專題23.3相似圖形、相似三角形的判定（舉一反三講義）

【華東師大版】

題型歸納

【題型I識別相似圖形】..............................................................................3

【題型2由相似圖形的性質(zhì)求值】.....................................................................3

【胭型3利用平行判定相似】..........................................................................4

【題型4利用兩角相等判定相似】.....................................................................5

【題型5利用兩邊對應(yīng)成比例及夾角相等判定相似】...................................................6

【題型6利用三邊對應(yīng)成比例判定相似】...............................................................7

【題型7選擇或補(bǔ)充條件使兩三角形相似】............................................................8

【題型8裁剪使兩三角形相似】.......................................................................9

【題型9尺規(guī)作圖使兩個三角形相似】................................................................10

【題型10數(shù)相似三角形的對數(shù)】......................................................................11

【題型11存在相似三角形】...........................................................................12

舉一反三

知識點(diǎn)1相似圖形

1.定義：把一個圖形放大（或縮小）得到的圖形與原圖形是相似的.把形狀相同的兩個圖形說成是相似的圖形,

或者說是相似形.兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊長度的比相等，那么這兩個多邊形

叫做相似多邊形.相似多邊形對應(yīng)邊長度的比叫做相似比.

知識點(diǎn)2相似三角形

L定義：三角分別相等、三邊成幽的兩個三角形叫做相似三角形.匚/8C和1小當(dāng)。相似，記作

2.全等三角形與相似三角形的比較

全等三角形相似三角形

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三三角分別相等、三邊成比例的兩個三角

定義

角形形叫做相似三角形

特征形狀相同且大小相等形狀相同但大小不一定相等

圖形表示AAA△

BCB'C'BCB'C

對應(yīng)邊相等成比例

對應(yīng)角相等相等

相似比1可以是1,也可以是其他正實數(shù)

知識點(diǎn)3三角形相似的判定

如果兩個三角形分別與同一個三角形相似，那么這兩個三角形也相似.

相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似.

1.定理1：兩角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似.

已知匚/18C和和匚/力'。'和，若口力=口/,匚8=口8’,則口川氣:口口才4'。’.

2.定理2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似.

已知匚力8c和和匚/RC'，若坐；=之，口公口/,則口48仃口/4。'.

AHAC

3.定理3：三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似.

已知匚/8C和和n/'B'c',若望=筆=生，則口44?？诳?力'。'.

ABBCAC

直角三角形相似的判定定理：如果一個直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊及一條

直角邊對應(yīng)成比例,那么這兩個直角三角形相似.

4.有關(guān)三角形相似的常見圖形

圖形特征所需條件證明方法

已知DE〃BC,所以兩角分別相等的兩個三角形相

平行線型BACB2fc

同位角、內(nèi)錯角相等/以.匚力?！昕诳?8。

有公共角或?qū)斀?，兩角分別相等的兩個三角形

A2□B=fJ4ED彳以.14DE：JD4CB

斜交型

公共角的兩邊對應(yīng)成兩邊成比例，旦夾角相等的兩個

比例，工噎

ABX乙——aa。）三角形相似.匚力CB：K5ED

A兩角分別相等的兩個三角形相

母子型□1=^2

彳以.口力。?？诳诹?c

有一組角對應(yīng)相等，

公共角（對應(yīng)角）的兩邊成比例，且夾角相等的兩個

旋轉(zhuǎn)型

a兩邊對應(yīng)成比例，三角形相似.口48?？冢?8'。'

r、AB_AC

】1二.2,-r-：=-r-r

ABAC

【題型1識別相似圖形】

【例1】（2425八年級下?重慶江北?階段練習(xí)）下列選項中，是相似圖形的是（）

A.?e,nn.cr

Bc《D.OC

【變式11】（2025九年級下?全國?專題練習(xí)）如圖，用放大鏡將平遙古城旅游圖標(biāo)放大，則放大前后兩個圖

形之間屬于圖形的—.（從平移、軸對稱、相似、旋轉(zhuǎn)中選）

【變式12】（2425九年級上?河南鄭州.期末）人們出行方式越來越豐富，以下四組LOG。中，不相似的一組

是（）

審豳?

A黑黑第鼻R刊4交鄭州公交

ZB?1?4

quq鐵路中國鐵路中同航空昆明航空

C.CHINARAILWAYCHIIIHMIAISD.AIRCHINAKunmingAirlines

【變式13】（2425九年級上?河北邯鄲.期末）下列各選項中，平行于原正多邊形?邊的直線將其分成兩部分,

其中陰影部分多邊形與原多邊形相似的是（）

【題型2由相似圖形的性質(zhì)求值】

【例2】（2425九年級上?全國?假期作業(yè)）在學(xué)校的科技活動中，同學(xué)們使用復(fù)印機(jī)放大圖片.如I圖，小雨

將一張長為5cm,寬為3cm的矩形圖片放大，其中放大后的矩形的寬為9cm,那么放大后的矩形的長為（）

A.15cmB.18cmC.20cmD.25cm

【變式21】（2425九年級上?廣東佛山?期末）如圖，用放大鏡看到的多邊形與原多邊形相比較，不變的是（）

每個內(nèi)角的度數(shù)C.面積D.周長

【變式22］（2425九年級上?天津南開?期末）如圖，四邊形力BCD和四邊形EFGH相似，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)

分別為E,F,G,H,

A.乙D=81°B.乙F=83°C.Z-G=78°D.乙H=91°

【變式23】（2025九年級下?全國?專題練習(xí)）2024年10月1口，是偉大祖國75周年華誕，全國各地都升起

了鮮艷的五星紅旗——國旗.國旗法規(guī)定：所有國旗均為相似矩形，在卜列四面國旗中，其中只有一面不

符合標(biāo)準(zhǔn)，這面國旗是

【題型3利用平行判定相似】

【例3】如圖，AB//CD//EF,則圖中相似三角形的對?數(shù)為（）

A.4對B.3對C.2對D.1對

【變式31］如圖，AB,C。相交于點(diǎn)O,4C//8D求證：口01?？诳?8。.

oB

【變式32］如圖，在匚力夕。中，點(diǎn)D、M在48上，點(diǎn)上、N分別在EC、力。上，旦DE//AC,MNHBC,DE交MN于

點(diǎn)。.圖中與□力8C相似的三角形有多少個？把它們表示出來，并說明理由.

【變式33］如圖，在平行四邊形48co中，尸是4。延長線上一點(diǎn)，連結(jié)BF交DC于點(diǎn)、E,則圖中的相似三角

形共有對.

【題型4利用兩角相等判定相似】

【例4】（2425九年級上?浙江杭外?期末）如圖，D是［/18C邊8C上的一點(diǎn)，［84D=」C,IZU8C的平分線交

邊XC于點(diǎn)E,交于點(diǎn)R則在下列給出的三角形中，與口皿尸相似的是（）

LBAEC.匚BECD.LAEF

【變式41］（2425九年級上?河北廊坊?階段練習(xí)）如圖，由尺規(guī)作圖痕跡可知，下列兩個三角形一定相似的

是（）

A.UBCD^UACDB.QBCDWABC

C.VyACDDV\ABCD.以上都不對

【變式42］（2425九年級上?陜西榆林?期中）如圖，ABJBC,BDUCD,匚力C￡>=90。，求證：口/伊?？诳?。。從

【變式43］（2425九年級下?上海?假期作業(yè)）如圖，在。中，匚0=90。，AC=BC,P是：ABC內(nèi)一點(diǎn),

APB=CAPC=135°.求證：UCPA^APB.

【題型5利用兩邊對應(yīng)成比例及夾角相等判定相似】

【例5】（2425九年級上?陜西榆林?階段練習(xí)）如圖，在正方形力8c。中，點(diǎn)尸是8c邊上一點(diǎn)，連接/尸，以4/為

對角線作正方形力EFG,連接4C、DG,求證：CAFC^AGD.

【變式51】（2425九年級」二江蘇揚(yáng)州?期中）如圖，點(diǎn)反尸分別在正方形48。。的邊JO,CD上,連接鳥后和后尸,

A8=9,彳E=3,DF=2.求證：口/BE口匚?！?<

DFC

【變式52］（2425九年級上?湖南衡陽?期末）已知：如圖，點(diǎn)C,。在線段48L.,口尸?！?gt;是等邊三角形，且4C=1,

CZ>2,DB=4.求證；匚43口口/7）艮

p

【變式53】（2425九年級上?遼寧鐵嶺?階段練習(xí)）四邊形48CO為平行四邊形，點(diǎn)E和點(diǎn)E分別為邊1。，48的

中點(diǎn)，連接ERCF,E/咬對角線AC于點(diǎn)G.

（1）若108,求4G的長；

（2）如果求證：QAFGaQACF.

【題型6利用三邊對應(yīng)成比例判定相似】

【例6】2425九年級上?安徽淮南?期末）已知：如圖，匚力廉=90。，且28=8C=CD=OE=I,請認(rèn)真研究圖形與

所給條件，然后找出一對相似的三角形，并證明你的猜想.

【變式611（2425九年級上?湖南湘潭?期中）已知匚"C和口。所的三邊長，下列條件能判斷它們相似的是（）

A.AB=4,BC=8,^C=10：DE=20,EF=16,。尸=8

B.AB=3,BC=4,AC=6；DE=6,￡F=8,DF=9

C.AB=12,4c=15,JC=24：DE=16,EF=30,DF=20

D.AB=3k,BC=4k,AC=5k；DE=6k,EF=7k,DF=8k（k>0）

【變式62】（2425九年級下?廣東汕頭?階段練習(xí)）如圖在4x1的方格中，每一個小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，

以其中三個格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形，口/AC就是一個格點(diǎn)三角形，現(xiàn)從格點(diǎn)。、E、F、G中選

取一個格點(diǎn)與點(diǎn)8、C連接成格點(diǎn)三角形，能使該格點(diǎn)二IBC三角形與相似的格點(diǎn)是（）

C.點(diǎn)尸D.點(diǎn)G

【變式63］如圖，八個完全相同的小長方形拼成一個正方形網(wǎng)格，小妍、小風(fēng)、小蕾、小強(qiáng)四位同學(xué)用無刻

度的直尺在網(wǎng)格中各畫了一個鈍角二角形，其中會相似的二角形是（）

A.①和②B.②和③C.①和③D.①和④

【題型7選擇或補(bǔ)充條件使兩三角形相似】

【例7】如圖，在I48。中，點(diǎn)。為邊公上的一點(diǎn)，選擇下列條件：①匚2=匚4②口1=口。84或=卷/=*

中的一個，能得出口48。和口8。。相似的是：（填序號）.

【變式71】（2425九年級上?甘肅白銀?期末）如I圖，在四邊形力中，對角線力。平分口84。，48=9,4C=6,

則要使匚力口力CO,只要/A

【變式72］（2425九年級上?上海?階段練習(xí)）如圖，已知在梯形力BCO中，4。匚8C,要使匚84。與口。8c相

似，還需添加一個條件，這個條件可以是（只需填一個條件）.

【變式73］（2025?河北?中考真題）如圖，在五邊形"COE中，AEBC,延長比1,BC,分別交直線。E于點(diǎn)

〃，N.若添加下列一個條件后，仍無法判定匚四七口口。。7,則這個條件是（）

M

A.口8+匚4=180。B.CDQABC.口1=匚4D.口2=口3

【題型8裁剪使兩三角形相似】

【例8】如圖，在ZM8C紙片中，匚4=72。/4=38。，將匚力〃。紙片沿某直線剪開，下列四種方式中剪下的陰影

三角形與匚48c相似的是（）

A.??B.②?C.③?D.①③

【變式81】（2425九年級上?陜西榆林?期中）如圖，在口48。中，口4=78。，49=6,AC=9.將EU8C沿圖示中

的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（〉

【變式82】數(shù)學(xué)實踐活動課上，小明和小強(qiáng)分別剪了一對三角形，他們經(jīng)過測量得到相關(guān)數(shù)據(jù)，并標(biāo)記在圖

形上.如圖，對于他們剪的兩組三角形的說法，正確的是（）

A.都相似B.只有圖①相似C.只有圖②相似D.都不相似

【變式83］如圖，在三角形紙片/8C中，AB=6,AC=4,BC=8,沿虛線剪卜.的涂色部分的三角形與匚48c相

似的是（）

AA

【題型9尺規(guī)作圖使兩個三角形相似】

【例9】（2（）25?浙江嘉興?二模）用"尺規(guī)作圖''將一個三角形分割成一個小三角形和一個四邊形，則下列圖形

中，分割出來的小三角形與原三角形不一定相似的是（）

【變式91］（2425九年級上?浙江杭州?期末）如圖，已知等腰O4BC中,BA=BC,口8=108。，請用尺規(guī)在4。上

求作一點(diǎn)。，使得口480口UACB.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【變式92］（2425九年級上?陜西榆林?階段練習(xí)）如圖，在四邊形力8CQ中，ABCD,連接4。，請用尺規(guī)作

圖法在上找一點(diǎn)P,使得口兒??？冢?］P。3.（保留作圖痕跡，不寫作法）

AD

【變式93】在口力8。中，□48090〉，用直尺和圓規(guī)在4。上確定點(diǎn)。，使口84?？诳?。8。，根據(jù)作圖痕跡判斷,

【題型10數(shù)相似三角形的對數(shù)】

【例10】（2425九年級上?安徽滁州?期中）如圖,ACUBC,CDUAB,DEUBC,則圖中相似三角形有（）

C

【變式101]如圖，在正方形ABCD中，E是A。的中點(diǎn)，尸是CD上一點(diǎn)，且CF=3尸D.則圖中相似三角形

的對數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.)4

【變式102]（2425九年級上?上