以有，?dāng)P在x軸上方時(shí)，直線PB的斜率為：，所以直線PB的方程為：，當(dāng)P在x軸下方時(shí)，直線PB的斜率為：，所以直線PB的方程為：，因此直線PB的方程為或；【小問2詳解】由（1）知：，，所以設(shè)直線的斜率為，因此直線的斜率為，于是直線的方程為：，令，，即直線的方程為：，令，，即，因?yàn)橥?hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)