三角形全章壓軸必考點(diǎn)（8個(gè)專題60題）

壓軸突破1三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用.............................................................

壓軸突破2三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用.............................................................3

壓軸突破3三角形內(nèi)角和定理與外角性質(zhì)的應(yīng)用...................................................5

壓軸突破4角度計(jì)算中的分類討論思想..........................................................12

壓軸突破5含角平分線的復(fù)雜角度計(jì)算..........................................................19

壓軸突破6三角形的角度計(jì)算與折疊問(wèn)題........................................................29

壓軸突破7三角形中多結(jié)論問(wèn)題................................................................36

壓軸突破8三角形中角度計(jì)算綜合探究題........................................................47

壓軸突破1三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用

1.現(xiàn)有長(zhǎng)為1445?的鐵絲，要截成〃小段（〃>2）,每段的長(zhǎng)度不小于Ice如果其中任意三小段都不能

拼成三角形，則〃的最大值為（）

A.9B.10C.11D.12

【分析】因〃段之和為定值144cm，故欲〃盡可能的大，必須每段的長(zhǎng)度盡可能小，這樣依題意可構(gòu)造

一個(gè)數(shù)列.

【解答】解：???每段的長(zhǎng)為不小于1的整數(shù)，

???最小的邊最小是1,

?.?三條線段不能構(gòu)成三角形，則第二段是1,第三段是2,第四段與第二、第三段不能構(gòu)成三角形，

第四邊最小是3,第五邊是5,依次是8,13,21,34,55,

再大時(shí),各個(gè)小段的和大于不滿足條件.

上述這些數(shù)之和為143,與144相差1,故可取1,1,2,3,5,8,13,21,34,56,

這時(shí)〃的值最大，〃=10.

放選：B.

2.三角形的三邊的長(zhǎng)分別為a,b,C,其中〃>爪且滿足O-Q2C-6,a+b=3c-6,若c為整數(shù)，則c

的長(zhǎng)是（）

A.3或4B.4或5C.4或6D.5或6

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【分析】先由a-力=2c-6,”+〃=3c-6,得2c、-6Vc〈3c-6,解得3VcV6,結(jié)合c為整數(shù)即可作答.

【解答】解：?.?三角形的三邊分別為a,b,c,

■?a-b<c<a+h,

-a>b,且a-6=2c-6,a+b=3c-6,

'-2c-6<c<3c-6,

解得3VcV6,

；c為整數(shù)，

??.c的長(zhǎng)是4或5,

故選:B.

3.設(shè)ZU8C的三邊分別為a,b,c,其中q,b滿足|a+b-14|+（a-b+2）2=0,則邊長(zhǎng)c的取值范圍是（）

A.6<c<8B.2<c<14C.83*V14D.2<c<8

【分析】根據(jù)絕對(duì)值和平方的正負(fù)性，得到關(guān)于。、人的方程組，再根據(jù)二角形的二邊關(guān)系求解即可.

【解答】解：v|a+Z>-14|+（a-b+2）2=0,

???a+b-14=0,a-6+2=0,

解得q=6,6=8,

-b-a<c<b+af

--.2<c<14,

綜上所述，只有選項(xiàng)4正確，符合題意，

故選：B.

4.為方便勞動(dòng)技術(shù)小組實(shí)踐教學(xué)，需用籬笆圍一塊三角形空地，現(xiàn)已連接好三段籬笆/也，BC,CD,這三

段籬笆的長(zhǎng)度如圖所示，其中籬笆48,CO可分別繞軸8E和5轉(zhuǎn)動(dòng).若要圍成一個(gè)三角形的空地，則

在籬笆上接上新的籬笆的長(zhǎng)度可以為（）

【分析】設(shè)在籬笆力4上接上新的籬笆長(zhǎng)度為x，由AC-CZ）〈川升xVBC+CO,求出x的取值范圍，即

可解答.

【解答】解；設(shè)在籬笆X8上接上新的籬笆K度為x,

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根據(jù)題意得：AB=2m,BC=8m,CD=3m,

?:BC-CD<AB+x<BC+CD,艮]5m<AB+x<\\m,

'3m<x<9ni,

???在籬笆48上接上新的籬笆的長(zhǎng)度可以為4機(jī)，

故選：D.

壓軸突破2三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用

2

5.如圖，G為A48C三邊中線力。，BE,C/的交點(diǎn)，SABC=12cm,則陰影部分的面積為（）

A.4cm2B.5cm2C.6cm2D.8cm2

【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分，得到△/B。的面積即為陰影部分的面積

的3倍，計(jì)算即可.

【解答】解：?.（為"8C三邊中線40,BE,b的交點(diǎn)，

:?SfBD=S0tDUSABGD=S4CDG，S&tFG=S&BFG，S0tGE=S2CGE，

?■?SA4G8=S&[GC，S△八FG=SfGE，

:、ACGE=%/IGE=

1

同理：S&BGF=S&BGD=qS.BCF，

11

=S&BCF=5s△48C=7x12=6,

11

:?S公CGE=35A/ICF=Ex6=2,

陰影=S^CGE+SMGF=4（cm2）,

故選:A.

6.如圖，4。為△力〃。的中線，BE為△48。的中線.若△力的面積為30,BD=5,則△"/）￡'中夕。邊上

的高是（）

BDC

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A.3B.6C.12D.1.5

【分析】利用三角形中線性質(zhì)和同底等高面積相等，有Sggu/sfBC，過(guò)點(diǎn)E作ERLBC,利用面積

公式即可求得答案.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EF工BC交BC于點(diǎn)F,如圖，

由題意可知：5&4B。=5s△力BC，S&BDE=~^4ABD，

:+S&BDE=ZS“BC，

??△J4C的面積為30,BD=5,

111

???SABDE=5?。8?=5x5xEF=￡x30,

乙乙**

解得七/=3,

故△8OE中BD邊上的高為3.

故選:A.

7.如圖是一塊面積為1()的三角形紙板，點(diǎn)。、E、產(chǎn)分別是線段力產(chǎn)、BD、CE的中點(diǎn)，則陰影部分的面積

為?

【解答】解：如圖，連接片￡,BF,CD,

.?點(diǎn)。、E、產(chǎn)分別是線段4尸、8。的中點(diǎn)，

:.AD=DF,BE=ED,

?■?SAJOE=SAJ8E，S?FBE=S〉FDE，

同理可得：△44。被分為7個(gè)面積相同的三角形,

1

???陰影部分的三角形的面積是A48C的面積的〒

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「△ABC的面積為10,

???陰影部分的面積是亍,

10

故答案為：~-

8.已知：如圖所示，在△18。中，點(diǎn)。，E,少分別為8C,AD,CE的中點(diǎn)，且則陰影部

分的面積為cm2.

【分析】易得A4BD,A4CQ為A48C面積的一半，同理可得△8EC的面積等于△/8C面積的一半，那

么陰影部分的面積等于△8EC的面積的一半.

【解答】解：為4C中點(diǎn)，根據(jù)同底等高的三角形面積相等,

,1.1,

：,S&tBD=S&tCD=矛5BC=5*4=2(,Cnr),

11,

同理S〉BDE=S4CDE=5s△BCE=/x2=l(cnr),

?,48Cf=2(cm2),

.F為EC中點(diǎn)，

11.

:SgEF==5'2=1!?！?？)?

故答案為1.

壓軸突破3三角形內(nèi)角和定理與外角性質(zhì)的應(yīng)用

9.如圖，D,E兩點(diǎn)分別在△//(7的兩邊月4,/C上，連接。E,已知Nl+42=a,則乙4=()

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A

【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角性質(zhì)求得々IOE+乙4EO=360。-a,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【解答】解：,??乙4?！?180°-t1,N力￡7)=180。-乙2,

.?.乙4。七+乙4￡7)=180。-41+18()。-42=360。-(Z1+Z2)=36O°-a,

-Z.ADE+/-AED+/-A=18()。，

；.4=180°-(乙ADE+乙AED)=180°-(3600-a)=a-180°,

故選:C.

10.小明把一一副二角尺按如圖所示投放，其中￡C="*=90C,乙4=45。，△0=30，4a+4的度數(shù)為()

A.210°B.235°C.180°D.200°

【分析】如圖所示，由三角形外角的性質(zhì)可得乙。=41+△。、/0=乙4+乙凡再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得

乙a+乙。=41+乙。+44+乙/：=90%300+90°,最后計(jì)算即可.

【解答】解：如圖：乙a=/J+4。，z.p=z4+z.F,

.,.za+zp

=zl+zD+z4+zF,

=90°+30°+90°

=210°,

?.za+zp的度數(shù)為21()。.

故選：A.

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11.如圖，已知乙4=60。，Z5=4O°,ZC=3O°,則/O+NE等于（）

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和，可以得到叱和上2的和,再根析三角形內(nèi)角和,可以得到乙。+乙￡1和乙1+乙2

的關(guān)系，然后即可求得乙0+乙￡的度數(shù).

【解答】解：連接8C，如圖所示,

山=60。，^4BE=40°,ZJCD=3O°,

.-.ZH-z2=180°-ZJ-/.ABE-zJCD=180°-60°-40°-30°=50°,

?.?z￡)+zE=zl+z2,

.-.zD+zE=50°,

故選：C.

12.如圖，E,6是△48C的邊，8,力。上的點(diǎn)，。是點(diǎn)力上方的一點(diǎn)，若48+4。=60。，3=70°,則

A.50°B.60°C.65°D.70°

【分析】連接￡￡利用三角形的內(nèi)角和定理結(jié)合整體思想即可解決問(wèn)題.

【解答】解：如圖，連接ER

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.??48+4。=60°,

???"=180°-(48+4。)=120。，

?,.ZJh?+z^?h=180u-ZJ=6(T.

?2力=70。，

:,乙DEF+乙DFE=18O。-2。=110°,

?/z1+Z.AEF=Z.DEF,Z.2+Z,AFE=Z.DFE,

.-.Z1+z2=Z-DEF+Z-DFE-(Z-AEF+Z-AFE)=110°-60°=50°.

故選：A.

13.如圖是可調(diào)躺椅示意圖，AE與BD的交點(diǎn)、為C,且乙。8、乙CBA、乙。的大小保持不變.為了舒適,

需調(diào)整4E的大小，使4￡7*=130。，則圖中ZE應(yīng)（）

A.增加10。B.減少10。C.增加20。D.減少20。

【分析】延長(zhǎng)￡八交CD于點(diǎn)、G,依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求乙4C8,根據(jù)對(duì)頂角相等可得心。。￡再

由三角形內(nèi)角和定理的推論得到4OG戶的度數(shù)；利用N￡P(guān)O=UO。，和三角形的外角的性質(zhì)可得，。的度

數(shù)，從而得出結(jié)論.

【解答】解：延長(zhǎng)ER交CO于點(diǎn)G,如圖:

???乙4。8=180°-50°-60°=70°,

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:.乙ECD=/ylCB=7()0.

:乙DGF=CDCE+乙E,

.-.zDGF=70o+30o=100°.

?zEFD=130°,乙EFD=^DGF+乙D,

??"=30。.

而圖中乙。=20°,

??2力應(yīng)增加10°.

故選：A.

14.如圖是由線段力8,CD,DF,BF,C/組成的平面圖形，4。=28。，則乙f+N4+NC+4尸的度數(shù)為()

【分析】首先求出4/+/8=/。+乙歐；。，然后證明出乙。+乙4+"+48-匕。=180。，最后結(jié)合題干乙。=28。

求出4力+/8+乙。+乙尸的度數(shù).

【解答】解:???如圖可知/5石。=4/+/8,乙CGE=^C+乙4,

又“BED=乙D+乙EGD,

:.乙F+（B=^D+乙EGD,

又?ZCGE+乙EGQ=180。，

?.ZC+ZJ+ZF+Z5-4。=180。，

又???乙。=28。，

.-.zJ+zB+zC+zF=180°+28°=208°,

故選：C.

B

A

15.如圖，乙1+/8+4。+乙。+乙七的度數(shù)是（）

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DC

A

BE

A.180°B.360°C.540°D.720°

【分析】根據(jù)“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和''可知=乙4+48,Z2=Z14-ZF,結(jié)合三

用形內(nèi)角和定理可得。即可獲得答案.

又?.22+，。+4。=180。，

.?.ZJ+N8+/C+4O+NE=180°,即""8+/C+4O+"的度數(shù)是180°.

故選:A.

16.如圖，已知N〃。尸=120°,貝IJ4+N〃+NC+NO+4E+4/為°.

【分析】由三角形外角性質(zhì)得乙1=乙4+乙。，匕2=48+乙。，zE+zF=1+z2=LBOF=120°,即得

4十匕8+/。+4。=41+22=120°.

【解答】解：由三角形外角性質(zhì)可得，z2=z5+zD,4E+NE=Z1+N2=480尸=120。,

.-.ZJ+Z5+ZC+ZP=Z1+Z2=120°,.-.Z/1+Z5+ZC+ZD+ZE+ZF=120°+120°=240°,

故答案為：240.

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17.如圖，在/中，Z￡=8()c,ZF=55°,J2?||CF,/Q||CE,連接〃C,CD,則乙4的度數(shù)是

【分析】在△(?"中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出ZEC尸的度數(shù)，連接4C,并延長(zhǎng)4C交E尸于點(diǎn)M,

利用平行線的性質(zhì)，可得出284O=4EC凡此題得解.

【解答】解：在△"尸中，zF=80°,N尸=55°,

.-.ZECF=I8O°-ZE-ZF=18O°-80°-55°=45°.

連接4C，并延長(zhǎng)力C交于點(diǎn)M,如圖所示.

力。IICE，

:.乙BAC=LFCM,乙DAC=LECM,

MBAD=乙BAC+Z.DAC=乙FCM+乙ECM=乙ECF=45°.

放答案為：45。.

18.在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了如圖這樣一個(gè)零件，如果乙4=52。，48=25。，zC=30°,zD=

35°,4E=72。，那么乙產(chǎn)=°.

【分析】連接4。，連接力E并延長(zhǎng)到點(diǎn)M,連接彳歹并延長(zhǎng)到點(diǎn)N,利用三角形的外角性質(zhì)，可得出N8EM

=^BAE+乙B,乙DEM=^DAE+4DE,乙DFN=^DAF+UDF,乙CFN=LCAF+LC,將其相力口后可得出

乙BED+乙CFD=&+乙B+乙EDFMC,再代入各角的度數(shù)，即可求出結(jié)論.

【解答】解：連接力。，連接力上并延長(zhǎng)到點(diǎn)用，連接力廠并延長(zhǎng)到點(diǎn)M如圖所示.

“BEM是AABE的外角，

:,乙BEM=ZJ3AE+乙B.

同理可得出：乙DEM=KDAE+LADE,乙DFN=CDAF+2DF,Z.CFN=Z-CAF+LC,

yBEM14Z)￡VP乙DFN\乙CFN=^BAE\乙BI乙DAE'乙ADE+乙DAF+^ADF\d.CAF\Z.C,

第II頁(yè)共70頁(yè)

Z.BED+Z.CFD=乙B+乙EDF+乙C,

.?.72°+/。-。=52。+25。+35°+30°,

.-.ZCFD=7O°.

壓軸突破4角度計(jì)算中的分類討論思想

19.已知在△/48C（△4;。不是直角三角形）中，入1=40。，AC邊的高4。、”邊的高CE所在直線交于點(diǎn)

F,則乙8R2的度數(shù)為.

【分析】利用三角形內(nèi)角和及外角的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：已知在△48C（△Z8C不是直角三角形）中，乙4=40。，力。邊的高87）、48邊的高CE所

在直線交于點(diǎn)立如圖1,當(dāng)8。與CE■交于點(diǎn)尸時(shí)，

：&DB=LCEB=90-80=90°?40。=50。,

LBFC=LCEB^^ABD=140°；

如圖1,△力8c是銳角三角形時(shí)，

由題意得：ZJ/）^=ZCE^=9O°,乙/4。=90。-40。=50。,

LBFC=/-CEB+JLABD=140°；

如圖2,△44。是鈍角三角形時(shí)，乙億方是鈍角，

第12頁(yè)共70頁(yè)

A

LBFC=90°-ZJ5D=40°；

如圖3,A48c是鈍角三角形時(shí),乙43C是鈍角,

故答案為:40?；?40°.

20.如圖，力。是△力4c的角平分線，Cf是△力8c的高，4-4C=60。，乙4c8=78。，點(diǎn)尸為邊力8上一點(diǎn),

當(dāng)△"￡)?為直角三角形時(shí)，則乙1。"的度數(shù)為.

【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)Z8月。=90。時(shí)，當(dāng)N8。9=90。時(shí)，分別依據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角

平分線的定義，即可得到乙1。戶的度數(shù).

【解答】解：如圖1所示，當(dāng)￡3/2)=9()。時(shí)，

以。是△力4。的角平分線，z^C=60°,

??28/10=300,

.-.RtZUDF+,^DF=60°；

如圖2,當(dāng)乙3OF=90。時(shí),

第13頁(yè)共70頁(yè)

同理可得48/1。=30°,

-.-zZ?JC=60°,乙4cB=偌,

."=42°,

???48。/=180。-乙B-484。=180。-42°?30。=108。,

：.CADF=^BDA-48。/=108。-90°=18°,

綜上所述，乙4。尸的度數(shù)為18?；?0。.

故答案為:60?；?8。.

21.如圖，在△/出。中，乙4=60。，乙優(yōu)4=42。，。為邊8c延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BF平65BC,￡為射線4P

上一點(diǎn).若直線CE垂直于A4灰?的一邊，則乙8KC的度數(shù)為.

【分析】分三種情況討論：①當(dāng)C及L3C時(shí)，②當(dāng)CEL4B于尸時(shí)，③當(dāng)CEUC時(shí)，根據(jù)垂直的定義

和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論.

【解答】解:①如圖1,當(dāng)CE_LBC時(shí)，

第14頁(yè)共70頁(yè)

/4c=78°,

???8”平分4I4C,

1

:.乙CBE=5乙ABC=39。,

??28/0=900-39。=51。；

②如圖2,當(dāng)CELIA于/時(shí),

：ABE='^LABC=39°,

.“￡C=900+39。=129°；

③如圖3,當(dāng)C￡UC時(shí),

"CBE=39°,乙心=42。,

：.48￡。=180。-39°-42°-90°=9°.

綜上所述，乙8EC的度數(shù)為9。、51。、129。.

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故答案為:9。、51。、129°.

22.在RtAJ4c中，ZC=9O°,點(diǎn)。，七分別是△/4C的邊/IC,AC上的點(diǎn)，點(diǎn)戶是直線月4上一動(dòng)點(diǎn).令

乙PDA=^1,4PEB=a乙DPE=^a.則Na,Z1,乙2之間的關(guān)系為.

【分析】依題意分以下三種情況：①當(dāng)點(diǎn)尸在線段48上時(shí)，則4尸。。=180。?41,乙尸比=180。?42,

再根據(jù)匕C+NPOC+4PEG乙。莊=360。可得出za,zl,42之間的關(guān)系；②當(dāng)點(diǎn)尸在胡的延長(zhǎng)線上時(shí),

則/"。=90。+乙48。，Z-APE=180°-z2-^J5C,進(jìn)而得"P。=/a+180°-22-416C,再根據(jù)

LPAD^-Z-APD+Z.PDA=180°,可得出Na,zl,乙2之間的關(guān)系；③當(dāng)點(diǎn)P在初的延長(zhǎng)線上時(shí)，則“85

=90°+N氏4c,Z-BPD=180。-zl-^BAC,進(jìn)而得乙BPE=za+180°-zl-^BAC,再根據(jù)

乙8尸E+乙2七4+△。8石=18()?？傻贸鲆摇?，ZJ,42之間的關(guān)系，綜上所述即可得出答案.

【解答】解：???點(diǎn)戶是直線上一動(dòng)點(diǎn)，

有以卜.三種情況：

①當(dāng)點(diǎn)尸在線段33上時(shí)，如圖1所示：

圖1

.-.APDC=180°-zl,APEC=180°-z2,

.:乙C+乙PDC+乙PEC+乙DPE=360°,zC=90°,

.??90。+180。-Z1+18O0-z2+za=360°,

,.zl+z.2-乙a=90°：

②當(dāng)點(diǎn)P在A4的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示:

???4夕力。=/。+-14。=90°+々8。，乙1尸￡=180°-Z2-ABC.

'.^APD=Z.DPE+^APE=za+180°-42-UBC,

“PAD?^,APD?乙PDA=180°,

第16頁(yè)共70頁(yè)

.?.9()。+/力4C+4a+180。-42-乙45C+NI=18()。,

-,.z2-Z1-za=90°；

③當(dāng)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3所示：

:乙PBE=￡C+乙BAC=90°+乙B4C,尸。=180。-zl-乙B4C,

:.乙BPE=LDPE+乙BPD=乙8+1*。°-Z1-乙B/iC,

■:乙BPE+乙PEB+乙PBE=180°,

.-.za+180°-zl-z5JC+z2+90o+z^JC=180°,

-z2-4a=90°,

綜上所述：za,zl,42之間的關(guān)系為：41+42-4。=90°或乙2-zJ-/a=90°或zJ-42-za=90°.

故答案為：zl+z2-4。=90。或N2-zl-Na=90。或Nl-z2-za=90°.

23.在△AB。中，乙4=70。，48=60。，zC=50°,8。是△/BC的角平分線，點(diǎn)尸在8。所在的射線上，若

C尸垂直于△力8c的一邊，則乙B6C的度數(shù)為.

【分析】分三種情形：CFLAB,CR1.BC,CF”_L4C分別求解即可.

【解答】解：如圖，當(dāng)CKL4E于點(diǎn)”時(shí)，

1

:.乙4BD=KBD=R8C=30。,

??乙?！?=90。,

第17頁(yè)共70頁(yè)

.-.z5FC=zCra+zJBD=90o+30o=120°；

當(dāng)Ck_LC4時(shí)，乙BFC=90。-30°=60°；

當(dāng)CF”L4C時(shí)，Z.BF"C=180°-30°-140°=10°.

綜上所述，乙8/。的度數(shù)為120?；?0。或10。.

故答案為：120。或60?；?0。.

24.在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，這樣的三角形我們稱之為“靈動(dòng)三角形例如，三個(gè)

內(nèi)角分別為120。，40°,20。的三角形是“靈動(dòng)三角形”.如圖NMOV=40。，在射線0M上找一點(diǎn)力，過(guò)點(diǎn)/

作ABXOM交ON于點(diǎn)B,以4為端點(diǎn)作射線AD,交線段OB于點(diǎn)C.當(dāng)△/BC為“靈動(dòng)三角形"時(shí)，NCUC

的度數(shù)為度.

【分析】由乙UON=40。，4810M,利用三角形的內(nèi)角和定理可求得418c=50。，結(jié)合“靈動(dòng)三角形”的定

義可分兩種情況進(jìn)行解答，即當(dāng)乙4cB=348。，或乙時(shí)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及互

為余角可得答案.

【解答】解：?.?力見(jiàn)??！?，

?"44=90。，

"MON=4。。,

/8c=900-40°=50°,

當(dāng)A48。為“靈動(dòng)三角形”時(shí)，

①當(dāng)時(shí)，

乙4c8=3x50。=150。（舍去），

②當(dāng)乙4c時(shí)，

4匕。4+500=180。，

.?"48=32.5。，

.^OAC=9O0-4。8=57.5。，

綜上，zOJC=57.5°.

第18頁(yè)共70頁(yè)

1220

三角形力燈?中，有一個(gè)角是50度的不寸，^OAC=-°.

220

故答案為：57.5?；蚨?

壓軸突破5含角平分線的復(fù)雜角度計(jì)算

25.如圖，在―夕。中，力E平分/切C,4018c于點(diǎn)。.28。的角平分線8月所在直線與射淺力E相交于

點(diǎn)G,若乙48C=32C,且々G=20。，貝吐。心的度數(shù)為（）

A.50°B.55°C.60°D.65°

【分析】由題意4E平分N歷IC,BF平分UBD,推出乙。￡=/8/￡乙4BF=3BF,設(shè)乙C4E=LBAE=

x,設(shè)NC=y,Z-ABC=3y,想辦法用含x和y的代數(shù)式表示乙48尸和乙。亦即可解決問(wèn)題.

【解答】解：如圖：

?ME平分N84C,BF語(yǔ)分ABD,

:?乙CAE=z~B4E,z.1=z>2,

設(shè)404月=48力石=犬，zC=y,乙4BC=3y,

由外角的性質(zhì)得：

111

￡1=z7ME+z_G=x+20,Z.2=-Z.ABD=—（2丫+y）=x+-y,

1

,?x+20=x+ps解得y=40。，

第19頁(yè)共70頁(yè)

.-.Z1=Z2=T(1800-=-X(180°-120°)=30°,

：“FB=60°.

故選：c.

26.如圖，8E是乙18。的角平分線，C尸是乙4CO的角平分線，BE與CF交于點(diǎn)G,乙8。。=150。，乙BGC=

A.55°B.65°C.75°D,85°

【分析】連接8C,根據(jù)題意得到上。8。+4。04=180。-乙3。。=30。，LGBC^LGCB=180°-z.BGC=

67.5°,進(jìn)而得出4G8￡>+/GCZ）=（乙GBC+乙GCB）-（乙DBC+乙DCB）=37.5°,得到乙48C+rJC8=2

QGBD+乙GCD）+（乙DBC+乙DCB）=105°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可得到答案.

【解答】解：如圖，連接8C,

?4E是乙18。的角平分線，6是乙IC。的角平分線，BE與CF交于點(diǎn)G,

11

:.乙EBD=^FBE=s乙ABD,乙FCD=LECF=3UCD,

乙乙1

-.?Z5DC=I5O°,乙BGC=\12.5°,

:.乙DBC+乙DCB=180。-ZZ?DC=30°,

???△G6C+乙GC8=180。-4BGC=675。,

，乙GBD+乙GCD=QGBC+乙GCB）-（乙DBC+乙DCB）=37.5°,

:4BC+UCB=2（乙GBD+乙GCD）+（乙DBC+乙DCB）=105°,

.?."=1800-SBC+UCB）=75°,

故選：C.

27.如圖，4小和。1分別是△46c的內(nèi)角平分線和外角平分線，442是一i山。的角平分線，。2是

第20頁(yè)共70頁(yè)

的角平分線，區(qū)外是乙心8。的甭平分線，。3是乙的角平分線，若41=a，則々2025=()

X，22023。B.22024。。22。25口D，22。26口

【分析】根據(jù)角平分線的定義可得〃1BC=I48C,乙41cz)=g乙4CD,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得

^ABC+ZZ1)=^ABC+Z/li,化簡(jiǎn)可得進(jìn)一步找出其中的規(guī)律，即可求日乙42025的度

數(shù).

【解答】解：???《小和。小分別是△/8C的內(nèi)角平分線和外角平分線，

11

：

&\BD=-乙/-ABC,LA\CD=乙-ZJCD,

又,.乙4CD=^4BC+乙4,乙1。="1出D+44,

:.(/.ABC+Z-A)=Z-ABC+/-Ai，

1

'-/-A?=-ZJ,

,11

同理可得：乙的=54小=五乙4，

1

1

則42025=22025^，

?.,zJ=a,

1

"^^2025—220250'

故選：C.

28.如圖，點(diǎn)。為線段44上一點(diǎn)，分別以4C、〃。為邊在線段同側(cè)作△/C。和△8CE,且乙力=

2ZDJC,乙E=2乙EBC.若乙DAC的平分線與NK8C的平分線的交于點(diǎn)P,則41與42的數(shù)量關(guān)系為()

D

AB

C

第21頁(yè)共70頁(yè)

11

A.Z2=150°-TZ1B.Z2=130°+-zl

6Z

C.2.2=175°-Z1D.Z2=115°+Z1

【分析】由4。。8是△月。。的外角，利用三角形的外角性質(zhì).可求出乙。。8=3乙。月。，在△8CE中，利

用三角形內(nèi)角和定理，可求出/式3=180。?3乙E8C,結(jié)合乙I=^DCB-乙ECB，可得出乙1=3

1

（乙DAC+乙EBC）-180°,變形后可得出2。彳。+4歐。=60。+鼻/1,利用角平分線的定義，可得出

1111

=-Z.DAC,Z-PBA=-Z,EBC,進(jìn)而可得出4產(chǎn)/月+4PA4=^（60。+可41）,再結(jié)合42=180。-

（乙PAB+乙PBA）,即可求出42=150。-3：1.

b

【解答】解：“。口是△力co的外角，

:.乙DCB=/.D+/.DAC=3z-DAC.

在△4C￡中，乙E=2乙EBC,

xECB=180。-乙E-乙EBC=1800?3乙EBC,

:?乙\=4DCB■乙ECB=3乙DAC-（180°-3ZEBC）=3（乙DAC+乙EBC）-180°,

1

：+-Z1.

.Z.DAC+Z-EBC=60°O

“DAC的平分線與NEBC的平分線的交于點(diǎn)P,

11

:/PAB=-Z.DAC,Z-PBA=-LEBC,

乙乙

111

:.乙PAB+乙PBA=~（.乙DAC+乙EBC）=~（600+-^1）,

111

.-.z2=180°-（乙PAB+乙PBA）=180°--（60°+TZ1）=150°-T^1.

Z5o

故選：A.

29.如圖，在A48C中，點(diǎn)。為和乙4C8的角平分線的交點(diǎn)，連接04OB,OC,作A4O8的一條

角平分線40.若則N1+N2的度數(shù)為（）

311

A.900+-aB.120c+-aC.160°D.1800--a

424

aa

【分析】根據(jù)角平分線定義可得N2=90。+5,Z1=-,從而可求出41+N2.

第22頁(yè)共70頁(yè)

【解答】解：?.24IC+4出C+zJCB=180。，乙BAC=a,

.?.Z/1Z?C+^JCZ?=18O°-a,

:BO是UBC的平分線，CO是乙1C8的平分線，

11

?.Z.CBO=-Z-ABC,Z.BCO=-LACB,

乙乙

1111a

：/CBO+乙BCO=-/-ABC+-LACB=-(/.ABC+LACB)=-(180°-a)=90°-T,

乙乙乙NJ

■:乙OCB+乙OBC+乙2=\80°,

aa

g=180。-(乙OCB+LOBC)=180°-(90°-T)=900+7,

乙乙

?MO是。和平分線，

11

\Z-BAO=-Z.BAC=-a,

MO是4%。的平分線，

1111

-*.Z.1=-Z-BAO=-x-a=-a,

2224

113

.-.Z.1+z.2=-a+90°+-a=90°+ya,

424

故選：A.

30.如圖，中NMC的外隹的平分線4E與乙18c的平分線力。相交于點(diǎn)P,NC=80。，則乙1P4的度

【分析】由角平分線定義得到乙48尸=5ZJ8C,/.MAP=-LCAM,由三角形的外角性質(zhì)推出=

乙乙

乙4BP+乙APB,即可得到N月產(chǎn)〃=5乙。=40。.

【解答】解：,.?“平分乙48C,4P平分NOM,

11

：.4BP=-Z.ABC,乙MAP=/CAM,

,:乙MAP=Z.ABP+~iPB,

11

『CAM=-^ABC+^APB,

11

(Z-ABC+Z.C)=~ZJBC+Z-APB,

乙乙

第23頁(yè)共70頁(yè)

11

:.乙APB=

-乙zC=-乙x80°=40°.

故答案為：40。.

31.如圖，Z-ABC,乙4。。的角平分線交于點(diǎn)八若乙1=15。，4C=65。，則乙/的度數(shù)為

【分析】根據(jù)題意，如圖所示，延長(zhǎng)FB交4D于點(diǎn)E,設(shè)8C,交于點(diǎn)G,根據(jù)角平分線的定義可得

乙ABF=cCBF,乙ADF-CDF,根據(jù)三角形的內(nèi)角和，夕卜角和的性質(zhì)可得N尸+乙。5b=4。+乙。。砥，

LABF-"1="+乙CDF②,然后①-②得乙4+乙/=乙。-N凡由此即可求解.

【解答】解：如圖所示，延長(zhǎng)FB交AD于點(diǎn)、E,設(shè)8C,DF交于點(diǎn)G,

?:乙4BF—CBF,乙ADF=LCDF,

.:乙BGF=LCGD,

:.乙F+乙CBF=乙C+4CD%）,

由外角的性質(zhì)可知：^ABF=^4+^AEF,乙4EF=cF+"iDF,

YCBF-LA=Z-ABF-Z.A=LAEF=乙F+dDF=乙F+乙CDF②,

二①■②得，乙4+乙F=^C■乙F,

.,.2zF=zC-ZJ,

又?.?2=15°,zC=65°,

.-.2zF=65°-15°=50°,

.?"=25。，

故答案為:25°.

32.已知△48C中，々f=a.在圖（1）中乙8、乙。的角平分線交于點(diǎn)Q,則可計(jì)算得=90。+；a：

2

在圖（2）中，設(shè)48、乙C的兩條三等分角線分別對(duì)應(yīng)交于。1、。2，則乙8。2。=60。+鼻。；以此來(lái)推，

第24頁(yè)共70頁(yè)

3

乙8、乙。的三條四等分角線分別對(duì)應(yīng)交于Q、。2、。3,則4BO3c=45。+彳必請(qǐng)你猜想，當(dāng)乙4、乙C同

時(shí)〃等分時(shí)，（〃-1）條等分角線分別對(duì)應(yīng)交于彷、3，…，。〃-1，如圖（3）,則￡8。〃/。=

（用含〃和a的代數(shù)式表示）.

圖（1）圖⑵圖⑶

（分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。得出入出。+-1。，根據(jù)〃等分的定義求出4O〃./C+乙O〃_的

度數(shù)，在△。〃.18c中，利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解.

n—1?i—1

【解答】解：由題意可知：^C^?=180-a,^BC=—^ABC,^CB=—^ACB,

71—1

：/On-iBC+乙OnfCB=+LACB)

71—1

—(180°-a)

(n-l)xl80o(n-l)a

nn

■1^.BOn.iC=180°-(4。〃_iBC"O…CB)

(n-l)xl80°(n-l)a

=180°-j-1

nn

(n-l)a180°

=--------+------.

nn

gl)a180。

故答案為:

nn

33.如圖，在中，UBC,乙4圓的平分線交于點(diǎn)O,CQ平分外角乙4c凡交80的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。,

點(diǎn)石是△力/C的兩外角平分線的交點(diǎn).若N3OC=130。，貝叱E-40的度數(shù)為

【分析】利用角的平分線，外的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，計(jì)算即可.

第25頁(yè)共70頁(yè)