§33.2離散型隨機變量的方差第六章第

六

章：概

率離散型隨機變量的均值與方差學習目標1.通過具體實例，理解離散型隨機變量的分布列及方差的概念.（重點）2.能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題.（難點）

有A、B兩種不同類型的燈泡，通過抽樣,獲得了他們的“壽命”分別為X、Y(單位：h)，已知X、Y的分布列如下表：X95010001050PY70010001300P思考：1.如何知道兩個燈泡更好一些？能用均值來判斷嗎？情境導入2.由EX=EY能否判定兩類燈泡壽命數(shù)據(jù)無差別呢？也就是說，是不是可以由均值相等，說明兩類燈泡質(zhì)量相同？

雖然均值相同，但是兩個變量X、Y的取值卻存在較大的差異．也就是說，并不能直接由均值相等就判定兩個變量取值無差異．3.我們?yōu)榱伺袛酂襞葙|(zhì)量的好壞，還需要進一步考查燈泡壽命X與其均值EX的偏離程度怎樣定量刻畫離散型隨機變量取值的離散程度呢？離散型隨機變量的方差一、離散型隨機變量的方差的概念如果離散型隨機變量X的分布列如下表所示：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(xi-EX)2描述了xi(i=1,2,...,n)相對于均值EX的偏離程度，而DX=E(X-EX)2

為這些偏離程度的加權平均，刻畫了隨機變量X與其均值EX的平均偏離程度.稱為DX為隨機變量X的方差，其算術平方根為隨機變量X的標準差，記為.探索新知1.對比統(tǒng)計中的方差和標準差知識，思考隨機變量方差和標準差的意義是什么？隨機變量的方差和標準差都可以反映隨機變量取值與其均值的偏離程度．方差（標準差）越小，隨機變量偏離于均值的平均程度越小，取值越集中；方差（標準差）越大，隨機變量偏離于均值的平均程度越大，取值越分散．探索新知2.隨機變量的均值、方差與分布列有何關系？

隨機變量的分布列全面刻畫了隨機變量取值的統(tǒng)計規(guī)律，隨機變量的均值和方差從不同的角度刻畫了隨機變量的特征，反映了隨機變量的重要信息．

分布列確定了，均值和方差也就確定了；但是反過來，僅僅知道均值或方差等數(shù)字特征，并不能完全確定隨機變量的分布列．通過計算方差，標準差比較上面例子中哪種類型的燈泡質(zhì)量更好.X95010001050PY70010001300P因為DX<DY(等價地，)，所以A類型的燈泡質(zhì)量要更好.探索新知例1：甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，設ξ，η分別表示甲、乙兩人所加工出的次品件數(shù)，且ξ和η的分布列分別如表1和表2：ξ012Pη012P表1：表2：試比較這兩名工人誰的技術水平更高.典例講解

即Eξ=Eη，說明甲、乙兩名工人所加工出的平均次品件數(shù)相同，可以認為他們的技術水平相當.

所以Dξ>Dη,說明工人乙的技術比較穩(wěn)定.

方法小結：求離散型隨機變量X的方差的基本步驟：1.理解X的意義，寫出X可能取的全部值；2.求X取各個值的概率，寫出分布列；3.根據(jù)分布列，由均值的定義求出EX；4.根據(jù)方差的定義求出DX.典例講解注：方差簡化公式：D(X)=E(X)2-E(|X|)2典例講解鞏固訓練：

某10人小組利用假期參加義工活動.已知參加義工活動次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會．

典例講解

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1.D(X+b)=DX2.D(aX)=a2DX3.D(aX+b)=a2DX探索新知二、離散型隨機變量的方差的性質(zhì)典例講解

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典例講解

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典例講解

（2）請你根據(jù)所學的統(tǒng)計知識給出建議，該公司宣傳應該投放哪種廣告？并說明你的理由.典例講解

02040

0.10.30.6

102030

0.30.40.3

典例講解

利用均值和方差的意義分析解決實際問題的步驟：

（1）比較均值.離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，因此，在實際決策問題中，需先計算均值，看一下誰的平均水平高．

（2）在均值相等的情況下計算方差.方差反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.通過計算方差，分析一下誰的發(fā)揮相對穩(wěn)定．

（3）下結論.依據(jù)均值與方差的幾何意義得到結論．方法總結

均值體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平，在兩種產(chǎn)品相比較時，只比較均值往往是不恰當?shù)?，還需比較它們的取值的離散程度，即通過比較方差，才能準確地得出更恰當?shù)呐袛啵淅v解鞏固訓練

有甲、乙兩種建筑材料，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強度，其抗拉強度的分布列如下：

110120125130135

0.10.20.40.10.2

100115125130145

0.10.20.40.10.2典例講解

課堂檢測

BA.甲種水稻比