專題01空間向量與立體幾何

（5知識(shí)&14題型&5易錯(cuò)）

知識(shí)圖譜

空間向量的有關(guān)概念空間向量的定義及表示定義、長度（模）、表示方法

《幾類特殊向量

等向量、單位向量、相等向量、相反向量、扶線向量

加減法運(yùn)聳（平行四邊形法則與三角形法則）

空間向量的線性運(yùn)算V數(shù)乘運(yùn)算

空間向量的運(yùn)算向量的夾角

向量與相關(guān)概念,--------------

空

空間向旦的數(shù)岸積（-------------向量的數(shù)量積

間向量數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律

向

共線向量定理

量

空間向量基本定理共面向G定理

與如果三個(gè)向量億斷不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量〃

空間向量基本定理存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（二?。?，使得『\g?+2C.

立

體空間向艮的坐標(biāo)運(yùn)算

幾空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示里向■平行與垂直

----------------------------------------------《、上間向晶的長度、夾角公式

何

§間兩點(diǎn)的距離笆

亙線的方向向量和平面的法向后

用向量法研究位置關(guān)系

異面直線所成角

空間向量的應(yīng)用用向生法研究空間角直線與平面所成角

二面角

點(diǎn)到直線的距離

用向員法研究空間距離點(diǎn)到平面的距離

線面距和面面距

知識(shí)清單

【清單01】空間向量的有關(guān)概念

1、空間向量的定義及表示

（I）定義：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量.

（2）長度（模）：空間向量的大小叫做向量的長度或模.

1/28

（3）表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母4、〃、C,…表示，若

向量”的起點(diǎn)是4終點(diǎn)、是B,則向量。也可以記作而，其模記為或I方

2、幾類特殊向量

（1）零向量：長度為0或者說起點(diǎn)和終點(diǎn)重合的向量，記為。.規(guī)定：6與任意向量平行.

（2）單位向量：長度為1的空間向量，即|￡|=1.

（3）相等向量：方向相同且模相等的向量.

（4）相反向量：方向相反但模相等的向量.

（5）共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平

行向量.。平行于B記作?！ň?/p>

【清單02】空間向量的運(yùn)算

1、空間向量的線性運(yùn)算

（1）空間向量的加減法

空間中任意兩個(gè)向量都是共面的，它們的加、減法運(yùn)算類似于平面向量的加減法（如下圖）.

oh—OA+~A^=0+5BA=OA-OB=a-b

（2）空間向量加減法運(yùn)算律

交換律：a+b=b+a結(jié)合律：(4+Z?)+C=4+(6+C,)

小結(jié)：空間向量加法的運(yùn)算的小技巧

①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，

即：

A]A2+44+44+…=44

②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量，

即：44+44+44+,,,+4”+=o'

（3）空間向量的數(shù)乘：實(shí)數(shù)4與空間向量￡的乘積力￡仍是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算.

當(dāng)義>0時(shí)，2a與。方向相同；當(dāng)2<0時(shí)，，％。與。方向相反；當(dāng)4=0時(shí)、2^=6.

義工的長度是"的長度的|4|倍.

A?(A>0)Aa(A<0)

2/28

空間向量數(shù)乘的運(yùn)算律:分配律6)=4。+&)；結(jié)合律=(")a.

2、空間向量的數(shù)量積

(1)數(shù)量積及相關(guān)概念

①兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量"，b,在空間任取一點(diǎn)O,作方=Z,OB=b,則N4O8叫

做問量￡與否的夾角，記作G3》,其范圍是［0,4

—?7/―?—?—?—?

若</￡>=-,則稱〃與b互相垂直，記作。_L/).

2

②非零向量4，萬的數(shù)量積4書C0S<4］>.

(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律

①結(jié)合律：(3)/=4(〉與；

②交換律：ab=b-a；

③分配律：a(b-^c)=ab-\-a'C.

【清單03】空間向量的基本定理

1、共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量Z,b(b6),的充要條件是存在實(shí)數(shù)丸，使得￡=".

2、共面向量定理：如果兩個(gè)向量［不共線，那么向量方與向量Z,E共面的充要條件是存在唯一的有

序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使p=xa+yh.

3、空間向量基本定理：如果三個(gè)向量"，h,"不共面，那么對(duì)空間任一向量,，存在有序?qū)崝?shù)組任，乃

z},使得p=+其中，卜c}叫做空間的.個(gè)基底.

【清單04】空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

若。=(七,弘，馬)，b=(x2,y2,z2),則：

(1)a+b=(x]+x2,y}+y2,zl+z2)；

(2)a-b=(<xl-x2,y]-y2,z]-z2)；

(3)Aa=(2xp2^l,Zz,)(AGR)；

(4)a-b-XjX2+yiy2+zxz2

3/28

2、空間向量平行和垂直

若4=(七，乂，4),b=(x2,y2,z2),則

(1)a//b<^a=Xb<=>x]=Zx2.y]=Ay2,(x2y2z20)

(2)aa-b=0<^>x}x:+y{y24-zxz2=0

3、空間向量的長度、夾角公式

若。=（%,。2，。3），b=也也網(wǎng)），則

（1）\a\=JH=++%2，|昨板I=J仇2+6；+與2.

-7岫+a、b、+ah

（2）cos<a,b>=.113

4、空間兩點(diǎn)的距離公式

若,4區(qū),必,zj,B（x2,y2,z2）,則

①/臺(tái)二成一0二氏必心卜即如明二區(qū)-不通一凹上-馬）

即：一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).

②|48|二J/1=J（%2一芯）2+（%-%）2+92-Z1）2，

或九=>/（工2-51+（%-必產(chǎn)+仁一）了.

【清單05】空間向量的應(yīng)用

1、直線的方向向量和平面的法向量

（I）直線的方向向量：如果表示非零向量Z的有向線段所在直線與直線/平行或重合，則稱此向量［為直

線i的方向向量.

（2）平面的法向量：直線/_La,取直線/的方向向量3,則向量［叫做平面a的法向量.

2、用向量法研究位置關(guān)系

位置關(guān)系向星表示

1\〃、々//n2<=>〃]=%%

直線/1，』2的方向向量分別為〃1，%

/j勺±n2<=>%%=0

—*——?—?■?

1//a〃-L加o〃?〃？=0

直線/的方向向量為3，平面a的法向量為百

Ilan//m<=>//=Am

■

平面a,￡的法向量分別為3,na//pn//m<=>/7=Am

4/28

aA.pnJ_m=〃?〃？=()

3、用向量法研究空間角

（1）異面直線所成角

ah

設(shè)異面直線a,8所成的角為仇則cos0=，其中5分別是直線a,。的方向向量.

而

（2）直線與平面所成角

如圖所示，設(shè)/為平面a的斜線，/na=J,。為/的方向向量，〃為平面a的法向量,

an

尹為I與a所成的角,則sin(p=|cos<a,n>1=

￥

（3）二面角

①若/從CO分別是二面角a-巾的兩個(gè)平面內(nèi)與棱/垂直的異面直線，則二面角（或其補(bǔ)角）的大小就是向

量,48與CD的夾角，如圖a.

②平面a與夕相交于直線/,平面々的法向量為々，平面夕的法向量為〃2，則二面角a-//為。

旦戈7（一。設(shè)一面角大小為y,貝U|cosd=|cosM,如圖b,c.

4、用向量法研究空間距離

（1）點(diǎn)到直線的距離

已知直線/的單位方向向量為〃，力是直線/上的定點(diǎn)，P是直線/外一點(diǎn),

設(shè)問量/在直線/上的投影向量為池=〃，則點(diǎn)尸到直線/的距離為/一（寸〃）2（如圖）.

（2）點(diǎn)到平面的距離

己知平面。的法向量為〃，N是平面。內(nèi)的任一點(diǎn)，尸是平面a外一點(diǎn),

過點(diǎn)。作則平面。的垂線/,交平面a于點(diǎn)。,

則點(diǎn)P到平面Q的距離為“=APn（如圖）.

PI

（3）線面距和面面距：線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解.

ABn

①直線。與平面。之間的距離：d=——,其中方是平面a的法向量.

1〃1

5/28

AB?元

②兩平行平面/夕之間的距離：d=-其中力￡。凈￡/，力是平面。的法向量.

1〃1

期中?？碱}型清單

【題型一空間向量的有關(guān)概念理解】

選項(xiàng)多為對(duì)單個(gè)或多個(gè)概念的表達(dá)（如“零向量與任意向量共線”“空間中模相等的向量相等”等），

需判斷對(duì)錯(cuò).其解題步驟分兩步：

第一步：圈出選項(xiàng)中的“關(guān)鍵詞”，對(duì)照定義驗(yàn)證是否遺漏或篡改定義條件；

第二步：對(duì)模糊選項(xiàng)，構(gòu)造“反例”與“特例”驗(yàn)證.

【例1】（24-25高二上?廣東深圳?月考）下列命題是真命題的是（）

A.空間向量就是空間中的一條有向線段

B.不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等

C.任一向量與它的相反向量大相等

D.向量而與向顯方的長度相等

【變式1-1]（24-25高二上?山東?月考）給出下列命題：

①零向帶的方向是任意的；

②若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；

③若空間向量,，B滿足同=%,則1=加

④空間中任意兩個(gè)單位向量必相等.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

【變式1-2]（24-25高二上?陜西漢中?月考）（多選）下列關(guān)于空間向量的說法中不巧碰的是（）

A.方向相反的兩個(gè)向量是相反向量

B.空間中任意兩個(gè)單位向量必相等

C.若向量方，而滿足|而|>|而則荔〉麗

D.相等向量其方向必相同

6/28

【變式1-3]（24-25高二上?廣東廣州?期中）（多選）給出下列命題，其中正確的命題是（）

A.若同咽，則￡=4或1或

B.若向量3是向量B的相反向量，則問二時(shí)

C.在正方體力8c。-48cA中，AC=4Q

D.若空間向量〃]、〃、滿足m//n?nilp，則mHp

【題型二空間向量的線性運(yùn)算】

!向量線性運(yùn)算的解題技巧

!（1）向量加法的三角形法則是解決空間向量加法運(yùn)算的關(guān)鍵，靈活應(yīng)用相反向量可使向量間首尾相接.

；（2）利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量的加法運(yùn)算時(shí).，務(wù)必要注意和向量的方向，必要時(shí)可對(duì)

i空間向量自由平移進(jìn)而獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果.

i（3）利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則或平行四邊形法則將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為己知

!向量.

?__________________________________________________________________________________________________

【例2】（24-25高二上?安徽合肥?期中）在空間四邊形。48c中，方-瓦5+前1等于（）

A.OAB.ABC.OCD.AC

【變式2-1]（24-25高二上?福建福州?月考）在空間四邊形力8CQ中，E,尸分別為8C,CO的中點(diǎn)，貝I」

~AF-^（AB+AC）=（）

A.-￡FB.BDC.~EFD.一礪

【變式2-2]（24-25高二上?陜西安康?期中）（多選）如圖，在四面體力AC。中，點(diǎn)E,廠分別為8C,CD

的中點(diǎn)，則（）

7/28

A.EF=-BDB.~AE+^F='AC

2

D.~AD-^(AB+~AC)='ED

C.AD+DC+CB=AB

【變式2-3](24-25高二上?山東荷澤?月考)如圖，在正方體4BCD-4B￡D沖,化簡下列向量表達(dá)式:

(l)ZS-BC：

(2)麗+而+示.

⑶;回+砌一而

【題型三空間向量的線性表示】

!0

|用基向量表示指定向量的方法

I

I(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形.

j(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中.

(3)利用二角形法則或平行四邊形法則把所求向量用己知基向量表示出來.

【例3】(24-25高二上,北京?期中)如圖，在三棱錐0-48。中，。是8C的中點(diǎn)，若況=G,麗=1灰=d,

則而等于.

8/28

o

【變式3-1］（24-25高二上?廣東湛江?期中）如圖，在四面體中，@=用痂=反灰.點(diǎn)M在04

上，且OM=2M4N為8c中點(diǎn)，則而等于（)

A.-a--b+-cB.--a+-b+-c

232322

C.-a+-b--cD.-a+-h--c

222332

【變式3-2］（24-25高二下?福建寧德?期中）如圖，在直三棱柱44C—44G中，點(diǎn)E在棱4G上，且

A】E=；F1.設(shè)B^=d,BBi=b、BC=E,則麗=()

c1-1匚一

B.-a+-b+c

3333

-2￡1一n1-72,

C.a+—b+—cD.-a+b+—c

3333

【變式3-3］（24-25高二上?湖北仙桃?期中）如圖所示，在平行六面體/5CQ-4BCA中，M為4G與42

的交點(diǎn)，若施=%而=瓦麗=2,則兩等于（）

9/28

B.—ci+-b+c

22

n1-1r-

D.-a+-b+c

22

【題型四空間向量基本定理及應(yīng)用】

r-----------------------------------------------1

；GOG0

i本題型的核心是利用定理將空間任意向量分解為三個(gè)不共面向量的線性組合，將“空間任意向量”轉(zhuǎn)化為i

I■

I”基底向量的線性組合”，實(shí)現(xiàn)“復(fù)雜向量一簡單基底”的轉(zhuǎn)化，為后續(xù)計(jì)算（如向量的模、點(diǎn)積、參數(shù)!

：求解）提供依據(jù).幾何體中選基底技巧：優(yōu)先選“從同一頂點(diǎn)出發(fā)、不共面的三條棱”.!

函41724-25高三工袤加I密而麗H）一套「心二息圣而二瓦菽面面5亶：］峰堀H以相％贏而二

組向量為（）

A.a-b*b+c?c+aB.-a+c?-b-c>a+b

C.a+bb—c,a+cD.a+b?a—b*c

【變式4-1］（24-25高二上?河北邢臺(tái)?期中）在四面體O-/IBC中，點(diǎn)M為線段CM靠近A的四等分點(diǎn)，N

為BC的中點(diǎn)，若麗=x?+y麗+z雙，則x+y+z的值為（）

\_

D.

c,13

【變式4-2］（24-25高二下?福建莆IH?期中）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂

10/28

直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，四棱錐尸-48C。為陽馬，41平面/仍。。，點(diǎn)￡是夕。邊上一點(diǎn),且

EC=2PE,若瓦=xl^+y充+2麗,貝l」x+y+z=

【變式4-3](24?25高二下?甘肅金昌?期中)《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種

形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱.如圖，在塹堵

中，M足4G的中點(diǎn)，G足出的中點(diǎn)，若四—K前十產(chǎn)福十k/,則x+y+z—()

3

2

【題型五空間向量共線定理及應(yīng)用】

I證明空間三點(diǎn)共線的三種思路：對(duì)于空間三點(diǎn)尸、A,8可通過證明下列結(jié)論來證明三點(diǎn)共線

1I

(1)存在實(shí)數(shù)4,使蘇=2萬成立.

II

(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O,有而二行+同jwR).

1I

[(3)對(duì)空間任一點(diǎn)。，有麗=工刀+)，而(x+y=l).!

■MM?■■

【例5】(24-25高二上?湖南永州期中)下列條件中，能說明空間中不重合的三點(diǎn)A、B、C共線的是()

A,而+比=衣B.AB-BC=~ACC.在=一2冊(cè)D.畫=函

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【變式5?1】（24-25高二上?天津河西?期中）設(shè)空間四點(diǎn)。,4凡月滿足而=〃?刀+〃礪，其中小+〃=1,

貝IJ（）

A.點(diǎn)。一定在直線48上B.點(diǎn)。一定不在直線48上

C.點(diǎn)P不一定在直線/也上D.以上答案都不對(duì)

【變式3-2］（24-23高一上?北京?期中）已知b>c不共面，e=3a-tb-c>d=—2ta+6b^-2c若c與

2共線，則實(shí)數(shù)，的值為（）

A.-3B.1C.3D.-3或3

【變式5-3］（24-25高二上?吉林白城?期中）在四面體48CQ中，E為力力的中點(diǎn)，G為平面8co的重心.若

則\AF身\（

力G與平面8CE交于點(diǎn)R)

\_234

A.B.C.D.

I345

【題型六空間向量的共面定理及應(yīng)用】

I-------------------------------0----------------------------------------------------

;向量共面證明思路

［（1）證明點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，可以用淳=x7與+》萬，也可以用歷=E+x萬+y就，

［若用而=xE+y麗+z3，則必須滿足x+?+z=l.

I一一一

（2）判斷三個(gè)向量共面一般用p=x“+M，

!證明三線共面常用"二工方+）/心，

?____

j證明四點(diǎn)共面常用0A=+7+z沅（其中x+y+z=l）.

【例6】（24-25高二下?甘肅白銀?期中）在三棱錐尸-718c中，M是平面力8c內(nèi)一點(diǎn)，且

UUUIUULULUUUL1

9PM=8P4+fPB+5MC，則f=（）

A.yB.1C.2D.3

12/28

【變式6-1］（24-25高二上?江蘇無錫期中）設(shè)忖,瓦［｝為空間的一個(gè)基底，方=2,+35+5工，OB=a+2b-2c，

0C=ka+b+3c，若厲，礪，反共面，則衣=（）

A.4>B2—Jc—3D—4

【變式6-2］（24-25高二上?廣東?期中）已知力，B,C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)。不在平面48。內(nèi)，

1.

OD^-OA+xOB+yOC（xyy>^,若4B,C,。四點(diǎn)共面，則中的最大值為（）

A.-B.—C.1D.2

816

【變式6-3］（24-25高二上?上海?期中）已知『，］,k是不共面向量，a=2i-j+3k,b=^i+4j-2k,c=77+5；+A^,

若G，加工三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)%=.

【題型七空間向量的數(shù)量積問題】

八a-b

I1、求夾角：設(shè)向量￡，B所成的角為。，則COS8=Y，進(jìn)而可求兩異面直線所成的角；

ab

-2--

I2、求長度（距離）：運(yùn)用公式?？墒咕€段長度的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題；

!3>解決垂直問題：利用2_LB=￡4=0日工01。。），可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題.

-?■■■■aw_MHi-BHV..MBK?■■■■■-MHB.wvo■_MM-HM_MHW■MM.■MB*---?■■■■MM-*―

【例7】（24?25高二上?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中）如圖，平行六面體48CQ-44GA的所有棱長均為2,

AB,4D44兩兩所成夾角均為60">點(diǎn)E,F分別在棱8用,。口上，且BE=2B］E,D、F=2DF,則

ACEF=______?

%g

If

AL--------%

13/28

【變式7-1]（24-25高二上?廣東韶關(guān)?期中）如圖，在正六棱柱/BCDM-百中，M為防的中點(diǎn).

設(shè)而=%#=反羽=5.若同=同=2,則而?國的值是.

【變式7?2】（24?25高二上?湖北荊門?期中）已知空間四邊形。13C各邊及對(duì)角線長都相等，及廠分別為

46,。。的中點(diǎn)，向量無與而夾角的余弦值.

【變式7-3]（24-25高二上?上海靜安?期中）如圖，在一個(gè)60。的二面角的棱上，有兩個(gè)點(diǎn)AC、BD分

別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)垂直于的線段，且d3=4cmWC=6cm,8O=8cm,則C。的長

為.

【題型八空間中的點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱問題】

（1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，三個(gè)坐標(biāo)均變?yōu)樵瓟?shù)的相反數(shù)；

（2）關(guān)于哪條坐標(biāo)軸對(duì)稱，相應(yīng)坐標(biāo)不變，另兩個(gè)坐標(biāo)變?yōu)樵瓟?shù)的相反數(shù)；

（3）關(guān)于哪個(gè)坐標(biāo)平面對(duì)稱，點(diǎn)在這個(gè)平面的坐標(biāo)不變，另一個(gè)坐標(biāo)變?yōu)樵瓟?shù)的相反數(shù).

14/28

r稿定務(wù)「關(guān)而i而賴?而福示?；l巫標(biāo)知信:

【例8】(24-25高二上?河南?期中)在空間直角坐標(biāo)系。了中，點(diǎn)P(a,0,2Z>-3)與。(。,0力)關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)

稱，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

【變式8-1](24-25高二上?廣東肇慶?期中)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(-2,1,4)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為

()

A.(-2,1,-4)B.(-2,-1,-4)

C.(2,1,-4)D.(2,-1,4)

【變式8-2](24-25高二上?安徽蕪湖?期中)在空間直角坐標(biāo)系。入廣中，已知點(diǎn)打1,2,5),點(diǎn)0(7,2,-5),

貝11()

A.點(diǎn)尸和點(diǎn)。關(guān)于x軸對(duì)稱B.點(diǎn)P和點(diǎn)。關(guān)于N軸對(duì)稱

C.點(diǎn)P和點(diǎn)。關(guān)于z軸對(duì)稱D.點(diǎn)P和點(diǎn)。關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

【變式8-3](24-25高二上?四川?期中)(多選)在空間直角坐標(biāo)系。-平中，下列敘述正確的是()

A.點(diǎn)(1,TO)與點(diǎn)(1/,0)關(guān)于x軸對(duì)稱

B.點(diǎn)(-3,-1,6)與點(diǎn)(3,7,6)關(guān)于n軸對(duì)稱

C.點(diǎn)(2,5,7)與點(diǎn)(2,5,-7)關(guān)于平面My對(duì)稱

D.坐標(biāo)軸兩兩確定的平面把空間分為12個(gè)部分

【題型九利用空間向量證明平行垂直】

I1、利用空間向量證明平行的方法

!(1)線線平行：證明兩直線的方向向量共線.

；(2)線面平行：①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直：②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某

；直線的方向向量平行.

i(3)面面平行：①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題.

15/28

「2、利用空間向量證明垂直的方法

；（1）線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零.！

；（2）線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示.；

i（3）面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?

II

【例9】（24-25高二下?江蘇宿遷?期中）在正三棱柱44G中，4B=A4,P為的中點(diǎn),則直線

BP與平面ACC^所成角的正弦值為（）

a3石「廂n3而

A?雪D.----C.----U.-----

16417

【變式9-1]（24-25高二上?廣東中山?期中）如圖在邊長是2的正方體力中，E,廠分別為

AB,4c的中點(diǎn).證明：E產(chǎn)J,平面4CQ.

【變式9-2]（24-25高二上?廣東吳川?期中）如圖，正方形力?！陱S與梯形48C。所在的平面互相垂直,

ADA.CD,AB//CD,AB=AD=2,CD=4,河為CE的中點(diǎn).

（1）求證：BMH^^ADEF；

（2）求證：8（7_1_平面4?！闬

16/28

【變式9-31(24-25高二上?江蘇徐州?學(xué)情調(diào)研)如圖，在四棱錐P-ABCD^,4_L底面ABCD,AB//DCt

2

DAIAB,AB=AP=2,DA=DC=\,E為PC上一點(diǎn)、,且PE=§PC.(請(qǐng)用空間向量法予以證明)

(1)求證：AE±PBC；

(2)求證：P/i”平面BDE.

【題型十利用空間向量求異面直線所成角】

用向量法求異面直線所成角的步驟：

(1)建立空間直角坐標(biāo)系；

(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；

17/28

r

（4）注意兩異面直線所成角的范圍是,即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的i

：絕對(duì)值.

I_______

【例10】（24-25高二上?山東?期中）設(shè)兩條異面直線初〃的方向向量分別為〃5=（0,7,1）,則

直線機(jī)與“所成的角為（）

2n

B.—D

A，i3-7

【變式10-1]（24-25高二下?福建寧德?期中）如圖，在四棱臺(tái)48co-44GA中，底面48C。是菱形，AA.1

平面48。。44=44=；片8=1,//18。=?，直線/C與直線所成角的余弦值為（）

屈

Lr?----

2

【變式10-2]（24-25高二下?江蘇常州?期中）己知四棱錐2-44c'￡＞的底面為直角梯形，AB//DC,

/DAB=90,產(chǎn)力1.底面力48,且"=4。=。。=1,AB=2,則異面直線力。與P4所成的角的余弦值

為.

【變式10-3]（24-25高二下?江蘇泰州?期中）空間四面體力4CQ中，石7=前，麗=2X彷，且

AB=AD=BC=CD=M，AC=BD=36,則直線A/N與直線4c所成角的余弦值為.

【題型十一利用空間向量求直線與平面所成角】

r一61

!如圖所示，設(shè)直線/的方向向量為"，平面a的法向量為/；,直線/與平面a所成的角為伊，向量）與[的夾|

ne

角為伍則有sin9=|cos0\

■評(píng)

18/28

r

【例11】（24-25高二上?湖南?期中）在長方體48cA中，已知48=8。=2,月4=4,E為4R的

中點(diǎn)，則直線1與6。所成角的余弦值為（）

「V42

D.---------L?------

A?答2142

【變式11?1]（24-25高二下?重慶?月考）在棱長為4的正方體/“。。-44GA中，M,N分別是棱力隊(duì)力同

的中點(diǎn)，過MN作平面a,使得夕O〃a,則直線MG與平面。所成角的正弦值為（）

5石

A-TBT"T"D?亭

【變式11-2]（24-25高二下?廣東惠州?期中）如圖，已知四楂錐P-48co中，底面48co是直角梯形,

ABI/DC,N4BC=45°，DC=l,AB=2,P/1_L平面月BCD,PA=\.

⑴求證：4B//平面PCD;

⑵若M是PC的中點(diǎn)，求PC與平面ADM所成角的正弦值.

19/28

【變式11-3]（24-25高二下?浙江?期中）如圖，在四棱錐P-力BC。中，BC//AD,AB=2,8。=1,點(diǎn)E

在上，且尸E/力。，AE=DE=2.

⑴若點(diǎn)。為線段莊的中點(diǎn)，證明："。〃平面PCQ；

⑵若48JL平面以。，PE=3,求直線P。與平面所成的角的正弦值.

【題型十二利用空間向量求平面與平面所成角】

1、找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得

到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小：

2、找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，

則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.

【例12】（24-25高二上?山東?月考）已知平面。，尸的法向量分別為1=（2,1,-3）,&=（1,-3,2）,則平面

夕的夾角的大小為（）

20/28

【變式12-1](24-25高二上?四川?期中)在正方體48CQ-48GA中，。為4G的中點(diǎn)，則平面力8。與

平面4CC/夾角的余弦值為()

.V6口應(yīng)「屈Vio

A?D?L?Un?

34155

【變式12-2]（24-25高二上?廣東惠州?期中）如圖，在四棱錐P-48c。中，平面PQC_L平面力8c。,

ADLDC,AB//DC,AB=AD=PD=^CD=\,PC=5〃為棱PC的中點(diǎn).

(1)證明：BM//平面P4Q；

(2)求平面PDM與平面BDM夾角的余弦值.

【變式12-3](24-25高二下?浙匯杭州?期中)如圖，在三棱錐尸-力8。中，PB=PC,。為3c的中點(diǎn),

平面21。_L平面尸8c.

(1)證明：4B=AC；

(2)若48_/力。，AB=2,PA=PD=\,求平面43與平面P4C的夾角的余弦值.

21/28

【題型十三利用空間向量求空間距離】

（1）點(diǎn)線距：已知直線/的單位方向向量為〃，彳是直線/上的定點(diǎn)，尸是直線/外一點(diǎn)，設(shè)向量力在直I

I

線i上的投影向量為@=〃，則點(diǎn)尸到直線/的距離為a2-（au）2.

（2）點(diǎn)面距：已知平面a的法向量為7,4是平面a內(nèi)的任一點(diǎn)，。是平面a外一點(diǎn)，過點(diǎn)夕作則平

面a的垂線/,交平面。于點(diǎn)。，則點(diǎn)尸到平面。的距離為20=111

[?131（24-25高二上?吉林四平?期中）在空間直角坐標(biāo)系。-工產(chǎn)中，已知點(diǎn)0）,向量記=（4,1,2）,碗_L

平面DEF,則點(diǎn)O到平面DEF的距離為（）

3回B2扃

?1D?-------c?等D,邁

721

【變式13-1]（24-25高二下?江蘇揚(yáng)州?期中）在棱長為2的正方體力8c中，點(diǎn)尸，。分別為平

面44GA,平面8CG4的中心，則點(diǎn)B到平面APQ的距離為（）

AMQ2而「舊n5舊

511511

【變式13-2]（24-25高二上山東濟(jì)寧?期中）在正方體44GA中，￡是棱。。的中點(diǎn)，則直線后0

與平面4cA所成角的正弦值為（）

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