5.1.2數(shù)列中的遞推人教B版（2019）選擇性必修第三冊學(xué)習(xí)目標(biāo)CONTENTS1.知道遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能觀察出數(shù)列項與項之間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)邏輯推理能力（重點）2.理解數(shù)列前n項和Sn的概念，體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象能力（重點）3.能夠推導(dǎo)出an與Sn的關(guān)系，并掌握已知Sn求an的方法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)計算能力（重難點）課程引入如下是某次智力測試中的一道題，你能做出來嗎？你能用數(shù)列的語言來描述有關(guān)問題嗎？觀察

中數(shù)字出現(xiàn)的規(guī)律，寫出第8個數(shù).

1，3，

6，10，15，…嘗試與發(fā)現(xiàn)課程內(nèi)容教學(xué)如果將給定的數(shù)列記作數(shù)列{an}，那么相當(dāng)于是給出了數(shù)列的前5項，要求寫出數(shù)列的第8項a8.因為a2-a1=3-1=2a3-a2=6-3=3a4-a3=10-6=4a5-a4=15-10=5所以，可以猜想，數(shù)列{an}應(yīng)該滿足an+1-an=n+1即an+1=an+n+1，從而可知a6=a5+6=15+6=21課程內(nèi)容教學(xué)a7=a6+7=21+7=28a8=a7+8=28+8=36顯然，上述數(shù)列{an}可以由a1=1，an+1-an=n+1完全確定.課程內(nèi)容教學(xué)遞推公式的概念如果已知數(shù)列的首項（或前幾項），且數(shù)列的相鄰兩項或兩項以上的關(guān)系都可以用一個公式來表示，則稱這個公式為數(shù)列的遞推關(guān)系（也稱為遞推公式或遞歸公式）.課程內(nèi)容教學(xué)例1：分別寫出下列數(shù)列{an}的一個遞推關(guān)系，并求出各個數(shù)列的第7項.(1)1,2,4,7,11,…；因為a2-a1=2-1=1a3-a2=4-2=2a4-a3=7-4=3a5-a4=11-7=4所以an+1-an=n即an+1=an+n從而a6=a5+4=11+5=16，a7=a6+6=16+6=22課程內(nèi)容教學(xué)例1：分別寫出下列數(shù)列{an}的一個遞推關(guān)系，并求出各個數(shù)列的第7項.(2)-1,2,5,8,11,…；因為a2-a1=a3-a2=a4-a3=a5-a4=3所以an+1-an=3即an+1=an+3從而a7=a6+3=a5+3+3=11+6=17課程內(nèi)容教學(xué)例1：分別寫出下列數(shù)列{an}的一個遞推關(guān)系，并求出各個數(shù)列的第7項.(3)1,-2,4,-8,16,….因為所以即an+1=-2an從而a7=(-2)a6=(-2)2a5=(-2)2×16=64課程內(nèi)容教學(xué)例2：意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在13世紀(jì)初提出了一個關(guān)于兔子繁殖的問題：假設(shè)每對新生的小兔子2個月后就長大成大兔子，且從第3個月起每個月都生1對小兔子，兔子均不死亡.由1對新生小兔子開始，記每個月的兔子對數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為{Fn}，試寫出F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4，F(xiàn)5，F(xiàn)6以及數(shù)列{Fn}的遞推關(guān)系.小1大1大1大1大1大1小6小4大4小3大3大3小7小2大2大2大2小8小5大5第1月第2月第3月第4月第5月第6月F1

F2F3F4F5F6課程內(nèi)容教學(xué)根據(jù)題意可知，前2個月內(nèi)，小兔子(小1)都還沒有長成大兔子(大1)，因此F1=F2=1第3個月時，第1個月的那對小兔子(大1)會生1對小兔子(小2)，因此F3=1+1=2第4個月時，第1個月的那對小兔子(大1)會再生1對小兔子(小3)，因此F4=2+1=3第5個月時，除了第1個月的那對小兔子(大1)會再生1對小兔子(小4)外，第3個月出生的那對小兔子(大2)也會生1對小兔子(小5)，因此F5=3+2=5課程內(nèi)容教學(xué)第6個月時，第1個月的那對小兔子(大1)、第3個月出生的小兔子(大2)及第4個月出生的小兔子(大3)，都會生1對小兔子(小6、小7、小8)，因此F6=5+3=8

一般地，當(dāng)n≥3時，第n個月的兔子對數(shù)Fn，應(yīng)該等于第n-1個月的兔子對數(shù)Fn-1加上新生的兔子對數(shù)，又因為第n-2個月的兔子那對到了第n個月都能生1對兔子，因此有Fn=Fn-1+Fn-2課程內(nèi)容教學(xué)斐波那契公式：例2中的數(shù)列，通常稱為斐波那契數(shù)列，可以證明，斐波那契數(shù)列

1，1，2，3，5，8，…的通項公式為

課程內(nèi)容教學(xué)嘗試與發(fā)現(xiàn)已知某電子書，今年上半年每個月的銷售量構(gòu)成數(shù)列，220，530，950，1360，1820，2350假設(shè)你是該電子書的銷售人員，關(guān)于上述數(shù)列，除了每一個數(shù)字的大小和增長趨勢外，你還會關(guān)心什么？作為銷售人員，一般來說還會關(guān)心上半年電子書的總銷售量，即220+530+950+1360+1820+2350=7230課程內(nèi)容教學(xué)數(shù)列的前n項和的概念一般地，給定數(shù)列{an}，稱Sn=a1+a2+a3+…+an為數(shù)列{an}的前n項和.課程內(nèi)容教學(xué)舉個例子：對于嘗試與發(fā)現(xiàn)中的數(shù)列，S1=a1=220，S2=a1+a2=220+530=750，S3=a1+a2+a3=S2+a3=750+950=1700課程內(nèi)容教學(xué)嘗試與發(fā)現(xiàn)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=2n+1.你能寫出a1，a2，a3嗎？你能總結(jié)出一般規(guī)律嗎？因為S1=2×1+1=3，又因為S1=a1，所以a1=3，因為S2=2×2+1=5，又因為S2=a1+a2，所以a2=S2-a1=5-3=2，因為S3=2×3+1=7，又因為S3=a1+a2+a3=S2+a3，所以a3=S3-S2=7-5=2，課程內(nèi)容教學(xué)數(shù)列的前n項和計算公式一般地，如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn，那么當(dāng)n≥2，有Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1Sn=a1+a2+a3+…+an所以Sn=Sn-1+an因此課程內(nèi)容教學(xué)舉個例子：對于嘗試與發(fā)現(xiàn)中的數(shù)列，因為n≥2時an=Sn-Sn-1=2n+1-[2(n-1)+1]=2所以，課程內(nèi)容教學(xué)例3：已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=n2，求數(shù)列{an}的通項公式.由題意可知a1=S1=12=1當(dāng)n≥2時，有an=