專題03期中解答題新題速遞(第2L24章)

一.解答題

1.(2025春?肥城市期中)按要求解下列方程：

(1)4?-8A+1=0(用配方法)；(2)(A-1)2-3(x-1)-10=0(自己喜歡的方法).

2.(2025春?杭州校級期中)解方程:

(1)x2+4.r-1=0：(2)(3x+l)2=2(3x+l).

3.(2025秋?銀川校級期中)解方程：

(I)3x(x-I)=2x-2；(2)3?-4.r+l=0：(3)/-4x+l=0(配方法).

4.(2025春?蜀山區(qū)校級期中)己知：關(guān)于x的方程，以2+(m-3)x-3=0(〃￥0).

(1)求證：方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

(2)如果，〃為正整數(shù)，旦方程的兩個根均為整數(shù)，求，〃的直.

5.（2025春?拱里區(qū)期中）如果關(guān)于x的一元二次方程av2辦依=0（存0）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，且其

中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“2倍根方程”.

（1）若一元二次方程f-6x+c=0是“2倍根方程”，求出c的值.

（2）若（X-3）5-b）=0（g0）是“2倍根方程”，求代數(shù)式、摩我的值.

\Q—"

6.（2025春?瑞安市期中）電影《哪吒之魔童鬧海》熱映后，哪吒與敖丙的聯(lián)名玩偶深受歡迎.某網(wǎng)購平

臺商家3月4日銷售玩偶共200個，5日、6日銷售量持續(xù)增長，6日銷量達(dá)到338個.

（1）求3月5日、6日這兩天玩偶銷售量的日平均增長率.

（2）為慶祝《哪吒2》全球票房大賣，商家決定做優(yōu)惠活動.已知玩偶每個成本30元，售價為每個50

元時，日銷量可達(dá)320個；每降價1元，日銷量可增加5個.當(dāng)每個玩偶降價多少元時，當(dāng)日總利潤可

達(dá)到5940元？

7.（2025春?金安M校級期中）隨著貴州旅游業(yè)的高速發(fā)展，讓越來越多的人看見了貴州的大好山河.暑

期來臨，兩隊(duì)?wèi)敉馔讲铰稜I愛好者計劃同一天從貴陽市出發(fā)，沿兩條不同的路線徒步游完烏蒙山周邊自

然景觀，最后在九龍鎮(zhèn)匯合.甲隊(duì)走A路線，全程120千米；乙隊(duì)走8路線，全程160千米.由于A

路線的路況沒有B路線好，甲隊(duì)每天行駛的路程是乙隊(duì)每天行駛路程的點(diǎn)最終甲隊(duì)比乙隊(duì)晚2天到達(dá)

九龍鎮(zhèn).

（1）求甲、乙兩隊(duì)分別計劃多少天到達(dá)目的地；

（2）在他們的活動計劃中，乙隊(duì)每人每天的平均花費(fèi)都為135元.甲隊(duì)最開始計劃有8個人同行，計

劃每人每天花費(fèi)300元，后來又有，〃個人加入隊(duì)伍，經(jīng)過計算，甲隊(duì)每增加1人時，每人每天的平均

花費(fèi)將減少30元.若最終甲、乙兩隊(duì)一起旅行的人數(shù)相同，且旅行天數(shù)與各自原計劃天數(shù)一致.兩隊(duì)

共需花費(fèi)17640元，求〃?的值.

8.（2025春?諸暨市期中）某網(wǎng)店為滿足航空航天愛好者的需求，特推出了“中國空間站''模型.已知該模

型平均每天售出20個，每個盈利40元.為了擴(kuò)大銷售，該網(wǎng)店準(zhǔn)備適當(dāng)降價，經(jīng)過一段時間測算，每

個模型每降低1元，平均每天可以多售出2個.

（1）若每個模型降價4元，平均每天可以售出多少個模型？此時每天獲利多少元？

（2）在每個模型盈利不少于25元的前提下，要使“中國空閏站”模型每天獲利1200元，每個模型應(yīng)降

價多少元？

9.（2025春?蜀山M校級期中）某水果批發(fā)商場經(jīng)俏一種高檔水果，商場為了在中秋節(jié)和國慶節(jié)期間擴(kuò)大

銷量，將售價從原來的每千克40元經(jīng)兩次調(diào)價后調(diào)至每千克32.4元.

（1）若該商場兩次調(diào)價的降價率相同，求這個降價率；

（2）現(xiàn)在假期結(jié)束了，商場冷備適當(dāng)漲價，如果現(xiàn)在每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨不變的情況下，若每千克漲價1元，口銷量將減少20T-克，現(xiàn)該商場要保證每天盈

利6000元，同時又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？

10.（2025春?杭州校級期中）已知關(guān)于x的方程（Z+2）x+2k=0.

（1）求證：&取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）若RIAABC斜邊長〃=3,另兩邊長Ac恰好是這個方程的兩個根，求△人的周長.

11.（2025春?包河區(qū)校級期中）請閱讀下列材料:

已知方程』+x-3=0,求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍.

解：設(shè)所求方程的根為y,則所以工=〈

把x二州入已知方程，得⑥2+當(dāng)一3=0.

化簡，得『+2y-l2=0,故所求方程為）2+2），-12=0,

這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”.

（1）已知方程』+x-2=0,求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程

為：;

（2）己知方程2?-7x+3=0,求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)；

（3）已知關(guān)于x的一元二次方程aP+/?+c=0（行0）的兩個實(shí)數(shù)根分別為3,-2,求一元二次方程qv2

(2a-b)y+a-b+c=O的兩根.

12.（2025春?張店區(qū)校級期中）已知xi,也是關(guān)于x的一元二次方程（〃?+2）/+2（m-2）.）,〃+10=0的

兩實(shí)數(shù)根.

（1）求利的取值范圍;

（2）已知等腰△ABC的底邊8。=4,若加，蟲恰好是AABC另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長.

（3）閱讀材料：若aABC三邊的長分別為a,b,c,那么可以根據(jù)秦九韶■海倫公式可得：SMBC=

JpQ—a）（P—b）（P—c）,其中〃=巴空工在（2）的條件下，若NR4C和N4BC的角平分線交于點(diǎn)/,

根據(jù)以上信息，求△B/C的面積.

13.（2025春?竦州市期中）已知關(guān)于x的一元二次方程』-（加+1）X+2〃L2=0（加為常數(shù)）.

（I）若方程的一個根為1,求機(jī)的值及方程的另一個根；

（2）求證：不論〃?為何值時，方程總有兩個實(shí)數(shù)根.

14.（2025春?灘溪縣期中）設(shè)處，也是方程2?+?-3=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式

的值.

11

（1）（Xl+1）（X2+1）；（2）一+一.

X1X2

15.（2025春?珠海期中）已知關(guān)于x的一元二次方程7-2I）X+〃?2-5=0.

（1）當(dāng)方程有兩個實(shí)數(shù)根時，求〃?的取值范圍.

（2）當(dāng)方程的兩個根XI、X2滿足"+城=MX2+12時，求〃!的值.

16.（2025春?宜昌期中）閱讀下列材料：把形如ax2+bx+c的二次三項(xiàng)式（或其一部分）配成完全平方式

的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即/±2岫+"=（〃±8）2.配方法可以

解決代數(shù)式值的最?。ɑ蜃畲螅﹩栴}.

例如：當(dāng)x取何值時，代數(shù)式/+2X-4有最?。ɑ蜃畲螅┲担?/p>

/+2x-4=（X2+2X+1）-5

=（x+1）2-5

;（x+1）2>0,??.（x+1）2-5>-5

???當(dāng)x=?1時，代數(shù)式7+2廠4有最小值?5.

【直接應(yīng)用】

（I）仿照上述例子解決問題：當(dāng)工取何值時.代數(shù)式7-4上+5有最小（或最大）俏：

【類比應(yīng)用】

（2）已知加=。2-小N=a-2（〃為任意實(shí)數(shù)），判斷M與N的大小關(guān)系，并說明理由；

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖，要圍成一個矩形雞場，一邊靠墻（墻長24米），另三邊用總長為40米的竹籬笆圍成.

①請直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；H___________縛_________H

lzzz^zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz/yzzz>

②當(dāng)X為何值時，圍成的矩形雞場的面積最大？最大面積是多少？

Xx

y

17.（2025春?東臺市期中）某商店決定購A,B兩種“冰墩墩”紀(jì)念品進(jìn)行銷售.已知每件A種紀(jì)念品比每

件B種紀(jì)念品的進(jìn)價高30元.用1000元購進(jìn)4種紀(jì)念品的數(shù)量和用400元購進(jìn)B種紀(jì)念品的數(shù)量相

同.

（1）求A,4兩種紀(jì)念品每件的進(jìn)價分別是多少元？

（2）該商場通過市場調(diào)杳，整理出A型紀(jì)念品的售價與數(shù)量的關(guān)系如表，

售價x元/件50<\<6060〈爛80

銷售量（件）100400-5x

求當(dāng)x為何值時，售出A紀(jì)念品所獲利潤最大，最大利潤為多少？

18.（2025春?陜西期中）鄉(xiāng)村振興關(guān)鍵在產(chǎn)業(yè).近年來，某縣區(qū)通過建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化大棚，種植圣女果、普羅

旺斯西紅柿、草莓等，讓大棚產(chǎn)業(yè)照亮農(nóng)業(yè)轉(zhuǎn)型升級致富路，實(shí)現(xiàn)村民穩(wěn)定增收.如圖2,某農(nóng)戶的大

棚截面上半部分可近似看作拋物線AED,下半部分可看作矩形AOCQ,以O(shè)C所在直線為尤軸，04所

在直線為），軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知大棚棚頂最高點(diǎn)￡到地面0C的距離為7米,A0=CD=3米,

棚寬0C=12米.

（1）求拋物線AED的函數(shù)表達(dá)式;

（2）為了加固棚頂，現(xiàn)需在上方的拋物線部分加裝一根橫梁PQ（點(diǎn)P、。均在拋物線上），且尸。

//AD,若橫梁PQ與地面0C的距離是:米，則橫梁PQ的長度是多少米？

4

圖1

19.（2025春?慈溪市期中）在愛心義賣活動中，某班的店鋪準(zhǔn)備義賣小蛋糕，當(dāng)每個小蛋糕的售價定為6

元時，平均每小時的俏售數(shù)量為30.細(xì)心的小亮發(fā)現(xiàn)，售價每提高1元，平均每小時的銷售數(shù)量就會

減少2,但售價不能超過10元.

（1）若小蛋糕的售價在6元的基礎(chǔ)上連續(xù)兩次漲價，兩次洸價后的售價為8.64元，且每次漲價的百分

率均相同，求漲價的百分率是多少.

（2）若平均每小時的銷售總額為216元，求此時小蛋糕的售價為多少元.

（3）要使平均每小時的銷售總額最大，小蛋糕的售價應(yīng)定為多少元？并求出最大銷售額.

20.（2025春?海淀區(qū)校級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P坐標(biāo)為（x,〉，），當(dāng)時，點(diǎn)。坐標(biāo)為（-

x,-），）；當(dāng)時，點(diǎn)。坐標(biāo)為（-/，-），+3）,則稱點(diǎn)0為點(diǎn)。的變換點(diǎn)（〃為常數(shù)）.

例如：點(diǎn)（2,（））是點(diǎn)（-2,3）的0-變換點(diǎn)，點(diǎn)（-5,-7）是點(diǎn)（5,7）的I-變換點(diǎn).

（1）點(diǎn)（〃-1,3）的1-變換點(diǎn)在直線y=x+3上，求。值；

（2）點(diǎn)"在函數(shù)y=.d-4x+3的圖象上，點(diǎn)N是點(diǎn)M的2-變換點(diǎn).

①設(shè)點(diǎn)N（〃i,〃），求〃與，"的函數(shù)關(guān)系式；

②點(diǎn)A（-4,c）,B（1,c）,線段AB與①中的函數(shù)圖象只有一個公共點(diǎn)，請直接寫出c的取值范圍.

21.（2025春?資中縣期中）某商店決定購甲，乙兩種商品進(jìn)行俏售.已知每件甲商品比每件乙商品的進(jìn)價

高30元.用2000元購進(jìn)甲商品的數(shù)量和用800元購進(jìn)乙商品的數(shù)量相同.

（1）求甲，乙兩種商品每件的進(jìn)價分別是多少元？

（2）該商場通過市場調(diào)查，整理出甲商品的售價與數(shù)量的關(guān)系如下表，

售價x（元/件）5HSx<6060<.￥<80

銷售量（件）100400-5%

①當(dāng)x為何值時，售出甲商品所獲利潤最大，最大利潤為多少？

②該商場購進(jìn)甲，乙兩種商品共200件，其中甲商品的件數(shù)小于乙商品的件數(shù)，但不小于50件.若乙

商品的售價為每件機(jī)（機(jī)>30）元時，商場將甲，乙商品均全部售出后獲得的最大利潤為2800元，直

接寫出〃?的值.

22.（2025春?灘溪縣期中）己知勉物線y-d+bx+c經(jīng)過A（-2,〃），B（3,〃）兩點(diǎn).

（1）求人的值；

（2）當(dāng)-2人2時，拋物線與x軸有且只有一個公共點(diǎn)，求c的取值范圍；

（3）若方程，+/?x+c=0的兩實(shí)根xi,X2滿足1Vxi-X2W5,且p=*+2城，求〃的最大道.

23.（2025春?海口期中）已知拋物線y=f+法+c?交x軸于A（-1,0）,8兩點(diǎn)，交），軸于點(diǎn)C（0,-3）.

（1）求該拋物線的表達(dá)式和對稱軸.

（2）若拋物線），=:+尻+。與真線）=〃7有兩個不同交點(diǎn)，求IT1的取值范圍.

（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)，求四邊形出CP的面積.

24.（2025春?石景山區(qū)校級期中）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)（-1,.川）、（1,”）、（3,萬）是拋物線

y=x1+bx+\上三個點(diǎn).

（1）直接寫出拋物線與），軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)川=2時，求》的值；

（3）當(dāng)戶＞戶＞1時，求人的取值范圍.

25.(2025春?漳州期中)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，ZLASC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(-2,-4),B(0,-4),

C(1,-1).

(1)畫出△A3C繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90。后的圖形△從山1C,并寫出4的坐標(biāo):

(2)將△AlSC先向左平移4個單位，再向上平移4個單位得到ZkA262c2,直接寫出C2的坐標(biāo)

V

26.(2025春?夷陵區(qū)校級期中)如圖1,將邊長為應(yīng)和3的兩個正方形放置在直線/上，連結(jié)A。、CF,

經(jīng)觀察分析，發(fā)現(xiàn)aAO。g/XCOF,從而可進(jìn)一步證出4。=。/，AD1CF.

(1)如圖2,將正方形OOEF繞。點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，求證：AD=CF,ADLCF；

(2)如圖3,將正方形0。石尸繞。點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)石旋轉(zhuǎn)至直線/上，直接寫出C尸的長.

27.(2025春?吳江區(qū)期中)如圖.AA3c的頂點(diǎn)都在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格格點(diǎn)上.

(1)將(ABC向左平移4格，畫出平移后的對應(yīng)△481C1；

(2)將"BC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90。,畫出旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)△4B2C2;

(3)第(2)問中AABC旋轉(zhuǎn)過程中邊A中掃過,,的面積為

28.(2025春?成都期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中AABC三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(5,4),B(1,2),C

(3,0).小聰把"8C平移后得到了“向了,并寫出了它的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)4(-1,5),Bi(-4.3),

Ci(-3,1).

(1)小明認(rèn)為小聰寫的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)中有一個出錯了，請幫小明畫出正確的AAiBi。并確認(rèn)哪個點(diǎn)坐

標(biāo)寫錯了，將錯誤的點(diǎn)坐標(biāo)改正確；

(2)畫出將△/45c繞原點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)90。后得到的AA252c2,并寫出42,心的坐標(biāo).

29.(2025春?成都期中)已知△MC中44=AC,N8AC=〃R過點(diǎn)C作直線/〃48,。是/3C邊上一點(diǎn),

連接A。，將射線D4繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)機(jī)。交直線/于點(diǎn)￡7為線段石C延長線上點(diǎn).

(1)求證：6c平分/ACT;A

(2)求證：AD=DEi

(3)若AB=8,4。=3近，CD=近，求ADEC的面積.//\

30.(2025春?梅縣區(qū)期中)如圖，點(diǎn)O是等邊內(nèi)一點(diǎn)，將80繞點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到刖，連接

OD,AO>BO,AD.

(1)求證：4BCC2叢BAD.

(2)若OA=10,OB=6,OC=8,求NBOC的度數(shù).

0

BC

31.（2025春?海州區(qū)期中）作圖題:

（1）在圖1中畫四邊形A6C。關(guān)于點(diǎn)A對稱的四邊形A41C1。；

（2）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：如圖2,在aABC中.

①作ZBAC的知平分線交BC于點(diǎn)D；

②作AC邊上的垂直平分線I交AD于點(diǎn)G：

連結(jié)GC,若N8=55。，ZBC4=60°,則N4GC=

圖1

32.（2025春?丹陽市期中）如圖，將MBC繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)得到△OEC,使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D落在邊BC

上.

（1）若NA=60。，求/5OE的度數(shù)；

（2）若AC=5,C￡=7,求BO的長度.

33.（2025春?三元區(qū)期中）如圖，在RSA8C中，/C=90。，將RlA/WC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)a。，得到RsAB'C',

點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C恰好落在斜邊AB上.

（1）用直尺和圓規(guī)作出方。（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，連接班T,若43=10,8c=6,求8夕的長.

34.（2025春?余江區(qū)期中）將兩塊全等的含30。角的直角三角板按圖1的方式放置，已知NBAC=NBIAIC

=30°,AB=2RC.

（1）固定三角板AiBiC,然后將三角板A3C繞點(diǎn)。順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，43與4C、A山i

分別交于點(diǎn)。、E,4c與4/力交于點(diǎn)F.

①填空：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于20。時，NBCBi=度；

②當(dāng)旋轉(zhuǎn)角等于多少度時，AB與4用垂直？請說明理由.

（2）將圖2中的三角板ABC繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使AB〃CBi,4B與4c交于點(diǎn)D,

試說明A1Q=CQ.

圖1圖2圖3

35.(2025春?中山市校級期中)如圖，8E是OO的直徑，點(diǎn)A和點(diǎn)。是OO上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作⑷。的

切線交BE延長線于點(diǎn)C.

(I)若NC=40。，求/AOE的度數(shù)；

(2)若力C=26，CE=2,求陰影部分的面積.

36.(2025春?淄川區(qū)期中)如圖所示的一個圓分割成四個扇形，它們的圓心角的度數(shù)比為2：3：4：3.

(1)求這四個扇形的圓心角的度數(shù)，并畫出四個扇形;

(2)若圓的半徑為2cm,請求出這四個扇形的面積.

37.(2025春?灘溪縣期中)如圖1,在。。中，直徑AC垂直弦8。于點(diǎn)G,AB=BE,連接AE交8D于

點(diǎn)E

(1)若AG=1,A￡=4,求OG的長；

(2)連接OF,OE,如圖2,若NGO/：=20。，求NCOE的度數(shù).

38.(2025春?宿城區(qū)校級期中)如圖,點(diǎn)。在ZkABC的8c邊上，CD=2BD,頂點(diǎn)A在以CO為直徑的。

。上，過。作。8c交C4的延長線于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,FE=FA.

(1)求證：48是。。的切線;

(2)若。￡=2,求陰影部分面積.

39.（2025春?虹口區(qū)期中）有一個長方形A8CD,寬AB=4,在其兩個頂點(diǎn)B、。處分別以頂點(diǎn)為圓心,

以4為半徑畫出兩個扇形.（本題計算結(jié)果保留兀）

（1）如圖1所示，當(dāng)AO=10時，把長方形未被扇形覆蓋部分的面積記作S,求S.

（2）如圖2所示，當(dāng)這個長方形的長4?？s短到一定長時，兩個扇形會出現(xiàn)重疊，重疊部分面枳記作

ST,上下各有兩個區(qū)域的面積分別記作S2和S3,當(dāng)Si=S2+S3時，宜接寫出此時AO的長.

圖2

40.（2025春?奉賢區(qū)期中）在車輛行駛過程中，大型車輛駕駛員會因?yàn)榇嬖凇耙曇懊^(qū)”——尤其是轉(zhuǎn)彎時

因內(nèi)輪差產(chǎn)生的“死亡彎月”——而造成交通事故，根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計，大貨車發(fā)生的交通事故中，約

86%是在轉(zhuǎn)彎時發(fā)生的，內(nèi)輪差盲區(qū)是指車輛在轉(zhuǎn)看時，由前內(nèi)輪與后內(nèi)輪的轉(zhuǎn)彎半徑之差形成的司機(jī)

無法看到的區(qū)域?yàn)檫M(jìn)一步緩解交叉路口右轉(zhuǎn)彎大型車輛與行人、非機(jī)動車沖突，減少因右轉(zhuǎn)彎盲區(qū)導(dǎo)致

的交通事故，奉賢公安交警已在多個路口漆畫了“右轉(zhuǎn)危險區(qū)”警示帶，如南奉公路南橋路口、金海公路

東方美谷大道口.某個路口“右轉(zhuǎn)危險區(qū)“如下面圖涂色部分所示（單位：〃?）.經(jīng)過測量內(nèi)輪轉(zhuǎn)彎半徑

OiA=OiQ=10米，前內(nèi)輪轉(zhuǎn)彎半徑。28=。2。=4米，圓心角NOOIA=NCO23=90。，請問這個路口“右

轉(zhuǎn)危險區(qū)”的面積和周長是多少？（保留兀）

10

口A

后內(nèi)輪

丁前輪軌

右前輪學(xué)坡

專題03期中解答題新題速遞(第21?24章)

一.解答題

I.(2025春?肥城市期中)按要求解下列方程：

(1)4?-8A+|=()(用配方法)；

(2)(x-1)2-3(X-1)-10=0(自己喜歡的方法).

【答案】(1)Xl=l+X2=1-

(2)刈=6,X2=-1.

【解答】解：(1)4.r-8x+l=0,

x2-2x=―彳，

x2-2r+1=—1+1,BP(x-1)2=

V3

.*.x-1=±—，

2

??xi-*——2-*

(2)(x-I)2-3(.r-1)-10=0,

Cx-1-5)(x-1+2)=0,即(x-6)(.r+1)=0,

Ax-6=0或x+1=0,

??X1=6,X2=~1?

2.(2025春?杭州校級期中)解方程:

(1)A2+4X-1=0；

(2)(3x+l)2=2(3x+l).

【答案】(1)必=一2十仃，?=一2

(2)%i=一個%2=q-

【解答】解：(1)/+4%-1=0,

AA=42-4xlx(-I)=20,

_一4±J2°_,Jr

??A2x1-一29±V5,

A%I=-2+x/5,x?=-2-倔

(2)(3A+1)2=2(3x+l),

J(3x+l)2-2(3x+l)=0,

(3A+1)(3X+I-2)=0,

/.3A+1=0,3X+I-2=0,

解得：%!=-1?X2=1.

3.(2025秋?銀川校級期中)解萬程:

(1)3x(x-I)=2x-2；

(2)37-4工+1=0：

(3).V2-4x+l=0(配方法).

【答案】⑴%i=X2=1；

]

(2)%i=X2=1：

(3)Xj=2+V3,*2=2—V5.

【解答】解：(1)3x(x-1)=2r-2,

3x(x-1)-2(x-1)=0,

(3x-2)(x-1)=0,

，3x-2=0或x-1=0,

Xx=I，X2=1；

(2)3』-4x+l=0,

(3A-1)(x-1)=0,

-1=0或x-1=0,

._1

?=3，xi—1；

(3)』-4犬+]=0,

A-24x=-1f

x2-4.r+4=-1+4,

(x-2)2=3,

Ax-2=V5或x-2=—y/3,

%1=2+V3,x2=2—V3.

4.(2025春?蜀山區(qū)校級期中)己知：關(guān)于x的方程(6-3)『3=0(〃印0).

(1)求證：方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

（2）如果〃，為正整數(shù)，且方程的兩個根均為整數(shù)，求，〃的直.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】（1）證明：???〃//）,

工方程〃?『+（〃?-3）x-3=0（/#0）是關(guān)于"的一元二次方程,

，△=（〃?-3）2-4〃??（-3）

=（6+3）2,

V（〃?+3）2>0,即△"），

???方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

(2)解：??"=九+3),

?.xi=-?X2=-1,

???切為正整數(shù)，旦方程的兩個根均為整數(shù),

，用=1或3.

5.（2025春?拱壁區(qū)期中）如果關(guān)于x的一元二次方程/+法+c=0（6#0）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，且其

中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“2倍根方程”.

（1）若一元二次方程』?6"c=0是"2倍根方程”，求出c的值.

（2）若（x-3）3—）=0（分0）是“2倍根方程”，求代數(shù)式、摩晅的值.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）設(shè)方程的兩根分別為/,2/,

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得/+2f=6,f2r=c,

解得f=2,

所以c=2x4=8,

即c的值為8：

(2)(x-3)(ax-b)=0?

解得xi=3,X2=

當(dāng)2=2x3,即b=6〃時，原式二=羋;

a\a戶-b:a產(chǎn)o

當(dāng)*=3x3,即b=時，原式=（°=0.

6.（2025春?瑞安市期中）電影《哪吒之魔童鬧海:》熱映后，哪吒與敖丙的聯(lián)名玩偶深受歡迎.某網(wǎng)購平

臺商家3月4R俏售玩偶共200個，5日、6FI銷售量持續(xù)增長，6FI銷量達(dá)到338個.

（1）求3月5日、6日這兩天玩偶銷售量的日平均增長率.

（2）為慶?！赌倪?》全球票房大賣，商家決定做優(yōu)惠活動.已知玩偶每個成本30元，售價為每個5（）

元時，日銷量可達(dá)320個；每降價1元，日銷量可增加5個.當(dāng)每個玩偶降價多少元時，當(dāng)日總利潤可

達(dá)到5940元？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）設(shè)3月5日、6日這兩天玩偶銷售量的日平均增長率為達(dá)

由題意得：200（1+x）2=338,

解得：.=0.3=30%,xz=-2.3（不符合題意，舍去），

答：3月5日、6日這兩天玩偶銷售量的日平均增長率為30%；

（2）設(shè)每個玩偶降價y元，

由題意得：（50-y-30）（3204-5y）=5940,

整理得：六44廠92=0,

解得：yi=2,yi=-46（,不符合題意，舍去），

答：每個玩偶降價2元時，當(dāng)日總利潤可達(dá)到5940元.

7.（2025春?金安區(qū)校級期中）隨著貴州旅游業(yè)的高速發(fā)展，讓越來越多的人看見了貴州的大好山河.暑

期來臨，兩隊(duì)?wèi)敉馔讲铰稜I愛好者計劃同一天從貴陽市出發(fā)，沿兩條不同的路線徒步游完烏蒙山周邊自

然景觀，最后在九龍鎮(zhèn)匯合.甲隊(duì)走A路線，全程120千米；乙隊(duì)走8路線，全程160千米.由于A

路線的路況沒有8路線好，甲隊(duì)每天行駛的路程是乙隊(duì)每天行駛路程的最最終甲隊(duì)比乙隊(duì)晚2天到達(dá)

九龍鎮(zhèn).

（1）求甲、乙兩隊(duì)分別計劃多少天到達(dá)目的地；

（2）在他們的活動計劃中，乙隊(duì)每人每天的平均花費(fèi)都為135元.甲隊(duì)最開始計劃有8個人同行，計

劃每人每天花費(fèi)300元，后來又有加個人加入隊(duì)伍，經(jīng)過計算，甲隊(duì)每增加1人時，每人每天的平均

花費(fèi)將減少30元.若最線甲、乙兩隊(duì)一起旅行的人數(shù)相同，且旅行天數(shù)與各自原計劃天數(shù)一致.兩隊(duì)

共需花費(fèi)17640元，求〃?的值.

【答案】(1)甲隊(duì)計劃6天到達(dá)目的地，則乙隊(duì)計劃4天到達(dá)目的地；

(2)〃?=6.

【解答】解：(1)設(shè)甲隊(duì)計劃x天到達(dá)目的地，由題意得：

1201160

=一.9

x2x-2

解得x=6,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=6是原方程的解，且符合題意，

?*2=4,

答：甲隊(duì)計劃6天到達(dá)目的地，則乙隊(duì)計劃4天到達(dá)目的地；

(2)由題意得，135x4(m+8)+6(300-30w)(m+8)=17640,

解得m=6或m=-1(舍去).

8.(2025春?諸暨市期中)某網(wǎng)店為滿足航空航天愛好者的需求，特推出了“中國空間站”模型.已知該模

型平均每天售出2()個，每個盈利40元.為了擴(kuò)大銷售，該網(wǎng)店準(zhǔn)備適當(dāng)降價，經(jīng)過一段時間測算，每

個模型每降低I元，平均每天可以多售出2個.

(1)若每個模型降價4元，平均每天可以售出多少個模型？此時每天獲利多少元？

(2)在每個模型盈利不少于25元的前提下，要使“中國空間站”模型每天獲利1200元，每個模型應(yīng)降

價多少元？

【答案】(1)28,1008元;

(2)10元.

【解答】解：(I)根據(jù)題意得：20+2x4=28(個)，

(40-4)x28

=36x28

=1008(元).

答：若每個模型降價4元，平均每天可以售出28個模型，每天獲利1008元：

(2)設(shè)每個模型降價x元，則每個模型可盈利(40元，平均每天可售出(20+2#個，

根據(jù)題意得：(40-x)(20+2v)=1200,

整理得：?-30A+200=0,

解得:川=10,X2=2O,

又???每個模型盈利不少于25元,

???K=10.

答：每個模型應(yīng)降價10元.

9.（2025春?蜀山區(qū)校級期中）某水果批發(fā)商場經(jīng)俏一種高檔水果，商場為了在中秋節(jié)和國慶節(jié)期間擴(kuò)大

銷量，將售價從原來的每千克40元經(jīng)兩次調(diào)價后調(diào)至每千克32.4元.

（1）若該商場兩次調(diào)價的降價率相同，求這個降價率；

（2）現(xiàn)在假期結(jié)束了，商場也備適當(dāng)漲價，如果現(xiàn)在每千克盈利10元，每天可售出50（）千克，經(jīng)市場

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨不變的情況下，若每千克漲價1元，1=1銷量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈

利6000元，同時又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）設(shè)這個降價率為X,

依題意，得：40（1-x）2=32.4,

解得：片=0.1=10%,X2=1.9（舍去）.

答：這個降價率為1（）%.

（2）設(shè)每千克應(yīng)漲價y元，則每天可售出（500-20），）千克，

依題意，得：（10+y）（5OO-2O.V）=6000,

整理，得：r-15y+50=0,

解得：yi=10,_y2=5.

???要使顧客得到實(shí)惠，

.*.y=5.

答：每千克應(yīng)漲價5元.

10.（2025春?杭州校級期中）已知關(guān)于x的方程（&+2）戶2&=0.

（1）求證：k取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）若RSA8C斜邊長。=3.另兩邊長江c恰好是這個方程的兩個根，求AABC的周長.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】（1）證明：△=（奸2）2-8k=（h2）2>0,

則人取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）解：斜邊長。=3,另兩邊長力，c恰好是這個方程的兩個根，

則9=Cb+c）2-2bct

9=（Z+2）2-2x2上

解得：k=±>/5,

由人+(=2+左=2+向(不可能取負(fù)數(shù)),

故^ABC的周長C=5+巧.

II.(2025春?包河區(qū)校級期中)請閱讀下列材料：

已知方程f+.”3=0,求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍.

解：設(shè)所求方程的根為6則y=2x,所以

把x=多代入已知方程，得⑥2+當(dāng)一3=0.

化簡，得f+2廠12=0,故所求方程為)?+2y-12=0,

這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”.

(1)已知方程f+x-2=0,求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程

為：V2-y-2=()；

(?)己知方程2/-7什3=0,求一個一元一.次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)：

(3)已知關(guān)于x的一元二次方程o?+法+c=0(a#))的兩個實(shí)數(shù)根分別為3,-2,求一元二次方程少2

-(2a-b)y+a-b+c=()的兩根.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)設(shè)所求方程的根是y,則y=-x,所以x=-y,

把x=~y代入f+x-2=0,

得)2-)，-2-0,

故答案為：y2-y-2=0；

(2)設(shè)所求方程的根是)，，則>=：,

人

所以尸5

把尸?弋入方程"-7.1+3=0,得

2(-)2?7」+3=0,

yy

化簡，得3『?7y+2=0：

(3)一元二次方程整理后可得：a(y-1)2+Z?(y-1)+c=0,

?.?令y-l=x,

，y=x+1,

則方程a(y-1)2+b(y-1)+c=0的兩根比ax1+bx+c=Q(。卻)兩根大1,

所以方程。()，-1)2/()._I)+c=o的兩根分別是4、-1.

12.(2025春?張店區(qū)校級期中)已知劉,總是關(guān)于x的一元二次方程(m+2)?+2(m-2).),〃+10=0的

兩實(shí)數(shù)根.

(1)求m的取值范圍;

(2)已知等腰AABC的底邊8c=4,若加，蟲恰好是AABC另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長.

(3)閱讀材料：若aABC三邊的長分別為a,b,c,那么可以根據(jù)秦九韶■海倫公式可得：SAABC=

JpQ—a)(P—b)(P—c),其中〃=巴空工在(2)的條件下，若NR4C和N4BC的角平分線交于點(diǎn)/,

根據(jù)以上信息，求AB/C的面積.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)由題意得：△=^?4ac=[2(機(jī)-2)]2-4(加+2)(w+10)>0,且m+2M，

化簡得：64m<-64,

解得：m<-1且m*-2；

(2)由題意知：川，X2恰好是等腰△ABC的腰長，

??X\=X2t

Vxi,也是關(guān)于工的一元二次方程(加+2)X2+2(w-2)x+w+10=0的兩實(shí)數(shù)根,

：.^=b2-4ac=[2(w-2)]2-4(w+2)(m+10)=0,

解得m=-1,

A.r-6A+9=0,

解得X1=X2=3,

VBC=4,

???△ABC的周長為：3+3+4=10；

(3)由(2)知：△A4C的三邊長為3,3,4,

3+3+4<

P=-2—=5

S^ABC=Jp(p-a)(p-b)(p-c)=75x(5-3)x(5-3)x(5-4)=2>/5,

過/分別作/Q_L8C,1E1.AC,垂足分別為尸，E,

A

：.IF=ID=IE,

ASHABC=^AB-/F+?/D+^AC?IE=1/D?(AB+BC+AC)=1/Dx(3+3+4)=5/D=21

解得1D=竽，

ASA/J/C=28C?//)=*x4x

13.(2025春?竦州市期中)已知關(guān)于x的一元二次方程7-(加+1)戈+2〃[-2=0(m為常數(shù)).

(1)若方程的一個根為1,求小的值及方程的另一個根；

(2)求證：小論〃?為何值時，方程總有兩個實(shí)數(shù)根.

【答案】(1)m=2,另一個根為2；

(2)證明見解析.

【解答】解：⑴把x=l代入方程可得1?(w+I)+2〃?-2=0,

解得〃?=2,

當(dāng)〃?=2時，原方程為3尸2=0,

(x-I)(x-2)=0,

解得X1=1,X2=2,

即方程的另一根為2；

(2)Vfl=l,b=-(5+1),c=2m-2,

.*.△=[-(w+1)]2-4xlx(2W-2)

=nr-6〃?+9

=(〃L3)2>0,

???不論小為何值時，方程總有兩個實(shí)數(shù)根.

14,(2025春?灘溪縣期中)設(shè)r是方程2?+4x-3=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式

的值.

(1)(X1+1)(X2+1)；

%IX2

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：根據(jù)題意得川+但—劣二-2,we。,

(1)原式=X1X2+X1+X2+1=—5乙-2+1=-5乙；

4

無1+%2-

(2)原式=3-3

xlx22

15.(2025春?珠海期中)己知關(guān)于x的一元二次方程2(〃L1)x+〃/?5=o.

(1)當(dāng)方程有兩個實(shí)數(shù)根時，求，〃的取值范圍.

(2)當(dāng)方程的兩個根XI、.V2滿足婢+%2=XIX2+12時，求用的值.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)???關(guān)于x的一元二次方程，-2(W-I)x+〃?2-5=0有兩個實(shí)數(shù)根，

???/-4ac=\-2(w-1)]2-4(w2-5)=-8加+2420,

解得：心3,

即機(jī)的取值范圍是"E3；

(2)???方程的兩個根為巾、.⑵

/.XI+X2=2(ni-I),XIX2=〃J-5,

.\%1+xl-x\x2=(xi+x2)2-2x1X2-xi.r2=[2Cm-1)]2-3(m2-5)=nr-8/〃+19,

Vxl+xl=x\xi+\2,

???，/-8〃?+19=12,即m2-8照+7=0,

解得m=I或m=7,

*.*m<3>

Ifl=1y

故m的值為1.

16.(2025春?宜昌期中)閱讀下列材料：把形如&P+灰+c的二次三項(xiàng)式(或其一部分)配成完全平方式

的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即/±2帥+廬=(毋)2.配方法可以

解決代數(shù)式值的最小(或最大)問題.

例如：當(dāng)x取何值時，代數(shù)式/+2丫-4有最小(或最大)值？

d+2r-4=(X2+2X+\)-5

=(x+1)2-5

(x+l)2>0,???(x+1)2-5>-5

???當(dāng)x=7時，代數(shù)式?+2x-4有最小值-5.

【直接應(yīng)用】

(I)仿照上述例子解決問題：當(dāng)x取何值時，代數(shù)式/-4.計5有最小(或最大)值；

【類比應(yīng)用】

(2)已知N=a-2("為任意實(shí)數(shù))，判斷M與N的大小關(guān)系，并說明理由；

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖，要圍成一個矩形雞場，一邊靠墻(墻長24米)，另三邊用總長為40米的竹籬笆圍成.

①請直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；

②當(dāng)工為何值時，圍成的矩形雞場的面積最大？最大面積是多少？

【答案】(I)當(dāng)x=2時，代數(shù)式/-M+5有最小值1；

(2)M>N,理由見解析；

(3)?y=-Zv+40(8<r<20)；

②當(dāng)x=1()時，圍成的矩形雞場的面積最大，最大面積是2(X)平方米.

【解答】解：(1)/-4x+5=(x2-4x+4)+1=(x-2)2+1,

丁(x-2)2>0,

J(x-2)2+1>1,

???當(dāng)x=2時，代數(shù)式W-4X+5有最小值4

(2)M>N,理由如下：

\*N=a-2,M=a2-a,

-N=cr-a-(?-2)=(r-2a+2=(?-1)2+l>0,

:.M>N:

(3)①根據(jù)題意可得，2x+)=40,

.*.y=-2.v+40,

A0<-2A+40024,

.,.8<v<20,

-2x+40(8<t<20)；

②設(shè)雞場的面枳為S平方米，則

S=(-2x140)-X

=-2(x-10)2+200,

???當(dāng)x=10時，圍成的矩形雞場的面積最大，最大面積是200平方米.

17.(2025春?東臺市期中)某商酉決定購A,6兩種“冰墩墩”紀(jì)念品進(jìn)行銷售.已知每件A種紀(jì)念品比每

件B種紀(jì)念品的進(jìn)價高3()元.用1(X)0元購進(jìn)4種紀(jì)念品的數(shù)量和用400元購進(jìn)B種紀(jì)念品的數(shù)量相

同.

(1)求A,8兩種紀(jì)念品每件的進(jìn)價分別是多少元？

(2)該商場通過市場調(diào)查，整理出A型紀(jì)念品的售價與數(shù)量的美系如表，

售價x元/件50<A<6060V爛8()

銷售量(件)100400-5x

求當(dāng)工為何值時，售出A紀(jì)念品所獲利潤最大，最大利潤為多少？

【答案】(1)A紀(jì)念品每件的進(jìn)價是50元，8紀(jì)念品每件的進(jìn)價是20元；

(2)當(dāng)x=65時，付出A紀(jì)念品所獲利潤最大，最大利潤為1125元.

【解答】解：(1)設(shè)B紀(jì)念品每件的進(jìn)價是x元，則A紀(jì)念品每件的進(jìn)價是(A+30)元，

解得：x=20,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=20是原方程的解，

當(dāng)x=20時：.r+3O=2O+3O=5O.

???A紀(jì)念品每件的進(jìn)價是50元，B紀(jì)念品每件的進(jìn)價是20元;

(2)設(shè)利潤為卬元，由表格得：

當(dāng)50<r<60時，w=(x-50)xl()0=100.V-5000,

???&=ioo>o,

隨著x的增大而增大，

???當(dāng)售價為；60元時，利潤最大為；100x60-5000=1000元；

當(dāng)60〈爛8(),w=(x-50)(40()-5x)=-5A2+650X-200(X)=-5(x-65)2+1125,

Vci=-5V0,

，當(dāng)x=65時，利潤最大為：1125元：

綜上：當(dāng)x=65時，售出A紀(jì)念品所獲利潤最大，最大利潤為1125元.

18.(2025春?陜西期中)鄉(xiāng)村振興關(guān)鍵在產(chǎn)業(yè).近年來，某縣區(qū)通過建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化大棚，種植圣女果、普羅

旺斯西紅柿、草莓等，讓人棚產(chǎn)業(yè)照亮農(nóng)業(yè)轉(zhuǎn)型升級致富路，實(shí)現(xiàn)村民穩(wěn)定增收.如圖2,某農(nóng)戶的人

棚截面上半部分可近似看作拋物線AEZ）,下半部分可看作矩形AOCZX以O(shè)C所在直線為;v軸，。4所

在直線為），軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知大棚棚頂最高點(diǎn)E到地面0C的距離為7米,AO=CO=3米，

棚寬。。=12米.

（1）求拋物線4EO的函數(shù)表達(dá)式:

（2）為了加固棚頂，現(xiàn)需在4。上方的拋物線部分加裝一根橫梁戶Q（點(diǎn)尸、。均在拋物線上），且。。