專題02輕松破解求函數(shù)值域或最值的十大題型

題型歸納

題型一：觀察法..................................................................................1

題型二：配方法..................................................................................1

題型三：圖象法..................................................................................2

題型四：分離常數(shù)法.............................................................................4

題型五：判別式法................................................................................4

題型六：換元法..................................................................................5

題型七：單調(diào)性法................................................................................5

題型八：基本不等式法...........................................................................6

題型九：反解法..................................................................................8

題型十：由函數(shù)的值域（或最值）求參............................................................8

:題型專練

題型一：觀察法

0Q日?

通過對函數(shù)詳解式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點”和“最低

點”,觀察求得函數(shù)的值域或最值.

1.124-25高一上?河南駐馬店?月考）函數(shù)/（同=2+±的值域為（）

A.（-oo,l）U（h+°o）B.（-<?,2）J（2,+co）

C.（^o,-l）u（l,-H?）D.（-1,1）

2.124-25高一上?重慶沙坪壩?月考）函數(shù)/（力=1+2石口的值域為（）

A.[0收）B.。收）C.[l,+oo）D.R

2

3.[24-25高一上?云南麗江?月考）函數(shù).“司=[在[1,2）的值域為.

4.123-24高一上?湖北?期中）已知函數(shù)外可滿足/口口不工，則函數(shù)值域為____.

L/Z.ll"1

題型二：配方法

對二次函數(shù)型的詳解式可先進行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的

值域方法求函數(shù)的值域或最值.

5.（24-25高一上?河南開封?月考）已知函數(shù)〃耳=丁-2國+2,則/（x）的值域為（）

A.H+oo）B.[l,+＜x＞）C.[0收）D.[0,4]

6.（24-25高一上?湖北武漢?期中）已知。＞2,函數(shù)產(chǎn)丁-21-1G￡[（）,可）的值域是（）

A.[-2,-1]B.[-1,/-2々一|]

C.[-2,a~—2?！?]D.[—2,2]

7.函數(shù)y=Y+2x-8,工4一2,1]的值域為.

8.124-25高一上?江西南昌?月考）函數(shù)/。）=,?、的值域為_______.

x-x+2

9.（24-25高一上?浙江杭州?月考）函數(shù)/（“=文-1的定義域為口4],則函數(shù)y=/，）+[f（x）了的值域

為?

題型三：圖象法

作出函數(shù)的圖象，通過觀察曲線所覆蓋函數(shù)值的區(qū)域確定值域或最值.

9.[24-25高一上?浙江杭州?期中）若記山帖卜”，b}=，；則函數(shù)/（a）="小陋斗一丁+4

的最小值為（）

A.0B.1C.3D.12

10.（24-25高一上?河北衡水?月考）已知函數(shù)/（x）=|磯X-2）

（1）作出函數(shù)/（%）的圖象；

（2）寫出函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間；

⑶當x?0,l]時，求“X）的值域.

11.（24-25高一上?河南開封?月考）設函數(shù)，（x）=|2x-l|-.t+3.

⑴珞函數(shù)/(X)寫成分段函數(shù)的形式并畫出其圖像;

(2)寫出函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和值域.

2

12.給定函數(shù)〃x)=x+2,g(x)=xfxeR.用M(x)表示/(x),g(x)中的較大者,即

f(x)"(x)Ng(x)

g(x)，/(x)<g(x)

⑴請用圖象法表示函數(shù)M(X),注：畫出“4-4,4］上的圖象即可;

（2）寫出函數(shù)M（工）的值域；

⑶若M（a）=3,則求。的值.

題型四：分離常數(shù)法

00混

適用于形如），二竺士2,），二絲上處把的分式函數(shù)，第一步，對函數(shù)/*）變形成/*）=9+_形

cx+d'nix~-￥nx+pccx+d

式；第二步，求出函數(shù)y=—^在/（幻定義域范圍內(nèi)的值域或最值.

'ex+d

13.（24-25高一上?湖北宜昌?月考）函數(shù)y=二三三在區(qū)間[2,4]上的值域為（）

A.[-3,5]B.[-5,3]

C.S，-3）U（5,”）D.（-8,-3卜[5,48）

4v-_7

14.（24-25高一上?重慶云陽?月考）函數(shù)”:47的值域為（）

2x4-3

A.-8,g）B.[2,+oo）C.卜（g,+coD.（-<?,2）U（2,-KO）

二普1,1<-4,一2）的值域為（）.

15.（24-25高一上?江蘇徐州?月考）函數(shù)”

-

、?島（53引171B?島「53萬17J）C[「5才3引17]D.（1R53，萬I7.

二29一2-3的最大值為_______.

16.（24-25高一上?江蘇南京?期中）函數(shù)y=

X*7+1

17.函數(shù)y=AZ5的值域是_____.

-x-6

題型五：判別式法

將函數(shù)視為關于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些"分式''函數(shù)等：此外，使

用此方法要特別注意自變量的取值范圍；適用于形如y二&+"0,）,=答/的函數(shù)

ax"+bx+cax~+bx+c

將函數(shù)式化成關于x的方程，且方程有解，用根的判別式求出）的取值范圍，即得函數(shù)的值域或最值.

3r*4-v4-3

18.（24-25高一上?安徽淮南?月考）若函數(shù)〃幻=一，一的最大值為最小值為八則〃+（）

x2+1

A.4B.6C.7D.8

19.（24-25高三上?江蘇揚州?期中）若實數(shù)Lz滿足x”=T6,x+），+z=O用min｛x,y,z｝表示工,）,,

z中最小的數(shù),則mm"，）"｝的最大值為（）

A.-y/2B.-2C.-2V2D.-4

20.（23-24高一下?遼寧撫順?階段練習）已知y=m4-4m2n+3m2-2mn+5n2-4n+1,〃?,〃eR,則y的最小

值為（）

A.1B.x/T7C.VWD.0

21.（24-25高一上?浙江寧波?期中）函數(shù)/（x）=r：：+；l的值域是.

題型六：換元法

通過對函數(shù)的詳解式進行適當換元，將登雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函數(shù)，從而利用基木函數(shù)的取值

范圍來求函數(shù)的值域或最值.

22.（24-25高一上?江蘇蘇卅期中）函數(shù)y=lT+Vf方的值域為（）

A.-8,gB.[0,+oo）C.g'+8）D.

23.（24-25高一上?陜西西安?期末）已知正實數(shù)x，＞滿足外=f+）,2_]2,則的最大值是（）

A.24B.12C.4x/3D.2+

24.（24-25高一上?江西南昌?月考）函數(shù),=，-%2+24+2的值域為.

25.（25-26高一?全國?假期作業(yè)）函數(shù)），=JT7+VTV的值域為.

題型七：單調(diào)性法

0。?嫉

求函數(shù)值域或最值時.，如果能夠先判斷函數(shù)的單調(diào)性，可以利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)

遞減求值域或最值.

26.（24-25高二下嘿龍江哈爾濱?期末）己知函數(shù)y=是奇函數(shù)且在區(qū)間卜5,-1）上單調(diào)遞增，則函數(shù)

"/⑺在區(qū)間（L5]上（）

A.單調(diào)遞增，有最小值B.單調(diào)遞增，有最大值

C.單調(diào)遞減，有最小值D.單調(diào)遞減，有最大值

4

27.（23-24高一下?安徽滁州?期末）若x>0,則/（x）=2f（）

A.最大值為-2B.最小值為-2C.最大值為6D.最小值為6

28.（24-25高二下?遼寧沈陽?期末）函數(shù)+的最小值為（）

A.0B.4C.V2D.2加

29.（23-24高三上?海南?摸底考）函數(shù)/（x）=>/iKr的最小值為.

題型八：基本不等式法

0O百

形如y=ar+2（〃〃>o）的函數(shù)，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函數(shù)的值域時，要注

x

意條件“一正、二定、三相等”，即利用。+〃N2j茄求函數(shù)的值域（或最值）時，應滿足三個條件：①

?！?/>0；②（或。方）為定值；③取等號的條件為。二8，三個條件缺一不可；

30.（24-25高一下?廣東深圳?期末）己知函數(shù)/（力=21+工+2/武0,4）,則/（力的最小值為（）

X

A.4B.6C.272D.2>/5+2

31.（23-24高一上.廣東佛山?期中）函數(shù)/（x）=（*+2）,工工（）的值域為（）

A.（f,0]B.[8,-KC）C.（^?,0]U[8,-K?）D.[0,8]

32.（多選）（24-25高一下?廣東汕頭?階段練習）下列函數(shù)的最小值為4的有（）

49c

A.y=x'2+—B.y=x+一一2

x~x

f—4i

C.y=\lx+-j=（x>5）D.y=——-+x+l（x>l）

1-x+x2

y=--------

33.（24-25高一上?四川宜賓?期中）函數(shù)l+x+V的值域是（：）

「1]「1、（11

A.-,3B.-JUd,3]C.（0,3]D.-8,鼻D[3,+8）

/I3_

34.（23-24高一上.河北邯鄲?期中）（1）求當x>0時，y=-\二一—zr二4-4t的值域.

（2）已知cl,求函數(shù)。力二』：，；。的最小值.

35.(24-25高一上?浙江杭州?期中改編)求下列函數(shù)的值域:

(1)y='v-4A+4(.r>1)；⑵f(x)=3x+1+?(x<

x-l3X-Z\5)

題型九：反解法

oaoe

根據(jù)函數(shù)詳解式反解出x,根據(jù)x的取值范圍轉化為關于y的不等式（組）求解

36.（24-25高一上?浙江寧波?期中）函數(shù)/（力=4一，/一4工+3的值域為（）

A.（Y,3]B.[1.3]

C.（一叫1N[3,+8）D.（y,l]U（2,3]

37.（24-25高一上?云南?期中）函數(shù)丁二小匚的值域為__________.

2.r+1

38.（24-25高一上?四川成都?期中）函數(shù)/（%）=高:的值域為.

題型十：由函數(shù)的值域（或最值）求參

g混

先確定函數(shù)值域表達式，轉化為方程有解問題，結合參數(shù)范圍分析，利用函數(shù)單調(diào)性或圖象特征，驗證

端點值的適配性.

39.（24-25高一上?河北保定?階段練習）設函數(shù)/（刈==5（2<1《幻，其中實數(shù)〃〉2.若/⑴的值

x

域為[9,11],則〃的取值范圍是（）

A.（2,4]B.[4,6]

C.（2,8]D.14,8]

40.（2024高三?全國?專題