遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期初測試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)2=1+2,，則耳二（）

A.13B.J3C.5D..、5

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z（3+4i）=1+i,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知向量1⑵i-L-1）方=（肛3）,貝心,〃二]”是“f_L六的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.若sina+cos〃=1?！辏?,冗），貝ijsina-cosa的值為（）

A.■姮B.C.±—D.不確定

33.3

5./,能是兩條不同直線，a.By是三個(gè)不同的平面，下列說法正確的是（）

A.若〃/a,/_L6,則B.若///a,〃?//￡,則

C.若/_La.，〃/〃，則/〃//aD.若Lan6，aJ_y，6_Ly,貝

6,正四棱臺(tái)的上、下底面邊長分別是2和4,側(cè)棱長是、不，則該棱臺(tái)的體積是（）

A286口565B

D.19

3??

7若角a滿足8s（I'+a=1則—!—+tanCT二（）

（4）Lma

7°q「18D.2

A.-B.~C.—

977

8設(shè)函數(shù)/（x）=sin（%+3）（0>0）,若入，當(dāng)滿山（.*）-/&）=2,且卜-xj=:,則

5的最小值為（）

A.2B.4C.6D.8

9.在VA8C中，角A,B,C的對邊分別為“，b,c,若2a?=廣+c2，則A的最大值為

2n

A.B.c-TD.

10.如圖，圓M為VABC的外接圓，A8=4,AC=6,N為邊8C的中點(diǎn)，則了/.了加—=()

C.13D.26

二、多選題

11.已知向量￡=(1,0),b-(cos?.sin0),f?e,則卜+人的值可以是()

A..、2B.U3C.2D.2J

12.把函數(shù)/(.V):sin2A?+?、i3cos2x的圖象向右平移四個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，

則下列說法正確的是().

A./(x)的最小正周期為兀B.直線工二巴是圖象的一條對稱軸

r\

c.g(o)=0D.上單調(diào)遞增

JII

13.在VABC中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,A=j,ccosA+acosC=-b2,則

下列說法正確的是()

A.若VABC不存在，則a的取值范圍為(0,2.、2)

B.若存在唯一VABC,則。的取值范圍為［4.+8)

C.若存在兩個(gè)符合條件的,則a的取值范圍為(22/)

D.若VABC為銳角三角形，則a的取值范圍為(4產(chǎn)2)

14.如圖，在棱長為2的正方體八8cO-中，M為力"的中點(diǎn)，尸為側(cè)面A4QQ內(nèi)

一動(dòng)點(diǎn)，且3///平面BC"，過A,M，G三點(diǎn)作正方體截面Q,則()

試卷第2頁，共4頁

A,三棱錐a-oa5的外接球表面積為44t

B.動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是i條線段

c.三棱錐尸-4G用的體積是定值

D.若。為。上一點(diǎn)，則線段4Q長度的取值范圍為［20、2J

三、填空題

15.已知向量門=6,-1),7=(1,2),若［在Z方向上的投影向量為％,貝產(chǎn)二

16.若tan。=-2,則;...-=.

l-cos2/?

17.函數(shù))，二百"二的最大值與最小值的和為

cmx-2

18.三棱錐A?4C。的體積為上，且人8=AC=1,BC=3，則三棱錐A-4C。的外接球

半徑的最小值為

四、解答題

19.已知VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且“"二叫一

csin4?sina

⑴求A;

(2)若VABC的面積為4Q,且NBAC的平分線交邊8C干點(diǎn)。，求40的最大值.

20.已知函8(/(x)?叫3"率.對3x?7

(1)求/(上)圖象的對稱軸方程：

(2)若關(guān)于x的方程叫二，|+/(/=2|??〃在區(qū)間2兀)內(nèi)有兩個(gè)不同的根

國，，0(修<9)?

試卷第3頁，共4頁

(i)求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(ii)求COS(M+x:)+cos(應(yīng)?/)的值(用含機(jī)的代數(shù)式表示).

試卷第4頁，共4頁

《遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期期初測試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678910

答案DDABDBCBBC

題號11121314

答案ABCACDACBCD

I.D

【分析】利用共拆息數(shù)概念以及復(fù)數(shù)的模公式求解判斷.

【詳解】Qz=L2i,；.「卜(2-\5

故選：D.

2.D

【分析】由更數(shù)的四則運(yùn)算法則可求得z=1-《i,結(jié)合復(fù)數(shù)的兒何意義求解即可.

【詳解】山z(3十4i)二1十i,可得z=7r^二公"為二二二二一力，所以z在夏平

3*4i(3+4I)(3-4I)252525

(7I

面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為一.位于第四象限，

故選:D

3.A

【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，求出/J_〃.對應(yīng)的機(jī)的取值范圍，再根據(jù)充分必要條

件的定義判斷即可.

KM|M當(dāng)切=彳時(shí),d-(2-1),^=(―,3>,ab=2-1)x3=0?故得“-_L"

由,得“工二(加一1)〃?+(—l)x3=0,即(2w—3)i加+1)=0,解得：—1則=；.

3.--

故“陽=5是"a±b”的充分不必要條件，

故選：A

【點(diǎn)睛】本題結(jié)合向量數(shù)量枳的坐標(biāo)表示，考查充分必要條件，屬于容易題.

4.B

【分析】利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可得sinacosa=一：,根據(jù)a￡(0,冗)即可求得結(jié)果.

【詳解】將sina+cosa；兩邊同時(shí)平方可得，sin2a+cos2a+2sinacos0=?

,4

可得sinacosa=-(,

答案第I頁，共12頁

又?！?0,兀)，所以sina>O,cosa<0；

易知(sina-cosa)=sin2a+cos2a-2sinacosrz[

可得sina-cosu?v1

又_),3…”平

故選：B

5.D

【分析】AB選項(xiàng)，可舉出反例：C選項(xiàng)，得到根_La；D選項(xiàng)，作輔助線，由面面垂直的

性質(zhì)和線面垂直的判定定理可得D正確.

【詳解】A選項(xiàng)，如圖，滿足但6。不平行，A錯(cuò)誤：

B選項(xiàng)，若〃/a,〃〃/￡,則a,?？赡芷叫?，可能相交，B錯(cuò)誤：

C選項(xiàng)，若/_La,/〃/〃，貝C錯(cuò)誤：

D選項(xiàng)，如圖，設(shè)any二初snv=犯，點(diǎn)p是平面y內(nèi)一點(diǎn)（不在外，小上），

過點(diǎn)P作PM,垂足為M,過點(diǎn)P作尸N〃2，垂足為N,

因?yàn)閍_LK6J_丫且any=〃b￡nv=〃2，且PMUV,PNUY,

所以尸M_La,PN工B,

又/二crn。，即/LOUL。，故PM_Ll,PNL,

又PMCPN;P、PM、PNuY,所以/J,y,D正確

故選：D

6.B

【分析】正四棱臺(tái)補(bǔ)成正四棱錐，根據(jù)長度比例關(guān)系結(jié)合錐體的體積運(yùn)算求解即可.

答案第2頁，共12頁

【詳解】將正四棱臺(tái)補(bǔ)成正四棱錐,如圖所示:

因?yàn)?4=24冏=4,可知4,81G,Q為相應(yīng)棱的中點(diǎn)，

則E4=2A4,=2JJ；.可得A0=」AC=22P0=.PA2-.4O:=4

i、，2'**

所以該棱臺(tái)的體積丫二:匕=7-1-16-41'

'S3J

故選：B.

7.C

【分析】由條件結(jié)合兩角和余弦公式可得cos。-sina二,兩邊平方可求2sinacosa,根

據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系可得」-+tana—,，由此可得結(jié)論.

Lanasin/z-co&a

■cos^cosa-sin\in（/=乎《Marina）,

【詳解】因?yàn)閏os|:+a；

所以|cosa-sina）=:

故cosa-sina

3

兩邊平方，可得cos?a-2cosasina+sin2a=-,又cos2cr+sin2a=1?

9

所以2sinacosa=—,

g

I.cosasinacos:a*sin2aI

因?yàn)?---?tangj="-?-.

iMitrvinrrrmrr?inrycn^n?nrr

I18

所以----+lanrz=.

tana7

故選；C.

8.B

【分析】根據(jù)，（演）-/（也）|=2得出為，石分別為最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)，再結(jié)合卜「占|==

以及丁旦可以得到答案

【詳解】Q/（-V）=sin（M+（p）（w>0），且/（占）-/（七）|=2,

答案第3頁，共12頁

:%，占分別為最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)，

又I7：卜:'

二:4Ty.kGZ,整理*Af--,

又7-25,

m

.J-A--.kGZ,整理得①=4+&,kGZ,

\2)w4

又②>0,

:⑦的最小值為4.

故選：B

9.B

【分析】由余弦定理求出cosA,再根據(jù)三角形內(nèi)角范圍及余弦函數(shù)的單調(diào)性求出A范圍.

eb2

【詳解】由余弦定理得h:^c:-a:2+2、標(biāo)I，當(dāng)且僅當(dāng)人二。時(shí)取等號，

26c2bc2bc2

因?yàn)?<A<71,y=cosx在(0,7T)單調(diào)遞減，所以0<.14；,即A的最大值為

故選：B.

10.C

【分析】分別取線段加AC的中點(diǎn)為EF,則可求得入?加一.Ac和公■尸.7尸.再根據(jù)

tv='(irM?)即可求出.

【詳解】分別取線段A8/C的中點(diǎn)為￡尸，

因M為圓心，^]AF±MF,AE±ME,

則AM4C=4F.^C=1^C'=I8,AMUill.Ui11?8,

乂N為邊8C的中點(diǎn)，則IV-'(!C-Ifl).

則了、I"1(l[l/,，lIW'(〃"?l/r"IJIK?XIH

222

故選：C

答案第4頁，共12頁

A

II.ABC

【分析】根據(jù)題意，坐標(biāo)表示求雨+〃的值，根據(jù)。的取值范圍，得到p+q的取

值范圍即可求解.

TTTT

【詳解】解:因?yàn)閍=(1,0),b=(cos0,sin0),所以a+/>=(I+cos6.sin6),

則卜“卜山?”》〃)初，<工巨6

因?yàn)椤ǎ?,所以cosd[o,1],

故F+1目?、i2,2].結(jié)合選項(xiàng)可知選ABC.

故選：ABC.

12.ACD

【分析】先根據(jù)輔助角公式化簡可得Hx)=2si，2「；；,再由三角函數(shù)的圖象變換“得

g(x)=2sin2.r,利用三角函數(shù)的周期性、對稱性、單調(diào)性的判斷方法依次判斷各選項(xiàng)即嘰

【詳解】/1')=sin2尤?、曝os2x=2sin入+：.則g(')=2sin2*'=2sin2x,

對于A,/(x)的最小正周期丁二二號，故A正確；

對于B,噌；IsinR，)：卜2：'=門故B錯(cuò)誤；

對于C,^(0)=2sin0=0,故C正確：

對于D,令:2kn<2x<；?解得:“兀4%三:?履，

,、

當(dāng)女=0時(shí)，-:而住二的范圍內(nèi)，故D正確.

44124744

故選：ACD.

13.AC

答案第5頁，共12頁

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合和角的正弦求出〃，再利用止弦定理逐

項(xiàng)分析判斷.

【詳解】在VA8C中，由ccos/l+及正弦定理，

得TsinB=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB，而sinB>0,則b=4,

▲

由正弦定理得sin3.匕山=212.

aa

對于A,由VABC不存在，得上解得0<〃<2?、2,A正確；

a

對于B,當(dāng)a=2&時(shí)，sinB=1,B=鼻，V48c唯一，B錯(cuò)誤；

對于C,存在兩個(gè)符合條件的VA8C,則22<1且b>〃，解得2，5<a<4,C正確：

a

對于D,當(dāng)4Vo<46時(shí)，a>b，則8<A5,C=-,V48c為鈍角三角形，D

44/

錯(cuò)誤.

故選：AC

14.BCD

【分析】對于A,只需判斷三棱錐的外接球即正方體的外接球則可求；對于B,分別取

AA,A.的中點(diǎn)〃,G,證明平面8G”//平面8GM，即可判斷點(diǎn)尸的軌跡；對于C,根據(jù)

B項(xiàng)結(jié)論，證明G"http://平面8GM,得到點(diǎn)尸到平面8GM的距離為定值即可判斷；對于D,

先證明N為8吊的中點(diǎn)，從而根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得到截面。即為平面AMGN,從

而線段AQ長度的最大值為線段4G的長，最小值為四極錐4-AMGN的底面AMGN上的

高即可.

【詳解】對于A,由題意三棱錐的外接球即為正方體的外接球，

因止方體的棱長為2,則其外接球的直徑為2、4.

故三棱錐。?-DCB的外接球表面積為我.(、4：-|工故A錯(cuò)誤：

答案第6頁，共12頁

對于B,如圖，分別取A4,A.的中點(diǎn)從G,連接

因M為。。的中點(diǎn),易得HM//AQJ/BiG、HM=4n=5,C,,則得d/ZMC向,

故B、Hi/MC1,因8HL平面BQ",MG丈平面8GH,故MCJ/平面B|GH,

又因A3/伏向/〃>C，AB=AlBl=D,C,,則得口謝￡\,故BCJ/AD、,

因G”//AQ,故BCJiGH,同理可得BQ//平面5G〃，

且MGn^G=Ci,MCi,BCiu平面6GM,故平面B】G4//平面8GM,

又因3尸//平面3GM,故3/l平面BIGH,故點(diǎn)尸的軌跡為線段G〃，故B正確：

對于C,由B項(xiàng)分析，點(diǎn)尸的軌跡為線段G”,因G"i面&G",故GH//平面8GM,

則點(diǎn)尸到平面8GM的距離為定值，而ABGM的面積也是定值,

則三棱錐r-3GM的體積是定值，故C正確:

對于D,如圖，設(shè)平面。與平面交于AN,點(diǎn)N在8叢上,

因平面QCI平面A￡>n4=AM,平面A。。///平面B8GC，故AM/IC、N,

同理可證AN//C",即得C1ANGM,故點(diǎn)N為的中點(diǎn).

在四棱錐&-AMGN中，顯然側(cè)棱A|￡最長，其長度為2萬：

答案第7頁，共12頁

設(shè)四棱錐4-AMGN的高為力，因AM=GM，故四邊形AMGN是菱形,

則的邊AC；上的高為面對角線長的一半，為.、,，又A￡=2.、6，

故S?c=；x26x』R.、i,而-1x2x2-2.

由以rg=VciM可得：x仁代值解得方

綜上，可知線段AQ長度的取值范圍為［彳八,？、，』,故D正確.

故選：BCD.

15.7

【分析】利用投影向量的公式和數(shù)量積、模長的坐標(biāo)表示列式求解即可.

【詳解】設(shè);/；的夾角為6,

lIII

AAi2A

一

由題意a在力方向上的投影向量為HTL

rrbr0s

、

I

所以，?=1.解得x=7,

故答案為：7

16.0625

ft

【分析】利用二倍角公式以及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡求值，即可答案.

【詳解】因?yàn)閠an。二一2,

門-卜］1sm:0?cos20tan'（t+I4fI5

所以

l-cos202sirr92tan*02x48

故答案為：'

R

4

17.-

【分析】將函數(shù)），=網(wǎng)巴二變形為1—2），=siiu—ycos.r,然后利用輔助角公式將其轉(zhuǎn)化為

一個(gè)三角函數(shù)的形式，再結(jié)合三角函數(shù)的值域來求解），的最大值和最小值.

【詳解】由函數(shù)），=網(wǎng)巴!，得v（cosx—2）=siru—1,化簡整理得

CLV^X-2

2

\—2y=sinv—yCosx=-1>Vsin(x+0),所以=sin(，+,

答案第8頁，共12頁

又根據(jù)正弦函數(shù)，得一140in(x+W)4I,即*J1].I，

解不等式得。0-1

4,4

所以乂皿+>,nun=J*0=^

故答案為：:

18.消

【分析】根據(jù)體積公式可得三極錐的高，利用正余弦定理可得外接圓的半徑，進(jìn)而根據(jù)勾股

定理列方程，即可求解.

【詳解】過點(diǎn)。作。M_L平面ABC于點(diǎn)M,

取VA8C的外心為N,三棱錐A—3co的外接球球心為0,

連接NM,0N,。。，過。作OP//MN交。M于P,

故。Nj_平面4BC,則。,進(jìn)而可得四邊形OPMN為矩形，

由余弦定理可得cos上BAC」“-.?.±^CG(0,x),：±B4C=—

2x1x124

入IBC1G

由正弦定理可得~ZsmZatC_2X73--

T

又V-wc‘S,"。。"-L"—>I<1>—QM=-解得DM=3.

33224

設(shè)0V=〃,外接球的半徑為/?,

OB'=QN、B$/??力??I?

則00=0F+DP2=,,故MW=6/7—8,

R'=W>(3-A)

因此NM?=6/Z—8>0,故6N§,

所以&2=3,即

故半徑的最小值為:，

故答案為：；

答案第9頁，共12頁

D

19.⑴:

Q)23

【分析】（1）利用正弦定理邊角轉(zhuǎn)化后結(jié)合余弦定理可得，即可得A：

（2）利用三角形面積公式，結(jié)合基本不等式求解.

【詳解】⑴在VABC中，由正弦定理得

4n<rt（

E心。AsinCsinR口-八小6。一人

因?yàn)?-------------,所以----工——

csm44sinnca+n

整理得〃+c2—a2=be.

故cosA」?：?！?/p>

Ibe2

又4W（0.兀），故A二！

（2）由V/1BC的面積為九,八二：,得！尻/4

-ybe=43,解得〃c=16,

?，,AD為內(nèi)角人的角平分線，???上BAD=上C4。=

由2秘二S-+S_得4.、萬=：AQ.csin：+；4Q"[

2o2o

因此16、，3=（c+b）.AD

=當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號.

c-biJcb

所以線段AQ長的最大值為2J

【分析】（1）利用三角恒等變換整理可得/'（x）=公m醫(yī)+二），結(jié)合正弦函數(shù)的對稱性運(yùn)

算求解;

答案第10頁，共125；

（2）G）由題意結(jié)合輔助角公式得sin（x+夕）=2機(jī).其中sins-I；cos（…’2利用正弦

函數(shù)的值域求得答案；Gi）當(dāng)不機(jī)■時(shí)，利用正弦區(qū)數(shù)的對稱性得為+與+2。=兀，利

用誘導(dǎo)公式和二倍角公式運(yùn)算得解；當(dāng)-匚、’、時(shí)，利用正弦函數(shù)的對稱性得