專(zhuān)題1.11空間角的向量求法大題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（30道）

【人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)】

姓名：班級(jí)：考號(hào)：

1.（2022?松江區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）在三棱錐A-BCD中，已知CB=CD=再，BD=2,。為8D中點(diǎn)，40_1_平

面BC。，40=2.

（1）求三棱錐A-BCD的體積；

（2）若點(diǎn)、E、尸分別為AC、的中點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面DE/所成角的大小.

2.（2022秋?南昌月考）如圖，四邊形/WCO中，AB=AD=24i,8C=CO=4且A4_LA。，△8CO沿著

BD翻折,

當(dāng)三棱錐C-ABD體積最大值時(shí).

（1）求此時(shí)三棱錐C-ABD的體積：

（2）求此時(shí)直線(xiàn)4D與平面ABC夾角的正弦值.

B

D

3.（2022秋?五華區(qū)校級(jí)月考）如圖，在多面體ABCOEF中，四邊形A8CO是正方形，￡。_1_平面48。。,

平面尸4C_L平面48C。，BF工CF,DE=AD=2.

（1）求多面體A8CQEF體枳的最大值;

（2）當(dāng)多面體ABCQE尸體積取最大值時(shí)，求直線(xiàn)。尸與平面￡BC所成角.

4.（2022秋?安徽月考）如圖，在四棱錐P-A8CD中，底面ABCD為正方形，%_!_平面4BCQ,PA=AB,

PD=3FD,BE=3EP.

（1）求證：AE1FC；

（2）求4￡與平面AC/所成角的余弦值.

5.（2021秋?吉陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）在六面體BABCDE中，B4_L平面A8CD,ED_L平面A8CO,且幺=2EQ,

底面ABC￡＞為菱形，且NA8C=60°.

(I)求證：8。_1平面見(jiàn)。.

(2)若雨=4C,求直線(xiàn)4。與平面4CE所成的角是多少.

6.(2021秋?盤(pán)龍區(qū)月考)如圖，在四棱錐P-A3C。中，AB_L平面%Z),AB//DC,E為線(xiàn)段PO的中點(diǎn),

已知%=4B=AD=CO=2,/抬。=120°.

(1)證明：直線(xiàn)PB〃平面4CE；

(2)求直線(xiàn)P8與平面PCO所成角的正弦值.

7.(2021秋?云南期末)如圖所示，在四棱錐P-ABC。中，底面A8CO為平行四邊形，且N8"=NCQP

=90°.

(1)證明：平面以8_L平面用Z)：

（2）若以=P/）=/W,PAA.PD,求直線(xiàn)以與平面P8C所成角的余弦值.

8.（2022春?巫山縣校級(jí)期末）如圖，已知斜三棱柱NBCA=90°,AC=BC=4.4在底

面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)。.且BAi_L4a.

（1）求證:ACi_L平面48C；

（2）求二面角切-4。-C的余弦值.

9.（2022春?響水縣校級(jí)期中）如圖所示，在四棱錐E-ABC。中，底面4BC7）是菱形，Z/DC=60°,

4c與交于點(diǎn)O,EC_L底面八BCO,/為8E的中點(diǎn)，AB=CE.

（1）求異面直線(xiàn)EO與Ab所成角的余弦值；

（2）求AF與平面E5O所成角的正弦值.

E

10.(2022?南京模擬)如圖，在四棱錐P-A8C。中，底面ABC。為直角梯形，其中AQ〃/3C,AQ=3,

AB=BC=2,B4_L平面A4CQ,且用=3.點(diǎn)/在棱PO上，點(diǎn)N為6c中點(diǎn).

(1)證明：若DM=2MP,則直線(xiàn)MN〃平面附3；

(2)求平面CP。與平面NP。所成角的正弦值.

11.(2022秋?安徽月考)如圖，在三棱柱A8C?4加。中，BC=BB\.BC\QB\C=OfAO_L立面BBICIC.

(1)求證：ABLBxCi

(2)若N818c=60°,直線(xiàn)八8與平面8B1C1C所成的角為30°,求二面角4--4的正弦值.

12.（2022秋?洛陽(yáng)月考）如圖，在四棱錐P-A8CO中，已知平面以D_L平面ABC。，AB//CD,AD1.CD,

CD=2AB=4,是等邊△外D的中線(xiàn).

（1）證明：AE〃平面PBC.

（2）ZPA=4V2,求二面角E-AC-。的大小.

3

13.（2022秋?南京月考）如圖，四棱錐P-48CO的體積為一，平面以O(shè)L平面4BCQ,△以。是面積為V5

4

的等邊三角形，四邊形人8CO是等腰梯形，8C=I,七為棱例上一動(dòng)點(diǎn).

（1）若直線(xiàn)EC與平面ABCO的夾角為60°,求二面角6-C￡-。的正弦值；

ED

（2）求二7的取值范圍.

p

14.（2022?遵義開(kāi)學(xué)）如圖，在四棱錐戶(hù)-A5CQ中，底面A3c。是平行四邊形，PALPD,PA=PD,AD

=4,K為A3的中點(diǎn)，DE=AE,側(cè)面由O_L底面A3C￡>.

（1）證明：布_L平面P8。；

（2）若與平面A4CO所成角的正切值為,，求平面RW）與平面PCE所成的銳二面角的余弦值.

15.（2021秋?綏化月考）如圖，在長(zhǎng)方體48CQ-AiBiOQi中，AB=5,BC=CC\=4,若Q,R分別為

棱88i,8C上的點(diǎn)，且8iQ=3R=l,平面4BSP與棱CCi,。。分別交于S,P,。尸=。（0WaW4）.

（1）求證：B\RLD\Q；

（2）求平面APSB與平面GOiQ所成的銳二面角余弦值的取值范圍.

16.（2022?萬(wàn)州區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長(zhǎng)為2,E,尸分別是BD,DD1的中點(diǎn),

T[T

似是AI8I上一點(diǎn)，且41M

（1）證明：〃平面上木1；

（2）求直線(xiàn)與平面E府I所成角的正弦值.

17.（2022?貴陽(yáng)開(kāi)學(xué)）如圖，在直四棱柱/WCO-48I。。]中，四邊形A8CD是菱形，E,〃分別是棱88|,

DD\的中點(diǎn).

（1）證明：平面AE凡L平面HCG.

(2)若A4=2A8,N84D=60°,求二面角8-A/-E的余弦值.

18.（2021秋?包頭期末）如圖，在三棱錐S-A8C中，SA=SC,。為AC的中點(diǎn)，SDLAB.

（1）證明：平面S4CJ_平面從BC；

（2）若△BCO是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，點(diǎn)尸在棱SC上，PC=2SP,且為一人"=攣，求二面角4-

PB?C的正弦值.

19.（2022,河南開(kāi)學(xué)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,PA=PD=2^2fAB=AD=2CD=4,Z

BAZ）=60°.

（1）若石為PB的中點(diǎn)，證明：CE〃平面小。.

（2）若二面角P-AQ-8為150°,求二面角P-3C-4的余弦值.

20.（2022?浙江開(kāi)學(xué)）如圖，在四棱錐P-48C。中，PALAD,PA±CD,ZADC=AD=DC=^AP,

△A8C為正三角形.

（I）證明：PDLCD；

（2）求BP與平面PC。所成角的正弦值.

C

21.（2022?濮陽(yáng)開(kāi)學(xué)）如圖，在直四棱柱ABCO-AIBICIDI中，各棱長(zhǎng)都為3,/84。=60°,F為棱BBi

上一點(diǎn)，且8尸=1.

（I）求證：平面AC/J_平面。CC141；

(II)求直線(xiàn)8。與平面AOF所成角的正弦值.

22.(2022春?京口區(qū)校級(jí)期末)在四棱錐P-48CQ中，底面A3C。為矩形，PO_L底面43CO,—=2,

AD

直線(xiàn)附與底面48C。成60°角，點(diǎn)M,N分別是%,PB的中點(diǎn).

(1)求直線(xiàn)附與平面P8C所成角的正弦值；

(2)求二面角P-NC-O的大小的余弦值.

23.(2022秋?雨花臺(tái)區(qū)校級(jí)月考)已知如圖1直角梯形ABC。，AB//CD,人4=90°,力8=4,AD=

CD=2,E為44的中點(diǎn)，沿EC將梯形/WC。折起(如圖2),使平面平面AECD

(1)證明：距工L平面AECO；

(2)在線(xiàn)段CD上是否存在點(diǎn)F,使得平面項(xiàng)B與平面E8C所成的銳二面角的余弦值為|,若存在，求

山點(diǎn)廠(chǎng)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2

24.（2022春?銅山區(qū)期中）如圖所示，在四棱錐中P-A8CQ,AB=2DCtAB-BC=0,APLBD,且4P=

r）P=DC=BC=2\[2.

（1）求證：平面ADF_L平面AOCD；

（2）已知點(diǎn)E是線(xiàn)段BP上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)P、8重合），若使二面角E?4。-。的大小為：，試確定

4

點(diǎn)、E的位置..

25.（2022?南京開(kāi)學(xué)）如圖，在直三棱柱48c?AIBCI中，D,E分別為A8,8c的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱與8

上,且B1DJL4F,AiCilAiBi.

（1）求證：4幾L平面BiDE；

8

（2）若AB=AC=4,且三棱錐8i-A1C1F的體積為求平面4。尸與平面BCC/i所成銳二面角的余

弦值.

26.（2022秋?迎澤區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，正方形ABC。所在平面與梯形A8MN所在平面垂直，MB//AN,

NA=AB=2,8M=4,CN=2?

（1）證明：MB_L平面4BCQ；

（2）在線(xiàn)段CM（不含端點(diǎn)）上是否存在?點(diǎn)E,使得二面角E-8N-M的余弦值為不，若存在求出的

CE

二值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

27.（2022春?廣東月考）如圖，三棱柱ABC-4B1C1中，AB_L側(cè)面BBCC,已知NC8Ci=90°,BC=

1,AB=C\C=2,點(diǎn)E是棱C1C的中點(diǎn).

（1）求異面直線(xiàn)AE與BiC所成的角的余弦值;

（2）在棱CA上是否存在一點(diǎn)M,使得EM與平面化所成角的正弦值為誓，若存在，求出詈的

XXC/1

值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

28.（2022?海淀區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，矩形48C。所在的平面與菱形A8EF所在的平面垂直，G為8E邊中

點(diǎn),AE=AF.

（I）求證：直線(xiàn)AGJ?平面ECE；

（II）若AF=2,,求二面角C-AG-F的余弦值.從①BC=曲B,②8C=AG這兩個(gè)條件中任

選一個(gè)填入上面的橫線(xiàn)上，并解答問(wèn)題.

29.（2022?靜海區(qū)校級(jí)模擬）在如圖所示的幾何體中，四邊形A8CO是正方形，四邊形A。。。是梯形，PD

//Q