吉林省通榆縣第一中學(xué)2026屆高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.2．美學(xué)四大構(gòu)件是：史詩、音樂、造型（繪畫、建筑等）和數(shù)學(xué)．素描是學(xué)習(xí)繪畫的必要一步，它包括明暗素描和結(jié)構(gòu)素描，而學(xué)習(xí)幾何體結(jié)構(gòu)素描是學(xué)習(xí)素描最重要的一步．某同學(xué)在畫切面圓柱體（用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體，原圓柱的母線被截面所截剩余的部分稱為切面圓柱體的母線）的過程中，發(fā)現(xiàn)“切面”是一個(gè)橢圓，若切面圓柱體的最長母線與最短母線所確定的平面截切面圓柱體得到的截面圖形是有一個(gè)底角為60度的直角梯形，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.3．已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且實(shí)半軸長為4，虛半軸長為5，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝14．命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，5．如圖，正四棱柱是由四個(gè)棱長為1的小正方體組成的，是它的一條側(cè)棱，是它的上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，則集合的元素個(gè)數(shù)（）A.1 B.2C.4 D.86．已知直線與圓相切，則的值是（）A. B.C. D.7．拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離（）A. B.C.1 D.28．若拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離是到軸距離的倍，則等于A. B.1C. D.29．函數(shù)的圖像大致是（）A. B.C. D.10．在平面上有及內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（）A.外心 B.內(nèi)心C.重心 D.垂心11．已知為偶函數(shù)，且，則___________.12．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A.2 B.4C.6 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線C：的一條漸近線與直線l：平行，則雙曲線C的離心率是______14．記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，公比，則______15．已知等比數(shù)列的前n和為，若成等差數(shù)列，且，，則的值為_______________16．方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：y2=4x經(jīng)過點(diǎn)A（1，2），直線l：y=kx+b與拋物線C交于M，N兩點(diǎn).（1）若，求直線l的方程；（2）當(dāng)AM⊥AN時(shí)，若對任意滿足條件的實(shí)數(shù)k，都有b=mk+n（m，n為常數(shù)），求m+2n的值.18．（12分）如圖1，在邊長為4的等邊三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，沿DE把折起，得到如圖2所示的四棱錐.（1）證明：平面.（2）若二面角的大小為60°，求平面與平面的夾角的大小.19．（12分）已知函數(shù)（1）求f(x)在點(diǎn)處的切線方程；（2）求證：20．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求在處的切線方程；（2）求的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).21．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為,斜率為1的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，以為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程；（2）求的面積.22．（10分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）討論的單調(diào)性

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由題意，化簡即可得出雙曲線的離心率【詳解】解：由題意，.故選：D2、A【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，由題意知，，橢圓的長軸長，短軸長為，可以求出的值，即可得離心率.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，依題意知，最長母線與最短母線所在截面如圖所示從而因此在橢圓中長軸長，短軸長，，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義和橢圓離心力的求解，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且實(shí)半軸長為4，虛半軸長為5，可得a＝4，b＝5，所以雙曲線方程為：＝1.故選：D.4、B【解析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】命題，為特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題，所以命題，，則為：，.故選：B5、A【解析】用空間直角坐標(biāo)系看正四棱柱，根據(jù)向量數(shù)量積進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系，為原點(diǎn)，正四棱柱的三個(gè)邊的方向分別為軸、軸和看軸，如右圖示，，設(shè)，則AB所以集合，元素個(gè)數(shù)為1.故選：A.6、D【解析】直線與圓相切，直接通過求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，所以，.故選：D7、B【解析】由拋物線可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由拋物線可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，可得，即拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為.故選：B.8、D【解析】根據(jù)拋物線的定義及題意可知3x0=x0+,得出x0求得p，即可得答案【詳解】由題意，3x0=x0+，∴x0=∴∵p＞0，∴p=2.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義和性質(zhì)．考查了考生對拋物線定義的掌握和靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題9、B【解析】由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及指數(shù)的增長趨勢即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，排除A、D；又由指數(shù)函數(shù)增長趨勢，排除C.故選：B10、B【解析】利用三角形面積公式，推出點(diǎn)O到三邊距離相等。【詳解】記點(diǎn)O到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因?yàn)?，則，即，又因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心.故選：B11、8【解析】由已知條件中的偶函數(shù)即可計(jì)算出結(jié)果，【詳解】為偶函數(shù)，且，.故答案為：812、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)、等差數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先用兩直線平行斜率相等求出，再利用離心率的定義求解即可.【詳解】由題意可得雙曲線C的一條漸近線方程為，則，即，則，故雙曲線C的離心率故答案為：.14、4【解析】根據(jù)給定條件列式求出數(shù)列的首項(xiàng)即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，，解得，所以.故答案為：415、107【解析】根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)題意列方程可得，從而求出或，再根據(jù)，確定，進(jìn)而求出，代入記得：.【詳解】由題意可設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，由成等差數(shù)列可得：，代入可得：，解得：或，又因?yàn)?，易知，又因?yàn)?，，所以，，故答案為?07.【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了和的關(guān)系，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.16、【解析】由題可得，即求.【詳解】∵方程表示雙曲線，∴，∴.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）3或【解析】（1）由可得，則可得直線為，設(shè)，然后將直線方程代入拋物線方程中消去，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，由可得，三個(gè)式子結(jié)合可求出，從而可得直線方程，（2）將直線方程代入拋物線方程中消去，再利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出，再結(jié)合直線方程表示出，由AM⊥AN可得，化簡結(jié)合前面的式子可求出或，從而可可求出的值，進(jìn)而可求得答案【小問1詳解】因?yàn)锳（1，2），，所以，則直線為，設(shè)，由，得，由，得則，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，解得，所以直線的方程為，即，【小問2詳解】設(shè)，由，得，由，得，則，所以，，因?yàn)锳M⊥AN，所以，所以，即，所以，所以，所以或，所以或，所以或18、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)由結(jié)合線面平行的判定即可推理作答.(2)取DE的中點(diǎn)M，連接，F(xiàn)M，證明平面平面，再建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量推理、計(jì)算作答.【小問1詳解】在中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以，則圖2中，，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】依題意，是正三角形，四邊形是菱形，取DE的中點(diǎn)M，連接，F(xiàn)M，如圖，則，，即是二面角的平面角，，取中點(diǎn)N，連接，則有，在中，由余弦定理得：，于是有，，即，而，，，平面，則平面，又平面，從而有平面平面，因平面平面，平面，因此，平面，過點(diǎn)N作，則兩兩垂直，以點(diǎn)N為原點(diǎn)，射線分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，顯然有，即，所以平面與平面的夾角為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用向量法求二面角：(1)找法向量，分別求出兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夾角，結(jié)合圖形得到二面角的大小；(2)找與交線垂直的直線的方向向量，分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與交線垂直且以垂足為起點(diǎn)的直線的方向向量，則這兩個(gè)向量的夾角就是二面角的平面角19、（1）；（2）證明見解析【解析】（1）求導(dǎo)，進(jìn)而得到，，寫出切線方程；（2）將轉(zhuǎn)化為，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)法證明.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，可得又，所以f(x)在點(diǎn)處的切線方程為整理得（或斜截式方程）（2）要證只需證因?yàn)椋圆坏仁降葍r(jià)于設(shè)，，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增故又，；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減故因?yàn)榍覂蓚€(gè)函數(shù)的最值點(diǎn)不相等所以有，原不等式得證20、（1）；（2）極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn).【解析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的極值點(diǎn)即可【小問1詳解】函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，在處的切線方程：，即【小問2詳解】令，，解得，當(dāng)時(shí)，可得，即的單調(diào)遞減區(qū)間，或，可得，∴函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，，的極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn)21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的簡單幾何性質(zhì)知，又，寫出橢圓的方程；（2）先斜截式設(shè)出直線，聯(lián)立方程組，根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，可得出中點(diǎn)為的坐標(biāo)，再根據(jù)△為等腰三角形知，從而得的斜率為，求出，寫出：，并計(jì)算，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求高，即可計(jì)算出面積【詳解】（1）由已知得，，解得，又，所以橢圓的方程為（2）設(shè)直線的方程為，由得，①設(shè)、的坐標(biāo)分別為，（），中點(diǎn)為，則，，因?yàn)槭堑妊鞯牡走?，所以所以的斜率為，解得，此時(shí)方程①為解得，，所以，，所以，此時(shí)，點(diǎn)到直線：距離，所以△的面積考點(diǎn)：1、橢圓的簡單幾何性質(zhì)；2、直線和橢圓的位置關(guān)系；3、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；4、點(diǎn)到直線的距離.【思路點(diǎn)晴】本題主要考查的是橢圓的方程，橢圓的簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離，屬于難題．解決本類問題時(shí)，注意使用橢圓的幾何性質(zhì)，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；求三角形的面積需要求出底和高，在求解過程中要充分利用三角形是等腰三角形