5.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和人教B版（2019）選擇性必修第三冊(cè)學(xué)習(xí)目標(biāo)CONTENTS1.理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，并能自主推導(dǎo)出公式，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點(diǎn)）2.通過分析比較，理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點(diǎn)）3.運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決實(shí)際問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)計(jì)算能力（難點(diǎn)）課程引入情境與問題為了達(dá)到更好的音響和觀賞效果，很多劇場(chǎng)的座位都是排成圓弧形的，如圖所示.如果某公司要為一個(gè)類似的劇場(chǎng)定做椅子，而且劇場(chǎng)座位的排列規(guī)律是：第1排36個(gè)，以后每一排比前一排多6個(gè)，共有8排.你能幫這個(gè)公司算出共需要多少椅子嗎？利用這一小節(jié)我們要學(xué)習(xí)的等差數(shù)列前

n項(xiàng)和的公式，我們可以便捷地解答出上述情境中的問題.課程內(nèi)容教學(xué)嘗試與發(fā)現(xiàn)如圖所示，建筑工地上堆放著一些鋼管，最上面一層有4根，下面每一層比上一層多放一根，共8層.（1）在不逐個(gè)相加的前提下，你能想辦法算出這些鋼管共有多少根嗎？這些鋼管從上到下每一層的數(shù)量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{an}，首項(xiàng)為a1=4，公差d=1，而且該數(shù)列共有8項(xiàng)，第8項(xiàng)為a8=4+(8-1)×1=11設(shè)想在圖中的鋼管旁邊再放同樣多數(shù)量的鋼管，但是倒過來放置，如圖所示.課程內(nèi)容教學(xué)嘗試與發(fā)現(xiàn)（1）在不逐個(gè)相加的前提下，你能想辦法算出這些鋼管共有多少根嗎？這時(shí)每一層的鋼管數(shù)是相同的，都是4+11根，因此這些鋼管的總數(shù)為4+11根4+11根4+11根??（2）你能得出一般等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式嗎？設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，即Sn=a1+a2+…+an-1+an，①Sn=an+an-1+…+a2+a1，

②顯然，這種計(jì)算方法叫做倒序相加法課程內(nèi)容教學(xué)嘗試與發(fā)現(xiàn)（2）你能得出一般等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式嗎？根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=…所以把①②兩邊分別相加，可得2Sn=n(a1+an)，因此這就是等差數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式.課程內(nèi)容教學(xué)嘗試與發(fā)現(xiàn)上述等差數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式與首項(xiàng)和第n項(xiàng)有關(guān)，你能將其改寫成與公差d有關(guān)的形式嗎？因?yàn)閍n=a1+(n-1)d，所以等差數(shù)列前n項(xiàng)求和公式也可以改寫為由此可知，前述情境與問題中的椅子總數(shù)為課程內(nèi)容教學(xué)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，即課程內(nèi)容教學(xué)例1：已知等差數(shù)列{an}的公差為2，且a20=29，求這個(gè)等差數(shù)列前20項(xiàng)的和S20.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得29=a1+19×2，由此可解得a1=-9.因此課程內(nèi)容教學(xué)例2：求等差數(shù)列5，12，19，26，…，201，208的各項(xiàng)之和.可以看出，所求數(shù)列是公差為7的等差數(shù)列.設(shè)共有n項(xiàng)，則208=5+(n-1)×7，解得n=30.因此各項(xiàng)之和為課程內(nèi)容教學(xué)例3：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為Sn=2n2-30n，(1)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷這個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列；當(dāng)n=1時(shí)，有a1=S1=2-30=-28.

當(dāng)n≥2，有an=Sn-Sn-1=2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32又因?yàn)?×1-32=-28，所以n=1時(shí)an=4n-32也成立，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=4n-32因?yàn)閍n+1-an=4(n+1)-32-(4n-32)=4所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.課程內(nèi)容教學(xué)(2)求Sn的最小值，并求Sn取得最小值時(shí)n的值.方法一：因?yàn)镾n=2n2-30n=2(n2-15n)=又因?yàn)閚是正整數(shù)，所以當(dāng)n=7或n=8時(shí)，Sn最小，最小值是2×72-30×7=-112方法二：由an=4n-32可知數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，而且首項(xiàng)a1=-28<0令an≤0，可得4n-32≤0，解得n≤8，而且a8=0.由此可知，n=7或n=8時(shí)，Sn最小，最小值是課程內(nèi)容教學(xué)探索與研究1.等差數(shù)列中，Sn與n的關(guān)系與以前學(xué)過的什么函數(shù)有關(guān)？二次函數(shù)2.如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的公式是Sn=An2+Bn+C

，其中A,B,C都是常數(shù)，那么{an}一定是等差數(shù)列嗎？為什么？當(dāng)C=0時(shí)，數(shù)列{an}為等差數(shù)列；當(dāng)C≠0時(shí)，數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列．課程內(nèi)容教學(xué)例4：李先生為今年上高中的兒子辦理了“教育儲(chǔ)蓄”.從8月1日開始，每個(gè)月的1日都存入1000元，共存入3年.(1)已知當(dāng)年“教育儲(chǔ)蓄”存款的月利率為2.7‰，則3年后李先生一次可支取本息共多少元？（設(shè)每月存款的利息不計(jì)入下月本金，下同.）每1000元“教育儲(chǔ)蓄”存一個(gè)月能得到的利息是1000×2.7‰=2.7(元)第1個(gè)1000元存36個(gè)月，得利息2.7×36(元)第2個(gè)1000元存35個(gè)月，得利息2.7×35(元)……課程內(nèi)容教學(xué)(1)已知當(dāng)年“教育儲(chǔ)蓄”存款的月利率為2.7‰，則3年后李先生一次可支取本息共多少元？（設(shè)每月存款的利息不計(jì)入下月本金，下同.）第36個(gè)1000元存1個(gè)月，得利息2.7×1(元)因此，3年后李先生獲得利息所以3年后李先生可支取的本息和為1000×36+1798.2=37798.2(元)課程內(nèi)容教學(xué)(2)已知當(dāng)年同檔次的“零存整取”儲(chǔ)蓄的月利率是1.725‰，則李先生辦理“教育儲(chǔ)蓄”比“零存整取”多收益多少元？每1000元“零存整取”存一個(gè)月能得到的利息是1000×1.725‰=1.725(元)因此，若是“零存整取”，3年后李先生獲得利息因此，李先生多收益1798.2-1148.85=649.35(元)即李先生辦理“教育儲(chǔ)蓄”比“零存整取”多收益649.35元.課程內(nèi)容教學(xué)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)a1＞0，d＜0時(shí)，Sn有大值，使Sn取到最值的n可由不等式組

確定；當(dāng)a1<0，d＞0時(shí)，Sn有大值，使Sn取到最值的n可由不等式組

確定；因?yàn)?/p>

，若d≠0，則從二次函數(shù)的角度看：當(dāng)d＞0時(shí)，Sn有最小值；當(dāng)d＜0時(shí)，Sn有最大值；且n取最接近對(duì)稱軸的自然數(shù)時(shí)，Sn取到最值．課程內(nèi)容教學(xué)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)課后練習(xí)