LL2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

教學(xué)內(nèi)容與解析

1.教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課是人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)第一章“空間向量與立體幾何”1.1.1空間向量及其

線(xiàn)性運(yùn)算，內(nèi)容包括：空間向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算律（交換律、分配律、數(shù)乘結(jié)合律）、幾何意義（判

斷垂直、計(jì)算模長(zhǎng)與角度）及向量投影概念.教學(xué)重點(diǎn)為數(shù)量稅的概念與運(yùn)算律，難點(diǎn)為空間向量投影的

轉(zhuǎn)化與可視化.通過(guò)類(lèi)比平面向量，引導(dǎo)學(xué)生掌握空間向量數(shù)量積的應(yīng)用，解決立體幾何中的垂直、夾角、

理離等問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力..

2.內(nèi)容解析

首先.明確了空間向量數(shù)量積的定義.即兩向量的模與它們夾角余弦的乘積.這是后續(xù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，其

次，闡述了數(shù)量積的運(yùn)算律，包括交換律、分配律等，這些運(yùn)算律與平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律一致，有助于

學(xué)生類(lèi)比學(xué)習(xí).接著，探討了數(shù)量雙的幾何意義，如判斷兩向量垂直、計(jì)算向量模長(zhǎng)及夾角等，這些應(yīng)用體

現(xiàn)了數(shù)量積在立體幾何中的重要性.最后，引入了向量投影的概念，幫助學(xué)生理解空間向量在某一方向上的

分量.

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)為：空間向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算律及幾何意義.這些重點(diǎn)是學(xué)生掌握空間向量數(shù)

量積運(yùn)算、解決立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵.通過(guò)木節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)能熟練運(yùn)用數(shù)量積解決相關(guān)幾何問(wèn)題，為

后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

教學(xué)目標(biāo)與解析

L教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握空間向量的夾角的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

（2）掌握空間向最的數(shù)最積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

（3）了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng).

（4）能用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何中的垂直、夾角、長(zhǎng)度等問(wèn)題，強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

2.目標(biāo)解析

（1）學(xué)生.理解空間向量夾角的概念，即兩向量在空間中的用對(duì)位置關(guān)系，通過(guò)數(shù)學(xué)抽象將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為向量問(wèn)題.學(xué)生需掌握夾角與向量方向的關(guān)系，以及如何通過(guò)向量運(yùn)算求解夾角，從而培養(yǎng)抽象思維和

空間想象能力.

（2）深入理解數(shù)量積的定義，即兩向量模與夾角余弦的乘積，掌握其性質(zhì)（如交換律、分配律）和運(yùn)

算律.通過(guò)類(lèi)比平面向量，抽象出空間向量的數(shù)最積規(guī)律，提升數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力.

（3）學(xué)生理解向量投影的概念，即一空間向量在另一向量方向上的“影子”.通過(guò)直觀想象，學(xué)生需掌

握投影向量的幾何意義，以及其右解決立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用，如計(jì)算投影長(zhǎng)度等.

（4）掌握數(shù)量積在立體幾何中的應(yīng)用，如利用數(shù)量積判斷兩向量垂直、計(jì)算兩向量夾角及向量長(zhǎng)度等.

通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的解決，強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，提升運(yùn)用向量方法解決幾何問(wèn)題的素養(yǎng).

學(xué)情分析

學(xué)生已掌握平面向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算律及幾何意義，熟悉立體幾何中空間直角坐標(biāo)系與向量坐標(biāo)表

示，具備初步的向量運(yùn)算能力.但空間向量夾角由平面到空間的延伸可能引發(fā)認(rèn)知沖突，部分學(xué)生難以直觀

理解空間中非共面向量的夾角關(guān)系；投影向量的概念抽象性較強(qiáng)，學(xué)生易混淆投影長(zhǎng)度與投影向量，空間想

象能力不足可能導(dǎo)致應(yīng)用障礙；數(shù)量積運(yùn)算在立體幾何問(wèn)題中的綜合應(yīng)用（如求異面直線(xiàn)夾角、點(diǎn)到面距

離）需跨模塊知識(shí)整合，易出現(xiàn)運(yùn)算邏輯混亂或步驟缺失.

教學(xué)困難預(yù)估：

1.空間夾角與投影的動(dòng)態(tài)可視化困難：

2.數(shù)量枳運(yùn)算律在復(fù)雜問(wèn)題中的靈活選用；

3.幾何問(wèn)題代數(shù)化的建模能力不足.

解決方法：

1.借助三維坐標(biāo)系與動(dòng)態(tài)軟件演示夾角變化，設(shè)計(jì)“向量投影”實(shí)物模型（如光線(xiàn)投影實(shí)驗(yàn)）；

2.通過(guò)對(duì)比平面向量與空間向量運(yùn)算律的異同，強(qiáng)化符號(hào)語(yǔ)言與幾何直觀的關(guān)聯(lián)；

3.采用“問(wèn)題鏈”教學(xué)法，將立體幾何問(wèn)題分解為向量表示、數(shù)量積運(yùn)算、結(jié)果反推幾何量三步.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：空間向量夾角與投影向量的動(dòng)態(tài)理解，以及數(shù)量積在立體幾

何問(wèn)題中的綜合建模與運(yùn)算.

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

新課導(dǎo)入

回顧引入

回顧平面向量夾角和數(shù)量積的定義：

已知兩個(gè)非零問(wèn)號(hào)?（圖）。是平面上的任意7

ab6.2-19,

一點(diǎn)，作充=*（）5=b,則NAO3=6（O&G&TO叫做向量/

0與b的夾角,&___________

0aA

圖6.2-19

已知兩個(gè)非零向量a與從它們的夾角為。.我們把數(shù)

量Iabcos0叫做向員a與力的數(shù)量積（或內(nèi)積（inner

product））,記作a?b,即

a?b=abcos0.

思考：類(lèi)比平面向量的知識(shí)，空間向量的夾角和數(shù)量積又將如何定義呢？

設(shè)計(jì)意圖：激活平面向量經(jīng)驗(yàn)，類(lèi)比遷移建構(gòu)空間向量認(rèn)知框架

教學(xué)建議：以問(wèn)題鏈驅(qū)動(dòng)知識(shí)聯(lián)結(jié)，通過(guò)對(duì)比分析引導(dǎo)學(xué)生自主推導(dǎo)空間向量運(yùn)算規(guī)則

新知探究

探究1：類(lèi)比平面向量，如何得出空間向量夾角的概念？

學(xué)生：回顧平面向量的夾角的概念，進(jìn)行類(lèi)比分析，得出對(duì)比表格

預(yù)設(shè)：

平面向量的概念空間向量的概念

對(duì)非零向量Z,/；，作。4=￡,0月二尻則ZAOB叫做已知兩個(gè)非零向量分，在空間任取一點(diǎn)。，作

「與分的夾角，記作出〉。[0,4].OA=a>@=日，則NAO3叫做向量％,B的

夾角,記作《叫，白屏1°㈤.

a

—?—?—?—?

當(dāng)〈a,力=—時(shí)，則a?/?=()<=>aLb.當(dāng)〈4,力=—時(shí)，則〃名=。。

22

牛刀小試：

練1：（多選）下列命題是真命題的是（）

A.任何兩個(gè)空間向量之間都有夾角

B.當(dāng)兩個(gè)非零向量同向時(shí)，它們的夾角為0,反向時(shí)，它們的夾角為幾

C.若〈五,石）=自則向量d與片一定垂直

D.兩個(gè)非零向量簿京優(yōu)良與日方〉可能不相等

學(xué)生：思考并獨(dú)立完成，得出答案，做好分享準(zhǔn)備

解析：對(duì)于A,只有兩個(gè)非零向量才有夾角，零向量與任何向量不定義夾角，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)兩個(gè)非零向量同向時(shí)，它們的夾角為0,反向時(shí)，它們的夾角為兀，故B正確;

對(duì)于C,當(dāng)〈乙石）=/Q云_L5,故C正確；

對(duì)于D,兩個(gè)非零向量的夾角是唯一確定的，所以?xún)?yōu)力二區(qū)砂，故D錯(cuò)誤；

故答案為：BC

練2：如圖所示，在正方體4BC0-/1181GD1中，下列各組向量的夾角為45。的是（）

A.而與&C；

B.而與CM；

C.瀚與力了；

D.而與瓦布

學(xué)生：思考并獨(dú)立完成，得出答案，做好分享準(zhǔn)備

解析：對(duì)于A,因?yàn)檎瑁?太，且（而，AC）=45%所以〈而，砧）=45。，故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)?*=CA,且〈而，CA）=135°,所以〈而，**〉=135°,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)闊o(wú)萬(wàn)二而，且（而，AD）=90°,所以（而，硒）=90。，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)橥叻?瓦5,且（而，BA）=180°,所以〈而，瓦否＞=180。，故D錯(cuò)誤;

故答案為：A

探究2：類(lèi)比平面向量，如何得出空間向量數(shù)量積的定義？

學(xué)生：回顧平面向量的數(shù)量積的定義，進(jìn)行類(lèi)比分析，得出對(duì)比表格

預(yù)設(shè):

平面向量的表示法空間向量的表示法

兩個(gè)非零向量之力,則a分cos?,方)叫.做的數(shù)

已知兩個(gè)非零向量Z，/；，則叫做

量積，記作〃?瓦即〃\a\\b\cos(a,b).3，B的數(shù)量積，記作2即

特別地，零向量與任意向量的數(shù)量積為。.ab=abcos(&方).

特別地，零向量與任意向量的數(shù)量積為0.

由向量數(shù)量積定義，可以得到：

由向量數(shù)量積定義，可以得到：

①若7萬(wàn)是非零向量，則一,5o-E=o

①若工萬(wàn)是非零向量，則3_LBO75=O

②72=。=同②=

③…"那

③cos(詞=微今

牛刀小試；

練3：已知同=4,|瓦=5,分別求下列條件下d與加勺數(shù)量積.

(1)G與石的夾角為60。；⑵江與族的夾角為150。；(3)a15；(4)a||b.

學(xué)生：思考并獨(dú)立完成，得出答案，做好分享準(zhǔn)備

解析：(1)a-b=|a||S|cos60°=4x5x1=10；

(2)ab=圓同cosl50。=4x5x(一=-10>/3；

(3)當(dāng)dlB時(shí)，a-5=0；

(4)當(dāng)G||B時(shí)，(G,B)=0或TT,則d?I=|d|B|cos(五㈤=±20;

練4：已知同=4,|瓦=5,分別求下列條件下值與族的數(shù)量積.

學(xué)生：思考并獨(dú)立完成，得出答案，做好分享準(zhǔn)備

解析：由五?B=|五||B|cos。，得cos。=高*=得普=一率因?yàn)?￡[0,司，所以6=奪

探究3：在平面向量中我們學(xué)習(xí)過(guò)投影向量的概念，回顧什么是投影向品，你能把它推廣到空間向量中

嗎？

學(xué)生：回顧平面向量的投影相關(guān)概念，進(jìn)行類(lèi)比分析，得出對(duì)比表格

預(yù)設(shè)：

平面向量的投影

兩個(gè)非零向量％b,AB=a,CD

=b,過(guò)4和/汾別做而在直線(xiàn)

的垂線(xiàn)，垂足分別為力和鳥(niǎo)，得

到麗，稱(chēng)上述變換為向量〃向

向量力的投影，工耳叫句量。在向

量〃上的投影向量.

探究4；在空間，向量d向向量了投影有什么幾何意義？

預(yù)設(shè)：如圖1.1-11(1),在空間，向量Z向向量B投影，由于它便是自由向量，因此可以先將它們平移到同

得到與向量共線(xiàn)的向量"，2=1布昨%，向量

一個(gè)平面。內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量坂的投影,

"稱(chēng)為向量［在向量上B的投影向量.

探究5：在空間，向量Z向平面少投影有什么幾何意義？

預(yù)設(shè)：如圖1.1-11(3),向量￡向平面夕投影，就是分別由向量Z的起點(diǎn)A和終點(diǎn)8作平面口的垂線(xiàn)，垂足

分別為4，B'，得到向量卬笈，向量稱(chēng)為向量2在平面少上的投影向量.這時(shí)，向量Z，

H尸的夾角就是向量3所在直線(xiàn)與平面4所成的角.

牛刀小試:

練5：已知向量9，b,|a|=6,|b|=8,(a,b)=120°,則W在6方向上的投影向量為,6在甘方向

上的投影向量為

學(xué)生：思考并獨(dú)立完成，得出答窠，做好分享準(zhǔn)備

解析：由題意，與向量落加同方向的單位向量分別為己，ilj.

根據(jù)投影向量的定義，得d在反方向上的投影向量為：|2|C0S的.K=需3=6X8X：：S】2O。3=

向|or64

OT

~8b；

另在G方向上的投影向量為向cos值可崎=需-d=-|G.

探究6：類(lèi)比平面向量數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律，空間向量的數(shù)量積運(yùn)算有哪些運(yùn)算律？如何證明？

學(xué)生：回顧平面向量共線(xiàn)的數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律，進(jìn)行類(lèi)比分析，得出對(duì)比表格

預(yù)設(shè)：

平面向量數(shù)量積運(yùn)算律空間向量數(shù)量積運(yùn)算律

(Xa)b=^(ah)AGR(Ad)b=A(ab)2eR

1

7萬(wàn)=〃.2(交換律)日(交換律)

(a+Z?)?c=a-c+Z7?c(分配律)(a+〃)?c=Gc+b-c(分配徨)

要求：請(qǐng)同學(xué)們課后給出運(yùn)算律的證明

思考：對(duì)三個(gè)不為。的數(shù)有（〃〃）c=aSc、）,也就是說(shuō)，數(shù)的運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律.對(duì)于向量的數(shù)量積運(yùn)

算，有“結(jié)合律八"）嗎？

師生：教師提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)小組合作、討論等，舉出反例.例如，任意取三個(gè)不共面的向量

a/b.c,（￡?/；）?"是一個(gè)數(shù)與向量工作數(shù)乘，7（小工）是一個(gè)數(shù)與向量［作數(shù)乘，而不在同一個(gè)

方向上，所以（2%）"與Q?））不可能相等.

教師進(jìn)而指出，空間向量的數(shù)量積運(yùn)算滿(mǎn)足的運(yùn)算律和實(shí)數(shù)的運(yùn)算律有很多相似之處，但也有區(qū)

別，如向量數(shù)量積運(yùn)算不滿(mǎn)足“結(jié)合律”，也就是說(shuō)，向量不可以“連乘

思考：對(duì)于三個(gè)均不為（）的數(shù)4,Re,若4〃=4C,則〃=c.對(duì)于向量b?",由=你能

得到辦="嗎？如果不能，請(qǐng)舉出反例.

師生：教師可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合長(zhǎng)方體中的反例說(shuō)明上述結(jié)論不成立，并進(jìn)一步指出，若向最：w都垂直于

向量?jī)簞t=成立，但向量"I的方向可能不同，所以2=2不一定成立.

思考：對(duì)于三個(gè)均不為0的數(shù)a,b,c,若ab=c,則。=￡（或人=￡）.對(duì)于向量2,萬(wàn)，若ZJ=k，能

ba

不能寫(xiě)成（或1=$的形式？

ba

師生：師生共同完成追問(wèn)3后，教師小結(jié)：向量沒(méi)有除法運(yùn)算，不可以在等式兩邊同時(shí)除以一個(gè)非零向

量，這與實(shí)數(shù)運(yùn)算不一樣.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)向量數(shù)量積運(yùn)算和運(yùn)算律與實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算和運(yùn)算律的對(duì)比分析，使學(xué)生明確向量運(yùn)算與

實(shí)數(shù)運(yùn)算的聯(lián)系與區(qū)別，更好地建構(gòu)空間向量的運(yùn)算體系，為后續(xù)使用空間向量及其運(yùn)算解決

立體幾何問(wèn)題奠定基礎(chǔ).

牛刀小試：

練6：下列說(shuō)法惜送的是（）

A.設(shè)d范是兩個(gè)空間向量，則，是一定共面

B.設(shè)五工是兩個(gè)空間向量，則=B?五

C.設(shè)是三個(gè)空間向量，則五，3,5一定不共面

D.設(shè)是三個(gè)空間向量，則心@+改=+

學(xué)生：思考并獨(dú)立完成，得出答案，做好分享準(zhǔn)備

解析：對(duì)于A,因?yàn)榭臻g向量可平移，故任意兩個(gè)向量均為共面向量，故A正確；

對(duì)于B,db=|a||5|cos（fl,b）=b-d,故B正確;

對(duì)于C,設(shè)［是三個(gè)空間向量，則日石可能共面，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,空間向量數(shù)量積滿(mǎn)足分配律，故小（族+引=,不+2?乙即D正確.

應(yīng)用新知

例2：如圖1.1-12,在平行六面體ABCO-A9C。中，AB=5,AO=3,

A4'=7,ZR4r>=60°,ABAA-ADAA!=45°.求：

（1）麗.正；（2）AC'的長(zhǎng)（精確到0.1）?

預(yù)設(shè):

解：（1）^BAD^AB^AD\cos（AB,AD）=5x3xcos60°=7.5；

（2）同，（通+詬+x?『=i通F+L+M『+2（福通+福衣+R.湎）

=52+32+72+2（5X3XCOS600+5X7XCOS4504-3X7XCOS450）

=98+560，所以AC'、13.3?

師生：學(xué)生根據(jù)向量數(shù)量積的定義獨(dú)立完成.

由于空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，空間圖形的許多性質(zhì)可以由向量的線(xiàn)

性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算表示出來(lái)，因此，立體幾何中的許多問(wèn)題可以用向量運(yùn)算的方法加以解決.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題讓學(xué)生體會(huì)如何計(jì)算兩個(gè)空間向量的數(shù)量積，以及利用數(shù)量積計(jì)算向量的模，進(jìn)而得到

線(xiàn)段的長(zhǎng)度，加深對(duì)向量數(shù)量積概念的理解，并熟悉其運(yùn)算律.

方法總結(jié)：求數(shù)量積的兩種情況及方法

⑴已知向量的模和夾角；利用2石=|鄧卜。5依可，并結(jié)合運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算.

⑵在幾何體中求空間向量的數(shù)量積：先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.再利用向量的運(yùn)

算律將數(shù)量積展開(kāi)，轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積.

變式練習(xí)：

在四面體CMBC中，棱04.08.0C兩兩垂直，且1,08=2,0C=3,點(diǎn)G為〉A(chǔ)BC的重心，則而?（褊+話(huà)+

0C）=.

解析：如圖，連接AG并延長(zhǎng)，與4C交于點(diǎn)。，連接0G,

???點(diǎn)G是底面△ABC的重心，???萬(wàn)5=0A+AG=0A+^（AB-^AC）=0A+?（赤-0A）+（0C-OA）］

1

：.~0G(OA\~0B\~0C)

=(-0B+-0C+-0A)-(0A+0B+0C)

=-0B2+-0C2+-0A2

=-x22+-x32+-x|2=—.

例3：如圖I.1-13,rn,〃是平面a內(nèi)的兩條相交直線(xiàn),如果I±n.

求證：/_La.

分析：要證明/JLa,就是要證明/垂直于a內(nèi)的任意一條直線(xiàn)g（直線(xiàn)與

平面垂直的定義）.如果我們能在g和"？，〃之間建立某種聯(lián)系，并由/_Lm,

/_L〃，得到/那么就能解決此問(wèn)題.

證明：在平面。內(nèi)作任意一條直線(xiàn)g,分別在直線(xiàn)/,〃?，〃，g上取非零向量7,m，n，g.

因?yàn)橹本€(xiàn)〃?與〃相交，所以向量/，3不平行.

由向量共面的充要條件可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)*,y）,使R=x而+yk

將上式兩邊分別與向量7作數(shù)量積運(yùn)算，得g=xlrn+yl-n.

因?yàn)閖?，〃=（）,I-n=0（為什么？）,所以/"=0.

所以/_Lg.這就證明了直線(xiàn)/垂直于平面。內(nèi)的任意一條直線(xiàn)，所以/_Lc.

重點(diǎn)題型

題型一:空間向量數(shù)量積的運(yùn)算

1.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1,設(shè)人方=￡,AD=b,AAJ=c,

求：(1)a-(b+c)；

(2)4?(a+〃+c)；

(3)(a+b)(b+c),

解析：(1)a(〃+c)=4〃+ac=0+0=0；

(2)十萬(wàn)十c)="十a(chǎn)B+a?c=17|+0+0=1；

(3)(a+b)-(b+c)=a-b+a-C+b+b-c=()+0+\2+0=\?

2.如圖，已知四面體ABC。的所有棱長(zhǎng)都等于小E,F,G分別是棱AD,。。的中點(diǎn).求:

UlUlUUU____.____.

(1)ABAC-⑵而?麗：⑶GFMC：

UlUuuu_____.

(4)EF?BC；(5)FGBA；(6)GEGF.

解析：.??四面體力3C。的所有棱長(zhǎng)都等于〃，.??任意兩條棱所在直線(xiàn)的夾角為X,

3

???E,F,G分別是棱A8,40,DC的中點(diǎn)，.?.M//8Z),bG//AC,|EF|二|/G|=g,

2

(1)AB-AC-axaxcos———；

32

(2)AD-￡)B=flx^xcos—=--；

32

(3)GFAC=—x^xcos^=--：

22

(4)?；EF//BD,則直線(xiàn)8。與直線(xiàn)BC所成角就是直線(xiàn)EF與直線(xiàn)8C所成角，又/CBD=g

/.EF?BC=—xt/xcos—=-；

234

(5)vFG/MC,則直線(xiàn)4c與直線(xiàn)AB所成角就是直線(xiàn)/G與直線(xiàn)BA所成角，

FG-=-x?xcos—=--；

234

(6)取中點(diǎn)用，連接AM,CM則AA/_L32cM_L8O,?.?AMcCN=M,.二臺(tái)。，平面

ACM,

又ACu平面ACM,.?.BOl.AC,-EF//BD,:,EFA.AC,又ACI/FG、：.EF1FG,

EFFG=O>

可知

22

/\22

.?.GEGF=(GF+FE)GF=|CF|2+^GF=^+0=^-.

A

方法總結(jié)：空間向量數(shù)量積運(yùn)算的求解方法

?利用定義，直接利用“協(xié)=|。|網(wǎng)cosa乃〉并結(jié)合運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算.

?利用圖形，計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積,可先將各向顯移到同一頂點(diǎn)，利用圖形尋找?jiàn)A角，再代入數(shù)最積公

式進(jìn)行運(yùn)算.

?利用向量分解，在幾何體中進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，要充分利用幾何體的性質(zhì)，把待求向量用已知

夾角和模的向量表示后再進(jìn)行運(yùn)算.

?步驟:(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的線(xiàn)性組合形式；

?利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積；

?代入〃山=|a||b|cosa,〃＞求解.

題型二：利用數(shù)量積求解距離，角度等幾何元素

3.如圖，在正三棱柱ABC-中，若AB=OBB「則A4與BQ所成角的大小為()

A.60°B.90°C.105°D.75°

解析：在正三棱柱ABC—A4G中，向量而，沅，明不共面，鬲=8區(qū)一麗，g=反+%,

令|函|二a,則|函|二|5。|二收4,而鬲_L麗，豌上麗,

于是得福?居=(國(guó)一麗)?(阮+西)=西?肥+時(shí)一麗?配一麗?西

2

=a-\f2a?\[2acos60=0?因此，AB1±BC1?

所以Aq與3G所成角的大小為90°.

故選：B

4.如圖，在平行六面體A8CQ—4'3'CZ)'中，AB=4,AD=3,A4'=5,N8AQ=90。，NB4A=

NZMA=60。.求：

(1)AA'-AB'(2)49的長(zhǎng)；(3)AC的長(zhǎng)?

解析：(1)A?-A^=|A47|-|^B|-COS60=5x4x1=10；

⑵?.?/=4y+H#，

.?.加=(/+=(XT+砌2=江+2宿?通+宿=25+2x10+16=61,

畫(huà)二病，即A星的長(zhǎng)為府；

(3)???苑二/+無(wú)?通+而+而7，

箱2=(A*+A》+=4才+AD2+A4；2+2(A從AD+ABAA;+AD-AA^

=16+9+25+2(0+5x4xg+3x5xg)=85,

.?.演[=庖，即AC的長(zhǎng)為畫(huà).

方法總結(jié)：1.求空間向量的模有兩種方法

一是平方法，即利用其實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求解：

二是坐標(biāo)法，即利用公式la=-即+，+/

2.向量夾角與異面直線(xiàn)所成角

(1)轉(zhuǎn)化求角：把向量夾角轉(zhuǎn)化為平面幾何中的對(duì)應(yīng)角，利用解三角形的知識(shí)求解.

(2)利用數(shù)量積求夾角的余弦值：

取向量根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面宜線(xiàn)上取兩個(gè)

向量

用轉(zhuǎn)化把片面直線(xiàn)夾角的間題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題

利用數(shù)址枳求余弦值

異而直線(xiàn)的夾角為銳角或直角.利用向戰(zhàn)的

數(shù)量積求向址夾角的余弦值應(yīng)將余弦值加h

絕對(duì)值.進(jìn)而求出異面直線(xiàn)所成角的大小

5.如圖，空間四邊形。WC中，OA±BC,OB±AC.

求證：OC.LAB.

解析：?.?OA_L3C,???3_L麗.

???8?麗二0，^OA\OC-OB)=O.

-OAOC-OAOB=0⑴

同理:由QBJLAC得反.礪—麗.礪=0(2)

由(1)-(2)得況?灰一能?礪=0

.\OC(OA-08^=0,

_._____.UULACKJM

???反?麗=0，???0C_LB4，,OCLAZr

方法總結(jié)：利用空間向量解決垂直問(wèn)題的方法

(1)證明線(xiàn)線(xiàn)垂直的方法：證明線(xiàn)線(xiàn)垂直的關(guān)鍵是確定直線(xiàn)的方向向量，看方向向量的數(shù)量積是

否為。來(lái)判斷兩直線(xiàn)是否垂直.

(2)證明與空間向量°,入c有關(guān)的向量加，〃垂直的方法：先用向量a,b,c表示向量加，

〃，再求解向量/〃，〃為數(shù)量積判斷是否垂直.

真題感知

L(23?24高二上?北京房山?期中)

在棱長(zhǎng)為2的正方體48C0-中，而?困*=()

A.2V2B.4V2C.2D.4

解析：在棱長(zhǎng)為2的正方體4BCD-4BiGDi中，

易知|而|=2,|西|=2VL因?yàn)榇?西，西與西的夾角為%

所以標(biāo)與跖的夾角為:，

麗?跖二|麗*|?|西|cos：=2x2V2Xy=4.

2.（21?22高二上?甘肅隴南?期末）

已知d=2Z-2]+2Vb=4i-j+5k（Gj,1為兩兩互相垂直的單位向量），若五工B,則;1二

（）

A.-1B.1C.-2D.2

解析：不/=（27-2『+"）?（47—『+0艮）=田2+2產(chǎn)+弓42_1面.1+（1。+4乃九?+（-10-7）了.

k,

22

Vi,j,k為兩兩互相垂直的單位向量，二.？=1,產(chǎn)=1,k=lft-j=0,i-k=0tj-k=0,

AG-5=8+2+52=10+5A,Valb,Aa-b=0,工10+52=0,解得2=-2,故選：C.

3.（23?24高二上?四川成都?階段練習(xí)）

已知空間向量d工的夾角為，⑷=2,面=3,則五（a+3b）=.

解析：空間向量五萬(wàn)的夾角為柒悶=2,西=3,

則5,伍+35）=a2+3a-b=\a\2+31dl.|5|cos^=22+3x2x3x1=13.

故答案為：13

4.（2024高二?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）

已知悶=4,空間向量3為單位向量，=m，則空間向量五在向量己方向上投影的模

為.

解析：空間向量五在向量3方向上的投影為同cosG,3）=4xcosy=-2,

所以投影的模為2.

故答案為：2.

5.（23?24高二下?甘肅?期末）

在所有棱長(zhǎng)均為2的平行六面體ABC。-&BiGDi中，41遇8=乙4遇。=/.BAD=60°,則4cl的長(zhǎng)為

（）

A.2V3B.2V5C.2V6D.6

解析：空間因?yàn)閷?通+近+^B=^+而+X4，所以

22

函|=（ARIADI京）=AB2IAD2I襦I2而.ADI2而?引I2AD.可=4I4I4I2x

2x2xcos60"+2x2x2xcos6004-2x2x2xcos60'=4+4+4+4+44-4=24,從而|=

2V6,即46的長(zhǎng)為2布.故選：C.

課堂筆記

1.空間向量的數(shù)量積

（1）空間向量的夾角及其表示：給定兩個(gè)非零向量五，丸任意在空間中選定一點(diǎn)。，作涌=五，OB=

b,則大小在內(nèi)的稱(chēng)為d與3的夾角，記作.

特別地，若Vd,b>=p則稱(chēng)4與3,記作五1b.

（2）向量的數(shù)量積：兩個(gè)非零向量五，3的數(shù)量積定義為葭3=.

（3）數(shù)量積的性質(zhì):

?a±b<=