江西省新余市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合力={x|xN—1},5={-3,-2,-1,0,1,2),則(品⑷D6=()

A.{-3,-2}B.{-3,-2-1}C.{0J2}D.{-1,0,1,2}

2.命題0,/-3x70>0”的否定是()

A.Vx>0,x2-3x-10>0B.3x>0,x2-3x-10<0

C.Vx<O,x2-3x-1()<()D.VX>(),X2-3X-1()<()

c

3.記工為遞減等差數(shù)列{%}的前〃項和，若為1。9=20,4%)=64,貝().

11

A.23-wB.〃-23C.23-2〃D.2〃-23

4.設(shè)函數(shù)〃x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為/”(x),且函數(shù)歹=(lr)/"(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一

定成立的是()

A./(x)有極大值/(-2)B./G)有極小值/(-2)

C."X)有極大值/⑴D./G)有極小值/⑴

5.2025年春節(jié)期間,有《封神》《哪吒》《神雕英雄傳》《熊出沒》《唐探1900》五部電影上映，小李和另

外3名同學(xué)去隨機(jī)觀看這五部電影，則小李看電影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部電影的不同排列方

式共有()

A.24種B.36種C.48種D.72種

lnx+x,x>1

6.已知函數(shù)2mI，若g(x)=/G)-〃7有三個零點，則實數(shù)〃，的取值范圍是()

2x-nix+-x<1

2t

A.1,—B.(1,2]C.D.[1,3]

*_\I_

3,2-7

7.力、8是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，且尸(力)=：0(4忸)=1P(4+8)=億，則下列錯誤的是()

1_2_31

A.P[B)=-B.P(AB)=-C.PQB)=ND.尸畫力)=.

4JJ。

8.已知/'(x),g'(x)分別為定義在R上的函數(shù)〃x)和g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且/(x)-g'(x)=l,

,

f(x)+g(2-x)=lt若g(x)是奇函數(shù),則下列結(jié)論不正確的是()

A.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點”1)對稱

B.函數(shù)/'(X)的圖象關(guān)于直線x=l對稱

C.g'(o)=()

D./(-3)=1

二、多選題

9.下列函數(shù)在(―,+8)上是單調(diào)函數(shù)的是()

A.y=x^+x-\B.y=sinx-xC.y=xeK+1D.y=e'-x

10.已知等比數(shù)列出｝的前〃項和為S0滿足S.=2"*+m,數(shù)列｛"｝滿足與+??吟=%則下列說

法正確的是()

A.m=-2

B.設(shè)/(〃)=""+36〃1N',則/⑺的最小值為12

C.若。一"+2>0對任意的〃wN?恒成立，貝

O

D.設(shè)%,嗜I若數(shù)列｛《｝的前〃項和為小則2=258-2

11.已知拋物線C：/=2工的焦點為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,點44在C上(4在第一象限)，點。在/上，以48為

直徑的圓過點尸，且麗=2而(之>0),下列說法正確的是()

A.若4=4,則忸耳=1B.若40/二?則|力可二2

C.△力總的面積的最小值為了D.△力。8的面積大于3—2后

4

三、填空題

12.設(shè)函數(shù)/(x)=［句,則.

13.已知數(shù)列｛%｝,也｝的前〃項和分別為J二，且2=2〃2+3九27>30-3,將兩個數(shù)列的公共項按原順

序構(gòu)成新數(shù)列｛。｝,若g<2025,則〃的最大值為.

14.已知函數(shù)/(')滿足：@VxeR,f'(x)>0.②Dx,yeR,f(x)f(y-x)=f(y).若:是方程

/(ln2x+x)/(2/7ei)=/⑴的實根，貝卜」+21n24=.

四、解答題

15.在數(shù)列｛。/中，％=2,an+｝=3an-2.

(1)求數(shù)列｛。”｝的通項公式；

(2)若“=%+〃,求數(shù)列｛"｝的前〃項和S”.

16.已知函數(shù)〃x)=d+Alnx(、R),f'(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù).

⑴當(dāng)人=一3時，求曲線y=/(x)在點(L/0))處的切線方程；

O

⑵若函數(shù)g(x)=/(x)-/(xH,在X=1處取得極值，求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最值.

C

17.數(shù)列｛叫和它的前〃項的和，滿足=

(1)求證：數(shù)列｛q｝是等比數(shù)列，并求出該數(shù)列的通項公式；

<2)已知2=7^^―T”』.

⑼一/=i

①求人

②是否存在〃［、k、nwN：且2k=〃?+〃，使得乙、果、7；成等差數(shù)列？如果存在，求出〃?、k、〃,如

果不存在，請說明理由.

18.在三棱錐P-8CO中，CBLCD,CD=2CB=2,尸"與平面4co所成的角為6.

B

⑴若6=90。，Z5PC=30°,如圖，過點8作平面力，分別交PC,PD于點E,F.

①求證：BEL'FlffiPC'Q；

②沒旃=2反，，為平面8E尸內(nèi)的動點，求ACG”周長的最小值.

(2)若〃=60。，尸8=1,求二面角P—CQ—A的取值范圍.

19.已知函數(shù)/(x)=alnx+g——(a+i)H4>o).

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)函數(shù)8(%)=(3-〃戶-/3有兩個極值點*1,x2(x,<x2).

(i)求實數(shù)〃的取值范圍；

(ii)證明：g(xJ+g(X2)<l0Tna.

江西省新余市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷參考答案

題號12345678910

答案ADAADCCCAEACD

題號11

答案ABD

1.A

【詳解】因為集合力={x|x之一1},={-3,-2,-1,0,1,2),

則Q/={x|x<-l},

則4加8={-2,-3}.

故選：A.

2.D

【詳解】“Hr>0,--3x70>0”的否定是“Vx>01-3x7040”.

故選：D

3.A

【詳解】由牝+%=2%=20,則的=10,若數(shù)列公差為d,則％囚。=(%-34)37+34)=64,

.??八4.且dvO,可得d=—2,故q=%+(〃—7)"=-2〃+24.S”=〃"*=心—〃),

.?.生=-〃+23.

n

故選：A

4.A

【詳解】函數(shù)y=。-數(shù)/'(力的圖象如圖所示,

.??當(dāng)x<2口寸，,/^Y)>0;當(dāng)24<1時，<0；當(dāng)X>1時，<0,

二?函數(shù)/(x)在(-%-2)上單調(diào)遞增，在(-2,1)上單調(diào)遞減，在(1,物)上單調(diào)遞減，

.??/(》)有極大值/(-2),無極小值，

故選：A.

5.D

【詳解】若小李看《哪吒》，旦4人中恰有兩人看同一部電影,

有兩人看《哪吒》，則有C；A；種方案，有一人看《哪吒》電影，則有C；A：種方案，

即滿足小李看《哪吒》，且4人中恰有兩人看同一部電影一共有C；A；+C；A；=72種方案.

故選：D.

6.C

【詳解】當(dāng)時，/(x)=lnx+x單調(diào)遞增且/(x)=lnx+x>l,此時g(x)=/(x)—加至多有一個零點,

若g(x)=/(x)-加有三個零點，則閉時,函數(shù)有兩個零點;

當(dāng)x>l時，/(x)=lnx+x>l,故〃?>1：

當(dāng)x41時，要使g(x)=/(.V)-m=2x2-mx-y有兩個零點，

MT<1，

4

2—m-->0

2

4

所以又小>1,

(4'

所以實數(shù)加的取值范圍是U-.

故選:C.

7.C

【詳解】?「P(加4)=今符=：,.?.尸(力8)=]P(8),

乂:明+耳)=1-尸(砌=得，(加=A，故C錯誤：

_3231

..?尸(西二夕伊)”(硝=三，"⑻一?、?△，，P⑻=5,故A正確;

VP(JB)=yP(B)=-,AP(J^)=P(J)-P(JZ?)=---=y,故B正確；

\_

=故D正確?

r\A)二J

3

故選：C.

8.C

【詳解】因為/(x)-g'(x)=l,/(x)+g'(2—x)=l,

所以g'(x)+g'(2-x)=0,

所以g'(f+i)+g'(i—/)=o,

所以函數(shù)g'(x+l)為奇函數(shù)，

所以函數(shù)g'(x+l)的圖象關(guān)于點(0,0)對稱，

所以g'(x)關(guān)于。,0)對稱,

又/(x)=g'(》)+l，

所以函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于點(1,1)對?稱，A正確；

因為函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(覃)對稱，

所以/(x+1)-1的圖象關(guān)于原點對稱，

所以/(x+l)—l=l—/(—x+l),

所以rW-x+i),

所以函數(shù)/'(x+1)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，

所以函數(shù)/'(X)的圖象關(guān)于直線X=1對稱，B正確；

因為g(x)是奇函數(shù),所以g(-x)=-g(x),

所以一g'(-x)=-g'(x)，即g'(—x)=g'(x)

又g'(x)+g'(2-x)=o,

所以g1x+4)=-;-g，(x+2)=g1-x)=g，(x).

所以函數(shù)g'(x)為周期函數(shù)，周期為4,

所以〃-3)=g'(-3)+l=g'⑴+1,

又g")+g'(2-x)=0,所以g'(l)+g'(2-l)=0,

所以g'⑴=0,故/(—3)=1,D正確;

設(shè)g(x)=2sin/x,則g'(x)-COSyX,g(2-x)=COS-^(2-X)=-COSyX,

Tt2

滿足所給條件，但g'(0)=l,所以C錯誤.

故選:C.

9.AB

【詳解】對于A,y=3x2+l>0,J，=,d+X-1在(-oo,y)上單調(diào)遞增，故A正確;

對干B,y=COSX-l<0,卜=5而》7在(-8,+8)上單調(diào)遞減，故B正確；

對干C,y=(x+l)er,令y'>0nx>-l,令/<0=不<一1,

故y=xe'+l在1)上單調(diào)遞減，在(-1,+8)上單調(diào)遞增，故C錯誤;

對于D,y=ex-\,令y'>0=x>0,令y'<0nx<0,

尸e-x在(-8,0)卜單調(diào)遞減，在(0,+8)卜單調(diào)遞增,故D錯謾:

故選：AB.

10.ACD

【詳解】對于選項A：因為3=2向+機(jī)，

n+,

所以當(dāng)胃=1時,q=4+〃?，當(dāng)〃22時，an=Sn-Sn,l=(2+/w)-(2"+w)=2",

因為｛〃”｝為等比數(shù)列，所以=即16=8(4+〃?)，解得加=-2,

此時％=2符合6=2”,則勺=2”，叁=2,即｛叫為等比數(shù)列，故A正確;

對于選項B：因為/(〃)=%+?,//eN\

=12,當(dāng)且僅當(dāng)2"二日

所以/(〃)=2"+奈2即〃=k)g?6時等號成立,

因為〃eN,所以，⑺不能取到12,故B錯誤;

對于選項c：因為/+&+]+…+3=*

23n

所以當(dāng)〃=1時，"=1,當(dāng)〃22時，—=n-(n-\)=\t則?=〃,

因為乙=1符合上式，所以“=〃，

n—2

若tan-bn+2>0對任意的〃eW恒成立，則，>寸對〃eN*恒成立,

/、n—2EI/、〃一］〃一2一〃+3

令A(yù)g(〃)=—，則g(〃+1)—g(n)=~~—=，

當(dāng)1W〃W2時,g(〃+l)>g(〃),當(dāng)〃=3時,g(3)=g(4),當(dāng)H之4時,g(〃+l)<g(〃),

所以g(〃)max=g(3)=g(4)=J,則故C正確;

OO

-1)__2H+1_T

對干選項D：由題意得，%=

她+1〃(〃+1)〃+1n

「門―22223222”"2"2川、

所以=-----+-------1-…H---------=------2,

2132〃+1nn+1

所以7；3="一2=2'8—2,故D正確.

6364

故選：ACD.

11.ABD

【詳解】設(shè)8在/上的投影為與％軸交于點E,因為44兩點在C上，則忸必二忸用,

....QBBD\BF\4,,4

又|2即=4忸9則蘇=*=匚目=歹得忸下|=$A正確:

設(shè)4在,上的投影為M,則?日=|4W|,力b_L。尸，所以V力。/三V/10M,

又4QF=+71,則/五40=/凡/2=271，

36

即乙刈/=//!&=[,/為等邊三角形，

則N/FAf=NM/E=60°,AF=MF=2EF=2,B正確；

若B在第四象限，設(shè)匹[嗚｝則網(wǎng)=小,網(wǎng)=急,

SM2（l+cos/）（l+sin0'令'=如夕+cos夕=缶in（夕+（1,亞]'

則2（1+85夕）（1+丐11夕）=2+2/+/-1=?+1）243+2&,

則S“,”3-2&,當(dāng)且僅當(dāng)〃時取最小值，易知3-2正<：,C錯誤；

44

易知|2目耳。8],所以“AQB之14FB，當(dāng)且僅當(dāng)力1_Lx軸時取等號,

由C知，此時反游8>3—2后，故S.AQB>3-26,D正確.

故選：ABD

=/

故答案為：

13.3

【詳解】?「S”=2〃2+3〃，.".當(dāng)”=1時，々=3=5,

當(dāng)〃22時，/='』=（2〃2+3”）-[2（〃-1）2+3（〃-1）]=4〃+1,

當(dāng)凡=1時％=5也滿足an=4〃+1,故4=4〃+1；

又27；=3"-3,當(dāng)〃=1時,2—,.?3=3,

27；=32-3

當(dāng)〃22時，?2b=3b-3b.,Upb=3bl,

【233%-3'

?.?｛5｝是首項為。=3,公比為3的等比數(shù)列，.?也=3X3”T=3”,

???數(shù)列｛c“｝是數(shù)列｛4｝,｛2｝的公關(guān)項,

又4=3,/）,=9=4x2+1=?,,乙=27,h4=81=4x20+1=a20,

々=243,4=729=4x182+1=482，/>7=2187>2025,

.?<=9,6=81,J=729,C4>2025,且｛&｝為單調(diào)遞增數(shù)處,

滿足c“W2025的”的最大值為3.

故答案為：3.

14.2

【詳解】由②及題設(shè)條件，得/(ln2x+2,d+x—疑1)=/(1).

由①，知Q(x)為增函數(shù),得ln2x+2x)=1,BP\n2x+\nx+2x2=l-x+lnx+xe,-x

即\n2x2+eln2?=l-.r+\nx+e"\

令g(x)=x+e',則9(11】2/)=履17+山).

又g(x)為增函數(shù)，所以ln2為=l-x+liu,即ln2x=I,所以e~=2x,

故廣*+21112左=2"+2(l-左)=2.

故答案為：2.

15.(i)^=r'+i

(2電/士羅+3)

【詳解】(1)因為。川=3/一2=%,=

所以數(shù)列｛/-1｝是以q-1=1為首項，3為公比的等比數(shù)列，

所以勺-1=31,所以。“二3小+1；

(2)因為“=a”+〃=3"T+(〃+l),

所以S=—+〃(2+〃+1)=3”-】+小+3)

”1-322

16.(1)^=1

(2)答案見解析

【詳解】(1)當(dāng)％=-3時，/(x)=x3-31nx,

則「(可=3/-2,則/'⑴=0,又/⑴=1,

X

所以曲線y=/(x)在點(1J(1))處的切線方程為y=L

(2)由/(x)=T+"inx,x>0,則/(x)=3/+七,

X

所以g(x)=/(x)-/"(x)+2=丁+Alnx-3x2+—+—=A:3+Z:ln.r-3x2+-~~—,

x\xyxx

貝ijg(x)=3x-+——6x---,

XX

因為函數(shù)g(x)在X=1處取得極值，

所以g'⑴=3+"6—(9—%)=0,解得"=6,

此時g(x)=丁+6lnx-3x2+—,

則g〈x)=3/+9—6x—±='(”T)：(x+1),

XXX

令g'(x)>0,得X>1；令g'(x)<〔)，得O<x<l,

所以函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,y)上單調(diào)遞增，

則x=l時，函數(shù)g(x)取得極小值，滿足題意，即4=6,

則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1，帝)，

當(dāng)X=1時，函數(shù)g(x)取得最小值g(l)=l,無最大值.

17.(1)證明見解析，勺=2"；(2)①=②不存在，詳見解析.

2-1

【詳解】(1)當(dāng)〃=i時，的卷吟=1,得q=2；

當(dāng)心2時，???凡一手=1①，=②，

乙/

①-②，得a。-用_「g=0,.?.冊=2%,則，~=2.

，an-\

.??｛。”｝是以2為首項與公比的等比數(shù)列，.??(=2"；

2"11

(2)-(2n-l)(2n+l-l)~2n-\2"—'

/.7：=f-J---1+-----J_)...f-!---!—1=1——!—.

('u'-l22-lJU2-I23-lJ++12"-12W+1-1J2w+,-l

②假設(shè)存在機(jī)、k、nwNJ且"=〃】+〃，使得乙、久、看成等差數(shù)列,則27；=北+北.

---2--=---1--1---1-

--12w+,—12n+l—1

去分母，SSW2-2n+n+2-2m+*+2-2B+*+2=2W+I+2B+,-2-2*+,，

...2?+"+2(2_2k~n_2k~m)=2i+l(2W-*+2"~k-2)(*)

k、〃三個互不等，且2攵=/〃+〃，不妨設(shè)加左一〃？,n-k>\.

..2_2k-n-2k-m<0,2n>-k+2"Y—2>0.

顯然等式(*)不成立，???/；、久、，不可能成等差數(shù)列.

18.⑴①證明見解析；②1；

嗚“

【詳解】(l)(i)由PO1平面8即，BEu平面BEF,得PD工BE,

由9=90。，得PB1平面BCD，而C,Ou平面8c。，則P8J.C。，

又CB工CD,CBCPB=B,CB,PBu平面PBC,則CQ1平面R5C,

又8Eu平面尸5C,則CQ1BE,而PDcCD=D,PQ,CQu平面PC。，

所以6EJ_平面PCD；

(ii)由CQ=2C8=2,得CD=2,CB=l,BG=2GC^則CG=；,

過點。作CM//P8,以C為坐標(biāo)原點，C&CQ,CM所在直線分別為x/,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

由N4PC=30。，得NPCB=60°,PC=2BC=2,PB=^BC=道,

則G(；,0,0),尸(1,0,揚(yáng),。(0,2,0)1(1,0,0),DP=(1,-2,V3),

J

則平面廢尸的一個法向量為而=(1,-2,行)，

設(shè)。點關(guān)于平面BEF對稱的點為C'(xJ,z),則CH=CH,

CH+GH=CH+GH,要CH+GH最小，則需C',G,〃三點共線，

此時C7/+G”的最小值為GC'的長，其中元=/而且8C'=8c=1,

則(x,y,z)=4(1,一2,J5)且yl(x-\)2+y2+z2=1,而4>0,解得，=：,

所以△CG〃周長的最小值為GC'+CG=：2+；1=1.

(2)P8與平面BCO所成的角0=60。，

以8為坐標(biāo)原點，C3所在直線為x軸，平行。。的直線為)，軸，垂直于BCO平面的直線為z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系，

因為CQ=2,C8=1,故以0,0,0),C(—1,0,0),0(—1,2,0),

尸"與平面3CO所成的角。=60。，PB=\,則點"在平面3CZ)的投影為以8為圓心，;為半經(jīng)的圓，

設(shè)P(；cosp,；sin——11

,CD=(0,2,0),CP=(ycosy?+1,-sin

初?詼=2乂=0

設(shè)平面PCD的法向量為m=(%,必，4)，則，

mCP=(^cosfl+\)x]+^-sinfl+^-z]=0

得而=0,。,蟹二2),

令石=1,平面88的法向量為7=(0,0,1),

設(shè)二面角尸-C。-8的大小為a,由圖形知，二面角P-C。-8是銳二面角，aw(0,]),

..---..Itn-nIcosP+2cos尸+2

則COSa=COS<W,77>=———=)=/.、

g+cos*/y+4cos-v(cos/?+2)+3

令cos/7+2=ze[l,3]貝產(chǎn)=&=忘心卻

所以二面角P-CO-8的取值范圍為口勺.

63

19.(1)答案見解析；

⑵(i)0<?<4,(ii)證明見解析.

【詳解】(1)由/(外定義域為4€(0,內(nèi))，且/(Fl+i+DJT.+lA+.'lX""),

XXX

令r(x)=o得，x=i或…,

①當(dāng)0<“<1時，xc(o,a),r(A)>0,/(X)單調(diào)遞增,

xc(a,l),/r(x)<0,〃x)單調(diào)遞減,

xw(l,y),fix)>0,/(x)單調(diào)遞增，

②當(dāng)4=1時，②刈之0,f(力在(0,+")單調(diào)遞增,

③當(dāng)a>l時，xe(O,l),f(x)