22.2角平分線

一、學(xué)習(xí)目標

i.會用尺規(guī)作圖畫角的平分線；

2.理解角平分線性質(zhì)定理及其逆定理；

3.能熟練地運用角平線性質(zhì)定理及其逆定理解決問題。

二、課前預(yù)習(xí)

預(yù)習(xí)課本PU7119完成下列任務(wù)：

1.如圖???伊平分/加8,點〃在射線。〃上，PC工0A于C,PD10B于D

???（角平分線的性質(zhì)定理）

2.???尸。_1_的于C,PDLOB于D,

???（角平分線的判定定理）

3.如圖，有一學(xué)校在公路南側(cè)鐵路的東側(cè)，到公路的距離與到鐵路的距離相等,

并且與兩路交叉處O的距離為300/n,你能在圖上標出學(xué)校的位置嗎？

鐵路

0B

公路

三、新課學(xué)習(xí)

1.探究角平分線的畫法

如圖，已知NAOB,求作NAOB的平分線.

作法：

（1）以點0為圓心、以任意長度a為半徑作弧，分別交OA、0B于點D、E;

(2)分別以點D、E為圓心，以DE的長為半徑作弧，兩弧相交于NAOB內(nèi)的一點

(3)作射線0C.

射線OC就是NAOB的平分線.

嘗試證明你的畫法

分析：畫角平分線的本質(zhì)是畫了一組全等的三角形，所以證明的關(guān)鍵就證明兩個

二角形全等。

例1四等分NAOB；

A\

oB

挑戰(zhàn)自己：己知4ABC

(1)分別畫NABC、NACB的平分線BE、BF；

(2)若NA=60°,BE,BF交于點P,求NBPC的度數(shù).

A

C

B

2.探究角平分線的性質(zhì)定理

定理角平分線上的點到這個角的兩邊所在直線的距離相等.

如圖已知：0C是NAOB的平分線，P是0C上一點（點P不與點0重

合）,PD_LOA,PEJ_OB,垂足分別為D、E.

求證：PD=PE.

/I

例2如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=4cmAB=lcmfA。平分NBAC,求

SAABD:SAADC的比值

分析：由角平線的性質(zhì)可知兩個三角形高相等，所以面積之比就等于AB與AC

的比.

3.探究角平分線的逆定理

定理在角的內(nèi)部，到角的兩邊所在直線距離相等的點，均在這個角的平分線上

如圖,己知：Q為NAOB內(nèi)部一點，（2口_10人4￡，08,垂足分別為口、E,QD=QE.

求證：點Q在NAOB的平分線上.

例3如圖，己知aABC中，ZB=ZC,。為3c的中點求證：AD平分NB4C

嘗試練習(xí)：

1.如圖，CO_LAB于D,BE1AC于E,CD,BE交于點、O,且N1=N2,求證:

OB=OC

2.如圖，已知：點P、D在NAOB的平分線上，OA=OB,PM_LBD,PN_LAD,垂足

分別是M、N.求證：PM=PN.

四、課后練習(xí)

1.如圖，在△A8C中，AB=AC,A。是△ABC的角平分線，OE_LA8,DFLAC,

垂足分別為E,￡下列推理中正確的結(jié)論有（填序號）

①A。上任意一點到點C,B的距離相等；

②AO上任意一點到AC,AB的距離相等；

③BD二CD,ADLBC；④/BDE=/CDF

2.已知AD是^ABC的角平分線，QE_LA3于￡且O￡=3o幾則點D到AC的距離

是（）

A.2cm\B.3cgCAcm\D.6cm

3.如圖，已知CE、。尸分別是△ABC的內(nèi)角和外角平分線，?則圖中與N8CE互

余的角是_________

4.如圖已知點P至IJAE、AD.BC的距離相等，則下列說法：①點尸在NBAC的平

分線上；②點尸在N8CE的平分線上；③點戶在NO8C的平分線上；其中正確的是

()

A.②B.③

C.②③D.①②③

5.AB//CD,AP.CP分別平分NBAC和NACO,PE_LAC于E,且PE=2cm,

則AB與CD之間的距離是.

6.如圖，四邊形ABCZ）中AB二AD,ABLBC,ADLCD,P是對角線AC上一點,

?求證：PB=PD.

7.如圖，己知CDJ_A8于。，BE_LAC于E,CD交BE于點、0.

①若OC=OB,求證：點。在N8AC的平分線上.

②若點。在NBAC的平分線上，求證：OC=OB.

c

E

B

A

D

8.如圖，PB和PC是△ABC的兩條外角平分線。