1.1.1空間向量加：

.如圖，在四面體OABC中,M為棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N/

?、選擇題

則0P=（）

A

22cB+-OC

B.20A+3°3

C1市J°B+q℃

Da°A*33AD二b，

M，AB二0

C.歹Y鏟AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)

AB。。中'

2.如圖，衽斜棱柱'BCD

D.fW

-堿垂直于底面的四:.

8,

A17」b+c平面且

A■/2《九章算術(shù)》中，ABCD，PF，P°

數(shù)學(xué)名著

3.我國古代是陽馬，PAL

四棱錐P-ABCD

為陽馬.如圖斫示‘已知

而3則BE=（）

,An=b，

若AB=?！疉D

B

DL%Y

3@」匕-九

c4上，且

5_J3一九cq"4P在線段AN

1cBq34的中點(diǎn)點(diǎn)

Ap"$4的中/N為。M

的梭BC

四面體OABC()

4.娟囪M為_r，則OP二

OB二IT。?！猇

AP=2PN，設(shè)0A=a'

0

C

A一2科工174d

U

BB.OP=T12

2.\b」c

D.0P二g"石6,鴻代,與印

1-卜十一C,A"。

6"金中’若如〃

C0P二"％n

5.如圖，在平行六面體AB8

D.a+匕”一一則

MC""；c中氐設(shè)oA=d,o?='℃

?+c4占N為BCT小

A./b-c［彬CABC中，0M=2M”、、

6.如圖，空間四邊形°AB°

MN=()

o

A2.11

A?aH--f—cB.-a--b+-c

322232

C.3一D.L+2/」

222332

7.如圖，空間四邊形OA8C中,04=a，O5=Z?，OC=c，點(diǎn)M在線段以上，且。知=2M4,

點(diǎn)N為8c的中點(diǎn)，則MN=（）

?二2~21-

A"_L"lcB.LLL+ICc=+2山D.一白+一。c

322232332332

8.在長方體A4CO-中，M為棱CG的中點(diǎn)若A8=a,AD=b,朋二C,

則4M等于（）

1-1-1-

C.-a+-b-\--cD.-a——b+—c

22222222

二、多項(xiàng)選擇題

9.如圖，已知四面體ABC。，點(diǎn)七尸分別是8cs的中點(diǎn)，下列說法正確的是（）

AAB+BC+CD=ADBAB+BC-AD=DC

C.AB+g（3C+BD）=AFD.AB-AE+EF=FB

10.如圖，在平行/'、面體ASCO—A4C|R中，設(shè)AB=a,AD=b,AA,=c,若M為

4G與片A的交點(diǎn)，則下列等式正確的是（）

A.BM=—a+—b+cB.AM=—a+—b

22122

C.AM=-a+—b-cD.AC,=a+b+c

221

11.《九章算術(shù)》中，將上、下底面為直角三角形的直三棱柱叫做塹堵，在如圖所示

的塹堵中，BQ=2DC「則（）.

BA?！璵3。

一一7----

C.向量入。在向量/W上的投影向量為4A8

3

7

D.向量AO在向量AC上的投影向量為

三、填空題

12.如圖，在三棱錐P-ABC中,N為3c的中點(diǎn),M為出的中點(diǎn)，設(shè)PA=〃，P8=6

Pd=3則用〃，〃，￡表示疝為?

13.在正方體ABCD—A中，點(diǎn)M是AA1的中點(diǎn)，已知AB=a，AD=b，AA,=c，用ci，

b,c表不CM'則CM=------------------

14.如圖，空間四邊形。A3C中，0A=。，OB=b,OC=c,點(diǎn)、M、N分別是。4、

8。的中點(diǎn)，貝|JMN=.（用《、b、c的線性組合表示）

B

四、解答題

15.如圖，四棱錐的底面A8CQ為平行四邊形，且/AP8=NAPC=N8PC=q,

3

PA=3,PB=PC=2,M是p。的中點(diǎn).

(1)若BD=mPA+nPB+pPC,求/〃+〃+p的值；

(2)求線段8M的長.

16.在空間四邊形4BC。中，連接AC,BD,設(shè)M,G分別是BC,CO的中點(diǎn)，化簡

下列各向量表達(dá)式：

(1)A8+8C+A。；

,、—-1—?一

(2)AD--(AB+AC).

17.如圖所示，已知ABCD-AAGA是平行六面體.

⑴化嗚….+抑,并在圖中標(biāo)出其結(jié)果;

(2)設(shè)M是底面ABCD的中心,N是側(cè)面8CC；M對(duì)角線8G上的:分點(diǎn)，設(shè)

MN=aAB+^AD+yAAi，試求a,0,y的值.

18.如圖，平行六面體ABCD-ABCR的底面是正方形,幺AO=ZA]AB=60°,

AB=AA]=2，右AB-a，AD=b，=c-

（1）用〃，8,c表小BDy；

（2）求異面直線A￡）與片口所成角的余弦值.

19.如圖，已知平行六面體A8CQ—A8'C7）'.

（I）it?AB+A!D'-CC-AC；

i7

（2）化簡+并在圖中標(biāo)出其結(jié)果；

23

（3）設(shè)M是底面ABC。的中心，N是側(cè)面BCCE對(duì)角線上靠近C的四等分點(diǎn),

設(shè)MN=OAB+￡40+7A4',試求a,0,y的值.

參考答案

1.答案：A

解析：在四面體OABC中也是8c的中點(diǎn)，則OM=-(OB+OC),

2

因?yàn)镺N=2NM，所以O(shè)N=2OM-2ON，所以3ON=1OM=()B+()C，

又=3NP?所以QA-ON=3OP-3ON，所以30P=2ON+04，

___2__?1，1_2__?2-

所以O(shè)P=—ON+—Q4=—QA+—OB+—OC.

33399

故選：A.

2.答案：A

解析：MC,=A/C+CC,=-AC+CC.=-AB+-AD+AA=-a+-b+c.

112122"22

故選：A.

3.答案：D

解析：BE=BP+PE=AP-AB+-PC=AP-AB+-{AC-AP]

=AP-AB+^AB+AD-AP^

故選：D

4.答案：A

解析：M為四面體OABC的棱3c的中點(diǎn),N為OM的中點(diǎn)，

iiLOM=-OB+-OC,ON=-OM=-b+-c,

22244

。尸=。4+"，

2

因?yàn)锳P=2PN，所以AP=—AN,

3

。尸=OA+AP=OA+-AN=OA+-(ON-OA)=-a+-ON=-a+-Zj+-c.

33、f33366

故選:A

5.答案：C

解析：在平行六面體ABC?！?8col中，由48=。，AD=b^A4,=c，

根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則,可得〃8=48-明=48-（4。+M）=0-〃一0.

故選：C.

6.答案：A

一7

解析：因?yàn)镺M=2AM,所以,0M=—a,

3

又點(diǎn)N為3c中點(diǎn)，所以CW=!"、，

22

??.1I92■2.11

板MN=ON-OM=-h+-c——a=——。+—〃+—。，

223322

故選:A.

7.答案：A

解析：由題可知MNuON-OMnLlo/+OCl-Zan-Ze+L/j+L-,

2、73322

故選:A

8.答案：A

解析：因?yàn)殚L方體ABCO-aaGR中，M為棱CG的中點(diǎn)，

所以AM=AC+CM=AB+4D+,AA=4+2+'C,故選：A.

22

9.答案：ABC

解析：A:因?yàn)锳B+3C+CO=AC+CO=A。，故A正確；

8：因?yàn)?8+3。-4。=4。一人。=。。，故8正確；

C:因?yàn)?3+g（5C+3O）=A3+3/，故C正確；

?：因?yàn)?4一4石+所=房+￡尸￥尸8，故口錯(cuò)誤-

故選:ABC.

10.答案：BD

解析：BM=g+3陷=蝴+；（AD—A3）

=c+-（b-a\=-—a+—b+c,故A錯(cuò)誤；

2V722

=g（AA+A4）=g〃+gh，故B正確;

AM=AA]+AiM=c+^a-^b,故C錯(cuò)誤；

AG=A8+BC+CG=〃+人+c，故D正確；

故選：BD

11.答案：BD

__.2_

解析：因?yàn)閍o=/44+A&+qo=4i1+44+—4G

3

=AA+A4+|（AG—ABj

___i一2__,八八

=AA^+-AB+—AC故A不正確，B正確.

如圖所示，故。作OU垂直8C,

過U作VU垂直A8,UW垂直AC,

故向量A。在向量A8上的投影向量為AV,

向量AO在向量AC上的投影向量為AW,

由題意易得"=二且二4,故C不正確.

AB3AC33

一2一

AW=-AC,D正確.

3

故選：BD

12.答案：；僅十0-4)

解析：MN=MP+PC+CN，N為BC的中點(diǎn),M為心的中點(diǎn)，繼續(xù)運(yùn)算,

MN=MP+PC+CN=--PA+PC+-CB=--PA+PC+-(CP+PB\,

2222、/

整理得至=+

2222、

故答案為：；他+(:-〃).

13.答案：一〃一/7+■!■(?

2

解析：?/CM=CB+BA^AM=-BC-AB+AM

又?用是AA的中點(diǎn)，

.?.AM=-AA,CM=-BC-AB-i--AA.

2121

,?*AB=a，AD=b，A4j=c，

:.CM=-a-b+—c-

2

故答案為：一。一匕+1c.

2

14.答案：」〃+[+，：

222

解析：如圖所示，連接07V,AN

—1一］?1-1

貝l」0N=-08+—0C=—b+—c,

2222

所以MN=ON-OM=--a+-b+-c.

222

故答案為：--a+-b+-c

222

15.答案：（1）0

嗚

解析：(1)BD=BA+BC=(PA-PB)+(PC-PB)=PA-2PB+PC,

"7+〃+〃=0

(2)BM=PM-PB=-PD-PB

2

=-(PC+CD)-PB=-(PC+M-PB)-PB

1/??\3

=-PC+PA)-二PB,

2、)2

8M2二弓(pc+弘)—|網(wǎng)2=((*+p/+2PC.PA

339

——PBPC——PAPB+-PB-

224

1(“八ccr兀'|3rr兀3

=-4+9+2x2x3xcos———x2x2xcos------

4(3j232

…兀八19°9八25

x3x2xcos—+9=-----3——+9=——

3424

BM=-.

2

16.答案：(1)2AG

(2)MD

解析：(1)AB+BC+AD=AC+AD=2AG.

(2)AD-^(AB+AC)=AD-AM=\fD.

17.答案：(1)答案見解析

(2)tz=—=—.

244

解析：(1)取DD］的中點(diǎn)G,過G作DC的平行線G”,使GH=|OC,連接A星

?2

則一A4+3C+-A3=OG+AO+GH=AO+OG+G"=A〃；

2-13

其結(jié)果如圖所示.

___131/__、3/、113

Q)MN=MB+BN=3DB+jBC\=式"8-AD)+「(M+BD)=、4B+7AD+jA4t?

1A13