、-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷（測試范圍：選擇性必修第一冊+數(shù)列）選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分。每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的。1．已知等差數(shù)列{an}中，a2+a4＝6，則a1+a3+a5＝（B）A．15 B．9 C．36 D．【解析】a2+a4＝6，則2a3＝6，那么a3＝3．則a1+a3+a5＝（a1+a5）+a3＝2a3+a3＝3a3．把a3＝3代入可得3a3＝3×3＝9．2．若方程x26-m+y2A．4＜m＜6 B．m＞5 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6【解析】∵方程x26-m+y2m-4=1表示焦點在y軸上的橢圓，∴m﹣4＞6﹣m＞0，∴53．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB→=a→，AC→=b→，AAA．-12a→+12b→+c→【解析】由題意可得：OB1→4．已知直線l：3x+4y﹣16＝0，點P為圓C：（x﹣2）2+y2＝1上一動點，則點P到直線l的最小距離為（A）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】根據(jù)題意，圓C：（x﹣2）2+y2＝1，其圓心C（2，0），半徑r＝1，圓心C到直線l的距離d=|3×2-16|32+42=2＞r=1，則直線l與圓C相離，所以圓上動點P5．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an+1＝2an﹣1，則a100的值為（C）A．299﹣1 B．2100﹣1 C．299+1 D．2100+1【解析】數(shù)列{an}滿足a1＝2，an+1＝2an﹣1，兩邊同時減去1可得an+1﹣1＝2（an﹣1），又a1﹣1＝1，故數(shù)列{an﹣1}是以首項為1，公比為2的等比數(shù)列，故an-1=2n6．已知圓A：（x+3）2+y2＝4，B（3，0），點P在圓A上運動，設(shè)線段PB的垂直平分線和直線PA的交點為Q，則Q點的軌跡方程為（A）A．x2-y28=1B．x2-y【解析】圓A：（x+3）2+y2＝4，B（3，0），點P在圓A上運動，設(shè)線段PB的垂直平分線和直線PA的交點為Q，如圖所示：圓A的圓心為A（﹣3，0），半徑為r＝2，由中垂線的性質(zhì)可得|QP|＝|QB|，所以||QB|﹣|QA||＝||QP|﹣|QA||＝r＝2＜|AB|，所以Q點的軌跡方程是雙曲線，且c＝3，2a＝2，a＝1，b2＝c2﹣a2＝8，所以Q點的軌跡方程為x2-7．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是橢圓上的一點，且點P在A．[13，12) B．(0，1【解析】如圖所示，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是橢圓上的一點，且點P在x軸上方，連接PI并延長，交x軸于點Q，則∠PF1I＝∠IF1Q，∠PF2I＝∠IF2Q，則8．設(shè)直線2x﹣y+m＝0（m≠0）與雙曲線x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線分別交于點MA．y=±22x B．y＝±3x C．y=【解析】由y=2x+my=bax，解得M（mab-2a，bmb-2a），由y=2x+my=-bax，解得N（-am2a+b，bm2a+b）．∴MN的中點坐標(biāo)為P（2a2mb2-4a2，mb2b2-4a2），點D（4m，選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，a1＝10，S9＝18，則（BC）A．a(chǎn)5＝0B．S11＝0C．當(dāng)n＝5時，Sn取最大值 D．Sn的最小值是0【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a1＝10，S9＝18，所以S9=9a1+9×82d=90+36d＝18，解得d＝﹣2，對于A，a5＝a1+4d＝2，故A錯誤；對于B，S11=11a1+11×102d=11a1+55d=110﹣110＝0，故B正確；對于C，D，Sn=na1+n(n10．已知點O為坐標(biāo)原點，直線y＝x﹣1與拋物線C：y2＝4x相交于A，B兩點，則（AC）A．|AB|＝8 B．OA⊥OB C．△AOB的面積為22 D．線段AB的中點到直線x＝0的距離為2【解析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立y=x-1y2=4x，得y2﹣4y﹣4＝0，所以y1+y2＝4，y1x1+x2＝y(tǒng)1+1+y2+1＝6，x1x2＝（y1+1）（y2+1）＝y(tǒng)1y2+（y1+y2）+1＝﹣4+4+1＝1，|AB|=1+12(y1+y2)2-4y1y2=242-4×(-4)=8，故A正確；OA→?OB→=（x1，y1）（x2，y2）＝x1x2+y1y2＝1+（﹣4）＝﹣3≠0，故B不正確；點O到直線AB的距離d=|-1|1+12=211．在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為線段B1C上的動點，則下列結(jié)論正確的是（BC）A．直線A1P與BD所成的角是π6B．當(dāng)B1P＝2PC時，點D1到平面A1BP的距離為23C．三棱錐P﹣A1C1D的體積不變 D．若B1P→=13B1C→，則二面角【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（2，2，2），D1（0，2，2）．B1C→=(0，2，-2)，BD→=(-2，2，0)，設(shè)B1P→=tB1C→=(0，2t，-2t)(0≤t≤1)，依據(jù)共線向量設(shè)坐標(biāo)，故P（2，2t，2﹣2t），A1P→=(2，2t，-2t)，若直線A1P與BD所成的角是π6，則|BD→?A1P→|BD→||A1P→||=|-4+4t|22×4+4t2+4t2=4-4t22×4+8t2=32，整理得4t2+4t+1＝0，因此（2t+1）2＝0，解得t=-12?[0，1]，根據(jù)范圍的限制直線A1P與BD所成的角不可能是π6，因此A錯誤；當(dāng)B1P＝2PC時，結(jié)合A中分析可得t=23，故P(2，43，23)，故BP→=(0，43，23)，而BA1→=(-2，0，2)，設(shè)平面A1BP的法向量為m→=(x，y，z)，則m→?BP→=0，m→?BA1→=0，因此43填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分。12．等比數(shù)列{an}中，a1+a4+a7＝3，a3+a6+a9＝12．則{an}的前9項之和為．9或17【解析】在等比數(shù)列{an}中，由a1+a4+a7＝3，a3+a6+a9＝12，得q2=a3+當(dāng)q＝﹣2時，a2+a5+a8＝﹣6，S9＝a1+a2+…+a9＝3﹣6+12＝9；當(dāng)q＝2時，a2+a5+a8＝6，S9＝a1+a2+…+a9＝3+2+12＝17．13．過點P（2，1）作直線與拋物線y2＝8x相交于A，B兩點，若點P是線段AB的中點，則直線AB的斜率是．4【解析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），因為點P（2，1）是線段AB的中點，所以x1+x2＝4，y1+y2＝2，因為A，B為拋物線y2＝8x上的點，所以y12=8x1，y22=8x2，兩式相減得（y1﹣y2）（y1+y2）＝8（x1﹣x2），所以y14．設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦點是F，左、右頂點分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點，若A1B⊥【解析】根據(jù)題意，可知F（c，0），A1（﹣a，0），A2（a，0），將x＝c代入雙曲線的方程，解得y＝±b2a，設(shè)B（c，b2a），C（c，-b2a），由題意可知A1B與A2C的斜率存在且不等于0，根據(jù)A1B⊥A2C，可得A1B與A2C的斜率之積為﹣1，即b2ac+a?-b2ac-a=-1，整理得b4＝所以雙曲線的離心率e=c四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（本小題13分）已知圓C的圓心在直線3x﹣y＝0上，且經(jīng)過點A（﹣1，3），B（1，5）．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點P（2，1）的直線l與圓C相交于M，N兩點，且|MN|＝23，求直線l的方程．【解析】（1）設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，則3（-D2）+E2=0，1+9﹣D+3E+F＝0，1+25+D+5E+F＝0，聯(lián)立解得D＝﹣2，E＝﹣6，F(xiàn)＝6，∴圓C的方程為x2+y2﹣2x﹣6y+6＝0，即（x﹣1）2+（y﹣3（2）直線l的斜率不存在時，設(shè)直線l的方程為x﹣2＝0，則24-1=23，滿足|MN|＝23．直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0，圓心C（1，3）到直線l的距離d=|k-3+1-2k|k2+1=|k+2|k2+1，由題意可得4-(|k+2|k2+1)2=(3)2，解得k=-34，直線l（2）由（1）知，1an=1+2(n-1)=2n-1，則16．（本小題15分）已知非零數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an﹣an+1＝2an?an+1（n∈N*）．（1）求證：{1（2）求數(shù)列{an?an+1}的前n項和Sn．【解析】證明：因為非零數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an﹣an+1＝2an?an+1（n∈N*），所以1an+1-1an=2，所以數(shù)列{1a17．（本小題15分）如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，AB＝6，AD＝CD＝2，∠BAD＝60°，點E在線段AB上，且AE＝2，F(xiàn)為BC的中點．（1）求證：C1E∥平面ADD1A1；（2）若直線D1E與平面ABCD所成角的大小為45°，求二面角B1﹣EF﹣C1的余弦值．【解析】（1）證明：由題意可得CC1∥DD1，又DD1?平面ADD1A1，CC1?平面ADD1A1，∴CC1∥平面ADD1A1，連接CE，∵AE∥CD且AE＝CD，∴四邊形ADCE為平行四邊形，則CE∥AD，又AD?平面ADD1A1，CE?平面ADD1A1，∴CE∥平面ADD1A1，又CC1∩CE＝C且CC1，CE?平面CC1E，∴平面ADD1A1∥平面CC1E，又C1E?平面CC1E，∴C1E∥平面ADD1A1；（2）解：連接DE，由題意可得△ADE為等邊三角形，故DE＝2，由DD1⊥平面ABCD可得∠D1ED為直線D1E與平面ABCD所成的角，故∠D1ED＝45°，則DD1＝DE＝2，以D為坐標(biāo)原點，DC，DD1所在直線分別為y，z軸，過D且垂直于平面CDD1C1的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則E(3，1，0)，F(xiàn)(32，72，0)，B1(3，5，2)，C1（0，2，2），所以EF→=(-32，52，0)，B1E→=(0，-4，-2)，C1E→=(3，-1，-2)，設(shè)平面B1EF的法向量為n1→=(18．（本小題17分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn+2+an＝Sn+1+2an+1，a1＝﹣7，a2＝﹣4．（1）求a3和a4的值，再猜想數(shù)列{an}的通項公式，并證明；（2）求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn；（3）若數(shù)列{bn}滿足bn=2n-1an，求數(shù)列{b【解析】（1）Sn+2+an＝Sn+1+2an+1，令n＝1，得a3＝﹣1，令n＝2，得a4＝2，猜想數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n﹣10，證明如下：由Sn+2+an＝Sn+1+2an+1，移項得Sn+2﹣Sn+1+an＝2an+1，即an+2+an＝2an+1，故數(shù)列{an}為等差數(shù)列，又a1＝﹣7，a2＝﹣4，故公差d＝a2﹣a1＝3，因此，數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n﹣10．（2）由（1）得Sn=(-7+3n-10)n2=32n當(dāng)n≥4時，an＞0，故Tn＝﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+?+an=S綜上所述，Tn（3）由題意得bn=2n-1an=(3n-10)?2n-1，故Rn=-7?1-4?2-1?22+2?23+?+(3n-10)?2n-1①，兩邊乘以2得：2Rn=-7?219．（本小題17分）已知F是拋物線Γ：y2＝2px（p＞0）的焦點，E是拋物線Γ的準(zhǔn)線與x軸的交點，|EF|＝2．（1）求拋物線Γ的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，AB為圓O1：(x+4)2+y2=16的一條不垂直于y軸的直徑，分別延長①直線O1C，O1D，CD的斜率分別為k1，k2，k3，證明：1k②求四