專題07三角函數(shù)與解三角形

Q題型概覽

題型（）i三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性、奇偶性、值域與最值問題

題型02伸縮變換問題及求），=Asin（8+0）+A解析式問題

題型03三角恒等變換

題型048與〃的取值與范圍問題

題型05三角函數(shù)的概念及弧長公式、扇形面積公式

題型06正余弦定理綜合應(yīng)用

題型07角平分線、中線、高問題

題型08解三角形范圍與最值問題

題型09周長與面積問題

題型10解三角形中的幾何應(yīng)用

敗型01三角函數(shù)圖像與性質(zhì)奇偶性、單調(diào)性、奇偶性值域

與最值L（2025?江西贛州?一模）已知函數(shù)/（工）=28$卜”+聿，XG[-7T,0],若/（x）恰有3個(gè)

極售點(diǎn)，則正數(shù)口的取值范圍為（）

「8111（8111「1319、f1319]

A.B.C.—D.—

L33J133」[66J【66」

2.（2025?河南安陽?一模）已知函數(shù)/（x）=sin（2x+0）在日時(shí)滿足恒成立，且在區(qū)

間0,-y內(nèi)，僅存在三個(gè)數(shù)為，文2,毛（M＜毛＜不），使得/（5）=/（電）=/（忍）=〃?，則々+工2+今=

（）

77r-3兀八1E＞13幾

A.—B.—C.------D.-----

6266

3.（2025?河南安陽?一模）定義：已知函數(shù)〃可在其定義域上的最大值為〃，，最小值為〃，若〃L〃=2,

則稱〃”是“2間距函數(shù)“，財(cái)卜.列函數(shù)是“2間距函數(shù)”的有()

?「2?

A./(x)=2sinx,xeRB./(x)=—x+,xe-,2

X.D

C.f(x)=>l-x2+4x,XG[0,4]D./(x)=22r-2r,xe[0,l]

4.(2025?廣東深圳?一模)已知〃x)=；sin2x,下列說法中正確的是()

A./（力的最小正周期為2兀

B.“X）在-%：上單調(diào)遞增

C.當(dāng)xw-*1時(shí)，/（x）的取值范圍為［-乎，乎］

D.“X）的圖象可由以外=9也伍+?］的圖象向右平移弓個(gè)單位長度得到

2V47o

5.（2025?北京平谷?一模）已知函數(shù)/（x）=sin］x,任取leR,定義集合：A,={y\y=f（x）,點(diǎn)

P（rJ（/））,Q（xJ（x））滿足|尸。（垃}.設(shè)憶,見分別表示集合A,中元素的最大值和最小值，記

/?（1）=此一肛.則函數(shù)硝）的最小直是（）

A.2&B.1C.及D.2

6.（2025?山東泰安?一模）已知函數(shù)/（x）=2sinf＜yx+—cossr-g（刃＞0）的最小正周期為冗J（“在

上的圖象與直線＞'=〃交于點(diǎn)48,與直線），=向交于點(diǎn)C。，且|A8|=2|CQ|,則

7.（2025?福建泉州?一模）已知函數(shù)f（%）=sin2x-2sinr,則（）

A./（八）的母小正周期為2兀B.曲線丁=/（八）關(guān)于直線沖方對(duì)稱

C./（X）在區(qū)間［-2兀2可上有4個(gè)零點(diǎn)D./（x）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減

I33）

8.（2025?甘肅?蘭州?一模）已知曲線S:sin（x+y）=cosx+siny,xyeR.

⑴定義：若對(duì)于曲線f?y）=o上任意一點(diǎn)P?y）沿向量。=（rr'）平移得到點(diǎn)。（x+T,y+r’）仍在

曲線上，其中7與r是不同時(shí)為。的常數(shù)，則稱曲線/（乂?。?。沿向量。二（廠廠）的方向上有周期

性.判斷是否存在向量使曲線s具有周期性，若存在請(qǐng)寫出一個(gè)符合要求的向量，若不存在，請(qǐng)說

明理由：

（2）證明：曲線S是中心對(duì)稱圖形；

⑶當(dāng)xe［0,叫ye時(shí)，曲線S為一條封閉的曲線,四條直線乙：1+廣與-。=0,

4：%+丁-=+。=0，4：x-y+塔二。，一號(hào)二。，圍成矩形ABC。，其中。為銳角，

cosO=G-1,證明：曲線S在矩形A3c。的內(nèi)部或邊上，且過矩形對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分曲線S

圍成的面積.

9.（2025?山東濟(jì)寧?一模）若函數(shù)/（x）=2sinx+cosx-6,工￡（0,兀）的兩個(gè)零點(diǎn)分別為不和々，則

COS（X|一與）=（）

212

A.B.——cD.

55-i5

10.（2025?山東荷澤?一模）已知函數(shù)/（x）=cosx在閉區(qū)間/上的最大值記為％,若實(shí)數(shù)k滿足

“囹=2崛必，則心

疆型02伸縮變換問題及求＞=Asim&x+夕）+〃解析式問題

1.(2025?山東聊城?一模)已知函數(shù)/(x)=cos2x+J^sin2x,xuR,貝ij()

A.的最小正周期為2冗

B.小）在0年上單調(diào)遞增

C.直線工=方是曲線y=/（x）的一條對(duì)稱軸

D.將y=的圖象向右平移三個(gè)單位得到y(tǒng)=-2cos2.r的圖象

2.（2025?山東濟(jì)寧?一模）將函數(shù)），=23鼠-m的圖象向右平移;個(gè)周期后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函

I6J4

數(shù)為（）

A.y=2cos（2x+1）B,y=2cos^2x-y^l

C.y-2cos^2x+yjD.y--2cos2x+yj

3.（2025?江西萍鄉(xiāng)?一模）將函數(shù)f（%）=sin（2x+：）的圖象向右平移5個(gè)單位長度，再將圖象上所

有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)8。）的圖象，設(shè)〃（x）=g（x）+；x,則Wx）在

（-兀,兀）內(nèi)的極大值點(diǎn)為（）

4.（2025?江蘇宿遷?一模）將函數(shù)y=sin（x-1）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的3（縱坐標(biāo)

不變）得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是（）

.(1712兀

A.y=sinl-x--B.y=sin24

3

171}?/r幾

C.=sin—X——D.y=sin2x——

23)<3

5.（2025?江蘇南通?一模）把函數(shù)f（A）=\Hsw\cox+cos69.r（0<ty<3）的圖象向左平移個(gè)單位長度,

得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則下列說法正確的是（）

A.的最小正周期為九

B.的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱

0

C./（外在（-展令上單調(diào)遞增

若在區(qū)間［喉。）上存在極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn),則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為嚀收）

D.

三角恒等變換

(2025?黑龍江?一模)已知sin(a-/?)=一L且sinacos〃=L則8s(%+20=()

1.

36

A*14

B.C.-D.-

9999

2.（2025?山東泰安?一模）已知tana--=3,則cos2a=(

\4J

324

AB.C.D.-

-4555

（2025?黑龍江?一模）已知7+lan《一夕=0,

3.2taii(cr-/7)-l=0,則tan2a=()

IN/

223

A.——B.C.D

334-4

已知tan(<7+-^1=則sin（2a十年

4.（2025?廣東湛江?一模）

3

已知sin(a-工)+cosa=1，則cos(2a+a)=()

5.（2025?廣東江門?一模）

633

77「4&

A——B.J-----

99。?殍

與。的取值與范圍問題

1.（2025?黑龍江?一模）已知一1為函數(shù)/（*=sin（5+。）（3〉0,江<。<2兀）的一個(gè)零點(diǎn)，直線

Y為曲線y=/（x）的一條對(duì)稱軸，設(shè)/（"的最小正周期苧2兀｝則〃叱（）

A.史°49?！?3兀8171

B.------C.------D.——

4161616

2.（2025?北京平谷?一模）已知函數(shù)/（%）=2sin6yx（6>>0）,上沒有最

值，則。的最大值為（）

24

A.-B.一cD.2

33-i

3.（2025?山東青島?一模）已如函數(shù)/"）=sin（5+0）@>0.|0區(qū)2，工=一n￡為.f（x）的零點(diǎn).工=2兀為

\2；44

尸了（幻圖象的對(duì)稱軸，且/⑴在俗微）單調(diào)，則口的最大值為（）

\lo.50）

A.13B.11C.9D.7

.71的圖象向左平移!個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)

4.（2025?江西九江?一模）將函數(shù)=SUICOX+—

30

于Y軸對(duì)稱，則。的值可能是（）

A.5B.8C.11D.13

5.（2025,河南鄭州?一模）若不=；,”號(hào)是函數(shù)/（x）=sin@v（o>0）兩個(gè)相鄰的最值點(diǎn)，則。等

44

于（）

3

A.2B.-C.1D

2-?

三角函數(shù)的概念及弧長公式、扇形面積公式

1.（2025?廣東湛江?一模）一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為3,圓心角為弓的扇形，在該圓錐

內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，則該球的體積V的最大值是（）.

C,也兀D.冬

A.2兀

-I3

2.（2025?北京平谷?一模）冰淇淋蛋筒是大家常見的一種食物，有種冰淇淋蛋筒可以看作是由半徑

為10cm,圓心角為g的扇形蛋卷坯卷成的圓錐，假設(shè)高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒內(nèi)部的奶

油體積相等，則該種冰淇淋中奶油的總體積約為（）（忽略蛋筒厚度）

A2(X)0&04()0063

A.------------ncmB.-----------ncm

8127

「200()73n4000&3

C.7rcmD.兀cm

2781

3.（2025?安徽?一模）已知角內(nèi)分的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，始邊與工軸的非負(fù)半軸重合，角。的終

邊與圓。交于點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)〃以A為起點(diǎn)，沿圓周按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8,點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡長

為小當(dāng)角￡的終邊為射線3時(shí),3加（）

A?罕7-46r9+4應(yīng)D9+4」

B.C.-------------

7,-7

圓心角為弓的扇形，則該圓錐的體積

4.（2025?廣東汕頭?一模）若圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3,

為)

B.2x/2nC.6&兀D-

、?浮,3

5.（2025?江西九江?一模）在棱長為G的正方體ABC。-人用GQ中，點(diǎn)尸在正方體內(nèi)（包含邊界）

運(yùn)動(dòng).若直線A］與。C所成角為J，則動(dòng)點(diǎn)尸所圍成的圖形的面積是（）

O

敗費(fèi)06

1.（2025?廣東江門一模）在V43C中,已知N84C=y,。是3c上的點(diǎn)，AO平分/ZMC,

S,曲=2sACD，則tanfi=（）

A.@B.3C.叵D.叵

515515

2.（2025?山東青島?一模）在V4BC中,角A&C的對(duì)邊成公差為2的等差數(shù)列.若

7sinA=3sinC,則VABC的面積為.

3.（2025?江西贛州?一模）記VABC的內(nèi)角A3,。的對(duì)邊分別為a1,c,已知

tanAtan8=(2tanA-tanB)tanC.

⑴求證：a2+c2=2b2;

（2）已知6=2,當(dāng)角B取最大值時(shí),求VABC的面積.

4.（2025?河南安陽?一模）已知在VA8C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,c,且

sin--------=cos(n-13).

2

⑴求4;

⑵若sinC=|sinA,點(diǎn)8到直線AC的距離為石，求V43C的周長.

5.（2025?山東濟(jì)寧?一模）在VA8C中，內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為=行，R2c-b=2acosB,

則下列結(jié)論正確的是（）

B.VA8C外接圓的面積為兀

C.V4BC面積的最大值為理D.VABC周長的最大值為3G

4

角平分線、中線、高問題

1.（2025?黑龍江?一模）在VABC中，內(nèi)角A8,C所對(duì)的邊分別為。也小且

1-sin2A-sin2B=cos2c+-^sinAsinB.

⑴求角C：

⑵若c=2/6,。為8C的中點(diǎn)，在下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)，求AO的長度.

條件①：VA8C的面枳S=4,且人＞a,

條件②：cosB=

5

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

2.（2025?北京平谷?一模）在V/WC中，2sB=2a-b、c=6.

⑴求/C的大?。?/p>

⑵再從下列三個(gè)條件中，選擇一個(gè)作為已知，使得V48C存在且唯一，求VA8C的面積.

條件①：cosA=-2；

條件②；b=\[1;

條件③：AC邊上的高為力=漁.

2

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按

第一個(gè)解答計(jì)分.

3.（2025?江西上饒?一模）已知VA3C的內(nèi)角ARC的對(duì)邊分別為。也c,

b=2^(-MBB

1122)as[n2cos2

⑴求A；

（2）若〃=3,8c邊上的高為氈L求VA3C的周長.

7

4.（2025?山西呂梁?一模）如圖,已知三角形ABC的內(nèi)角A8,C的對(duì)邊分別為且

czcosB+Zxx）S/4=2ccosA.

⑴求NB4C的大??；

（2）若〃=4,c=6,設(shè)AO為三角形ABC的角平分線，求A。的長.

5.（2025?湖南岳陽?一模）己知4仇。分別為VA8C的內(nèi)角A良。的對(duì)邊，且GasinC+acosC-%=c,

點(diǎn)￡）為8c邊的中點(diǎn)，若AD=6?且2/72—a2=4.

⑴求A；

⑵求V/仍C的面積.

解三角形范圍與最值問題

1.（2025?江蘇南通?一模）一知NABC的三邊4/"所對(duì)的角分別為4區(qū)。,5（加114-弧118）=3fsinC.

⑴求證：tanA=4tan/?；

⑵若求tanC的取值范圍.

2.（2025?重慶?一模）在平面直角坐標(biāo)系xQv中，已知點(diǎn)耳（-1,0）,6（1,0）,若滿足1M|?|尸國"

為正常數(shù)）的動(dòng)點(diǎn)尸（x,y）的軌跡為C,則下列說法正確的是（）

A.加>0,使得曲線。經(jīng)過原點(diǎn)。

B.V〃>1,曲線C既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形

C.當(dāng)。=1.2時(shí)，“PKK面積的最大值為中

D.當(dāng)。=8時(shí)，曲線C圍成的面積大于曲線+f=1隹成的面積

87

3.(2025?江西南昌?一模)在V/1BC中，角ARC的對(duì)邊。,力，。成公差為2的等差數(shù)列.

⑴若V4BC為銳角三角形，求。的取值范圍；

(2)若7sin>4=3sinC,求VA8C的面積.

4.(2025?安徽合肥?一模)記V4BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知a+〃=2eos8

(1)證明：C=2B；

(2)若VABC為銳角三角形，求的取值范圍.

Z?sino

5.(2025?山東淄博?一模)在V/WC中，內(nèi)角ARC所對(duì)的邊分別為a/,c,sin2B=(旅os8,且角8

為銳角，匕=8,siM=；,則sin(2B+C)的值為

題翌09周長與面積問題

1.（2025?福建泉州?一模）四邊形ABC。中，AB//CD,ZABC=45°,AB=4,AC=45BC.

⑴求s