13.1三角形的邊角關(guān)系

（三角形中角的關(guān)系）

A基礎(chǔ)達標(biāo)題

題型一證明三角形內(nèi)角和

1.（23-24八年級上?廣東佛山?期天）在探究證明“三角形的內(nèi)角和等于180。〃時，綜合實踐小組的同學(xué)作了

如圖四種輔助線，其中不能證明"三角形的內(nèi)角和等于180?！ǖ氖牵ǎ?/p>

A.如圖①，過點C作所〃

B.如圖②，延長AC到尸，過點C作CE/A8

C.如圖③，過A8上一點。作?！啊?C,DF//AC

D.如圖④，過點。作。石〃8C

【答案】D

【分析】本題主要考杳三角形內(nèi)角和的定理的證明，平行線的性質(zhì)，熟練掌握轉(zhuǎn)化的思想以及平角的定義

是解決本題的關(guān)鍵.運用轉(zhuǎn)化的思想作出相應(yīng)的平行線，把三箱形的內(nèi)角進行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)平角的定義逐

一判斷即可得答案.

【詳解】團EF〃AB,

0ZECA=ZA,NFCB=NB,

0ZECA+ZACB+4FCB=180°,

0ZA+ZB+Z4CB=18O°,故A選項不符合題意，

團CE〃A3,

團NFCE=NANECB=NB.

團NFCE+NEC8+NACB=180°,

0ZA+ZB+Z4CB=18O°,故B選項不符合題意，

中DE〃BC,DF//AC,

0/ADE=4B,4BDF=乙\,NC=ZAED,ZAED=/EDF,

(3NC=/E。產(chǎn)，

0ZADE+^EDF+^.BDF-180°,

0ZA+ZB+ZC=18O°,故C選項不符合題意,

BDE〃BC,

0/ADE=ZB,以ED=ZC,不能證明“三角形的內(nèi)角和等于180?！ü蔇選項符合題意,

故選:D

2.（24-25七年級下?山東泰安?期口）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180?！〞r，綜合實踐小組的同學(xué)作了如

下四種輔助線，其中不能證明"三角形內(nèi)角和是18（）。〃的是（）

A.如圖①所示，過三角形一邊上點。作石?！?。民DF//AC

B.如圖②所示，過三角形內(nèi)部一點P作QR〃8CST〃AC,MN〃A8

C.如圖③所示，過點。作CO_LA8于點。

D.如圖④所示，過三角形外部一點P作。R〃8cs7〃4cMM7"

【答案】C

【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理的證明，平行線的性質(zhì)，由平行線的性質(zhì)可得

二則由平角的定義得到

ZBDF=ZAtNEDANB,ZC=ZAED,NAED=NEDF,NC=NE￡>F,

ZEDF+ZADE+ZBDF=180°,則NA+N8+NC=180。，據(jù)此可判斷A；由平行線的性質(zhì)可得

/AQR=NB,ZARQ=ZC,同理可得/4+/4/?。+/42/?=180。，據(jù)此可判斷B；設(shè)QR，A3交于O,

根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NQO8=NBZARO=ZC,ZARO=ZTPO,NAOR=NOPN,NA=NATS,

/ATS=/SPN,再由NSPN+NO尸N+N7PO=180。，即可判斷D；C中根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明

Z4+Z^+ZC=18O°.

【詳解】解：A、團ED//CB,DF//AC,

^ZBDF=ZA,/EDA=NB,ZC=ZAED,NAED=NEDF,

?/C=/EDF,

0ZEDF+ZADE+NBDF=180°.

0ZA+ZB+ZC=18O°,故A不符合題意；

B、QQR"BC

[3NAQR=N8,ZARQ=ZC,

ST//AC,MN//AB,

回同A選項中的證明方法可得NA+NARQ+ZAQR=180。，

0Z4+ZB+ZC=18O°,故B不符合題意；

C、根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明/4+N8+NC=18()。，故C符合題意；

D、設(shè)QRA8交于O,

SNA

回/AQR=N8NARO=NC,

團ST〃AC,

^ZARO=ZTPO,NA()R=NOPN,ZA=ZATS,

團MN〃AB,

"ATS=/SPN,

⑦NSPN+NOPN+/TPO=180。，

0ZA+ZB+ZC=18（）°,故D不符合題意;

故選；C.

3.（24-25七年級下?福建漳州?階段練習(xí)）學(xué)習(xí)了“平行線的性質(zhì)和判定〃后，聰明的小穎同學(xué)只撕下三角形的

一個角來拼到另一個角的頂點處便可說明三角形的內(nèi)角和等于180。.請閱讀小穎的操作和說理過程，并完

所以40〃（依據(jù)：）.

所以，ZDAC+=180°（依據(jù)：）.

即Z1++=180°.

所以，三角形的內(nèi)角和等于180。

【答案】BC；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；N3；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；Z2;Z3

【分析】本題主要考杳了平行線的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和的證明方法，先由內(nèi)錯角相等，兩直線平行

得到AD〃BC,再由兩直線平行.同旁內(nèi)角互補得到NZMC+N3=180。，據(jù)此可證明Nl+N2+N3=180。.

【詳解】證明：由操作可知NB=N2,

所以40〃8c（依據(jù)：內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

所以，N/）AC+N3=180。（依據(jù)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）.

即/l+N2+N3=180°.

題型二由三角形內(nèi)角和直接求角度

4.12025?安徽蚌埠?模擬預(yù)測）如圖，在矩形A3C。中，對角線AC、8。相交于點0,ZAOD=a,則/O8C

的度數(shù)是（）

45。+。C.—ctD.180。一%

24

【答案】A

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等知識點，靈活運用相關(guān)知識成

為解題的關(guān)鍵.

由矩形的性質(zhì)可得O8=OC,根據(jù)等邊對等角可得N8OC=NAOD=a,最后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可解答.

【詳解】解：回矩形48CO中，對角線AC、8。相交于點O,

團AC=BDQB=；BDQC=^AC,

自NOBC=NOCB,

團ZBOC=ZAOD=a，

團/?！?。加幽爭”幽士=90°--?,

222

故選A.

5.（2025?云南楚雄?二模）如圖，在正五邊形ABCDE中，連接AC.則—AC4的度數(shù)是（）

A.36°B.32°C.30°D.26°

【答案】A

【分析】小題主要考直了正五邊形內(nèi)角問題，三角形內(nèi)角和定理，等邊對等角，根據(jù)正五邊形內(nèi)角和定理

求出—A5C的度數(shù)，再根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理可求出答案.

【詳解】解；團五邊形AA6E是正五邊形,

X

0AB=BC,ZABC=!'°"一~=108°,

5

團國必好36°,

2

故選：A.

6.（24-25七年級上?安徽淮北?開學(xué)考試）如圖：NA+N8+NC+NO+NE+N/等于度.

【答案】360

【分析】此題考查了三角形內(nèi)角和定理.根據(jù)三角形內(nèi)角和為180。得到

乙4+/C+NE=180。,N8+N。+/尸=180。，即可得到答案.

【詳解】解：團4+/。+/石=180。,/8+/。+/尸=180°,

團ZA+N8+NC+ZD+NE+N/=360°

故答案為：360

7.（24-25八年級上?安徽安慶?期口）在V47C中，已知NA-105。，NU-NC_25。，則N9=°,

【答案】50

【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)角和為18（）。這一性質(zhì)，結(jié)合已知條件建

立關(guān)于N8的方程求解.

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到N4+/8+NC=180°,由N8—NC=25。得出NC關(guān)丁?NB的表達式，將/A的

值和NC關(guān)于/B的表達式代入三角形內(nèi)角和等式，求解NB.

【詳解】在VABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知NA+NB+NC=180°,

已知4-NC=25。，移項可得NC=N8-25。，

因為44=105。，把44=105。和/C=NB-25。代入NA+N3+NC=180°中，得到

105°+ZB+（ZB-25o）=180°,

解得4=50°,

故答案為：50.

8.（24-25八年級上?安徽六安?期口）求出下列圖形中x的值.

⑴⑵

【答案】（1）x=33：（2）x=6（）

【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練掌握三角形內(nèi)角和為180。，是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和為180。列出方程，進行求解即可：

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和為180。列出關(guān)于x的方程，解方程即可.

【詳解】解：（1）??,三角形內(nèi)角和是180°,

/.A+39+108=180,

解得％=33；

（2）???三角形內(nèi)角和是180°,

/..V+A*4-X=180，

解得：x=60.

題型三由三角形內(nèi)角和判斷三角形形狀

9.（24-25八年級上?安徽安慶?期口）在VA8C中，ZS4-2ZB-ZC,那么VA3C是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形

【答案】A

【分析】本題考杳的是三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)在VABC中，Z4=2ZB=ZC,NA+N8+NC=180°可求

出各角的度數(shù)，進而得出結(jié)論.

【詳解】解：解：團在V48C中，ZA=2Z8=ZC,NA+N8+NC=180°,

135/6=18（）。，

解得N8=36。，

回Z4=NC=2N6=72。，

回VABC是銳角三角形.

故選：A.

10.（24-25八年級上?安徽安慶?期中）在V48c中，2/4=2N8=NC,則VA8C是（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形

【答案】A

【分析】本題主要考查了三角形的分類、三角形的內(nèi)角和定理及其應(yīng)用問題，運用三角形的內(nèi)角和定理求

出乙4=45。，進而求出N8=NA=45。，ZC=90°,即可解決問題.

【詳解】解:在VABC中,

02ZA=2ZB=ZC,且ZA+NB+NC=180。，

.?.4NA=180。，ZA=45°,

.\ZB=ZA=45°,

/.ZC=90°

團VABC是直角三角形.

故選:A.

11.（23-24七年級下?黑龍江哈爾濱?期中）具備下列條件的V4BC中，不是直角三角形的是（）

A.ZA+NB=NCB.ZA:Z/?:ZC=1:2:3

C.ZA-NB=90。D.ZA=N8=1NC

2

【答案】C

【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，熟悉掌握三角形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵.利用三角形的內(nèi)

角和，代入已知條件求出角的度數(shù)，逐一判斷是否有直角即可.

【詳解】解：A：ZA+NB=NC,代入ZA+N8+NC=180°,

得：2NC=I8O。，

.?.NC=90°,故此選項不符合題意；

B：N4:N4:NC=1:2:3,根據(jù)/4+N4+NC=1800得：

3

ZC=180°x―=—=90°,

1+2+3

/.ZC=90".故此選項不符合題意：

C：ZA-ZB=90°,

0Z4=9O°+ZB>9O°,

團VAKC為鈍角三角形，故此選項符合題意；

D：NA=N3=LNC代入ZA+N8+NC=180°,

2

得：-ZC+1ZC+ZC=18O°,

22

ZC=9O°,故此選項不符合題意；

故選：C.

12.（22-23八年級上?安徽亳州?期末）當(dāng)VABC滿足條件（）時，是直角三角形.

A.ZA=ZB=ZCB.ZA+ZB=ZC

C.4=4=40。D.ZA=-ZB=-ZC

35

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的分類，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合各選項的條件分解即

可.

【詳解】解：A.0ZA=ZB=ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

0Z4=Z5=ZC=6O°,

團VA8C不是直角三角形，故不符合題意；

B.0ZA+Z^=ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

0ZC=9O°,

團VA8C是直角三角形，故符合題意；

C.0ZA=ZB=4O°,ZA+N6+NC=I80。，

0ZC=1OO°

OVA。。不是宜知二角形，故不符合題意；

D.0ZA=-Ztf=-ZC,

35

團NB=3NA,NC=5N4,

回/4+/8+NC=180°,

回4+3N/+5N/=180°,

團24=20。，

0ZC=IOO0,

(3VABC不是直角三角形，故不符合題意.

故選B.

題型四求三角形外角的度數(shù)

13.(24-25八年級上?安徽合肥?期末)等腰三角形的一個外角是80。,則頂角是()

A.20°B.80。C.100°或20。D.100°

【答案】D

【分析】本題考查了三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的定義，根據(jù)三角形外角定義即可求解相鄰的內(nèi)角為1(X)。,

即可得到答案.

【詳解】解：團等腰三角形的一個外角是80。，

(3相鄰的內(nèi)角為100。，

(3頂角是100。,

故選：D.

14.（24-25八年級上?安徽安慶?期中）一個三角形中，三個內(nèi)角的比為1:3:5,則該三角形最大的外角為（）

A.100°B.120°C.160°D.165°

【答案】C

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理先求出各個內(nèi)角，再求解外角即可.

【詳解】解：設(shè)三角形的內(nèi)角為別為x,3x,5x,

x+3x+5x=18O°,

解得x=20。，

03x=4O°,6x=120°,

回最小的內(nèi)角為20。，

故這個三角形的最大的外角的度數(shù)是160。.

故選：C.

15.（21-22八年級上?安徽馬鞍山?期末）已知一個等腰三角形的一個外角為102。，則這個等腰三角形的底角

為.

【答案】51。或78。

【分析】此題考查等腰.三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.因為沒有指明這個內(nèi)角

是頂角還是底角，所以分兩情況進行分析，從而求得其底角的度數(shù).

【詳解】解：團等腰三角形的一個外角為102。，

團與這個外角相鄰的角的度數(shù)為78。，

回當(dāng)78。角是頂角時，其底角為網(wǎng)：780=5］。；

當(dāng)78。角是底角時，底角為78。.

故這個等腰三角形的底角等于51。或78。.

故答案為：51?；?8。.

題型五由三角形的外角性質(zhì)求角度

16.（24-25八年級上?安徽合肥?期末）如圖，在△ADC中，AB=BD=CD,若NAOC=105。，則/A的度數(shù)

為（）

D

ABC

A.15。B.20°C.25°D.35°

【答案】C

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

設(shè)乙4==x，則==根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理構(gòu)建方程即可解決問題.

【詳解】解：團AB=%>,

：.ZA=ZBDA,

設(shè)44=N8D4=x,

?；BD=CD,

..Z.DBC==ZA+ABDA=2x,

vZA+ZA￡>C+ZC=180o,

.-105。+2K—180°,

解得x=25。，

故選：C.

17.（24-25八年級上?安徽六安?期中）如圖，在V/WC中，ZA=30°,46=68。，則N3的度數(shù)是.

【答案】38。/38度

【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.根據(jù)三角形的一

個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和即可求解.

【詳解】解：團/BCQ是VABC的外角，

團4c0=4+4.

0Z4=3O°,/BCD=68。,

=ZBCD-ZA=68°-30°=38°.

故答案為：38。.

18.（24-25八年級上?安徽蕪湖?期中）如圖,在VA8C中，沿虛線剪去八C,若Nl+N2=240°,則NC的度

數(shù)為.

B

【答案】60°

【分析】本題考查三角形的外角與內(nèi)角，根據(jù)外角得到N1=NC+NCE。，N2=NC+NC￡)E,再結(jié)合三角

形內(nèi)角和計算即可.

【詳解】解：如圖，

@Z1=ZC+ZCED,Z2=ZC+zCDE,NC+NCa+NCO￡：=180。

0ZI+Z2=24O°,

0ZC+Z.CED+NC+NCDE=240），

回NC+180°=240。，

團NC=60。，

故答案為：60°.

19.(22-23八年級上?安徽淮北?期末)如圖，44=35。,/8=45。/)=25。，則N8CO的度數(shù)為

【答案】105。/105度

【分析】小題考宣了三角形的外角性質(zhì)；過點A,G作射線AE,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求得“8的

度數(shù).

【詳解】解：過點A,C,作射線AE，如圖

D

A

CE

B

0NBCE=NBAC+NB,ZDCE=ZDAC+ND,

團ZBCD=NBCE+ZDCE=（N8AC+/8）+（NZMC+NO）=ZB+ZBAD+ND

Q]ZDAB=35°,ZB=45°,ND=25。,

（?lZBCD=35°+45°+25°=l05°

故答案為：105。

題型六三角形的內(nèi)角和定理/外角性質(zhì)的應(yīng)用

20.（24-25八年級上?安徽宿州?期末）如圖,VA5C缺了一個角NC,若ZA=76。,ZB=20°,則NC的度

數(shù)是（）

A.96°B.86°C.84°D.66°

【答案】C

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得NC=180。-NA-N8,由此即可求出

答案.

【詳解】解：?.?ZA+ZB+ZC=180°,ZA=76°,ZB=20°,

AC=180°-76°-20°=84。.

故選:C.

21.（24-25八年級上?安徽合肥?期中）在下列條件中：①NA+NC=N8：（2）Z4:ZB:ZC=2:3:5；③

乙4=90?！狽B；④N4=N8=gNC中，能確定VA6c是直角三角形的條件有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理、直角三角形的定義等知識點，掌握三角形的內(nèi)角和為180。是

解題的關(guān)鍵.

根據(jù)直角三角形的判定方法以及三角形內(nèi)角和定理逐個判定即可.

【詳解】解：①因為NA+NC=N8,則2/8=180。，即？890?,所以V48c是直角三角形；

②因為ZA:N8:NC=2:3:5,設(shè)ZA=2i,則2M+3x+5x=180,解得：x=18°,則NC=18°x5=90。，所

以VABC是直角三角形；

③因為NA=900-N8,即/4+/8=90。，則NC=180。-90。=90。，所以VA8C是直角三角形；

④因為NA=NB=g/C,則;NC+g/C+NC=180。，解得：ZC=90°,所以VA3C是直角三角形.

所以能確定AABC是直角三角形的有①②③④，共4個.

故選：D.

22.（24-25八年級上?安徽合肥?期中）如圖，在△A4O中，8是。C邊上一點，2N1=N2,Z3=4Z4,

NDAC=1IO0,求N1和的度數(shù).

3

【分析】根據(jù)N3=N2+N1,結(jié)合2/1=/2,Z3=4Z4,得到4/4=2Z1+/I,繼而得到/4=二/1,根據(jù)

4

ZZMC=110°,得到N4+N1=70。，結(jié)合NZMB=//）AC-N2

解答即可.

本題考查了三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角的和，熟練掌握三角形外角，三角形內(nèi)角和定理是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)題意，得N3=/2+Nl,

02Z1=Z2,Z3=4Z4,

團4/4=2Nl+Nl,

3

[UZ4=-Z1,

4

0ZZMC=11O°,

（aZ4+ZI=70o,

團N1=40。，

0Z2=2Z1=8O°,

0ZZMB=ZD^C-Z2=3O°.

23.（24-25八年級上?河南信陽?期中）小明同學(xué)在物理課上學(xué)習(xí)了發(fā)聲物體的振動實驗后，對其作了進一步

的探究：在一個支架的橫桿的點。處用一根細繩懸掛一個小球A,小球A可以自由擺動，如圖，Q4表示小

球靜止時的位置.當(dāng)小明用發(fā)聲物體靠近小球時，小球從Q4擺到OB位置，此時過點3作BO_LOA于點

當(dāng)小球擺到。。位置時，OB與OC恰好垂直（圖中的A、B、。、C在同一平面上），過點C作CK_LOA于點

E,測得80=8cm,OD=17cm.

A

⑴求證：NCOE=NB；

⑵求OE的長.

【答案】（1）證明見解析；

（2）9cm.

【分析】（1）由08d.OC得N8OD+NCOE=90。，又CE_LOA,BDLOA,則NCEO=NQ￡>3=90°,根據(jù)

同角的余角相等即可求解；

（2）由（1）得：ZCEO=ZODB=90°,/COE=/B,證明4cO-AO8O（AAS）,由全等三角形的性質(zhì)

得C￡=0D=17cm,最后由線段和差即可求解；

本題考查了垂直的定義，同角的余角相等，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)

犍.

【詳解】（1）證明：回O8_LOC,

田ZBOD+/COE=9G。,

又區(qū)CE_LQA,BD1OA,

0/CEO=NODB=9O。,

回ZBOZ）+NB=90。，

⑦NCOE=NB；

（2）解：由（1）得：NCEO=NODB=9（）。,NCOE=4B、

在4co七和0中，

4CE0=NBD0

NCOE=NB

OC=OB

0△CO￡^AOBD(AAS),

回CE=OD=17(cm),

0OE=8cm,

團DE-OD-OE=9（cm）.

24.（2024七年級上,安徽?專題練習(xí)）如圖，A,8兩處是我國在南海上的兩個觀測站，從A史發(fā)現(xiàn)它的北

偏西30。方向有一艘輪船，同時，從4處發(fā)現(xiàn)這艘輪船在它的北偏西60。方向.

AB

⑴試在圖中確定這艘輪船的位置c處.（保留畫圖痕跡）

⑵求NAC8度數(shù).

【答案】（1）見解析

（2）30°

【分析】本題主要考查了方向角，二角形的內(nèi)角和，正確畫出方位角是解題的關(guān)鍵;

（1）根據(jù)題意正確畫出方向角，

（2）利用三角形的內(nèi)角和求解即可.

【詳解】（1）解：如圖，

(2)根據(jù)題意，知NABC=30。，ZBAC=90°+30°=120°,

則ZACB=180O-ZABC-ZBAC=180°-120°-30°=30°；

B能力提升題

題型一三角形內(nèi)角和（或外角性質(zhì)）與平行線的綜合運用

1.（2025?安徽合肥?一模）某物體靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力5

的方向與斜面垂直，摩擦力尸2的方向與斜面平行.若斜面的坡角。=31.5。，則摩擦力工與重力G方向的夾

角產(chǎn)的度數(shù)為（）

Fi

A.148.5°B.131.5°C.121.5°D.58.5°

【答案】C

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，根據(jù)題意結(jié)合圖形可知夕是重力G與斜面形成的三

角形的外角，從而可求得夕的度數(shù).

【詳解】解：???重力G的方向豎直向下，

二?重力G與水平方向夾角為90。，

???摩擦力居的方向與斜面平行,。=31.5。，

F\

\/./?=Zl=a+90o=121.5°,

_________

憶

故選：C.

2.（2025?安徽六安?一模）如圖，將一直角三角形放于一對平行線上,若Nl=62。，則N2=()

A.142°B.148°C.152°C).158°

【答案】C

【分析】本題主要考查了兩直線平行同位角相等，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得N3=N1=62。,

由對頂角的性質(zhì)求出Z4=Z3=62°,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：如圖所示,

根據(jù)題意可知4〃力,

團N3=N1=62。，

團N4=N3=62。，

0Z2=9O°+Z4=152°.

故選：C.

3.（2025?河南周口?一模）如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若Nl=42。，則N2的

C.18°D.15°

【答案】C

【分析】本題考查正多邊形的內(nèi)角和、外角和的綜合應(yīng)用，平行線的性質(zhì).如圖，求出正六邊形的一個內(nèi)

角和一個外角的度數(shù)，得到4=60。,Z2+Z5=120°,平行線的性質(zhì)，得至IJN3=N1=42。，三角形的外角

的性質(zhì)，得到N5=N3+N4=102。，進而求出/2的度數(shù).

13正六邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)為；180°-60°=120°,

即：Z4=60°,Z2+Z5=120°,

回一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形.上，Nl=42。，

0Z3=Z1=42°,

0Z5=Z34-Z4=1O2°,

0Z2=12O0-Z5=18°；

故選：C.

4.（2025?安徽蚌埠?三模）圖1是某折疊椅的側(cè)面圖，圖2是該折疊椅抽象成的幾何圖形，椅面。E與地面

平行，ZB=50°,Z?CD=105°,則椅子靠背與椅面夾角NEDF的度數(shù)為（）

A.130°B.125°C.115°D.105°

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等；由平行線的性質(zhì)得N8=NE=50。，由三角形外

角的性質(zhì)得N￡￡＞尸=180。-NCOE,即可求解；能熟練利用平行線的性質(zhì)進行求解是解題的關(guān)健.

【詳解】解：回椅面OE與地面平行，

/.AB//DE,

/.zA?=ZE=50°,

?.?NBCD=105。,

:.NCDE=/BCD-NE

=105°-50°=55°,

1.NEDF=180。一/CDE

=18O°-55°

=125°；

即椅子靠背與椅面夾角NEDF的度數(shù)為125。.

故選：B.

S.（23-24八年級上四川達州期末）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系.

圖1圖2

（1）如圖1,若/W〃CZ）,點P在兒&CZ）內(nèi)部，/8=50,/。=30。，求NBPD；

（2）如圖2,將點尸移到AB、C。外部，則NAPD、NB、NO之間有何數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論.

【答案】（1）80。

（2）ZB=ZBPD+ND,證明見解析

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，關(guān)犍是熟悉兩直線平行，同位角相等；兩直線平

行，內(nèi)錯角相等的知識點.

（1）過P點作PQ〃A8,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解.；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和二角形外角的性質(zhì)即可求解；

【詳解】（1）【小問1詳解】

解：如圖1,過。點作PQ〃AB,

^AB//PQ//CD,

[3N8PQ=N8=50。，/DPQ=/D=30。,

(?]ZBPD=ABPQ+NDPQ=80°；

(2)解：ZB=ZBPD+ZD,證明如下:

團AB〃CQ,

由NCEP=NB,

@NCEP=NBPD+ND,

@ZB=/BPD+ZD；

AB

題型二三角形內(nèi)角和（或外角性質(zhì)）與角平分線的綜合運用

1.（24-25八年級下?安徽蚌埠?階段練習(xí)）如圖，正方形A38的邊長為2,連接AC,BD,CE平分ZACD

交BD于點E,則BE的長為（）

【答案】B

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的定義.根據(jù)正方形的性

質(zhì)，可得/小4=/ACD=4BDC=45。,%=2,再由角平分線的定義可得

ZACE=ZDCE=|ZACD=22.5°,然后結(jié)合三角形外角的定義可得N8EC=N8CE,即可求解.

【詳解】解：回四邊形A8C。是正方形，

0/RCA=/ACD=/RDC.=45°,RC=2,

團8平分/48,

團ZACK=ZDCE=-ZACD=22.5°,

2

0WE=4BCA+Z.ACE=67.5°,匕BEC=4DCE+4BDC=67.5°,

田ZBEC=NBCE,

0BE=BC=2.

故選：B

2.（2025?湖南?模擬預(yù)測）如圖，在五邊形A8c中，AO,EO分別平分ZE4B和ZAE￡）,則ZAOE

的度數(shù)為（）

A.70°B.90°C.80°D.1(X)°

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

ZE4B+ZA￡D=I8O°,再根據(jù)角平分線的定義求出乙4￡。+/以。=90。，最后由三角形內(nèi)角和定理即可求

解.

【詳解】解：^AB\\DEf

回㈤B+NAED=180°,

團人。，石O分別平分NE4B和NAED,

0ZEAO=-NEAB"AEO=-ZAED,

22

團ZEAO+ZAEO=1NEAB+gNAED=1(NEAB+ZAED)=90°,

團Z4OE=1800-ZAEO-ZEAO=18()°-(ZAEO+NE4O)=9()0

故選:B.

3.124-25八年級上?安徽蚌埠?期末)如圖，在VABC中,AD上BC,AE平分NR4C,若N1=35。,N2=25。，

則的度數(shù)為()

A.25°B.35°C.45°D.55°

【答案】C

【分析】本題考查了含角平分線的三角形內(nèi)角和定理問題，牢記三角形內(nèi)角和是180。是解題的關(guān)鍵.首先

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到/。=180。-/2-/4￡心=65。，然后由角平分線的概念得到NMC=2N1=70。,

然后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：^ADJ.BC,

^ZADB=ZADC=9(y,

0/2=25°,

0ZC=18O°-Z2-ZADC=65°,

團4E平分NBAC,Zl=35°,

0Za4C=2Zl=7O°,

0Z5=18OO-ZBAC-ZC=45°.

故選：C.

4.（24-25八年級上?安徽安慶?期中）如圖，A4和C。相交于點0,ZC=ZCOA,NBDC=NBOD,AP,

。尸分另|J平分NG1。和N3OC,若NC+ZP+/B=144。，則NC=。.

【答案】84

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，對頂角的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等；

NC=Z.COA=ZBDC=NBOD,設(shè)NC=x,則ZCOA=NBDC=NBOD=x，由三角形的內(nèi)角和定理得ZOAC

3

=18O°-2x,ZB=180°-2x,再由角平分線及三角形的內(nèi)角和定理得NOE。=180。-,由三角形的外角

性質(zhì)得=即可求解；能熟練利用三角形的內(nèi)角和定理進行求解是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，

又?：NCOA=NBOD,

/.NC=ZCOA=/BDC=/BOD,

設(shè)/C=X,W>JZ1COA=Z1BDC=zlBOD=x,

.-.Z6L4C=180°-2ZC

=18O°-2x,

ZB=180°-2.r,

?/AP,DP分別平分ZCAO和N8OC,

NPAE=-Z.OAC=90°-x,

2

^ODE=-ZBOD=-x,

22

ZOED=180°-/BOD-/ODE

=180°-x--.r

2

=180。-，，

2

??.NP=/OED-/PAE

=180°-|x-（900-x）

=90°--x,

2

??,ZC+ZP+ZB=144°,

/.x+90°--x+180o-2x=!44°,

2

解得：x—84。，

二.ZC=84°,

故答案為：84.

5（24-25八年級上?安徽淮北?期中）（1）問題引入：如圖①，在V/WC中，。是ZA4C和-48的平分線

的交點，若4=70。，則N8OC=；如圖②，NCBO=；NABC,N8CO=；NAC8,ZA=a,則

/BOC=（用含。的式子表示）

（2）如圖③，NCBO=；NDBC,NBCO=；NECB,乙4=。，請猜想N3OC=（用含。的式子

表示），并說明理由.

A

(3)類比研究：BO,CO分別是VA8C的外角ZDBC,NEC8的〃等分線，它們交于點O,/C8O=，NO8C,

n

NBCO=L/ECB,ZA=a,請猜想NBOC=.

n

【答案】(1)125°；120。+卜(2)120。-1(3)(〃二心兇尸

33nn

【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識.

(1)由二角形內(nèi)角和定理可求得乙位Q十NAC4,根據(jù)角平分線的定義可求得NCWC+NOCO,在W7C中

利用三角形內(nèi)角和定理可求得-BOC;

(2)方法同(1)；

(3)根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。列式整理即可得/80。=七1」80。-q.

nn

【詳解】解：(1)0ZABC+ZACB+ZBAC=180°,ZBAC=10°f

0ZABC+Z4C8=180°-ABAC=110°,

團點O是NA8C和NAC3平分線的交點，

國Z.OBC+40cB=i(Z^fiC+Z4CT)=-xllO°=55°,

0NOBC+NOCB+ZBOC=180°,

0ZBOC=180°-NOBC-NOCB=125°；

同法，在△OBC中，Z.BOC=180°-(Z.OBC+ZOCB)

=180。-g(48C+4c8)

=B0°-1(l80°-ZBAC)

=120°+-Z5AC

3

=120。+，，

3

故答案為：125。；1200+-a；

(2)120?！?。

3

理由如下：在△08C中，/BOC=180?！?NOBC+NOCB)

=180。-(ZDBC+ZECB)

180°-1(180°-ZABC+180-4C8)

=180。一扣60。一(180。-4)]

=18O°-i(18O°+ZA)

=120°--a；

3

故答案為：120°——6Z：

(3)類似(2),可得在△O8C中，ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)

=180°--(ZDBC+NECB)

=18O°-1(18O0-ZABC+180°-Z.4CB)

=180°-J[360°-(180°-乙4)]

=130o--(180o+ZA)

(〃一1)x180。1

=---------------a；

nn

……(〃-1)x18001

故答案為：1--------a.

nn

題型三三角形內(nèi)角和(或外角性質(zhì))與翻折的綜合運用

1.(24-25八年級上?安徽合肥?期口)如圖，在VA4c中，AB=ACfZZ?AC=120°,點。是6C上的一點,

將△ABO沿A。翻折得到△人￡￡),邊AE交BC于點F,若￡>E〃AC,則的度數(shù)為()

A.135°B.120°C.115°D.105°

【答案】D

【分析】此題考查了折疊的性質(zhì)，平行線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，由等腰三角形的性質(zhì)得出

/B=NC=30°,再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得N￡=N8=30°,/BAD=NEAD，由。E〃AC,得NE=ZE4C=30°,

最后由三角形的內(nèi)角和定理即可求解，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：^AB=AC,ZB/\C=120°,

0Zfi=ZC=3O°,

團將△43。沿AD翻折得到△AED,

0ZE=ZB=3OO,/RAD=/EAQ,

團QE〃AC,

0ZE=ZE4C=3O°,

圖44E=NA4C-NE4c=90。，

^ZBAD-ZEAD-45°,

121ZADB=180°-ZB-/BAD=180,-30。-45。=105。，

故選：D.

2.（24-25八年級上?安徽淮北?期末）如圖，在VA3c中，ZB=35°,將VA3C沿直線〃?翻折，點8落在點。

的位置，則N1-N2的度數(shù)是（）

C.70°D.75°

【答案】C

【分析】本題考查三角形外角的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)，由折疊的性質(zhì)可得N8=NO=35。，再根據(jù)外角的

性質(zhì)即可求出結(jié)果.

【詳解】解：如圖:

3,

BC

D

由折疊的性質(zhì)可知：ZB=ZD=35°,

根據(jù)外角的性質(zhì)可知：N1=N8+N3,N3=N2+ND,

團Nl=N8+N2+ND=Z2+2ZB，

0ZI-Z2=2Z^=7O°,

故選：C.

3.（2022?安徽?模擬預(yù)測）如圖，在VA3C中，N/WC的平分線所與—的平分線C廠交于點尸.若將

V4BC沿OE翻折，使得點A與點廠重合，則（）

A.ZA=Z1+Z2B.Z3=90°+^(zl+Z2)

C.ZA=180°-(Zl+Z2)D,Z3=90°+-j(Zl+Z2)

【答案】D

【分析】本題考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理.根據(jù)角平分線的定義，推出

NBCF=1/ACB,NCBF=1NABC,利用三角形內(nèi)角和定理得到N3=90。+［乙4,求得乙4=+Z2),

2222'，

據(jù)此即可求解.

【詳解】解：???3EB分別是/48C,ZAC8的平分線，.,.NBCF=；NACB,NCBF=g/ABC,

.?.Z3=180o-ZBCF-ZCBF=180o-1(Z/\CB+Z/\fiC)=180o-1(180o-ZA)=90°+1z>l.

由翻折可知NAED=NFED,ZADE=4FDE,

Z1+Z2=180°-2Z4/1D+180°-2ZADE=360°-2(ZAED+ZADE)=36O°-2(I8O°-ZA)=2ZAT

回4=g(Nl+/2),故選項AC都不正確；

0Z3=9O°+^-(Zi+Z2),故選項B不正確；故選項D正確；

故選：D.

4.123-24八年級上?安徽亳州?期中)如圖，V4BC,AB=BC,點。、七分別為44、BC上的兩點，將△皿犯

沿翻折得到△6'￡>E，DIT交AC于點F,若Nl+N2=64。，AD-AT,則N2二.

【分析】本題主要考杳了翻折的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識；連接BV，先證明出

Z14-Z2=2ZDBE.得NDBE=32°,從而求出NA的度數(shù)，利用三角形內(nèi)角和即可求出答案.

【詳解】如圖,連接

ZI=ZDBB+NDB'B,

?：d良△的外角,

???N2=NEBB'+NEB'B,

???Zl+Z2=ZDBE+ZDB'E,

將ABDE沿DE翻折得到△B'DE,

ZDBE=4DB'E,

Z1+Z2=2ZD￡?￡=64°,

NDBE=32。,

BA=BC,

Z5AC=ZACB=74°,

???AD=AF,

Z1=ZAFD=53°,

「?Z2=64°-Z1=64O-53O=11°,

故答案為：11。.

5.（24-25七年級下?全國?課后作業(yè)）把三角形紙片A8C沿。E折疊.

BB

⑴如圖①，當(dāng)點A落在.四邊形/也/"內(nèi)部時，NA,Zl,N2有怎樣的等量關(guān)系？寫出這個關(guān)系式，并證

明你的結(jié)論.

⑵如圖②，當(dāng)點A落在四邊形3。￡>￡外部時，NA,Zl,N2有怎樣的等量關(guān)系？寫出這個關(guān)系式，并證

明你的結(jié)論.

【答案】（1）N4=；（N1+N2）,證明見解析

（2）ZA=1（Z1-Z2）,訐明見解析

【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理翻折的性質(zhì)，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平角的定義表示出N3、Z4,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；

（2）先根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平角的定義表示出N3、Z4,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解.

【詳解】（1）解：ZA=g（/l+N2）,理由如下：

如圖，

根據(jù)翻折以及平角的意義可得，Z3=ZAED=1(18O0-Z1),Z4=ZADE=1(180°-Z2),

Z4+ZAED+ZADE=180°,

.1.ZA+^(180°-Zl)+1(180°-Z2)=180°,

整理得，ZA=1(Zl+Z2)；

(2)解：ZA=l(Zl-Z2),理由如下：

如圖:

B

根據(jù)翻折以及平角的意義可得，Z3=