人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)必修第二冊基礎(chǔ)知識清單填空練習(xí)題

6.1平面向量的概念

1.向量的定義：既有大小又有的量叫做向量.

2.向量的表示：向量A3的大小稱為向量A3的（或稱模），記作.

長度為0的向量叫做,記作.

長度等于個單位長度的向量，叫做單位向量.

向量也可以用字母…表示.

3.共線向量：方向相同或相反的非零向量叫做向量，平行向量也叫做共線向量.向量

〃與力平行，記作.

零向量與任意向量平行，即對于任意向量。，都有.

4.相等向量：長度相等且方向的向量叫做相等向量.向量。與方相等，記作

6.2.1向量的加法運(yùn)算+6.2.2向量的減法運(yùn)算

L向量加法的定義：求兩個向量的運(yùn)算，叫做向量的加法.

對于零向量與任意向量。，規(guī)定。+0=0+〃=.

2.向量加法的法則

已知非零向量。，力，在平面內(nèi)任取一點4,作AB=〃，=則

向量AC叫做。與力的和，記作__________________,即

a+b=AB+BC=___________.

三角形法則

A'--a~

已知兩個不共線向量Q,b,作AB=〃，AD=b,以A3,A。為鄰

邊作U48cQ,則對角線上的向量AC=__________.

平行四邊形法

則

3.向量加法的運(yùn)算律：交換律：a+b=；結(jié)合律：（Q+㈤+。=.

4.向量形式的三角不等式：一般地，有|。+力|非+當(dāng)且僅當(dāng)〃，力方向—時等號

成立.

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5.相反向量的定義：與向量〃長度相等，方向相反的向量，叫做〃的向量，記

作.

性質(zhì)：①零向量的相反向晟仍是.

②。和-。互為相反向量，于是一（一0）=.

③若。"互為相反向量，則〃=-力，b=—a,a+b二.

6.向量減法的定義：向量。加上力的相反向量，叫做。與力的,即

a-b-.求兩個向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.

7.向量減法的幾何意義：已知向量。，〃，在平面內(nèi)任取一點。，作04=a,OB=b,則

BA=,如圖所示.

即可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量，這是向量減法的幾何意義.

6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算

1.向量數(shù)乘的定義：規(guī)定實數(shù)4與向量。的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量

的,記作,它的長度與方向規(guī)定如下：

①|(zhì)/la|=；②當(dāng)義＞0時，而的方向與。的方向；當(dāng)之＜0時，癡的

方向與a的方向.

2.向量數(shù)乘的運(yùn)算律：設(shè)義，〃為任意實數(shù)，則有：

①X（〃a）=：②（4+〃）a=；③/l（a+6）=.

特別地，有（一4）。=一（及）=；A（a-b）=.

3.向量的線性運(yùn)算：向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的,向量線性運(yùn)算的

結(jié)果仍是.對于任意向量以及任意實數(shù)4，M，〃2，恒有

4（〃產(chǎn)±出b）=.

4.向量共線（平行）定理：向量〃（。/0）與力共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)4,

使.

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6.2.4向量的數(shù)量積

1.向量的夾角：已知兩個非零向量。，〃，。是平面上的任意一點，作OA=Q，OB=b,

則ZAOB=8(0系的兀)叫做向量。與8的.記作.

當(dāng)6=0時，向量〃，b________:當(dāng)。=??時，向量。，力垂直，記作___________：

2

當(dāng)6=時，向量〃，方反向.

2.平面向量數(shù)量積的定義：己知兩個非零向量。與力，它們的夾角為。，把數(shù)量lallWcos。

叫做向量Q與力的(或內(nèi)積)，記作，即Q?力=.

3.投影向量的定義：如圖，設(shè)。，〃是兩個非零向量，AB=Q,CD=b,過A8的起點A和

終點、B,分別作CO所在直線的垂線，垂足分別為4,4，得到A百，這種變換稱為向量。

向向量〃,4耳叫做向量。在向量b上的.

C4鳳D

4.向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)Q,0是非零向量，它們的夾角是，，e是與力方向相同的單位向量,

則

(1)a*e=e*a=.

(2)QJ_力=.

(3)當(dāng)。與力同向時，a*b-；當(dāng)。與力反向時，a*b—.特別地,

或|。|=y|a*a.

(4)由cos。,，1可得，|。?力|”.

(5)COS9=_____________

5.向量數(shù)量積的運(yùn)算律：

交換律：a?b=；

數(shù)乘結(jié)合律：(")?6=〃〃?))=:

分配律：(a+b)?c=.

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631平面向量基本定理

L平面向量基本定理：如果勺，出是同一平面內(nèi)的兩個向量，那么對于這一平面

內(nèi)的任一向量Q,有且只有一對實數(shù)4,4,使〃=.

2.基底：若4，%不共線，則把叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一

個.

63.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示+633平面向量加、減運(yùn)算的

坐標(biāo)表示+634平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1.平面向量的正交分解：把一個向量分解為兩個互相的向量，叫做把向量

作.

2.平面向量的坐標(biāo)表示：對于平面內(nèi)的任意一個向量G,由平面向量基本定理可知，有且只

有一對實數(shù)x,y,使得〃二，把有序數(shù)對叫做向量。的坐標(biāo)，記作

a=（x,y）.

3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)向量Q=（%，y），》=（占，%），幾￡R，則有下表：

運(yùn)算文字描述符號表示

兩個向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)

加法a+b=________

坐標(biāo)的和

兩個向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)

減法a-b=________

坐標(biāo)的差

實數(shù)與向最的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原

數(shù)乘Aa=___________

來向量的相應(yīng)坐標(biāo)

一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段若43，），］）,8。2，了2），

向量坐標(biāo)公式

的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)則AB=________

4.平面向量共線的坐標(biāo)表示：設(shè)〃=（%,%）,〃=（王，必），其中〃。0，。，力共線的充要條

件是存在實數(shù)X,使.用坐標(biāo)表示，向量。，加力工0）共線的充要條件

是

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63.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

1.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：設(shè)向量a=（%,）1）"=（工2，%），則Q?力=.

這就是說，兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的的和.

2.向量模的坐標(biāo)表示：

（1）若向量〃=（x,y）,則|。|=.

（2）若點，X），3區(qū)，%），向量A3=（七一百，為一X），則?A31=.

3.向量夾角的坐標(biāo)表示：設(shè)都是非零向量，。=（5，x）,b=（%2,%），。是。與力的

Cfh

夾角，則cosO=---------=____________________.

1。11川

4.向量垂直的坐標(biāo)表示：設(shè)向量。=（x,y）,5=52，）：2），

則a_L6oa.,=0<=>.

6.4.1平面幾何中的向量方法+6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例

平面幾何中的向量方法：

（1）證明線段平行或點共線問題，以及相似問題，常用向量共線定理：

aHb<=>a—Ab（bw0）u>.

（2）證明垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線（或線段）是否垂直等，

常用向量垂直的條件：a_L〃u>oi/z+y為=0?

a?b

（3）求夾角問題，常用向量的夾角公式：cos<a,b）=--=_______________.

misi

（4）求線段的長度或證明線段相等，常用向量的模長公式：

\a\=^=或|AB|=|AB|="（%-X）2+（為一V尸.

6.4.3第一課時余弦定理

1.余弦定理：在△A8c中，角A,A,C'的對邊分別為a",c,貝卜

a2=,b1=,c2=.

三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的

的兩倍.

2212

2.余弦定理的推論：cosA=,cosB=a+C---------,

2ac

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cosC=.

3.解三角形：一般地，三角形的三個角A,8,C和它們的對邊〃，3。叫做三角形

的.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做.

6.4.3第二課時正弦定理

1.正弦定理：在AA8C中，角4,8,。的對邊分別為a,3c,則：，一二-^二:一

sinAsinBsinC

在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的相等.

2.正弦定理的常見變形：

（1）a\b:c=（邊角互化）.

,、abcci-\-b+c/r*z-17“

（2）----=-----=-----=------------------=__________淇中，R為外接

sinAsinBsinCsinA+sin3+sinC

圓的半徑.

6.4.3第三課時余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例

實際測量中常用的名稱術(shù)語

（1）仰角和俯角：與Fl標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和FI標(biāo)視線的夾角，H標(biāo)視線

在水平視線上方時叫,目標(biāo)視線在水平視線下方時叫.

（2）方向角：從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的角.如南偏西60。，即以正南方

向為始邊，順時針方向向西旋轉(zhuǎn)60°.

（3）方位角：從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角.

（4）坡角與坡度：

①坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)；

②坡度：坡面的鉛直高度與氏度之比.坡度又稱為.

7.1復(fù)數(shù)的概念

1.復(fù)數(shù)：形如m，bwR）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足i2=.

2.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=〃+bi（a,〃wR）.其中的。與〃分別叫

做復(fù)數(shù)z的與.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.

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3.復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)zi—R)由嬴°、當(dāng)四純虛助

4.里數(shù)相等的充要條件：設(shè)〃都是實數(shù)，那么n+/?i=c+&u>

且.

5.復(fù)數(shù)的幾何意義：建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做，X軸叫做，

y軸叫做.復(fù)數(shù)z=a+/?i(a,匕￡K)與點和向量OZ-----對應(yīng).

6.復(fù)數(shù)的模：向量。Z的模叫做復(fù):數(shù)2=。+力的模(或).復(fù)數(shù)z=a+萬的模記為

或|。+方|,B[J|z\=\a+bi\=.

7.共扼復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部，虛部互為時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共挽

復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)z的共規(guī)復(fù)數(shù)用表示，即如果z=a+Ai,那么5=.

721復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義

1.復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則：設(shè)4二。+方，z2=c+cfi(a,b,c,dwR)是任意兩個復(fù)數(shù)，

貝ijZ[+z2=(a+/?i)+(c+Ji)=：

z,-z2=(a+bi)-(<7+&)=.

兩個復(fù)數(shù)相加(減)，類似于兩個相加(減).

2.加法的運(yùn)算律：對任意々，z?,Z)EC,有交換律：Z1+z?=：

結(jié)合律：(Z]+Z2)+.

722復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算

1.好數(shù)的乘法法則：己知Z]=a+bi,z2=c+f/i(6t,/?,c,JeR),

則Z]z2=(a+b\)(c+di)=.

2.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律：對于任意Z1,Z2，Z3CC,有

交換律：NR?=；

結(jié)合律：(Z[Z2)Z3—；

分配律：Zj(z2+Z3)=.

3.復(fù)數(shù)的除法法則：(a+/?i)+(c+M)=(a,b,c,deR,且

c+植w0).

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4.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實系數(shù)一元二次方程很2+法+仃=0（。。0）的求根公式為當(dāng)4~0時,

x=-b±^-4ac

；當(dāng)△＜（）時，x=

8.1基本立體圖形

1.多面體：一般地，由若干個圍成的幾何體叫做多面體.

2.旋轉(zhuǎn)體：一條（包括直線）繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面

叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做.

3.棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四

邊形的公共邊都互相,由這些面所圍成的多面體叫做棱

柱.如圖中的棱柱記作棱柱A3cDE-ATTCZXE.

4.棱錐：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個的三

角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.如圖中的棱錐記作棱錐S-ABCD-

5.棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體叫

做.如圖中的棱臺記作棱臺ABCD-A,B,C,D,-

6.圓柱：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)

體叫做圓柱.如圖中的圓柱記作圓柱0。.

7.圓錐：以直角三角形的一條所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩

邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐.如圖中的圓錐記作圓錐SO,

8.閱臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分

叫做.如圖中的圓臺記作圓臺0。.

9.球：半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的叫做球面,

球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做,簡稱球.如圖中的球記作球O

10.簡單組合體：由簡單幾何體組合而成的幾何體.簡單組合體的構(gòu)成有兩種基

本形式：一種是由簡單幾訶體而成；一種是由簡單幾何體或挖去一部分而成.

8.2立體圖形的直觀圖

1.斜二測畫法：常用斜二測畫法畫空間圖形及水平放置的平面圖形的?斜二測畫法

是一種特殊的投影畫法.

2.平面圖形直觀圖的畫法及要求：

（1）在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點。.畫直觀圖時，把它們畫成對

應(yīng)的￡軸與），'軸，兩軸相交于點0，，且使/r'O'y'=（或135。），它們確定的平面

表不?

（2）已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸或軸的

線段.

（3）已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度,平行于y軸的線段,

在直觀圖中長度為原來的.

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8.3簡單幾何體的表面積與體積

1.棱柱、棱錐、棱臺的表面積：多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和.棱柱、棱

錐、棱臺的表面積就是圍成它們的.

2.棱柱、棱錐、棱臺的體積：

棱柱：加柱=（S為底面面積，h為高）

棱錐：Vm=（s為底面面積?人為高）

樓臺：九臺=（S',S分別為上、下底面面積，〃為高）

3.圓柱、圓錐、圓臺的表面積：

S圓柱=（/是底面半徑，/是母線長），

S圓惟=”（〃+/）（r是底面半徑，/是母線長），

%臺=（'，-分別是上、下底面半徑，/是母線長）.

4.圓柱、圓錐、圓臺的體積：

%柱=7i戶h（r是底面半徑，力是高）,

%）錐二（r是底面半徑，力是高），

%臺=（r?r分別是上、下底面半徑，h是高）.

5.球的表面積：S球=（R是球的半徑）.

6.球的體積：匕長=（R是球的半徑）.

8.4空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

平面的基本性質(zhì)

1.基本事實1

文字語言：過不在一條直線上的三個點，一個平面.

符號語言：A,B,C三點不共線=存在唯一的平面a使A,8,Ca-

2.基本事實2

文字語言：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi).

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圖形語言:

符號語言：Ac/，Bel，且Awa，Bean

3.基本事實3

文字語言：如果兩個不重合的平面有一個,那么它們有且只有一條過該點的公共

直線.

圖形語言:

符號語言:PGa，Pw/3=a、/3=l，旦

4.推論1

文字語言：經(jīng)過一條直線和這條直線外，有且只有一個平面.

圖形語言：

符號語言：點_____________=〃與4共面于平面a，且平面唯一.

5.推論2

文字語言：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.

圖形語言:

符號語言:"b=P=a與b于平面a,且平面唯一.

6.推論3

文字語言：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.

圖形語言:

符號語言：直線=直線a,b共面于平面a,且平面唯一.

7.空間中兩條直線的位置關(guān)系：

①異面直線：不同在任何一個內(nèi)的兩條直線.如圖.

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b

②兩條直線的位置關(guān)系

f共H?面福直吉線相《交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有公共點；

?I平行直線：在同一平面內(nèi)，公共點；

.異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，公共點.

8.空間中直線與平面的位置關(guān)系：

直線。在平面。內(nèi)：,有無數(shù)個公共點.圖形表示：/一"

直線a與平面。相交:有且只有一個公共點.圖形表示:

直線a與平面。平行：，沒有公共點.圖形表示:

9.空間中兩個平面的位置關(guān)系:

兩個平面平行：沒有公共點,..圖形表示:

兩個平面相交：有一條公共直線，.圖形表示:

8.5空間直線、平面的平行

1.基本事實4：平行于直線的兩條直線平行.（這一性質(zhì)通常叫做空間平行線的傳

遞性.）aRb,bMc=.

2.等角定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角或

3.直線與平面平行的判定定理

文字語言：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線，那么該直線與此平面平

行.

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<7

圖形語言:

符號語言：aaa,〃ua,且?！ā?>.

4.直線與平面平行的性質(zhì)定理

文字語言：一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面.,那么該直線

與交線平行.

圖形語言:

符號語言：aga,auB,ar\/3=b=>

5.平面與平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面

那么這兩個平面平行.

符號表不：au。，bu°，a[}b=P?a，a，boc=>.

圖形表示:

6.平面與平面平行的性質(zhì)定理：兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面.

那么兩條交線平行.

符號表示:aH0，y=a>0fy=b=

圖形表示:

8.6空間直線、平面的垂直

1.異面直線所成的角：如圖，已知兩條異面直線。，〃，經(jīng)過空間任一點。分別作直線

a'：a,b'心,直線"與。'所成的角叫做異面直線。與8（或夾角）.

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2.異面直線所成的角。的取值范圍：.

3.兩條異面直線互相垂直：兩條異面直線所成的角是直角，即，二時，直線〃與

直線〃垂直，記作.

4.直線與平面垂直：一般地，如果直線/與平面。內(nèi)的直線都垂直，就說直線/

與平面?；ハ啻怪?，記作.直線/叫做平面。的垂線，平面a叫做直線/的垂面,

它們唯一的公共點尸叫做垂足.

圖形語言：.

5.直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條直線垂直，那

么該直線與此平面垂直.aua,bua,a(b=P,ILa,ILb=>

.圖形語言:

6.直線和平面所成角的定義：如圖，一條直線/與一個平面夕相交，但不

與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點4叫夕

做_______,過斜線上斜足以外的一點P向平面。引垂線PO,過垂足o和/夕%〃

斜足4的直線40叫做斜線在這個平面上的射影.平面的一條斜線和它在/|

平面上的所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.取值范圍:____________

7.直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行.4_L。，

hLan______________.

ab

圖形語言：/IV

8.點到平面的距離：過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點

到該平面的,垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離.

9.直線到平面的距離：一條直線與一個平面時，這條直線上任意一點到這個平面

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的距離，叫做這條直線到這個平面的距離.

10.兩平行平面間的距離：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點到另一個平

面的距離都,我們把它叫做這兩個平行平面間的距離.

11.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面

角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.棱為/,而分別為〃的二面角記為.

也可在a,尸內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點P,Q,記作二面角.

12.二面角的平面角：在二面角儀-/一方的棱/上任取一點。，以點。為垂足，在半平面a

和夕內(nèi)分別作垂直于棱/的04和0B,則射線0A和0B構(gòu)成的ZAOB叫做二

面角的.OAua,OBu/3,a「。=1,Oel,0A11,OB=>ZAOB

是二面角a-/-分的平面角.取值范圍：

13.平面與平面垂直：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是,就說這

兩個平面互相垂直.平面a與平面戶垂直，記作.

14.平面與平面垂直的判定定理：如果一個平面過另一個平面的,那么這兩個平面

垂直.〃-La,buB=.

15.平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個平面垂直，如果?個平面內(nèi)有?直線垂直于這兩個平

面的,那么這條直線與另一個平面垂直.a_L/,d。=1,aua，

aA-ln.

圖形語言：「

9.1隨機(jī)抽樣

1.全面調(diào)查和抽樣調(diào)查：

（1）普查：對每一個調(diào)查對象都進(jìn)行調(diào)查的方法，稱為全面調(diào)查，又稱.

總體：在一個調(diào)查中，調(diào)查對象的稱為總體.

個體：組成總體的調(diào)查對象稱為個體.

（2）抽樣調(diào)查：根據(jù)一定目的，從總體中抽取一部分進(jìn)行調(diào)查，并以此為依據(jù)

對總體的情況作出估計和推斷的調(diào)杳方法，稱為抽樣調(diào)杳.

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樣本：從總體中抽取的那部分個體稱為樣本.

樣本量：樣本中包含的稱為樣本量.

2.簡單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個總體含有NCN為正整數(shù)）個個體，從中逐個抽取

H（l?〃VN）個個體作為樣本.如果抽取是放回的，且每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到

的概率都相等，這樣的抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣；如果抽取是不放回的，且每

次抽取時總體內(nèi)未進(jìn)入樣本的各個個體被抽到的概率都相等，這樣的抽樣方法叫做不放回簡

單隨機(jī)抽樣.放回簡單隨機(jī)抽樣和不放回簡單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為,通過簡單

隨機(jī)抽樣獲得的樣本稱為.

3.兩種簡單隨機(jī)抽樣的方法

（1）抽簽法：先把總體中的個體編號，然后把所有編號寫在外觀、質(zhì)地等無差別的小紙片

（也可以是卡片、小球等）上作為,并將這些小紙片放在一個不透明的盒里，充

分?jǐn)嚢?最后從盒中地逐個抽取號簽，使與號簽上的編號對應(yīng)的個體進(jìn)入樣本，

直到抽足樣本所需要的個體數(shù).

（2）隨機(jī)數(shù)法：先把總體中的個體編號，用隨機(jī)數(shù)工具產(chǎn)生與總體中個體數(shù)量相等

的，把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)作為抽中的編號，并剔除重復(fù)的編號，直到抽足樣本所

需要的個體數(shù).

4.總體均值和樣本均值

（1）總體均值：一般地，總體中有N個個體，它們的變量值分別為X，八，…，％,則稱

歹J+X++%=為總體均值，又稱總體平均數(shù).如果總體的N

N

個變量值中，不同的值共有左伙,，N）個，不妨記為工，匕，…，匕，其中工出現(xiàn)的頻數(shù)

=…，k），則總體均值還可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式7二.

（2）樣本均值：如果從總體中抽取一個容量為〃的樣本，它們的變量值分別為％,為，，以，

則稱心…十+），”=!大乂為樣本均值，又稱

n〃日

5.分層隨機(jī)抽樣：一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個,每個個體屬

于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取

的樣本合在一起作為，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個子總體稱

為?

6.比例分配：在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小,那么稱這種樣

本量的分配方式為.

7.分層隨機(jī)抽樣中的平均數(shù)：在分層隨機(jī)抽樣中，以層數(shù)是2為例，如果第1層和第2層包

含的個體數(shù)分別為M和N，抽取的樣本量分別為機(jī)和〃，第1層和第2層樣本的平均數(shù)分

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別為X和）：則樣本的平均數(shù)。=一±—工+—

m+nm+n

9.2用樣本估計總體

1.頻率分布表與頻率分布直方圖的制作步驟：

（1）求極差：極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.

（2）決定組距與組數(shù)：當(dāng)樣本容量不超過100時，常分成5?12組，為方便起

見，一般取等長組距，并且組距應(yīng)力求“

（3）將數(shù)據(jù)分組：通常對組內(nèi)數(shù)據(jù)取區(qū)間，最后一組數(shù)據(jù)取閉區(qū)間.

（4）列頻率分布表：一般分為分組、頻數(shù)累計、頻數(shù)、頻率四列.其中頻數(shù)合計

應(yīng)是樣本容量，頻率合計是.

（5）畫頻率分布直方圖：畫圖時，以橫軸表示分組，縱軸表示爨.

組距

小長方形的面積二組距x黑二頻率.各小長方形的_______總和等于1,即樣本

組距

數(shù)據(jù)落在整個區(qū)間的頻率為1.

2.其它統(tǒng)計圖表：

（1）扇形圖：直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的.

（2）條形圖：直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率.

（3）折線圖：描述數(shù)據(jù)隨的變化趨勢.

3.總體百分位數(shù)的估計：

（1）第〃百分位數(shù)：一般地，一組數(shù)據(jù)的第〃百分位數(shù)是這樣一個值，它使得

這組數(shù)據(jù)中至少有的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有（100-〃）％的

數(shù)據(jù)大于或等于這個值.

（2）求解步驟:

第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步，計算i=.

第3步，若i不是整數(shù)，而大于，的為j,則第〃百分位數(shù)為第/項數(shù)

據(jù)；若i是整數(shù)，則第〃百分位數(shù)為第，?項與第。+1）項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

（3）四分位數(shù)：第25百分位數(shù)，第5（）百分位數(shù)，第75百分位數(shù)這三個分位數(shù)

把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).其中第25百分位

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數(shù)稱為或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)稱為第三四分位數(shù)或上四分

位數(shù)等.

4.平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)所得到的數(shù).

中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于位置的數(shù).若這組數(shù)據(jù)是偶數(shù)個，則取中

間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù).

眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最的數(shù).

5.頻率分布直方圖中的統(tǒng)計參數(shù)：

（1）平均數(shù)：在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點

的與小矩形的的乘積之和近似代替.

（2）中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該.

（3）眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高小矩形底邊的所對應(yīng)的數(shù)據(jù).

6.總體方差和息體標(biāo)準(zhǔn)差：如果總體中所有個體的變量值分別為匕，與，…，%,總體平

均數(shù)為歹，則稱s?=_________為總體方差，$=為-

7.總體方差的加權(quán)形式:如果總體的N個變量值中，不同的值共有k（k?N）個,不妨記為Y｝，

X，…，匕，其中年出現(xiàn)的頻數(shù)為￡（i=l,2,…,Q,則總體方差為$2=.

8.樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差：如果一個樣本中個體的變量值分別為力，乃，…，樣本平

均數(shù)為亍，則稱$2=1￡（刃J）?為,為樣木標(biāo)準(zhǔn)差.

標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越一；標(biāo)準(zhǔn)差越

小，數(shù)據(jù)的離散程度越一.

9.分層隨機(jī)抽樣的樣本方差：設(shè)樣本容量為〃，平均數(shù)為其中兩層的個體數(shù)量分別為〃J

〃2，兩層的平均數(shù)分別為X，E，方差分別為5；,S；,則這個樣本的方差為

10.1.1有限樣本空間與隨機(jī)事件

基礎(chǔ)知識

1.隨機(jī)試驗：將對隨機(jī)現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機(jī)試驗，簡稱

常用字母E表示.隨機(jī)試驗具有以下特點：

①試驗可以在相同條件下進(jìn)行；

②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；

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③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的，但事先不能確定出現(xiàn)哪一

個結(jié)果.

2.有限樣本空間：隨機(jī)試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為,全體樣本

點的集合稱為試驗E的樣本空間，一般用。表示樣本點，用表示樣本

空間，如果一個隨機(jī)試驗有〃個可能結(jié)果回，牡